Durée : 4 heures
[ Baccalauréat STI Génie électronique \ génie électrotechnique, optique
France septembre 2007
EXERCICE1
Le plan complexeP est muni d’un repère orthonormal direct³ O,−→
ı ,−→
´d’unité graphique 1 cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1, d’argumentπ 2. 1. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation :
z2−6z+12=0.
2. Dans le plan complexeP, on considère les points A et B d’affixes respectives zA=3+ip
3 etzB=3−ip 3.
a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com- plexeszAetzB.
b. Placer les points A et B dans le repère³ O,−→
ı ,−→
´.
3. On considère le point C, image du point O par la translation de vecteur−−→AB . a. Placer le point C dans le repère³
O,→− ı ,−→
´.
b. Déterminer la forme algébrique de l’affixezCdu point C.
c. Démontrer que OC = BC,
d. En déduire la nature du quadrilatère OABC.
4. On considère le point D, image du point A par la rotation de centre O et d’angle π
3.
a. Placer le point D dans le repère³ O,−→
ı ,→−
´.
b. Déterminer la forme algébrique de l’affixezDdu point D.
c. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze ayant deux côtés op- posés de même longueur.
EXERCICE2
Dans cet exercice, les trois questions peuvent être traitées de manière indépendante.
On désigne pary une fonction de la variable réellet, définie et 2 fois dérivable sur l’ensembleRdes nombres réels, et pary′′sa fonction dérivée seconde.
1. Résoudre l’équation différentielle :
y"+9y=0.
2. On désigne par (E) l’équation différentielle : y"+9y=8sint.
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique
a. On désigne parAun nombre réel quelconque.
Vérifier que la fonctionf définie surRpar : f(t)= −1
3sin(3t)+Acos(3t)+sint.
est une solution de l’équation différentielle (E).
b. Déterminer le nombre réelAtel quef³π 4
´
=0.
3. On considère maintenant la fonctiongdéfinie surRpar : g(t)= −1
3sin(3t)+2
3cos(3t)+sint.
Calculer la valeur moyenne de la fonctiongsur l’intervalleh 0 ; π
3 i.
PROBLÈME
Ce problème a pour but d’étudier la position relative des courbes représentatives de deux fonctions. On note ln la fonction logarithme népérien.
Partie A. Détermination d’une fonctionf
On donne ci-dessous, dans le planP muni d’un repère orthonormal³ O,→−
ı ,−→
´
d’unité graphique 2 cm, la courbe représentativeCf d’une fonctionf définie sur l’ensemble des nombres réelsR.
On suppose que la courbeCf passe par les points A de coordonnées (0 ; ln 3), B de coordonnées (−1 ; 0) et C de coordonnées (−2 ; 0).
1. On admet qu’il existe trois nombres réelsa,betctels que, pourxréel, f(x)=ln¡
ax2+bx+c¢ . Calculera,betc.
1 2 3
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3
−1
−2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2 3 4
x y
Cf
(Ce graphique n’est pas à l’échelle.)
2. On admet que la fonctionf est définie surRpar f(x)=ln¡
x2+3x+3¢ et on désigne parf′sa fonction dérivée.
a. Déterminerf′(x) pour toutxréel.
b. Démontrer que la fonctionf admet un minimum surR.
France 2 septembre 2007
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique
c. Déterminer la valeur exacte de ce minimum.
Partie B. Étude d’une fonctiong
On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [−1 ;+∞[ par : g(x)=ln
µ10x+11 x+2
¶ .
On noteCg la courbe représentative de la fonctiongdans le repère³ O,→−
ı ,−→
´, du planP etg′sa fonction dérivée sur l’intervalle [−1 ;+∞[
1. a. Calculerg(−1).
b. Déterminer la limite de la fonctiongen+∞.
En déduire que la courbeCg admet une asymptoteDdont on donnera une équation.
2. a. En remarquant que, pour toutxappartenant à l’intervalle [−1 ;+∞[ : g(x)=ln(10x+11)−ln(x+2),
justifier que :
g′(x)= 9
(10x+11)(x+2). b. Établir le tableau de variations de la fonctiong. Partie C. Étude des positions relatives deCf etCg
1. On pose, pour toutxréel,P(x)=x3+5x2−x−5.
a. Vérifier que, pour toutxréel,P(x)=¡ x2−1¢
(x+5).
b. Résoudre dansRl’équationP(x)=0.
c. Étudier le signe deP(x) pour toutxréel.
2. On rappelle que la fonction f est définie surRpar : f(x)=ln¡
x2+3x+3¢ et que la fonctiongest définie sur l’intervalle [−1 ;+∞[ parg(x)=ln
µ10x+11 x+2
¶ . a. En utilisant les résultats de la question C. 1. b., résoudre dans l’intervalle
[−1 ;+∞[ l’équationf(x)=g(x).
b. En déduire les coordonnées des points d’intersection des courbesCf et Cg sur l’intervalle [−1 ;+∞[.
3. a. En utilisant les résultats de la question C. 1. c, résoudre dans l’intervalle [−1 ;+∞[ l’inéquationf(x)>g(x).
b. En déduire selon les cas la position de la courbeCf par rapport à la courbeCgsur l’intervalle [−1 ;+∞[ ;
4. Sur le graphique de la partie A, tracer la droiteDet la courbeCg.
France 3 septembre 2007
