Physiks & Chimie

Terminale S2 – 2008 – 2009 Correction – D.S. n°9 Page 1 sur 3

Oscillateur Solide-Ressort

d’après Nouvelle Calédonie 2005

1.1. Forces exercées sur le solide en mouvement.

1.1.1. Le solide subit : (2) – son poids £P

– la force de rappel élastique du ressort £F

– la poussée de l’air exercée par le banc à coussin d’air £R 1.1.2. £F = – k.x.£i (1).

Lorsque le solide se trouve à droite de la position d’équilibre alors l’allongement x est positif, donc £F a un sens opposé au vecteur unitaire £i (1).

1.2. Équation différentielle du mouvement du solide.

1.2.1. Pour le système solide étudié dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen, appliquons la deuxième loi de Newton : m.£aG = £Fext, soit : m.£aG = £P + £F + £R.

On projette cette relation vectorielle suivant l’axe Ox, il vient m.aGx = – k.x soit m.d^x

dt^ = – k.x que l’on peut écrire : d^x dt^ + k

m.x = 0 (2) : équation différentielle du mouvement du C.I. G.

1.2.2. On a x(t) = Xm.cos

 

 

T

.t   , il faut introduire cette expression dans l’équation différentielle.

Établissons d’abord l’expression de la dérivée de x par rapport au temps : dx

dt = – Xm.

 

 



T .sin

 

 

T.t  

puis l’expression de la dérivée seconde : d^x

dt^ = – Xm.

 

 



T 2

.cos



T

.t   avec Xm.cos





T

.t   = x(t).

Par conséquent d^x dt^ = –

 

 



T

2.x(t). Ainsi en injectant cette expression dans l’équation différentielle, il vient : –

 

 



T 2

.x(t) + k

m.x(t) = 0 ou bien encore :

 

 

–

 

 



T 2  k

m .x(t) = 0.

Cette expression doit être vérifiée quelque soit t et donc quelque soit x(t) par conséquent –

 

 



T 2  k

m = 0 Et donc –

 

 



T

2   k m ou

 

 

T



2

= m

k soit T0 = 2. m k (2) 1.2.3. T0 = 2. m

k. Par conséquent [T0] = [2. m

k] = [2].[m]^/

[k]^/ = 1.M^1/2.[k]^–1/2.

Déterminons la dimension de k : La valeur de la force de rappel élastique s’exprime par la relation : F = k.x.

Par conséquent [k] = [F].[x]^–1 = [F].L^–1. Or d’après la seconde loi de Newton [F] = [m].[a] = M.L.T^–2. Ainsi [k] = M.L.T^–2.L^–1 = M.T^–2.

Par conséquent [T0] = M^1/2.(M.T^–2)^–1/2 = M^1/2.M^–1/2.T¹ = T. La période propre est bien homogène à une durée (2).

2. Retour à l’expérience

2.1. 0,5 pour Xm,exp et 0,5 pour T0exp

2.2. x = a.cos(b.t + c)

avec : a = 4,2510^–2 m, b = 21,18 rad.s^–1 et c = 4,71 rad.

x(t) = Xm.cos

 

 



T

.t  

donc a = Xm,exp = 4,2510^–2 m (1)



T = b soit T0exp = 

b = 

21,18 = 0,2967 s (1) 2.3. T0 = 2. m

k = 2. m 2.k1

= 2. 54,0.10^–3

2.12,0 = 0,298 s (1) 2.4. écart relatif : e.r. = , – ,

, = ,.^–

, = 0,44 % (1) 3. Aspect énergétique en l’absence de frottements

3.1. Em = EC + EP donc Em = 1

2.m.v² + 1

2.k.x² (1)

3.2. Lorsque le solide atteint l’abscisse x =



Xm, le ressort est tendu au maximum et sa vitesse est nulle : Em = 1 2.k.Xm

2

t (en s) Graphe n°1:

x (en m)

O

x = f(t)

