Unité 3: Représentation interne des informations

Objectifs :

À la fin de cette unité,

- vous saurez comment passer d’une base à l’autre

- vous saurez comment sont représentés dans l'ordinateur les nom- bres fractionnaires et les nombres exprimés en virgule flottante.

- vous saurez comment l'ordinateur effectue des calculs sur des nombres utilisant ces représentations.

Pour y arriver, vous devez maîtriser les objectifs suivants :

- passer d'une base à une autre par différentes méthodes : évaluation à la main, à l'aide de tables, ou à l'aide d'une calculette;

Unité 3: Représentation interne des informations

Objectifs :

- passer d'une chaîne de caractères entrée au clavier pour représenter un nombre entier, et la convertir dans le format binaire que comprend l'ordinateur, en passant par la représentation intermédiaire BCD.

- convertir la partie fractionnaire d'un nombre décimal dans sa représentation binaire et vice-versa;

- convertir un nombre réel dans sa représentation en virgule flottante;

- effectuer les quatre opérations arithmétiques sur des nombres en virgule flottante

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.1 Entiers positifs ou nuls Le BCD

Le BCD est un code dans lequel chaque chiffre d’un nombre décimal est codé en binaire sur 4 bits.

Ces chiffres peuvent être représenté sur un octet individuel, c’est le BCD non compacté.

Exemple :

327₁₀  0000 0011 0000 0010 0000 0111

Comme chaque chiffre n’utilise que 4 bits, on peut les grouper 2 par octet. C’est le BCD compacté.

Exemple :

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base

Il s’agit d’évaluer l’expression dans la base destination.

Décimal-binaire :

142₁₀ = (1  10²) + (4  10¹) + (2  10⁰)

= (1  10102  10102) + (100₂  10102) + 0010₂

= 1000 1110₂

Unité 3: Représentation interne des informations

a

B

i0



3.3 Données numériques

3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base

Décimal-binaire :

On peut effectuer les multiplications par 10 en remarquant que 10x

= 8x + 2x, et en se rappelant qu’un décalage à gauche de 1 bit est une multiplication par 2. C’est généralement plus rapide que la multiplication binaire.

Ainsi, 1010₂ x 1010₂ = 1010000₂ + 10100₂ = 110 0100_2.

100₂ x 1010₂ = 100000₂ + 1000₂ = 10 1000₂ On obtient finalement :

142₁₀ = 110 0100₂ + 10 1000₂ + 0010₂ et

142 = 1000 1110

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base

Binaire-décimal :

1000 1110₂ = (1  2⁷) + (0  2⁶) + (0  2⁵) + (0  2⁴) +(1  2³)

+ (1  2²) + (1  2¹) + (0  2⁰)

=2⁷ + 2³ + 2² + 2¹

=12810 + 8 + 4 + 2 = 14210

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base

Factorisation de Horner

= a

B

+ a

B

+ … + a

B + a

= (((((0 + a

)B + a

)B + a

)B …+ a

)B + a

Unité 3: Représentation interne des informations

a

B

i0



3.3 Données numériques

3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base

Binaire-décimal (algorithme R = b + 2R)

1000 1110 R = 0 1 + 2  0 = 1

0 + 2  1 = 2 0 + 2  2 = 4 0 + 2  4 = 8 1 + 2  8 = 17₁₀ 1 + 2  17₁₀ = 35₁₀ 1 + 2  3510 = 71₁₀ 0 + 2  7110 = 142₁₀

Unité 3: Représentation interne des informations

Arithmétique BCD

3.3 Données numériques

3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base

Décimal-binaire (algorithme R = c + 10R) 142 R = 0

1 + 10102  0 = 1

100₂ + 1010₂  1 = 11102

10₂ + 1010₂  11102 = 1000 1110₂

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base

Dans les techniques précédentes, on effectuait la conversion en utilisant l’arithmétique de la base destination.

Toutefois, on peut vouloir effectuer ces conversions en utilisant l’arithmétique de la base source. C’est le cas, par exemple, quand l’ordinateur, qui doit travailler en arithmétique binaire, désire effectuer une conversion binaire-décimal.

Pour convertir une nombre N d’une base source à une base destination en utilisant l’arithmétique de la base source, on divise le nombre N par la base destination en utilisant l’arithmétique de base source, jusqu’à ce que le quotient soit nul. La représentation de N dans la base destination est alors donnée par la séquence renversée des restes.

