Calcul des facteurs d'angle

TF06_rayonnement_07.xmcd

TF06

- Rayonnement - exercice 7

Patinoire

σ:=5.67 10× ^-8×W×m^-2×K^-4 Air extérieur

Text = -5°C hPext = 100 W/m² K

Isolation , lP = 0,035 W/m K , épaisseur eP = 30 cm ou e’P = 60 cm

Plafond , TP , émissivité eP = 0.05 ou e‘P = 0.94

Murs TM = 15°C

Glace TG = -5°C Air intérieur

Tint = 15°C hPint = 5 W/m² K humidité : 70 %

D = 50 m L = 10 m

Quelques remarques préalables

La glace et le plafond ont une forme de disque circulaire plan de diamètre D et donc de surface S_G=S_P=pD²/4. Ces disques sont parallèles et concentriques, ce qui justifie l'usage de la formule des 2 disques parallèles.

Les murs ont une surface S_M qui est égale à la surface latérale du cylindre S_M=pDL.

La température du plafond T_P qui nous intéresse est bien sûr la température de la surface intérieure. Les murs qui constituent la surface latérale S_M ont une température fixe égale à T_M = 15°C. La glace, de surface S_G est à une température fixe T_G = - 5°C. L'air intérieur de la patinoire est à une température fixe T_int = 15°C.

La température la plus basse est celle de la glace et de l'air extérieur soit -5°C. La température la plus élevée est celle des murs et de l'air intérieur 15°C.

Il est clair que la température du plafond est nécessairement comprise entre ces deux extrêmes.

La glace est maintenue à -5°C, les murs laréraux et l'air intérieur de la patinoire sont maintenus à 15°C.Peu importe comment on s'y prend, et ni l'épaisseur des murs, ni celle de la glace ne sont pertinents pour notre problème.

Avant de développer le bilan, nous nous proposons de calculer les facteurs d'angle entre les 3 surfaces rayonnantes que sont le plafond (surface grise), la glace et les murs latéraux (corps noirs). Comme il n'y a qu'une seule surface grise, il n'y a pas lieu de calculer de F_jk .

plafond et glace sont plans et ne se voient pas eux-même.

Calcul des facteurs d'angle

Murs, Glace, Plafond FGG=FPP = 0 Relations d'addition : FMM FMP+ +FMG = 1 FGP FGM+ =1 FPG FPM+ = 1

Évaluation de F_GP et F_PG

rG D

:= 2 rP D

:= 2 L

rG = 0.4 rP

L = 2.5 Disques parallèles et concentriques

Fj_k rj rk

(

, , z

)

¹₂ ^{1 rk}

rj

æ ç è

ö ÷ ø

2

+ z

rj

æ ç è

ö ÷ ø

2

+ 1 rk

rj

æ ç è

ö ÷ ø

2

+ z

rj

æ ç è

ö ÷ ø

2 +

é ê ê ë

ù ú ú û

2 4 rk

rj

æ ç è

ö ÷ ø

2

× - -

é ê ê ë

ù ú ú û

×

:= Fj_k D

2 D , 2 , L

æç è ö÷

ø

^=0.6721

or SG = SP entraîne FPG:=FGP FPG= 0.672 FGP= 0.672

On en déduit : FGM:=1-FGP FPM:=1-FPG FGM =0.328 FPM=0.328

D'autre part,

(réciprocité) FMG SG SM×FGM

:= FMP SP

SM×FPM

:= FMG =FMP D

4 L× ×FGM

= FMG =0.410

Enfin : FMM:=1-FMG-FMP FMM= 0.180 FMP=0.410

MH 1/4 ^01/06/2012

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1. Bilan thermique sur le plafond

Lorsqu'on fait le bilan thermique sur le plafond, on constate qu'il y a de la chaleur qui s'échappe vers le haut par conduction à travers l'isolant, puis convection avec l'air extérieur. Il y a de la chaleur qui arrive du bas par convection avec l'air intérieur et par rayonnement entre le plafond et la glace ainsi qu'entre le plafond et les murs latéraux.

La chaleur reçue par le plafond depuis le bas (côté intérieur) est égale à la chaleur cédée vers le haut (côté extérieur) :

Φ σ×SG×FGP×εP

æ

TG⁴-TP⁴

è ö

×

ø

σ×SM×FMP×εP

æ

TM⁴-TP⁴

è ö

×

ø

+ ⁺hP SP× ^×

(

Tint TP-

)

= côté intérieur

Φ λP SP× TP TPext-

× eP

= ⁼ hPext SP× ^×

(

TPext Text-

)

côté extérieur

On élimine T_Pext Φ TP TPext-

eP λP SP×

= TPext Text-

1 hPext SP×

= TP Text-

eP λP SP×

1 hPext SP× +

=

Remarque importante : Il n'est pas possible d'éliminer T_P entre l'intérieur et l'extérieur tout simplement parce que le débit de chaleur (flux thermique) ne se limite pas à un échange convectif avec le bas.

La relation F = h_P S_P (T_int-T_P) est fausse, car il faut prendre en compte les échanges radiatifs.

On remarquera que le rapport T_Pext - T_ext / T_P - T_Pext est petit devant 1.

TPext Text- TP TPext-

1 hPext SP×

eP λP SP×

= λP

hPext eP×

= λP

hPext eP× = 1.167´10^-3

On en déduit que la résistance de transfert convectif avec l'air extérieur est négligeable devant la résistance conductive à travers l'isolation.

