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Franck Luthon

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www.iutbayonne.univ-pau.fr/

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luthon/aut o0.pdf 1

1.2.2.1 Bou le ouverte . . . 12

1.2.2.2 Bou le fermée . . . 12

1.2.3 Deux aspe ts du problème . . . 12

1.2.3.1 Asservissement . . . 12

1.2.3.2 Régulation . . . 12

1.2.3.3 Résumé . . . 13

1.2.4 Performan es des systèmes asservis . . . 13

1.2.4.1 Stabilité . . . 13

1.2.4.2 Pré ision . . . 13

1.2.4.3 Rapidité . . . 13

1.2.5 Nature du système à régler etde la ommande . . . 14

1.3 Modélisationet identi ation . . . 15

1.3.1 Modélisation . . . 15

1.3.1.1 Modèle linéaire . . . 15

1.3.1.2 Exemple . . . 15

1.3.1.3 Modélisationde labou leouverte etde labou le fermée . . . . 16

1.3.2 Identi ation . . . 17

1.3.2.1 Obje tifs . . . 17

1.3.2.2 Méthode de Strej . . . 18

1.3.2.2.1 Rappelsurlanotiondepointd'inexiond'unefon tion

y(t)

. . . 19

1.3.2.2.2 Détermination des paramètresdu modèle. . . 19

1.3.2.2.3 Exemple . . . 19

1.3.2.3 Méthode de Ziegler-Ni hols . . . 19

1.3.2.3.1 Exemple . . . 19

1.3.2.4 Méthode de Broïda . . . 20

1.4 Stabilité . . . 20

1.4.1 Condition générale de stabilité. . . 20

1.4.1.1 Cas général . . . 20

1.4.1.1.1 Dénition . . . 20

1.4.1.1.2 Condition mathématique . . . 21

1.4.1.2 Cas du système bou lé . . . 21

1.4.2 Critèrealgébrique de Routh-Hurwitz . . . 21

1.4.2.1 Exemple . . . 22

1.4.3 Critèrede stabilitéde Nyquist . . . 22 1.4.3.1 Théorème de Nyquist . . . 23 1.4.3.2 Critèredu revers . . . 23 1.4.4 Critèred'os illation . . . 23 1.4.5 Marge de stabilité . . . 24 1.4.5.1 Dénitions . . . 24 1.4.5.2 Signi ationphysique . . . 24

1.4.5.3 Marge absolue de stabilité . . . 24

1.4.6 Détermination graphiquede la stabilitéà partir de la FTBO . . . 24

1.4.6.1 Critèrede stabilité . . . 24

1.4.6.2 Marges de stabilité . . . 25

2 Réglage des Corre teurs 27 2.1 Performan es . . . 27

2.1.1 Introdu tion . . . 27

2.1.2 Réje tion des perturbations par régulation . . . 28

2.1.2.1 Hypothèses . . . 28

2.1.2.2 Obje tif . . . 28

2.1.2.3 Lesdiérents as . . . 28

2.1.2.4 Con lusion . . . 28

2.1.3 Pré isiondes asservissements . . . 29

2.1.3.1 Cal ulde l'erreur . . . 29 2.1.3.2 Hypothèse . . . 29 2.1.3.3 Obje tif . . . 29 2.1.3.4 Diérents as . . . 29 2.1.3.5 Con lusion . . . 30 2.1.4 Critères de Rapidité . . . 30 2.1.4.1 Temps de réponse . . . 30 2.1.4.2 Bande passante . . . 30 2.1.5 Con lusion. . . 31