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base

Exemples : Convertir 27₁₀ en base 4 :

Unité 3: Représentation interne des informations

27 27 / 4 = 6, reste 3 6 / 4 = 1, reste 2

1 / 4 = 0, reste 1 27 = 123

10

10 4



3.3 Données numériques

3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base

Exemples : Convertir 1000 1110₂ en base 10 1000 1110₂ / 1010₂ = 1110₂, reste 0010₂

1110 / 1010 = 0001, reste 0100₂ 0001 / 1010 = 0000, reste 00012

 1000 11102 = 0001 0100 0010 = 14210 en BCD compacté ou 0000 0001 0000 0100 0000 0010 en BCD non compacté

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.1 Entiers positifs ou nuls

Conversion hexadécimal-décimal et décimal-hexadécimal d’entiers à l’aide de la table de l’appendice 4.1 du supplément

La table hexadécimal-décimal est basée sur le principe qu’un nombre comme 14A6₁₆ est la somme de

1000₁₆ + 400₁₆ + A0₁₆ + 6.

On va donc chercher la valeur décimal correspondante de chacun dans la table et on en fait la somme:

4096₁₀ + 1024₁₀ + 160₁₀ + 6 = 5286₁₀

Cette méthode peut être utilisée pour la conversion binaire- décimal par programmation et s’avère très rapide.

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.1 Entiers positifs ou nuls

Conversion hexadécimal-décimal et décimal-hexadécimal d’entiers à l’aide de la table de l’appendice 4.1 du supplément

On pourrait faire une table décimal-hexadécimal pour la conver- sion inverse. On peut également utiliser la même table que plus haut avec quelques calculs supplémentaires. On cherche dans la table la plus grande valeur décimale qui soit inférieure au nombre à convertir. On soustrait ce nombre, et on recommence avec le reste.

528610 - 409610 = 119010 -> 100016

1190₁₀ - 1024₁₀ = 166₁₀ -> + 400₁₆ 16610 - 16010 = 610 -> + A016

6₁₀ - 6₁₀ = 0 -> + 6₁₆

= 14A6₁₆

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base

Conversion à partir l’ASCII Exemple :

Supposons que l’utilisateur a tapé 327. On retrouve en mémoire les caractères ASCII ‘3’, ‘2’ et ‘7’ qui ont la représentation :

0011 0011 0011 0010 0011 0111

On soustrait 0011 0000 (30₁₆ ou ‘0’) de chacun de ces caractères, ce qui nous donne la représentation en BCD non compacté :

0000 0011 0000 0010 0000 0111

On utilisera ces octets pour faire la conversion BCD-binaire.

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.1 Entiers positifs ou nuls Changements de base

Conversion vers l’ASCII

De la façon inverse, après qu’on a effectué une conversion binaire décimal, on a une série d’octets qui constituent la représentation BCD non compacté du résultat. On n’a qu’à ajouter 30₁₆ à chacun pour obtenir la représentation ASCII du nombre. Par exemple :

0000 0011 0000 0010 0000 0111 + 0011 0000 0011 0000 0011 0000

= 0011 0011 0011 0010 0011 0111

Unité 3: Représentation interne des informations

‘3’ ‘2’ ‘7’

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Changements de base

N  anBⁿ + a_n-1B^n-1 + … + a₁B¹+ a₀ B⁰+ a_-1B^-1 + a_-2B^-2 + … En binaire, ai = 0 ou 1 et B = 2

N  an2ⁿ + a_n-12^n-1+ … + a₁.2 + a₀ + a_-12^-1 + a_-22^-2 + …

Cette dernière formule peut donc servir de conversion binaire- décimal.

Exemple :

Unité 3: Représentation interne des informations

 a_n2ⁿ  a_n12^n1 ... a₁.2 a₀  a_1 1

2a_2 1

4a_3 1

8 ...

0,011₂  0 1

21 1

41 1 8

 0,25₁₀  0,125₁₀  0,325₁₀

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Changements de base

0,5625₁₀

Réponse : 0,100100002

Pour passer du décimal à une autre base, il suffit de multiplier par la base en question au lieu de 2.

Unité 3: Représentation interne des informations

0, 5625 x 2 1, 125 x 2 0, 25 x 2 0, 5 x 2 1, 0 x 2 0, 0

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Changements de base

Pour un nombre constitué d’une partie entière et d’une partie fractionnaire, on convertit les deux parties séparément, la partie entière avec l’une des méthodes de conversion des entiers, la partie fractionnaire avec les méthodes présentées dans la présente section.

Exemple: convertir 123,21₄ en décimal 123₄ = 1  4² + 2  4 + 3 = 2710

0,214 = 2  4^-1 + 1  4^-2 = 2 x 0,25 + 1  0,0625 = 0,562510

Réponse : 27,5625₁₀

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Changements de base

Convertir 27,5625₁₀ en base 4 : 27 / 4 = 6, reste 3

6 / 4 = 1, reste 2

1 / 4 = 0, reste 1 -> 1234

0, 5625 x 4 2, 25 x 4 1, 0 x 4 0, 0

Réponse : 123,210000₄

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires

Conversion décimal-binaire et binaire décimal à l’aide de la table de l’appendice 4.2 du supplément

Même principe que pour les entiers.

