Équations de droites Correction des exercices

(1)

Équations de droites Correction des exercices

Table des matières

Thème : vecteur directeur d'une droite...1

Ex 11 c9...1

Ex 12 c9...1

Ex 13 c9...1

Ex 16 c9...2

Ex 18 c9...3

Ex 19 c9...4

Ex 21c9...5

Ex 22 c 9...5

Ex 23 c9...5

Ex 26 c9...6

Thème : systèmes de deux équation à deux inconnues...7

Ex 39 c9...7

Ex 43 c9...8

Ex 45 c9...9

Thème : droites parallèles et droites sécantes. .9 Ex 31 c9...9

Ex 32 c9...10

Ex 33 c9...10

Ex 34 c9...10

Ex 35 c9...11

Ex 37 c9...11

Thème : vecteur directeur d'une droite Ex 11 c9

d1 : ⃗u(3;−1) d2 : ⃗u(1;−1) d3 : ⃗u(1;2)

Ex 12 c9

On donne ⃗u

(

⁻²³

)

^.

Tout vecteur non nul colinéaire à ⃗u est un vecteur directeur à d.

Exemple : 2u⃗

(

−2³

)

⁼

(

−4⁶

)

Ex 13 c9

(2)

Ex 14 c9

Soit M(x ; y) un point de la droite d et ⃗u

(

⁻¹2

)

^un

vecteur directeur de d.

Calcul des coordonnées du vecteur ⃗AM . 1. ⃗AM

(

^x^y⁻⁻^x^y^AA

)

^⃗^AM

⁽

^y⁻⁽⁻²⁾^x−6

⁾

^⃗^AM

⁽

^x−6^y⁺²

⁾

2. Les vecteurs ⃗AM et ⃗u sont colinéaires donc det(⃗AM ;⃗u)=0 .

det(⃗AM ;⃗u)=0

<=> (x−6)×2–(y+2)(−1)=0

<=> 2x−12+y+2=0

<=> 2x+y−10=0

La droite d admet pour équation cartésienne :

−x –2y2=0

Vérification (facultatif)

Pour x = 5, 2×5+y−10=0 , y=−2×5+10 , y=0 d'où le point de coordonnées (5;0).

Pour x = 6, 2×6+y−10=0 , y=−2×6+10 , y=−2 d'où le point de coordonnées (6 ; -2).

Ex 16 c9

Déterminer une équation cartésienne de chaque droite représentée ci-dessous.

Pour d1:

Soit A(-2 ; 2) et M(x ; y) deux points de la droite d1 .

⃗u

(

¹1

)

un vecteur directeur de d1.

(

^x^y^−x⁻^y^AA

)

^⃗^AM

⁽

^x−(−2)^y−²

⁾

^⃗^AM

⁽

^y−2^x⁺²

⁾

det(⃗AM ;⃗u)=0

<=> (x+2)×1–(y−2)×1=0

<=> x+2−y+2=0

<=> x−y+4=0

La droite d1 admet pour équation cartésienne : x−y+4=0

x = 0 , 0– y+4=0 , y = 4. Le point de coordonnées (0 ; 4) appartient à la droite d1.

x = -2 , −2– y+4=0 , y = 2. Le point de coordonnées (-2 ; 2) appartient à la droite d1.

Pour d2:

Soit A(0 ; 2) et M(x ; y) deux points de la droite d2 .

(3)

⃗u

(

⁵²

)

(

^x^y⁻⁻^x^y^AA

)

^⃗^AM

⁽

^x−0^y−²

⁾

^⃗^AM

⁽

^y−2^x

⁾

det(⃗AM ;⃗u)=0

<=> x×2–(y−2)×5=0

<=> 2x−5y+10=0

La droite d2 admet pour équation cartésienne : 2x−5y+10=0

x = 0 , 2×0–5y+10=0 , –5y+10=0 , y=2 . Le point de coordonnées (0 ; 2) appartient à la droite d2.

x = -5 , 2×(−5)–5y+10=0 , −10–5y+10=0 , y=2 . Le point de coordonnées (-5 ; 0) appartient à la droite d2.

Pour d3

Soit A(-5 ; 3) et M(x ; y) deux points de la droite d3 .