2.2 Le orre teur PID analogique . . . 31

2.2.1 La orre tion des systèmes asservis . . . 31

2.2.2 Corre teur proportionnelP . . . 31

2.2.2.1 Dénition . . . 31

2.2.2.2 A tion sur lesystème. . . 32

2.2.3 Corre teur proportionnelintégralPI . . . 32

2.2.3.1 Dénition . . . 32

2.2.3.2 A tion sur lesystème. . . 32

2.2.4 Corre teur proportionneldérivé PD . . . 33

2.2.4.1 Dénition . . . 33

2.2.4.2 A tion sur lesystème. . . 33

2.2.5 Corre teur proportionnelintégraldérivé PID . . . 33

2.2.5.1 Dénition . . . 33

2.2.5.2 A tion sur lesystème. . . 33

2.2.6 Stru ture de quelques orre teurs . . . 33

2.2.6.1 Avan e de phase . . . 34

2.2.6.2 Retard de phase . . . 35

2.3 Méthodes de réglage des PID . . . 35

2.3.1 Réglageexpérimental . . . 35

2.3.1.1 Premierréglage : a tionproportionnelle P . . . 35

2.3.5.1 Exemple 1. . . 39

2.3.5.2 Exemple 2. . . 39

2.3.6 Con lusion. . . 40

2.4 Régulationanalogiquepilotée par ordinateur . . . 40

II TD - Exer i es 43 3 TD AUTO1 45 3.1 TD Aa1Transformation de s héma . . . 45

3.1.1 Exer i e 1 . . . 45

3.1.2 Exer i e 2 . . . 45

3.1.3 Os illateur HF . . . 45

3.2 TD Aa2Eet du rebou lageunitaire . . . 46

3.2.1 Inuen e sur laBP . . . 46

3.2.2 Inuen e sur letemps de réponse . . . 46

3.3 TD Aa3Etude de système du premierordre . . . 46

3.4 TD Aa4Stabilité . . . 47

3.4.1 Critèrede Routh . . . 47

3.4.2 Lieu de Nyquist . . . 47

3.5 TD Aa5Corre teur mé anique à avan ede phase . . . 47

3.6 TD Aa6Abaque de Bla k . . . 49

3.7 TD Aa7Os illateur . . . 49

3.7.1 Interrupteur ouvert . . . 49

3.7.2 Interrupteur fermé . . . 49

4 TD AUTO2 51 4.1 TD Ab1Asservissement de la position d'un arbre moteur . . . 51

4.2 TD Ab2Moteur à ourant ontinu . . . 52

4.2.1 Etude du moteur . . . 52

4.2.2 Etude de la bou le ouverte orrigée . . . 52

4.2.3 Etude de la bou le fermée . . . 52

4.3 TD Ab3Abaque de Bla k . . . 53

4.3.1 Marges de gain et phase . . . 53

4.3.2 Réglagede gain . . . 53

4.4 TD Ab4MSTAL No7 . . . 54

4.5 TD Ab5Corre teurs de phase . . . 54

4.5.1 Corre teur àavan e de phase . . . 54

4.5.2 Corre teur àretard de phase . . . 55

4.6 TD Ab6Corre tion ta hymétrique. . . 55

4.6.1 Système non orrigé . . . 55

4.6.2 Système ave orre tion . . . 56

4.6.2.2 Corre tion ta hymétrique ltrée . . . 56

4.7 TD Ab7Corre teurs PI et PD . . . 57

4.7.1 Corre teur PI . . . 57

4.7.2 Corre teur PD . . . 57

4.7.2.1 Lieu de Ni hols . . . 57

4.7.2.2 Corre teur PD (ProportionnelDérivé) . . . 58

4.8 TD Ab9Réglage d'un PID . . . 58

4.9 Contrle AUTOa 7/12/2011 (2h) . . . 59 4.10 Contrle AUTOb 24/1/2012 (2h) . . . 60 4.11 Contrle AUTOa 5/12/2012 (2h) . . . 62 4.12 Contrle AUTOb 21/1/2013 (2h) . . . 65 4.13 Contrle AUTOa 2/12/2013 (2h) . . . 67 4.14 Contrle AUTOb 20/1/2014 (2h) . . . 68 4.15 Contrle AUTO1 28/11/2014 (2h) . . . 70 4.16 Contrle AUTO2 19/1/2015 (2h) . . . 72 4.17 Contrle AUTO1 30/11/2015 (2h) . . . 75 4.18 Contrle AUTO2 12/1/2016 (2h) . . . 76 4.19 Contrle AUTO1 09/12/2016 (2h) . . . 77 4.20 Contrle AUTO2 18/01/2017 (2h) . . . 80 4.21 Contrle AUTO1 05/12/2017 (2h) . . . 82 4.22 Contrle AUTO2 17/01/2018 (2h) . . . 85 III TP - Pratique 87 5 TP Aa1 Système du 2nd ordre. Etude harmonique et indi ielle 89 5.1 But de la manipulation . . . 89

5.2 Cours àrevoir . . . 89

5.3 Rappelsthéoriques . . . 89

5.3.1 Fon tionde transfert . . . 89

5.3.2 Réponse indi ielle . . . 90

5.3.2.1 Régime apériodique : as

ζ > 1

. . . 91

5.3.2.2 Régime ritique:

ζ = 1

. . . 91

5.3.2.3 Régime pseudo-périodique : as

ζ < 1

. . . 91

5.3.2.3.1 Remarques pratiques : . . . 92

5.3.3 Temps de réponse d'un ir uit du se ond ordre . . . 93

5.3.3.1 Réponse à une entrée en é helon . . . 93

5.3.3.2 Réponse à une impulsionde Dira . . . 93

5.3.3.3 Réponse à une rampe . . . 94

5.3.4 Réponse harmonique . . . 94 5.3.4.1 Représentations graphiques . . . 95 5.3.4.1.1 Diagramme de Bode : . . . 95 5.3.4.1.2 Représentation de Nyquist : . . . 95 5.3.4.1.3 Diagramme de Ni hols-Bla k : . . . 95 5.3.5 Cara téristiques fréquentielles . . . 95 5.3.5.1 Fréquen es de oupure . . . 95

5.3.5.2 Bande passante, largeur de bande . . . 96

5.3.5.3 Diérents types de pulsations . . . 96

5.4 Préparation . . . 97

5.5 Manipulation . . . 97

5.5.2.3 Régime apériodique . . . 99

5.5.3 Con lusion. . . 99

6 TP Aa2 Identi ation 101 7 TP Aa3 Asservissement analogique de position - Etude en bou le ouverte 103 7.1 But de la manipulation . . . 103

7.2 Présentation du matériel . . . 103

7.2.1 Stru ture de la haîne asservie . . . 104

7.2.2 Des riptionde laplatine AP . . . 104

7.3 Manipulation . . . 106

7.3.1 Etude qualitativedu système en bou le fermée . . . 106

7.3.2 Etude en bou leouverte de l'ensemble Ampli-Moteur-Capteurde position107 7.3.2.1 Capteur de position . . . 107

7.3.2.2 Ensemble Ampli ateur-Moteur . . . 108

7.3.2.2.1 Détermination de la onstante de temps

T

m

. . . 108

7.3.2.2.2 Détermination du gain

K

m

. . . 109

7.4 Annexes . . . 110

7.4.1 Annexe 1 : Méthode de mesure en XY ou méthode de Lissajous . . . 110

7.4.2 Proto ole de Mesure de lapulsationde oupure

ω

c

. . . 111

7.4.3 Mesure du gain

K

m

. . . 111

7.4.4 Expression de laFTBF

H(p)

onnaissant la FTBO

G(p)

. . . 112

8 TP Aa3(suite) Asservissement de position - Etude en bou le fermée 113 8.1 But de la manipulation . . . 113

8.2 Présentation de la platine d'étude . . . 113

8.3 Manipulation . . . 113

8.3.1 Etude en régime indi iel . . . 113

8.3.1.1 Etude qualitative . . . 113

8.3.1.2 Etude du régime pseudo-os illatoire. . . 115

8.3.2 Etude en régime harmonique . . . 115

8.3.2.1 Remarque . . . 115

8.3.2.2 Inuen e de lagénératri e ta hymétrique . . . 115

8.3.2.3 Expérien e inverse . . . 115

8.3.3 Synthèse de orre teur . . . 116

9 TP Ab0 Synthèse fréquentielle des asservissements. Etude des orre teurs en as ade 117 9.1 But de lamanipulation . . . 117