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule fixe

Inconvénients : étendue de représentation limitée

32 bits seulement dans la partie entière

32 bits seulement dans la partie fractionnaire Perte de précision pour les petits nombres

Complexité de traitement de la virgule lors d’opé- rations telles que la multiplication et la division

Unité 3: Représentation interne des informations

32 32

Partie entière Partie fractionnaire ,

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule fixe

Exemples : 1,0 = 00000001,00000000₁₆ -1,0 = FFFFFFFF,00000000₁₆

0,5 = 00000000,80000000₁₆ -0,5 = FFFFFFFF,80000000₁₆

Plus petit nombre positif : 00000000,00000001 = 1 / 4 294 967 296

Plus grand nombre positif :

7FFFFFFF,FFFFFFFF = +2 147 483 647,999999999767

Plus grand nombre négatif :

80000000,00000000 = -2 147 483 648, 999999999767 Plus petit nombre négatif :

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante

N = (1)^s  M  B^E

où : M = mantisse B = base

E = exposant

s = signe de la mantisse Exemples:

101₁₀ = 1,01  10²

- 5₁₀ = - 101₂ = - 1,01  2²

510 = 1012 = 516 = 0,0101  16¹

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante

Norme IEEE 754 de simple précision

La mantisse M est normalisée sous la forme 1,f et l’exposant est ajusté en conséquence. La partie f est codée sur 23 bits.

On ajoute 127 à E et le total est codé sur 8 bits.

s est le signe de la mantisse.

N = (-1)^s  2^E  1,f

Unité 3: Représentation interne des informations

8 23

E+127 f

s

32

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante

Norme IEEE 754 de simple précision Exemple :

100010 = 3E816 = 11111010002 = 1,111101000  2⁹ s = 0 car nombre positif

E = 9 donc E + 127 = 136 = 10001000₂ M = 1,111101000 donc f = ,111101000

qu’on peut écrire 447A0000_IEEE en groupant les bits 4 par 4 et en les codant en hexadécimal.

Unité 3: Représentation interne des informations

0 10001000 11110100000000000000000

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante

Norme IEEE 754 de simple précision Exemple :

Convertir le nombre de simple précision 40500000_IEEE en décimal.

s = 0 donc signe = +

E + 127 = 128, donc E = 1 M = 1,f = 1,101

N = +1,101₂  2¹ = 11,01₂  2⁰ = 3,25₁₀

Unité 3: Représentation interne des informations

0 10000000 10100000000000000000000

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante

Norme IEEE 754 de simple précision Exemples :

+0 = 00000000_IEEE -0 = 80000000_IEEE +1 = 3F800000IEEE -1 = BF800000IEEE

+2 = 40000000_IEEE -2 = C0000000_IEEE + = 7F800000IEEE - = FF800000IEEE

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante

Norme IEEE 754 de double précision

La mantisse M est normalisée sous la forme 1,f et l’exposant est ajusté en conséquence. La partie f est codée sur 52 bits.

On ajoute 1023 à E et le total est codé sur 11 bits.

s est le signe de la mantisse.

Unité 3: Représentation interne des informations

11 52

E+1023 f

s

64

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante

Étendue de représentation

En simple précision, la représentation des nombres normalisés positifs non nuls va de 00800000_IEEE à 7F7FFFFF_IEEE, soit :

1,000000000… x 2^-126 à 1,1111111111… x 2¹²⁷ 9,4039548  10^-38 à 3,4028235  10⁺³⁸.

En double précision, elle va de 0010000000000000_IEEE à 7FEFFFFFFFFFFFFF_IEEE, soit :

1,0000000000...  2^-1022 à 1,11111111111...  2¹⁰²³

2,22407385851  10^-308 à 1,797693134862316  10³⁰⁸

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante

Nombres dénormalisés

En simple précision, si l’exposant E est -127 (représentation 00000000) et que les bits de la mantisse ne sont pas tous nuls, le nombre représenté est :

N = (s)^-1 x 2^-126  0,f

On peut ainsi, malgré une perte de précision, étendre la représen- tation jusqu’à 2^-149, i.e. 10^-45.

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante

Les NaN

Les représentations commençant par 7F ou FF en simple préci- sion et dont les autres bits ne sont pas tous 0 représentent des NaN (Not a Number). Ces NaN sont utilisés pour signaler des messages d’erreur.