⃗u

(

⁻¹2

)

(

^x^y⁻⁻^x^y^AA

)

^⃗^AM

⁽

^x−(−5)^y−³

⁾

^⃗^AM

⁽

^y−^x⁺⁵³

⁾

det(⃗AM ;⃗u)=0

<=> (x+5)×2–(y−3)×(−1)=0

<=> 2x+10+y−3=0

<=> 2x+y+7=0

La droite d3 admet pour équation cartésienne : 2x+y+7=0

x = -3 , 2(−3)+y+7=0 , −6+y+7=0 , y=−1 . Le point de coordonnées (-3 ; -1) appartient à la droite d3.

x = -5 , 2(−5)+y+7=0 , −10+y+7=0 ,

y=3 . Le point de coordonnées (-5 ; 3) appartient à la droite d3.

Ex 18 c9

1. Représentation de 1

2x+y−2=0 .

Méthode 1 : on détermine les coordonnées de deux points

Si x = 0 alors 1

2×0+y−2=0 , y=2 d'où un premier point A(0;2) .

Si y = 0 alors 1

2x+0−2=0 , 1

2 x=2 , x=4 d'où un deuxième point B(4;0) .

Méthode 2 : un point et un vecteur directeur

Rappel du cours : ax + bx + c = 0 est une équation cartésienne d'une droite, ⃗u

(

⁻a^b

)

est un vecteur directeur de cette droite.

Représentation de 1

2 x+y−2=0

• Si x = 0 alors 1

2×0+y−2=0 , y=2 . Le point A(0;2) appartient à la droite d

(4)

• ⃗u

(

⁻¹¹2

)

est vecteur directeur de la droite d.

• 2u⃗

(

⁻¹¹2

)

⁼

⁽

⁻²¹

⁾

est aussi un vecteur directeur de la droite d

2. Représentation de −2 3x+1

2y−2=0 .

Méthode 1 : on détermine les coordonnées de deux points

Si x = 0 alors −2 3×0+1

2 y−2=0 , y=4 d'où un premier point A(0;4) .

Si y = 0 alors −2 3x+1

2×0−2=0 , −2

3 x=2 , x=−3 d'où un deuxième point B(−3;0) .

Méthode 2 : un point et un vecteur directeur

Rappel du cours : ax + bx + c = 0 est une équation cartésienne

d'une droite, ⃗u

(

⁻^a^b

)

est un vecteur directeur de cette droite.

Représentation de −2 3 x+1

2 y−2=0

• Si x = 0 alors −2 3×0+1

2 y−2=0 , y=4 . Le point A(0;4) appartient à la droite d'.

• ⃗u

(

⁻¹⁻²²³

)

est vecteur directeur de la droite d'.

• 6⃗u

(

⁻¹⁻²²3

)

⁼

⁽

⁻⁻³⁴

⁾

est aussi un vecteur directeur de la droite d'.

Ex 19 c9

a. 3x+y –1=0

y=−3x+1 b. 2x –2y+4=0

−2y=−2x−4 y=x+2

c. −5x+3y+1=0

3y=5x –1 y=5

3x – 1 3

(5)

Ex 21c9

La réalisation du graphique ci-dessous permet d'entrevoir les réponses.

d désigne la droite d'équation y=−2x−5 . Les points suivants appartiennent-ils à d ? 1. A(−1;7)

−2×(−1)–5=2–5=−3≠7

Les coordonnées du point A ne vérifient pas

l'équation de la droite d donc le point A n'appartient pas à la droite d.

1. B(2;−9)

−2×2–5=−4–5=−9

Les coordonnées du point B vérifient l'équation de la droite d donc le point A appartient à la droite d.

1. C

(

¹³4 ;1,5

)

^soit ^C

(

¹³4 ;3 2

)

−2×13

4 –5=−13 2 –10

2 =−23 2 ≠3

2

Les coordonnées du point C ne vérifient pas

l'équation de la droite d donc le point C n'appartient

pas à la droite d.

Ex 22 c 9

1.

2.

Ex 23 c9

Déterminer le coefficient de chacune des droites d₁ et d₂.