9.2 Corre tionpar a tionpure . . . 118

9.2.1 Corre tion par a tion proportionnelle P . . . 118

9.2.2 Corre tion par a tion proportionnelle etintégraleI . . . 118

9.3 Corre tionpar a tionappro hée . . . 120

10 TP Ab1 Régulation de vitesse 123 10.1 Présentation du matériel . . . 123

10.2 Bou le ouverte . . . 124

10.3 Bou le fermée non orrigée . . . 124

10.4 Bou le fermée orrigée . . . 124

11 TP Ab2 Régulation de position 127 11.1 Présentation du matériel . . . 127

11.2 Bou le ouverte . . . 127

11.3 Bou le fermée non orrigée . . . 128

11.4 Bou le fermée orrigée . . . 128

12 TP Ab3 Régulation de puissan e 131 12.1 Présentation . . . 131

12.1.1 Obje tifs du TP . . . 131

12.1.2 Liste des équipements . . . 132

12.1.3 Câblage . . . 132

12.1.4 Logi iel . . . 132

12.1.5 Conguration du système . . . 132

12.2 Cara térisation du système en bou le ouverte . . . 132

12.2.1 Réponse à un é helon onstant. . . 132

12.2.2 Exploitationdes résultats . . . 134

12.3 Bou le fermée . . . 134

12.3.1 Réponse à un é helon onstant. . . 135

12.3.2 Bou le fermée non orrigée . . . 135

12.3.3 Bou le fermée orrigée . . . 135

12.4 Con lusion . . . 136

IV ANNEXE TECHNIQUE 137 13 ANNEXES 139 13.1 Annexe 1 :CourbesCanoniques du 2eme Ordre . . . 139

13.2 Annexe 2 :Abaques pour le al ul du orre teur àavan e de phase . . . 141

13.3 Annexe 3 :Noti e d'utilisationdu programme Bla k dans Matlab . . . 142

13.4 Annexe 4 :Listing du  hier Matlab bla k.m . . . 143

porte spé iquement sur les systèmes mé aniques et éle triques onçus par l'homme [1℄, mais

elle est beau oup plus générale puisqu'elle on erne aussi bien les systèmes biologiques et du

vivant, les systèmes so io-é onomiques, les systèmes d'information et . Les notions de

régu-lation, de système bou lé, de ompromis stabilité/pré ision/vitesse, de modélisation linéaire,

d'identi ation, de orre teurs que l'on y aborde ont un niveau de généri ité qui dépasse

lar-gement l'automatique analogique ounumérique, et s'appliquent dans beau oup de s ien es de

l'ingénieur oude s ien es humaines.

1.2 Position du problème et dénitions

1.2.1 Problème

L'obje tifdel'Automatiqueestd'asservirunegrandeuràuneautre, 'est-à-diredexerune

grandeur en agissant sur une autre [2℄. Le pro essus (ou pro édé) est le système à régler

(Fig. 1.1).

Processus

u

y

Figure 1.1 Système en bou le ouverte

Ex : uve où l'on veut régler le niveau d'eau, piè e dont on veut hoisir la température,

moteurdont onveut ommander lavitesse.

u

est lagrandeur de ommande,

y

est lagrandeur réglée quel'on vaobserver :on va régler

y

en agissant sur l'entrée

u

. Exemples :

 Système ABS de freinage : le pro essus est la voiture, la grandeur de ommande est la

position de la pédale de frein etla grandeur ommandéeest lavitesse de la roue.

 Niveaudans une uve:lepro essusest la uve, lagrandeur de ommandeest l'ouverture

de la vanne et lagrandeur ommandée est le niveau de liquide.

1.2.2 Stru tures de résolution

1.2.2.1 Bou le ouverte

Lesystème,telquedé ritFig.1.1,est diten bou leouverte ar onne vériepas que

y

suive ee tivement les variations de

u

, il n'y a pas de ontrle ni de rétroa tion (la valeur de

u

ne dépend pas de la valeur de

y

observée, mais seulement de e que l'on suppose a priori qu'elle va être).

1.2.2.2 Bou le fermée

Pour avoir un système plus pré is où l'on veut être sûr du résultat obtenu, on utilise une

bou le fermée, ou réa tion de la sortie sur l'entrée (rétroa tion f. Fig. 1.2.a) : on élabore le

signal de ommande

u

à partir de la grandeur réglée

y

obtenue en sortie du système et d'un signal

y

c

dit onsigne représentant lavaleur désirée de

y

.

Processus

u

y

Commande

y

_c

a) b)

Figure 1.2 a)Bou le fermée (rétroa tion); b)Prin ipede la partie ommande

Laplupartdutemps,pourélaborerlesignalde ommande,on al ulel'erreur(Fig.1.2.b),

é art entre la onsigne et lesignal obtenu :

ε = y

c

− y

.

Le systèmeélaborantla ommande

u

à partirde l'erreur

ε

est appelé orre teur ou régu-lateur. L'obje tif est que la sortie

y

soit égale à la onsigne

y

c

don que :

ε = y

c

− y = 0

. La relationliant

u

à

ε

est appelée loi de ommande :

u = f (ε)

.

1.2.3 Deux aspe ts du problème

1.2.3.1 Asservissement

Lorsque la onsigne varie et que l'on veut que

y

suive ses variations, on parle de la réalisationd'unasservissement. L'obje tifest toujours que:

ε = y

c

− y = 0

,mais e i alorsque

y

c

varie.

Ex : une uve dont onveut augmenter leniveau don on augmentele débit

u

.

1.2.3.2 Régulation

Pour une onsigne xée (

y

c

onstante), on onsidère que le système subit des

pertur-bations : e sont des éléments qui agissent sur la sortie indépendamment de la ommande

(bruit, variation du milieu ambiant). Enbou le fermée, pour une onsigne xe,si l'on obtient

ε = y

c

− y = 0

malgré lesperturbations, onparle de régulation.