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante

Sources d’erreur

• Erreur d’arrondi ou de troncature

• Débordement de capacité

• Sous-débordement de capacité

• Division par 0

• Opérations invalides : , 0, 0 / , 0 / 0, etc.

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante

Addition et soustraction On doit :

1. Extraire les mantisses et les exposants

2. Ajuster les exposants et les mantisses pour que les deux nombres aient l’exposant du plus grand des deux.

3. Effectuer l’addition ou la soustraction des mantisses 4. Normaliser la mantisse résultante s’il y a lieu

5. Replacer le résultat, mantisse et exposant, dans le format IEEE.

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante

Addition et soustraction Exemple :

40400000IEEE + 3F000000IEEE

= 0 10000000 10000000000000000... + 0 01111110 00000000000000000...

= + 2^128-127  1,100000… + 2^126-127  1,000000...

= 1,1  2¹ + 1,0  2^-1 = 1,1  2¹ + 0,01  2¹ = 1,11  2¹

= 0 10000000 11000000000000000000000

= 40600000_IEEE

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante

Multiplication et division

A = a  2^p et B = b  2^q, alors : A  B = ab  2^p+q A / B = (a/b)  2^p-q

On doit :

1. Extraire les mantisses, les signes et les exposants 2. Additionner ou soustraire les exposants suivant le cas 2. Effectuer le produit ou le quotient des mantisses

4. Normaliser la mantisse résultante s’il y a lieu 5. Ajuster le signe s’il y a lieu

6. Replacer le résultat, signe, mantisse et exposant, dans le format IEEE.

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.3 Nombres fractionnaires Virgule flottante

Multiplication et division Exemple:

40A00000  C0C00000

= 0 10000001 01000000000000000...  1 10000001 10000000000000000…

= + 2^129-127  1,01  - 2^129-127  1,1

= - 1,01  2²  1,1  2² = - 1,1110  2⁴

= 1 10000011 11100000000000000000000

= C1F00000IEEE

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.4 Décimaux codés en binaire

Code BCD = code pondéré 8-4-2-1 comme le binaire naturel Code excédent-3 : chiffre = binaire + 3

Code 2 dans 5 : chiffre décimal codé sur 5 bits dont deux sont 1 Code biquinaire : chiffre décimal codé sur 7 bits, dont 1 dans les deux positions de gauche et 1 dans les 5 positions de droite est 1.

Les deux derniers codes permettent la détection d’erreurs.

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

3.3.4 Décimaux codés en binaire

décimal BCD excédent-3 2 dans 5 biquinaire

0 0000 0011 00011 01 00001

1 0001 0100 00101 01 00010

2 0010 0101 00110 01 00100

3 0011 0110 01001 01 01000

4 0100 0111 01010 01 10000

5 0101 1000 01100 10 00001

6 0110 1001 10001 10 00010

7 0111 1010 10010 10 00100

8 1000 1011 10100 10 01000

9 1001 1100 11000 10 10000

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

Conversion rapide des grands nombres décimaux en binaire

Nous utilisons l'algorithme de la division par la base destination en arithmétique de base 10, sauf que nous choisissons la base 65536 (2¹⁶).

Exemple : Convertir 36 000 000 000 en binaire 1^e étape

36 000 000 000 / 65 536 =549 316, reste 26 624 549 316 / 65 536 = 8, reste 25 028

8 / 65 536 = 0, reste 8 Donc :

36 000 000 000 = 8 x 65536² + 25028 x 65536¹ + 26624

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

Conversion rapide des grands nombres décimaux en binaire 2^e étape

Comme 65 536 = 256², on représente ensuite chacun des termes en base 256.

25 028 / 256 = 97, reste 196 26 624 / 256 = 104, reste 0 Donc :

36 000 000 000 = 8 x 256⁴ + 97 x 256³ + 196 x 256² + 104 x 256¹ + 0 x 256⁰

Unité 3: Représentation interne des informations

3.3 Données numériques

Conversion rapide des grands nombres décimaux en binaire 3^e étape

Comme 256 = 16², on représente ensuite chacun des termes en base 16.

97 / 16 = 6, reste 1 196 / 16 = 12, reste 4 104 / 16 = 6, reste 8 0 / 16 = 0, reste 0

Donc

36 000 000 000 = 8 x 16⁸ + 6 x 16⁷ + 1 x 16⁶ + 12 x 16⁵ + 4 x 16⁴ + 6 x 16³ + 8 x 16² + 0 x 16¹ + 0 x 16⁰

Et finalement : 36 000 000 000 = 861C4680016

Unité 3: Représentation interne des informations