1 En vrac

IUP SID Analyse 2011-2012

Feuille d’exercices 3 : S´eries num´eriques

1 En vrac

D´eterminer la nature de la s´erie de terme g´en´eral un, lorsque un est ´egal `a : (n!)²

(2n)!, (n!)²

2ⁿ² , n²

n³+ 1, 1

(logn)ⁿ, 1

(logn)^logn, 1

log(n²+n+ 1), n²

(1 +δ)ⁿ, (|δ|<1/2) 1 + 2 +· · ·+n

1²+ 2²+· · ·+n², 1−cos(1

n), 2⁻

√n

, 1

pn(n+ 1)(n+ 2)

2 Examens des ann´ ees pr´ ec´ edentes

2.1 2010

1) Pour quelles valeurs de α > 0 la s´erie de terme g´en´eral u_n= (1 +n⁸)^−α, (n ∈ N) est-elle convergente ?

2) Montrer que les s´eries de terme g´en´eral un d´efini ci-dessous sont convergentes :

• u_n= n⁵n!

(2n)!,

• un= n⁵cos(n) sin(n) log(n)

n! ,

• u_n= n²+ 4n n⁴+ 1 .

2.2 2009

1) Pour quelles valeurs de α >0 la s´erie de terme g´en´eral u_n = (1 +n⁸)^−α4, (n∈ N) est-elle convergente ?

2) Soit ρ un r´eel donn´e. On consid`ere la suite (v_n) d´efinie par v₀ = 1 et v_n+1 =ρv_n, (n∈N).

Pour quelles valeurs deρla s´erie de terme g´en´eral (^v_n!ⁿ) est-elle convergente. D´eterminer la limite de cette s´erie lorsque ρ= 1 et ρ=−1.

3) Montrer que les s´eries associ´ees aux suites suivantes sont convergentes : 1. u_n:= cos(n²)

n² , (n >0), 2. u_n:= cos(n⁴)√

n

n! , (n >1), 3. u_n:= n⁴√

n

2ⁿ , (n >1).

3 2008

1) Pour quelles valeurs de α > 0 la s´erie de terme g´en´eral u_n= (1 +n²)^−α, (n ∈ N) est-elle convergente ?

2) Soit ρ un r´eel donn´e. On consid`ere la suite (v_n) d´efinie par v₀ = 1 et v_n+1 =ρv_n, (n∈N).

Pour quelles valeurs deρla s´erie de terme g´en´eral (v_n) est-elle convergente. D´eterminer la limite de cette s´erie lorsque ρ= 1/3.