 Bou le ouverte (BO): f. Fig. 1.3.a

Ex : une uve ave une fuite qui s'agrandit don le niveau

y

des end malgré un débit de remplissage

u

onstant.

 Bou le fermée (BF) : f. Fig. 1.3.b

Ex : une uve ave une fuite qui s'agrandit don le niveau

y

des end don

ε

augmente don ledébit

u

augmente( asoù

u = f (ε)

estunefon tion roissante)etleniveaudevient stable.

Figure 1.3 a)BO perturbée; b)BF perturbée et orrigée.

1.2.3.3 Résumé

Dans le as d'unasservissement,on négligel'eet des perturbationsmais la onsigne varie.

Dans le as d'une régulation,la onsigne est xemais il y a des perturbations.

Dans les deux as, l'obje tif est toujours que:

ε = y

c

− y = 0

.

Dans lapratique,on her he à atteindre et obje tiflorsque la onsigne varie etmalgrédes

perturbations.Pour ela, on hoisiraun régulateurou orre teurapproprié dontlebutest de

rempla er la surveillan ehumaine etde rendrele système asservi susamment performant.

1.2.4 Performan es des systèmes asservis

Il y atrois ritères de performan e (Fig.1.4) :

Figure1.4 Trianglesdes performan es.

1.2.4.1 Stabilité

Lesystèmeest stablesi,pourune entrée onstante, lasortiedu systèmetendversune autre

onstante.

1.2.4.2 Pré ision

Le système est pré is si lasortie suit l'entrée.

1.2.4.3 Rapidité

1.2.5 Nature du système à régler et de la ommande

Nous onsidérerons uniquement des systèmes monovariables, 'est-à-dire à une entrée et

une sortie. Le système peut être :

 analogique :lesgrandeurs lerégissantsont fon tionde lavariable temps ontinu

t

don la représentation par la transformée de Lapla e

H(p)

est possible.

 numérique : lesgrandeurs lerégissant sont fon tionde la variabletemps dis ret

k

don la représentation se faitpar latransformée en

Z

, notée

H(z)

.

Pour un système analogique,la ommande peut être :

 analogique(Fig.1.5) : les orre teurs seront analogiques(p. ex. ir uits éle troniques,en

parti ulier àbase d'AOP)

processus

modélisé en

analogique

Processus

y

perturbations

Transducteur: transforme y

en une tension

Correcteur:

circuit à AOP

y

_c

_e

+

-consigne sous la

forme d'une tension

amplification,

adaptation

u

commande analogique

Figure 1.5 Commandeanalogique

Remarque:l'étaged'ampli ationetd'adaptationainsi queletransdu teur sont souvent

modélisés ommefaisant partie du pro essus.

 numérique : le pro édé est traité par un système numérique (CAN, PC, CNA). L'étude

sera alors :

 soitanalogique: àpartir de

H(p)

, lesrésultatssontadaptés aunumérique(passage de

H(p)

à

H(z)

omme pour le ltrage numérique). On parle de ommande analogique

par ordinateur par dis rétisationde laloide ommande (Fig.1.6).

CAN

Processus

u

y

y

_c

+

e

-perturbations

PC

CNA

correcteur analogique

par ordinateur

processus modélisé en

analogique

Figure 1.6 Dis rétisation de la loide ommande

La onsigne peutêtreunedonnée du PCetdans e as, le al ulde l'erreursefaitdans

lePC (Fig. 1.7).

 soitnumérique (Fig. 1.8) : on dénit dire tement

H(z)

et on pourra utiliser des

Figure1.7 Cal ul d'erreur dans le PC

CAN

Processus

u

y

_c

perturbations

PC

CNA

commande numérique

processus modélisé en

_numérique

y(k)

Figure1.8 Commande numérique

1.3 Modélisation et identi ation

1.3.1 Modélisation

Pour déterminer la loi de ommande et le type de orre teur, on a besoin de modéliser

le pro essus. On établit un modèle mathématique 'est-à-dire une loi hoisie pour prédire au

mieux le omportementdu système dans un ertain domainede validité. En eetle lienentre

u

et

y

est souvent ompliqué, don on hoisit de le représenter par une relation qui ne sera valable que dans un domainerestreint.

Larelationentre

u

et

y

esttrèssouvent uneéquationdiérentiellelinéairereprésentablepar une fon tionde transferten transformée deLapla e. Celle- iaunordre élevémais en première

approximation, onse ramèneà un ordre plus bas, voire à un premier ordre.

1.3.1.1 Modèle linéaire

Si par naturelesystème n'est pas géré par une équationdiérentielle linéaire,onpeut

sou-vent lelinéariser : proposer un modèle linéaire,une équation diérentielle linéairetraduisant

son évolution lorsque l'on restedans un domainede validitéautour d'unpointde repos.On se

limitera à l'étudedes pro essus linéaires ou linéarisés autour d'un point de repos. Ils

se traduisent don par une équation diérentielle linéaire.Les modèles obtenus seront du

premierordre, du se ondordre, oudes produits des deux.

1.3.1.2 Exemple

La vitesse

y

d'un moteur en fon tion de la tension

u

à ses bornes n'est pas linéaire mais, autourdesavaleurnominale

y

0

(vitessepourlaquellelemoteuraété onstruit),onpeutdénir un petit domaineen tension eten vitesse où son omportement reste linéaire(Fig. 1.9).

Figure1.9 Linéarisation autourd'un pointde repos.

On ne va plus étudier la vitesse absolue

y

mais la vitesse relative (petites variations) par rapportaupointde repos

y

0

,don ondénit

Y = y − y

0

et

X = u − u

0

.Onétudiera lesystème Fig. 1.10.

Processus

X

Y

Figure 1.10 Système autour du point de repos.

La réponse indi iellesera don la réponse à un é helon sur

X

entre 0 et 1 don le passage de la tensionde

u

0

à

u

0

+ 1

.