T0exp

Xm,exp

(k) G (m)

O x(t) E

x

Schéma n°1 £R

£P

£F

£i

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Lorsque le système atteint sa vitesse maximale Vm il se situe à l’abscisse x = 0 : Em = 1

2.m.Vm 2

Le système solide-ressort est toujours supposé osciller sans frottement donc l’énergie mécanique du système se conserve au cours du temps : ECmax = EPmax

donc 1 2.k.Xm

2 = 1 2.m.Vm

2 k.Xm

2 = m.Vm

2 donc Vm 2 = k

m.Xm 2

Il faut faire apparaître T0 et  dans cette expression, utilisons T0 =

k

 m

2

soit k m =

 

 



T 2

Donc Vm 2 =

 

 



T 2

.Xm

2 et finalement (Vm > 0) : Vm =

 

 



T

.Xm (2) 3.3. Vm = 2,.^–

, = 0,90 m.s^–1 (1).

3.4. Em = constante (2)

Sur le graphe 1, on voit qu’à t = 0 s , l’abscisse du mobile est légèrement négative : L’énergie potentielle est donc proche de zéro et l’énergie cinétique presque maximale.

L’abscisse devient ensuite nulle (passage en A) : l’énergie potentielle est donc nulle et l’énergie cinétique maximale.

4. Aspect énergétique en présence de frottements 4.1. Il s’agit du régime pseudo-périodique (0,5), le

temps caractéristique est appelé la pseudo- période. (0,5)

4.2.1. Em0 = EP0 = 1 2.k.Xm0

2 (1) 4.2.2. Xm1 =

r X

_m0

donc Em1 = 1 2.k.Xm12

= 1 2.k.

 

 

Xm

r

2

Em

Em = 1 2.k.

 

 

Xm

r



1 2.k.Xm^

=  r^ (1)

Aspirine de synthèse

d’après Nouvelle Calédonie Novembre 2007

1. Nécessité de l’aspirine de synthèse

 Quarante mille tonnes d’aspirine : 40



10³ t = 4,0



10⁴ t = 4,0



10⁷ kg

 Un saule pourrait fournir 2,6 kg donc il faudrait : ,.^

, = 15



10⁶ saules

 Un saule couvre une superficie de 20 m² , donc la surface en m² serait : 15



10⁶



20 = 30



10⁷ m²

 1 ha = 10



10³ m² donc la surface en ha est ^

^ = 3,0



10⁴ ha La surface de Paris couvre 1,05



10⁴ ha : ainsi il faudrait couper des saules sur une surface de terre équivalente à environ trois fois la superficie de Paris chaque année... Le résultat confirme bien la nécessité de synthétiser l’aspirine car quelques usines de production d’aspirine occupent une surface nettement moins importante.

2. Synthèse de l’aspirine en laboratoire 2.1. (1)

2.2. Ordre des étapes (1,5) :

1- Étape D – Introduire dans un ballon 5,0 g d’acide

salicylique, 10 mL d’anhydride éthanoïque et quelques gouttes d’acide sulfurique.

2- Étape B – Réaliser un montage de chauffage à reflux et chauffer pendant une vingtaine de minutes.

3- Étape A – Ajouter de l’eau froide dans le milieu réactionnel.

4- Étape E – Filtrer sur büchner le mélange obtenu et récupérer les cristaux d’aspirine.

5- Étape C – Les cristaux récupérés sont impurs. Les purifier par recristallisation. Filtrer de nouveau sur büchner et peser les cristaux récupérés.

Énergie

T





O t (s)

E_m

EC

E_P

mobile mobile mobile au point A au point C au point A

x = 0 v = 0 x = 0

E

_P

= 0 E

_C

= 0 E

_P

= 0

C O

OH O C

O CH

3

Groupe ESTER

Groupe CARBOXYLE

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2.3. La réaction entre l’acide salicylique et l’anhydride éthanoïque est une réaction d’estérification. (Le groupe hydroxyle OH situé sur le noyau benzénique est transformé en groupe ester). On aurait pu remplacer l’anhydride éthanoïque par l’acide éthanoïque (1). Mais l’estérification avec un acide carboxylique est lente et limitée.