(6)

Droite d₁ :

Méthode 1 :

Soit A(-1 ; 1) et B(3 ; -1) m=y_B−y_A

x_B−x_A= −1−1 3−(−1)=−2

4=−1 2

Méthode 2 :

m=Δy Δx=−2

4=−1 2

Droite d₂ :

Méthode 1 :

Soit A(1 ; -2) et B(4 ; 2) m=y_B−y_A

x_B−x_A=2−(−2) 4−1 =4

3

Méthode 2 :

m=Δy Δx=4

3

Ex 26 c9

1. Tracer la droite d soit (AB).

2. Coefficient directeur de la droite d.

Soit A(2 ; 1) et B(7;3) m=y_B−y_A

x_B−x_A=3−1 7−2=2

5

3. Calculer l'ordonnée à l'origine.

A(2 ; 1) appartient à la droite d donc ses coordonnées vérifient l'équation de la droite d.

(d) : y = mx + p A∈d donc

y_A=m×x_A+p <=> 1=2 3×2+p

<=> 1=4 3+p

<=> p=−4 3

Donc l'ordonnée à l'origine de d est : p=−4 3 4. Donc l'équation de d est : y=2

3x+−4 3 . 5. Le point C(100 ; 40) appartient-il à la droite d ?

2

3×100−4 3=196

3 ≠40

Les coordonnées de C ne vérifient pas l'équation de d donc le point C n'appartient pas à d.

(7)

Thème : systèmes de deux équation à deux inconnues

Ex 39 c9

On donne le système

{

²²^x^x−3⁺⁷y=11 (^{y=1 (}^E1)E2) 1. Le couple (-2 ; 1) est-il solution du système ? E1 : 2(−2)–3×1=−4–3=−7≠1

E2 : 2(−2)+7×1=−4+7=3≠11

Le couple ne vérifie pas les deux équations donc le couple n'est pas solution du système.

2. Le couple (2 ; 1) est-il solution du système ? E1 : 2×2–3×1=4–3=1

E2 : 2×2+7×1=4+7=11

Le couple vérifie les deux équations donc le couple est solution du système.

(8)

Ex 43 c9 1.

{

⁻¹³^x+^x=^y^y⁼⁺¹²²

<=>

{

⁻¹³^x^x+⁻^y^{y=2 (}⁼¹²⁽^E^E1)²⁾

<=>

{

⁻¹³^x^x+⁻^y^{y=2 (}⁼¹²⁽^E^E1)²⁾

(E1) + (E2) : 1

3 x+(– x)−y+y=2+1 2

<=> 1

3 x−3x 3 =4

2+1 2

<=> −2 3x=5

2

<=>

<=> x=5 2(−3

2)

<=> x=−15 4

(E2) : −

(

⁻¹⁵4

)

⁺^y=¹2

<=> y=1 2–15

4

<=> y=2 4 –15

4

<=> y=−13 4

S=

{ ⁽

⁻¹⁵⁴ ^;−¹³⁴

⁾ }

2.

{

^a−⁵²^a+b=1¹³^b=−2

<=>

{

²⁵a+b=1 (E1) 3a−b=−6 (E2) (E1) + (E2) : 2

5a+3a+b – b=1+(−6)

<=> 2 5a+15

5 a=−5

<=> 17

5 a=−5 <=> a=−5×5

17

<=> a=−25 17

(E1) : 2 5(−25

17)+b=1

<=> −10 17+b=1

<=> b=1+10 17

<=> b=27 17

S=

{ ⁽

⁻²⁵¹⁷^;²⁷¹⁷

⁾ }

(9)

Ex 45 c9

1.

{

²³^x^x+⁺²^y=112^y=94

2.

{

³^x+y=112 (E0) 2x+2y=94

<=>

{

⁶^x⁺²y=224 (E1) 2x+2y=94 (E2)

(E1) - (E2) : 6x –2x+2y –2y=224−94

<=> 4x=130

<=> x=65 2

<=> x=32,5

(E2) : 2(65

2 )+2y=94

<=> 65+2y=94

<=> y=29 2

<=> y=14,5

S=

{

(32,5;14,5)

}

3. Conclusion :

Le prix d'un repas adulte est de 32,5 €.

Le prix d'un repas adulte est de 14,5 €.

Thème : droites parallèles et droites sécantes

Ex 31 c9

1. Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ? Coefficient directeur de la droite (AB).

m_AB=y_B−y_A

x_B−x_A= 4−1 5−(−3)=3

8 Coefficient directeur de la droite (CD).

m_CD=y_D−y_C

x_D−x_C=−1−(−2) 5−2 =1

3

Conclusion :

m_AB≠m_CD donc les droites (AB) et (CD) sont sécantes

2. Les droites (AC) et (BD) sont-elles sécantes ?

Droite (AC) : x_A≠x_C .