1.3.1.3 Modélisation de la bou le ouverte et de la bou le fermée

 On suppose quelabou lefermée (Fig.1.11.a)est modéliséeparune fon tionde transfert

H(p) =

Y (p)

Y

c

(p)

.

Figure 1.11 a) Bou le fermée

H(p)

;b) Bou le ouverte

G(p)

Lorsque le retour est supprimé (Fig. 1.11.b), on suppose que la bou le ouverte a une

fon tion de transfert :

G(p) =

Y (p)

E(p)

.

où

E(p)

est la transformée de Lapla e de l'entrée du orre teur

ε(t)

.

On her he àexprimerlafon tiondetransfertenbou lefermée(FTBF

H(p)

)enfon tion de la fon tion de transfert en bou le ouverte (FTBO

G(p)

), Fig.1.12.

Figure1.12  Retour unitaire

d'où :

Y (p) [1 + G(p)] = G(p)Y

c

(p)

,et nalement:

H(p) =

G(p)

1 + G(p)

Lorsque le dénominateur de

G(p)

est un polynme d'ordre

n

, on parle de système

d'ordre

n

.

 On prend parfois/souvent en omptela fon tion de transfert liéeau transdu teur et aux

interfa es (Fig. 1.5) qui setraduit par un retour non unitaire

B(p)

(Fig.1.13).

H(p)

y

y

_c

+

e

-

A(p)

B(p)

Figure 1.13  Retournon unitaire

B(p)

On a alors :

Y (p) = A(p).E(p)

, or:

E(p) = Y

c

(p) − B(p).Y (p)

don :

Y (p) = A(p) [Y

c

(p) − B(p).Y (p)] ⇒ Y (p) [1 + A(p).B(p)] = A(p).Y

c

(p)

, et nale-ment:

H(p) =

A(p)

1 + A(p)B(p)

(1.1)

Lorsque

B(p) = 1

, onparle de bou le àretour unitaire.

A(p)B(p) = G(p)

est alors lafon tion de transfert en bou le ouverte.

A(p)

est lafon tion de transfertde la haîne dire te.

1.3.2 Identi ation

1.3.2.1 Obje tifs

Le but de l'automatique est que lasortie

y

suive la onsigne

y

c

, don de maintenir dans la mesuredu possiblel'égalité:

y = y

c

.Pour ela,onvaétudierquelles propriétésmathématiques doit posséder la fon tion de transfert

H(p)

du système nal, dit système orrigé, pour que la sortie suive lemieux possible la onsigne malgré lesperturbations. On en déduira les

ara té-ristiques de la fon tion de transfert en bou le ouverte

G(p)

. La haîne dire te de la Fig. 1.14 a pour transfert :

G(p) = C(p).P r(p)

, don si l'on sait quelles propriétés mathématiques doit avoir

G(p)

,onpourradénirlafon tiondetransfert

C(p)

du orre teur onnaissantlafon tion de transfert

P

r

(p)

du pro essus.

H(p)

y

y

_c

+

e

-Correcteur

C(p)

Processus

Pr(p)

u

G(p)

Figure1.14  Système àidentier.

L'identi ation a pour but de trouver la fon tion de transfert

P r(p)

(stru ture et oe- ients)etdon lemodèlemathématiquequireprésenterale omportementdu pro essusande

prédire elui- ietdon dedéterminerle orre teurquiassureral'asservissementetlarégulation

du système.

1.3.2.2 Méthode de Strej

Cette méthode est utilisablesi le pro essus a une réponse indi iellesans dépassement.

Le modèle proposé est le suivant:

P

r

(p) =

Y (p)

U(p)

=

K.e

−θp

(1 + τ.p)

n

L'ordredusystème

n

etles oe ientsdelafon tiondetransfert(

K, θ

et

τ

)sontdéterminés àpartirdelaréponseindi ielleetenparti ulieràpartirdeladéterminationdupointd'inexion

I

de ette réponse (Fig. 1.15).

T

a

réel

n

rapport dans leTab. 1.1 ou lavaleur immédiatement inférieurenotée



T

u

T

a



tableau

.

Table 1.1 Tableau de Strej

n

T

u

/T

a

T

u

/τ

T

a

/τ

1 0 0 1 2 0.104 0.282 2.718 3 0.218 0.805 3.695 4 0.319 1.425 4.463 5 0.410 2.100 5.119 6 0.493 2.811 5.699 7 0.570 3.549 6.226 8 0.642 4.307 6.711 9 0.709 5.081 7.164 10 0.773 5.869 7.590

L'ordre

n

étant déterminé,la onstantede temps

τ

sedéduitdes olonnes No.3 ou4 de la ligne.

Le retard pur

θ

est donnépar :

θ = ∆.T

a

ave

∆ =



T

u

T

a



réel

−



T

u

T

a



tableau

≥ 0

. Legainstatique

K

estdonnépar:

K =

∆S

∆E

où

∆S

estlavaleuratteinteenrégimepermanent pour un é helon d'amplitude

∆E

en entrée.

1.3.2.2.3 Exemple Si l'on a :

T

u

/T

a

= 0.5

;

T

b

= 10

−2

_s

;

∆S = 8

;

∆E = 4

.

⇒ n = 6

;

τ = 1, 17.10

−3

;

θ = 4.6.10

−5

;

K = 2

. D'où la fon tionde transfert :

P

r

(p) =

2.e

−4,6.10

−5

p

(1 + 1, 17.10

−3

_p)

6

( ar :

T

u

= 3, 3.10

−3

;

T

a

= 6, 6.10

−3

et

∆ = 0, 007

). 1.3.2.3 Méthode de Ziegler-Ni hols

On approxime le système par un premierordre de onstante de temps

τ = T

a

asso iéà un retard pur de valeur

θ = T

u

(voirFig. 1.15) ave un gain statique :

K =

∆S

∆E

La transmittan edu modèle est alors :

P

r

(p) =

K.e

−Tu.p

1+T

a

.p

1.3.2.3.1 Exemple Dansle asde l'exemplepré édent(Ÿ1.3.2.2.3)lafon tionde transfert

vaut :

P

r

(p) =

2.e

−0,33.10

−2

p

1.3.2.4 Méthode de Broïda

On approxime le système par un premier ordre asso ié à un retard pur, mais on impose à

la réponse de passer par deux points tels que la sortie prend les valeurs :

S

1

= 0.28S

max

et

S

2

= 0.40S

max

pour des instants

t

1

et

t

2

déterminés sur le relevé indi iel.