L’utilisation de l’anhydride éthanoïque a deux avantages : (1).

– la transformation est rapide à chaud

– la transformation est totale (car la réaction inverse d’hydrolyse est impossible).

2.4. L’acide sulfurique joue le rôle de catalyseur. Il accélère la réaction (0,5).

2.5. Le montage à reflux permet de chauffer le mélange réactionnel et donc d’accélérer la réaction car la température est un facteur cinétique.

Mais en chauffant, les espèces du mélange réactionnel se vaporisent. Pour éviter les pertes de matière et la libération de vapeurs nocives, le réfrigérant condense (liquéfie) les vapeurs formées qui retombent (refluent) dans le ballon (1 + 1,5).

2.6.1. Soient a.s. l’acide salicylique et a.e. l’anhydride éthanoïque.

Calculons les quantités initiales des réactifs : ni(a.s^m(a.s)

M(a.s) A.N. : ni(a.s) = 5,0

138 = 3,6.10^–2 mol ni(a.e) = m(a.e)

M(a.e) = a.e.Va.e

Ma.e A.N. : nia.e = 1,0810

102 = 11.10^–2 mol

unités : 1,0810³ kg.m^–3 = 1,08 g.cm^–3 et 10 mL = 10 cm³ = 10.(10^–2 m)³ = 10.10^–6 m³ Si l’acide salicylique est limitant alors : xmax = ni(a.s) = 3,6.10^–2 mol

Si l’anhydride éthanoïque est limitant alors : xmax = ni(a.e) = 11.10^–2 mol > 3,6.10^–2 mol (2).

Le réactif en excès est celui qui auquel est associé la plus grande valeur de xmax : il s’agit bien l’anhydride éthanoïque.

2.6.2. Équation chimique :

(1,5)

Acide

salicylique + Anhydride

éthanoïque = aspirine + Acide éthanoïque

Avancement Quantités de matière (en mol)

État initial 0 3,6.10^–2 11.10^–2 0 0

État intermédiaire x 3,6.10^–2 – x 11.10^–2 – x x x

État final xf

3,6.10^–2 – xf = 0

car réaction totale 11.10^–2 – xf > 0 xf = 3,6.10^–2 xf = 3,6.10^–2 Le rendement est : r = nexpasp

nmaxasp = mexpasp

mmaxasp (la masse d’aspirine étant proportionnelle à la quantité de matière).

Avec mexp(asp) = 6,0 g et mmax(asp) = nmax(asp)M(asp) = 0,036180 = 6,5 g. Ainsi r = ,

, = 0,92 soit 92 % (1).

Le rendement est grand mais inférieur à 100 %. Une partie de l’ester est vraisemblablement perdue au cours de la recristallisation.

3. Mise en solution d’un comprimé d’aspirine simple 3.1. AH + H2O = A ^– +

H

3

O

⁺(1).

3.2. Concentration molaire cS en soluté apporté :cS = nS

VS

= mS

MS.VS

soit cS = .^–

.^– = 1,39.10^–2 mol.L^–1 (1).

3.3.1. Diagramme de prédominance :

Attention aux confusions entre diagramme de distribution et diagramme de prédominance ! (1).

3.3.2. L’aspirine est assimilée sous forme d’acide acétylsalicylique AH dans l’estomac car pH = 2 < pKa = 3,5 (1).

[AH] > [A^–] [A^–] > [AH]

AH prédomine pH = 2,0 pKa = 3,5 A^– prédomine

pH

pH de l’estomac

[AH] = [A^–]

 sortie d’eau (tiède)

 réfrigérant à boules

 entrée d’eau (froide)

 ballon à fond rond

 chauffe ballon

 support élévateur