Les points A et C n'ont pas la même abscisse, donc la droite (AC) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.

Droite (BD) : x_B=x_D=5

Les points B et D ont la même abscisse, donc la droite (BD) est parallèle à l'axe des ordonnées.

Donc les droites (AC) et (BD) sont sécantes.

(10)

Ex 32 c9

d₁ : y=4 d₂ : y=−x+1 d₃ : x=2 d₄ : y=2x+3 d₅ : y=−28 d₆ : y=2x

• d₁ est parallèle à l'axe des abscisses, d₅ est parallèle à l'axe des abscisses, donc d₁ et d₅ sont parallèles.

• m_d₄=m_d₆=2 , les droites d₄ et d₆ ont le coefficient directeur donc d₄ et d₆ sont parallèle.

Ex 33 c9

Positions relatives des droites : a. (EF) et (GH)

m_EF=y_F−y_E

x_F−x_E=(−2)−5 5−(−1)=−7

6 m_GH=y_H−y_G

x_H−x_G= 4−2 5−(−1)=2

6=1 3

m_EF≠m_GH donc les droites (EF) et (GH) sont sécantes.

b. (EG) et (FH)

x_E=x_G=−1 donc la droite (EG) est parallèle à la droite des ordonnées.

x_H=x_F=5 donc la droite (HF) est parallèle à la droite des ordonnées.

Donc les droites (EG) et (HF) sont parallèles.

Ex 34 c9

A (-2 ; 3), B(-3 ; -1) et C(2 ; 1)

1. Déterminer une équation de la droite parallèle à (AB) passant par C.

1.a On cherche l'équation de la droite (AB) m_AB=y_B−y_A

x_B−x_A= −1−3

−3−(−2)=−4

−1=4 A∈(AB) donc y_A=m x_A+p

<=> 3=4×(−2)+p

<=> 3=−8+p

<=> p=11 donc

(AB) : y = 4 x + 11

1.a On cherche l'équation de la droite d passant par C.

La droite d passant par C parallèle a (AB) a le même

(11)

coefficient directeur m = 4.

C∈d donc y_C=m x_C+p

<=> 1=4×2+p

<=> 1=8+p

<=> p=−7 donc

d : y = 4 x -7

1. Déterminer une équation de la droite parallèle à (AC) passant par B.

1.a On cherche l'équation de la droite (AC) m_AC=y_C−y_A

x_C−x_A= 1−3

2−(−2)=−2 4 =−1

2 A∈(AC) donc y_A=m_ACx_A+p

<=> 3=−1

2 ×(−2)+p

<=> 3=1+p

<=> p=2 donc

(AC) : y=−1 2x+2

1.a On cherche l'équation de la droite d' passant par B.

La droite d' passant par B parallèle a (AC) a le même coefficient directeur m_AC=−1

2 . C∈d donc y_B=m_ACx_B+p

<=> −1=−1

2 ×(−3)+p

<=> −1=3 2+p

<=> p=−1−3 2

<=> p=−5 2 donc

d : y=−1 2x−5

2

Ex 35 c9 d : y = -5x – 11 d' : y = 2x + 10

Le point d'intersection des droites d et d' est solution du système suivant :

{

^y=−5^y⁼²^x^{x –}⁺¹⁰¹¹

<=> −5x−11=2x+10

<=> −5x−2x=11+10

<=> −7x=21

<=> x=−21 7

<=> x=−3

On utilise l'équation y = 2x + 10 pour calculer y.

y=2×(−3)+10=4 donc S={(−3;4)}

donc le point d'intersection a pour coordonnées (−3;4)

Ex 37 c9

R(7 ; -2) S(-5 ; 4) T(11 ; -4) mRS=y_S−y_R

x_S−x_R=4−(−2)

−5−7 = 6

(−12)=−1 2 mRT=y_T−y_R

x_T−x_R=−4−(−2) 11−7 =−2

4 =−1 2 m_RS=m_RT donc les droites (RS) et (RT) sont parallèles, R est commun aux deux droites donc les droites (RS) et (RT) sont confondues, donc les points R, S et T sont alignés.