Le modèle du pro essus est dénipar lafon tion de transfert :

P

r

(p) =

K.e

−θ.p

1+τ.p

ave lesparamètres suivants :

τ = 5.5(t

2

− t

1

)

;

θ = 2.8t

1

− 1.8t

2

; et

K =

∆S

∆E

.

1.4 Stabilité

L'obje tif de la régulation est que lasortie suive l'entrée don qu'au moins le système soit

stable, 'est-à-dire que pour une entrée

x

donnée (qui est for ément bornée ar 'est un signal réel) la sortie

y

ne tende jamais vers l'inni. Autrement le système s'autodétruira (ex. engins explosifs).

1.4.1 Condition générale de stabilité

1.4.1.1 Cas général

1.4.1.1.1 Dénition Unsystèmeeststablesi,ex itépar uneimpulsionde Dira

δ(t)

,

il revient à sa position de repos.

Soit

H(p) =

Y (p)

X(p)

lafon tion de transfert de e système.

N.B : quandl'entrée

x(t)

est un pi de Dira :

x(t) = δ(t)

,ona alors:

X(p) = T L[δ(t)] = 1

etdon

Y (p) = H(p)

.

Si lesystème est régi par une équation diérentielle linéaire,ona :

a

n

dy

n

_(t)

dt

n

+a

n−1

dy

n−1

_(t)

dt

n−1

+...+a

1

dy(t)

dt

+a

0

y(t) = b

m

dx

m

_(t)

dt

m

+b

m−1

dx

m−1

_(t)

dt

m−1

+...+b

1

dx(t)

dt

+b

0

x(t)

On suppose lesignal

x(t)

ausal etle système ausal et relaxé :

x(0

−

_{) = 0}

et

y(0

−

_{) = 0}

...

i.e.toutes les onditions initialessont nulles. Alors,la transformationde Lapla edonne :

a

n

p

n

Y (p)+a

n−1

p

n−1

Y (p)+. . .+a

1

pY (p)+a

0

Y (p) = b

m

p

m

X(p)+b

m−1

p

m−1

X(p)+. . .+b

1

pX(p)+b

0

X(p)

d'où :

H(p) =

Y (p)

X(p)

=

b

m

p

m

+ b

m−1

p

m−1

+ . . . + b

1

p + b

0

a

n

p

n

+ a

n−1

p

n−1

+ . . . + a

1

p + a

0

En général

n > m

, et ladé omposition de la fra tion

H(p)

en élémentssimples est du type :

H(p) =

X

i

K

i

X

k=1

λ

i,k

(p − p

i

)

k

+

X

j

L

j

X

l=1

u

j,l

.p + v

j,l

(p

2

_{+ b}

j

p + c

j

)

l

On détermine les ara téristiquesde laréponse impulsionnelle:

 les termes du premier ordre pour

k = 1

, du type

λ

i

p−p

i

, ont pour transformée de Lapla e

inverse

e

p

i

t

ave

p

i

réel.

 Les termes du se ond ordre pour

l = 1

, du type

u

j

p+v

j

p

2

_+b

j

p+c

j

, se dé omposent en termes du

premierordre et don donnent des termesen

e

p

i

t

ave

p

i

imaginaireou réel. Or les termes

e

p

i

t

imaginaires ou réels ne tendent vers l'inni que si

Re(p

i

) > 0

(la partie imaginairedonnant une sinusoïde). On démontre sur e prin ipe la ondition de stabilité:

Figure1.16  Plan omplexe en

p

1.4.1.1.2 Conditionmathématique Unsystèmeeststablesitouslesplesdesa

fon -tion de transfert sont stri tementà gau he de l'axe imaginairedans leplan omplexe

dédié à

p

, 'est-à-dire qu'ilssont tous à partie réelle stri tement négative (Fig. 1.16).

1.4.1.2 Cas du système bou lé

On a établi l'expression de la FTBF (Eq. 1.1) d'un système bou lé à retour non unitaire

( f. Fig. 1.13):

H(p) =

A(p)

1 + A(p)B(p)

=

N(p)

D(p)

Ce système est stable si tous les ples de sa fon tion de transfert

H(p)

sont à partie réelle stri tement négative. Il faut don déterminer les ples de

H(p)

, 'est-à-dire les ra ines de son dénominateur

D(p)

.

Or

D(p) = 0 ⇔ A(p)B(p) = −1

. La détermination des valeurs de

p

pour lesquelles

A(p)B(p) = −1

nous indiquera la stabilité du système. Pour ela, il existe diérentes

mé-thodes.

1.4.2 Critère algébrique de Routh-Hurwitz

On suppose que

H(p)

est une fra tion polynomiale :

H(p) =

N(p)

D(p)

ave le polynme du dénominateur :

D(p) = a

n

p

n

_{+ a}

n−1

p

n−1

+ . . . + a

1

p + a

0

, et

a

n

> 0

. Pour étudier e système, on onstruit un tableaudit de Routh (Tab. 1.2),

Table1.2 Tableau de Routh

p

n

_a

n

a

n−2

a

n−4

a

n−6

...

p

n−1

_a

n−1

a

n−3

a

n−5

a

n−7

...

p

n−2

_A

1

A

2

A

3

... ...

p

n−3

_B

1

B

2

... ... ... ... ... ... ... ... ...

p

0

... ... ... ... ...

ave les oe ients :

A

1

=

a

_n−1

a

_n−2

_{− a}

n

a

n−3

a

_n−1

A

2

=

a

_n−1

a

_n−4

_{− a}

n

a

n−5

a

_n−1

A

3

=

a

_n−1

a

_n−6

_{− a}

n

a

n−7

a

_n−1

B

1

=

A

1

a

n−3

− a

n−1

A

2

A

1

B

2

=

A

1

a

n−5

− a

n−1

A

3

A

1

NB: Les lignes in omplètessont omplétées par des 0.