Le bilan thermique sur le plafond s'écrit donc :

σ×SG×FGP×εP

æ

TG⁴-TP⁴

è ö

×

ø

σ×SM×FMP×εP

æ

TM⁴-TP⁴

è ö

×

ø

+ ⁺hP SP× ^×

(

Tint TP-

)

^{TP Text-}

eP λP SP×

1 hPext SP× +

=

En remarquant que : SM FMP× = SP FPM× SG = SP FGP= FPG FGP FPM+ = 1

après simplification et réarrangement :

TP⁴ hP 1

eP λP

1 hPext +

æç

+

ç ç è

ö÷ ÷

÷ ø

1 σ ε× P

× ×TP

+ -FGP TG× ⁴-FPM TM× ⁴ hP Tint× Text eP λP

1 hPext +

æ

+

ç ç ç è

ö ÷

÷ ÷ ø

1 σ ε× P

×

- =0

On a une équation du quatrième degré en T_P.

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2. Température du plafond

Température de rosée Tpr=9.4°C Remarque

Il y a de la condensation lorsque la température du plafond est inférieure à la température de rosée T_P < T_pr Il n'y a pas de condensation lorsque la température du plafond est supérieure à la température de rosée T_P > T_pr panneaux réfléchissants (faible émissivité) εP:=εref eP =0.3 m εP= 0.05

x⁴+1.8048 10× ⁹×x-5.2496 10× ¹¹=0 x= 287.1 TP= 14.0 °C× T_P > T_pr : pas de condensation

3. Température du plafond

panneaux absorbants (émissivité élevée) εP:=εabs eP =0.3 m εP= 0.94

x⁴+9.600 10× ⁷×x-3.3357 10× ¹⁰= 0 x= 281.8 TP= 8.6 °C× T_P < T_pr : condensation

4. Augmentation de l'épaisseur d'isolant

panneaux réfléchissants (faible émissivité) εP:=εref eP =0.6 m εP= 0.05

x⁴+1.7842 10× ⁹×x-5.1945 10× ¹¹=0 x= 287.3 TP= 14.2 °C× T_P > T_pr : pas de condensation

panneaux absorbants (émissivité élevée) εP:=εabs eP =0.6 m εP= 0.94

x⁴+9.4906 10× ⁷×x-3.3064 10× ¹⁰=0 x= 281.9 TP= 8.7 °C× T_P < T_pr : condensation

5. Conclusions

C'est bien le caractère réfléchissant du plafond qui évite la condensation

Considérations supplémentaires

Température de rosée Tpr=9.4°C

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

8 9 10 11 12 13 14 15

réfléchissant absorbant

Influence de l'épaisseur d'isolant

Épaisseur d'isolant (m)

Température du plafond (°C)

9.4 eP 2 eP×

0 0.25 0.5 0.75 1

8 9 10 11 12 13 14 15

Influence de la réflectivité

Émissivité du plafond

Température du plafond (°C)

9.4

εref εabs

Quelle que soit l'épaisseur d'isolant, la température du plafond est largement au-dessus de la température de rosée lorsqu'il est réfléchissant.

Tant que l'émissivité est inférieure à 0,5 la température du plafond est bien supérieure à la température de rosée.

MH 3/4 ^01/06/2012

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Considérations complémentaires

On peut évaluer la contribution des différents flux de chaleur, suivant la réflectivité du plafond

panneaux réfléchissants εP:=εref εP= 0.05 eP =0.3 m TP^:=TPf eP

(

, εP

)

^{=287.1 K}

T_P > T_pr : pas de condensation TP= 287.1 K TP= 14.0 °C×

σ×SG×FGP×εP

æ

TG⁴-TP⁴

è ö

×

ø

= -6.077×kW reçu par le plafond (échange radiatif avec la glace) σ×SM×FMP×εP

æ

TM⁴-TP⁴

è ö

×

ø

=0.181 kW× reçu par le plafond (échange radiatif avec les parois latérales)

hP SP× ^×

(

Tint TP-

)

^{=10.234 kW×} reçu par convection de l'intérieur

total net côté intérieur σ×SG×FGP×εP

æ

TG⁴-TP⁴

è ö

×

ø

σ×SM×FMP×εP

æ

TM⁴-TP⁴

è ö

×

ø

+ ⁺hP SP× ^×

(

Tint TP-

)

^{= 4.338 kW×}

TP Text- eP

λP SP× 1 hPext SP× +

4.338 kW×

= côté extérieur

panneaux peints absorbants εP:=εabs εP= 0.94 eP =0.3 m TP^:=TPf eP

(

, εP

)

^{=281.8 K}

T_P < T_pr : condensation TP= 281.8 K TP= 8.6 °C×

σ×SG×FGP×εP

æ

TG⁴-TP⁴

è ö

×

ø

= -79.725×kW reçu par le plafond (échange radiatif avec la glace) σ×SM×FMP×εP

æ

TM⁴-TP⁴

è ö

×

ø

=20.257 kW× reçu par le plafond (échange radiatif avec les parois latérales)

hP SP× ^×

(

Tint TP-

)

^{=62.586 kW×} reçu par convection de l'intérieur

total net côté intérieur σ×SG×FGP×εP

æ

TG⁴-TP⁴

è ö

×

ø

σ×SM×FMP×εP

æ

TM⁴-TP⁴

è ö

×

ø

+ ⁺hP SP× ^×

(

Tint TP-

)

^{= 3.118 kW×}

TP Text- eP

λP SP× 1 hPext SP× +

3.118 kW×

= côté extérieur

MH 4/4 ^01/06/2012