Test n°1 : Résolution de systèmes

(1)

Nom :

Classe : Tle ES – Spé Maths Test n°1

le 22/09/2016 Note :

… / 10

Avis de l’élève Avis du professeur

Compétences évaluées Oui Non Oui Non

Calculer le coefficient directeur d'une droite.

Traduire des contraintes par des équations.

Résoudre un système d'équations.

Exercice 1 : … / 5

On considère une fonction définie sur R par : =

où , et sont trois réels à déterminer.

Sa courbe représentative c est donnée ci-contre. On sait que :

• Le point A(0;3) appartient à c .

• (T) est la tangente à c en B(3;6).

• Le point C(7;4) appartient à (T).

1) a) Déterminer en fonction de , et .

………

b) Calculer le coefficient directeur de (T).

………

2) Justifier que les réels , et sont solutions du système : (S) :

………

3) Résoudre le système (S) et en déduire .

………

f

f f

(T)

cf f

f(x) ax²+bx+c a b c

a b c

a b

f⁰(x) x

f(x) 8<

: c= 3

9a+ 3b+c= 6 6a+b= -0,5

(2)

Exercice 2 : Résoudre par substitution les systèmes suivants. … / 3

a) b)

Exercice 3 : Résoudre par combinaison le système suivant. … / 2

½ -3a+ 5b= 1 4a¡15b= -18

½ 4x¡y = 13 x¡3y= -13

½ -2x¡y= -12 3x+ 5y= 11

(3)

Correction du Test n°1 Exercice 1 :

On considère une fonction définie sur R par : =

où , et sont trois réels à déterminer.

Sa courbe représentative c est donnée ci-contre. On sait que :

• Le point A(0;3) appartient à c .

• (T) est la tangente à c en B(3;6).

• Le point C(7;4) appartient à (T).

1) a) Déterminer en fonction de , et .

∀ ∈ R, = donc : = b) Calculer le coefficient directeur de (T).

= = = =

2) Justifier que les réels , et sont solutions du système : (S) :

• A(0;3) ∈ c donc : donc : donc :

• B(3;6) ∈ c donc : donc : donc :

• (T) est la tangente à c au point B d'abscisse 3 et le coefficient directeur de (T) est donc : =

donc : = donc : = 3) Résoudre le système (S) et en déduire .

⇔ ⇔

⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔

Finalement : ∀ ∈ R, = f

f(x) ax²+bx+c a b c

f

f f

f⁰(x) a b x

a b c

f(x)

(T)

cf x f(x) ax²+bx+c f⁰(x) 2ax+b

yB¡yC

xB¡xC

6¡4 3¡7

2 -4

-

¹₂

f f(0) = 3

a£0²+b£0 +c= 3 c= 3

f f(3) = 6

a£3²+b£3 +c= 6 9a+ 3b+c= 6

f

2a£3 +b f⁰(3) 6a+b 8<

: c= 3

9a+ 3b+c= 6 6a+b= -0,5

8<

: c= 3

9a+ 3b+c= 6 6a+b= -0,5

8<

:

6a+b= -0,5 9a+ 3b+ 3 = 6 c= 3

8<

:

b= -0,5¡6a 9a+ 3b+ 3 = 6 c= 3

8<

:

b= -0,5¡6a

9a+ 3(-0,5¡6a) + 3 = 6 c= 3

8<

:

b= -0,5¡6a

9a¡1,5¡18a+ 3 = 6 c= 3

8<

:

b= -0,5¡6a -9a+ 1,5 = 6 c= 3

8<

:

b= -0,5¡6a -9a= 6¡1,5 c= 3

8<

:

b= -0,5¡6a -9a= 4,5 c= 3

8<

:

b= -0,5¡6a a= ^4,5_-9

c= 3

8<

:

b= -0,5¡6a a= -0,5 c= 3 8<

:

a= -0,5

b= -0,5¡6£(-0,5) c= 3

8<

:

a= -0,5 b= -0,5 + 3 c= 3

8<

:

a= -0,5 b= 2,5 c= 3 -0,5

-0,5 -0,5

x f(x) -0,5x²+ 2,5x+ 3

(4)

Exercice 2 : Résoudre par substitution les systèmes suivants. (Correction de l'exercice n°20 p 252) a)

b)

Exercice 3 : Résoudre par combinaison le système suivant. (Correction de l'exercice n°21 b) p 252)

En multipliant chaque membre de la 1^ère équation par 3 on obtient : En additionnant membre à membre les deux équations on obtient : En simplifiant la 1^ère équation on obtient :

On continue de résoudre le système de façon classique :

½ -3a+ 5b= 1 4a¡15b= -18

½ 4x¡y = 13 x¡3y= -13

½ -2x¡y= -12 3x+ 5y= 11

½ 4x¡y= 13 x= 3y¡13

½ 4(3y¡13)¡y= 13 x= 3y¡13

½ 12y¡52¡y= 13 x= 3y¡13

½ 11y= 13 + 52 x= 3y¡13

8<

:

y= ⁶⁵₁₁ x= ⁵²₁₁ 8<

:

y = ⁶⁵₁₁

x = ¹⁹⁵₁₁ ¡ ¹⁴³11

8<

:

y = ⁶⁵₁₁

x = 3£ ⁶⁵11¡13

½ -2x+ 12 =y 3x+ 5y = 11

½ y = -2x+ 12 3x+ 5y = 11

½ y = -2x+ 12

3x+ 5(-2x+ 12) = 11

½ y = -2x+ 12

3x¡10x+ 60 = 11

½ y = -2x+ 12 -7x = 11¡60

½ y = -2x+ 12 x= ^-49_-7

½ y = -2£7 + 12 x= 7

½ -9a+ 15b= 3 4a¡15b= -18

½ -9a+ 4a+ 15b¡15b= 3¡18 4a¡15b= -18

½ -5a= -15 4a¡15b= -18

½ a= ¹⁵₅

4a¡15b= -18

½ a= 3

4£3¡15b= -18

½ a= 3

-15b= -18¡12

½ a= 3 -15b= -30

½ a= 3 b= ³⁰₁₅

½ a= 3 b= 2 8<

:

x= ⁵²₁₁ y= ⁶⁵₁₁

½ x = 7 y = -2

½ y = -14 + 12 x= 7