Le ritère de stabilitéest lesuivant :

 si ertains

a

i

sont

≤ 0

,

D(p)

ades ra inesàdroitedans leplan omplexedon lesystème est instable

 si tous les

a

i

sont

> 0

et si tous les oe ients de la première olonne du

tableau de Routh sont de même signe (don

> 0

), le système est stable.

Lenombrede hangementsde signedanslapremière olonnedutableauestégalaunombre

de ples à partieréelle positive.

Une ligne de zéros indique l'existen e de ra ines imaginaires pures : on onsidère le

poly-nme ayant les oe ients de la ligne pré édente, on le dérive eton rempla e les zéros par les

oe ients obtenus après dérivation.

Si l'on est amenéà diviser parun oe ientégal à0, onle onsidère égal à un

ε

très petit.

1.4.2.1 Exemple

Soit le système :

H(p) =

1

1 + 6p + 2p

2

_{+ 3p}

3

_{+ p}

4

On obtientle Tab. 1.3. Ce système est instable ar le oe ient

6ε−3

ε

est négatif.

Table 1.3 Tableau de Routh sur un exemple

p

4

₁

_{2 1}

p

3

3

6 0

p

2

_{0 = ε}

_{1 0}

p

1

6ε−3

ε

0 0

p

0

₁

_{0 0}

1.4.2.2 Limitation

Cette méthode ne peut pas toujours être utilisée ar elle né essite la onnaissan e

algé-brique de la FTBF

H(p)

pour onnaître la stabilité en BF (et la FTBO pour onnaître la

stabilitéen BO).Or laFTBF est di ileà obtenir.

1.4.3 Critère de stabilité de Nyquist

L'intérêt de e ritère est qu'il donnela stabilitéen BFà partir d'une étudeen BO.

On dénit le ontour de Bromwi h

γ

: 'est le demi- er le de rayon inni englobant le

demi-plandroit du plan omplexe

p

délimitépar l'axe omplexe en évitantlesples pla éssur l'axe (Fig.1.17).

Quand

p

dé rit

γ

, la fon tion de transfert en bou le ouverte

G(p)

dé rit

Γ

, appelélieu de Nyquist.

g

Figure 1.17  Contour de Bromwi h

γ

Il existe un lien entre le nombre de ples et de zéros de

G(p)

entourés par

γ

et la position etl'évolutionde

Γ

par rapport aupoint

−1

appelé point ritique.

Dansle as où

H(p) =

A(p)

1+A(p)B(p)

,lesplesde

H(p)

sontleszérosde :

D(p) = 1 + A(p)B(p)

. Pour que le système soit stable, es zéros doivent être à partie réelle négative don ils ne

doivent pas être ontenus dans

γ

. On doit don omparer le lieude Nyquist du dénominatuer de

H(p)

ave le point 0,et lelieude Nyquist,

Γ

,de

G(p) = A(p)B(p)

ave le point -1.

1.4.3.1 Théorème de Nyquist

UnsystèmedeFTBO

A(p)B(p)

quin'a pasdepleàdroitedans leplan omplexe

est stable en BF si son lieu de Nyquist n'entoure pas le point -1.

Engénéral,

Γ

est symétrique parrapport àl'axedesréels lorsqueledegré du dénominateur de la FTBO

G(p)

est

>

au degrédu numérateur et

G(p)

stableen BO.

1.4.3.2 Critère du revers

Un système stable en bou le ouverte est stable en BF si le lieu de Nyquist de

sa FTBO passe à droite du point ritique -1 quand on le tra e pour les

p = jω

roissants et positifs.

Sur lediagramme de Nyquist, onindique par une è he lesens des

ω

roissants.

1.4.4 Critère d'os illation

LesystèmeFig.1.13os illerasi,pouruneentrée nulle,lasortieestnonnulleetbornée.Or:

Y (p) = A(p).ε(p) = A(p)[Y

c

(p) − B(p).Y (p)]

Si

Y

c

(p) = 0

, alors :

Y (p) = −A(p).B(p).Y (p)

don :

Y (p)[1 + A(p).B(p)] = 0

Il y aalors deux as :

 soit

Y (p) = 0

etil n'y a pas d'os illation

 soit

Y (p) 6= 0

etilfautalorsque

1 + A(p).B(p) = 0

soit

A(p)B(p) = −1

(don

D(p) = 0

). C'est la ondition d'os illation :

A(p)B(p) = −1

.

Les deux onditions d'os illationdites onditionsde Barkhausen sont don :



|A(p)|.|B(p)| = 1

qui onstitue la ondition d'ampli ation



Arg[A(p)] + Arg[B(p)] = π

qui permetde déterminer lafréquen e d'os illation.

1.4.5 Marge de stabilité

1.4.5.1 Dénitions

Sipour ertaines pulsations legainaugmente, lelieude Nyquistpeutpasser de l'autre té

de -1 et don le gain peut déstabiliser le système. L'asservissement sera d'autant plus stable

que

Γ

passe loinde -1, ettedistan e à-1 dénitla marge de stabilité.

 On dénit lepoint ritiquetelque son modulevaut 1et son argument -180.

 Marge de phase :

M

φ

= Arg[G(ω

1

)] + 180

 ave

ω

1

telle que

|G(ω

1

)| = 1

(soit 0 dB)

 Marge de gain :

M

g

= −20 log

10

|G(ω

π

)|

ave

ω

π

telle que

Arg[G(ω

π

)] = −180

 (soit

−π

)

 Engénéral, onre her he lesvaleurs optimales:

M

φ

= 45

 à60 et

M

g

= 10dB

à

15dB

.  Pour un se ondordre,un amortissementde

ξ = 0.707

donneunemargede phase de45.  Ces marges de phase etde gain sont notéesaussi :

∆Φ

et

∆G

.

1.4.5.2 Signi ation physique

Ces margesreprésentent des marges de sé urité par rapport àl'état instable :

 la marge de phase permet de préserver la stabilité en dépit de la présen e de retards

parasites(parexempledanslatransmissiondessignaux)dontonn'auraitpastenu ompte

dans l'étude de la stabilité: la phase du retard pur (-

ωθ

) provoque une rédu tion de la marge de phase.

 la marge de gain permet de préserver la stabilité en dépit des u tuations de gain qui

ae tent en parti ulierles ampli ateursde la haîne de puissan e.

1.4.5.3 Marge absolue de stabilité

On parle de marge absolue de stabilité

m

a

(> 0

) lorsqu'on impose aux parties réelles des ples de lafon tion de transferten bou le fermée

H(p)

d'êtreinférieuresà

−m

a

, e quirevient à appliquerle ritèrede Routh à

D(p − m

a

)

ave

D(p)

dénominateur de

H(p)

.

1.4.6 Détermination graphique de la stabilité à partir de la FTBO

1.4.6.1 Critère de stabilité

 Diagrammede Nyquist :lieu de

G(jω)

dans le plan omplexe(Fig. 1.18)

-1

Im

Re

Figure1.18  Lieu de Nyquist d'un système : a) stable; b) justeinstable; ) instable.

Un système stable en bou le ouverte est stable en BF si le lieu de Nyquist de sa FTBO

Figure 1.19 Courbesde Bode d'un système :a) stable; b)justeinstable; )instable.

 Diagrammes de Bode : tra és de

|G(jω)|

dB

et de

Arg[G(jω)]

en fon tion de

ω

ave une é helle logarithmique en

ω

(Fig.1.19).

ω

osc

= ω

π

est dénie par

Arg[G(jω

osc

)] = −π

.

Le système est stable si

|G(jω

osc

)|

dB

< 0dB

'est-à-dire quela ourbe d'amplitude passe en dessous de

0dB

pour

ω

osc

= ω

π

.

 Diagrammede Bla k : lieude Ni hols tra é sur une abaque de Bla k (Fig. 1.20)

(tra és de

|G(jω)|

dB

en fon tion de

Arg[G(jω)]

en degrés)

Figure 1.20  Abaque de Bla k-Ni hols : lieu d'un système : a) stable; b) juste instable; )

instable

Lesystème est stable si,en par ourantlelieude

|G(jω)|

dB

dans lesens des

ω

roissants, onlaisse le point ritique àdroite.

N.B : L'abaque permet de lire,pour haque point de la ourbe de la fon tion en BO, les

valeurs orrespondantes du gain et de la phase de la FTBFà retour unitaire(Fig. 13.3).

1.4.6.2 Marges de stabilité

a) b) )

2.1.1 Introdu tion

On étudie la bou le de régulation/asservissement de la Fig. 2.1. Le système est à retour

unitaire[3℄.

Figure2.1 Système bruité.



N(p) = T L[n(t)]

(bruit ou noise) représente les perturbations qui agissent sur la gran-deur de sortie

Y (p) = T L[y(t)]

au travers d'une fon tion de transfert

G

n

(p)

, gain des perturbations



G

u

(p)

représente lepro essus (gain utile)



C(p)

est le orre teur qui aura pour but de réduirel'erreur.

Y (p) = G

u

(p)C(p)[Y

c

(p) − Y (p)] + G

n

(p)N(p)

Y (p) =

C(p)G

u

(p)

1 + C(p)G

u

(p)

Y

c

(p) +

G

n

(p)

1 + C(p)G

u

(p)

N(p)

L'étudedusystèmed'unpointdevuerégulationsefaiten onsidérantquela onsigne

y

c

(t)

est onstante. Les variations de

y(t)

ne seront alors dues qu'aux perturbations

n(t)

.L'obje tif est de réduirel'erreur etd'obtenir ainsi la réje tion des perturbations.

L'étudedusystèmed'unpointdevueasservissementsefaiten onsidérantquela onsigne

y

c

(t)

est variable mais que les perturbations sont nulles.

y(t)

devra alors suivre les variations de

y

c

(t)

. L'obje tif est toujoursde réduirel'erreur.

La fon tion de transfert en bou le ouverte vaut :

G(p) = C(p)G

u

(p)

.

Pour la régulation ou l'asservissement, on va étudier la fon tion de transfert en bou le

2.1.2 Réje tion des perturbations par régulation

En régulation, omme

Y

c

(p) = 0

, la fon tionde transferten bou le fermée est donnée par :

Y (p) =

G

n

(p)

1 + C(p)G

u

(p)

N(p).

2.1.2.1 Hypothèses 

N(p) =

N

0

p

r

N.B :

r = 1

pour l'é helon

↔

1

p

;

r = 2

pour la rampe

↔

1

p

2



G

n

(p) =

K

n

1+b

1

p+b

2

p

2

+···



1 + C(p)G

u

(p) =

K

c

K

u

(1+a

1

p+a

2

p

2

+···)p

n

où

n

est le nombre d'intégrations de labou leouverte. On obtientdon :

Y (p) =

K

n

1 + b

1

p + b

2

p

2

+ · · ·

×

(1 + a

1

p + a

2

p

2

+ · · · )p

n

K

c

K

u

×

N

0

p

r

2.1.2.2 Obje tif

L'obje tifest que

y = y

c

or

y

c

(t) = 0

( onsigne onstante don nulle en valeur relative par rapportaupointde repos hoisi égal à ette onstante). Don onveut que :

y(t) = 0

pour

t > t

0

(i.e. aubout d'untemps minimal

t

0

)don en parti ulierque :

y(∞) = 0

. Orle théorème de la valeur nale stipule que:

y(∞) = lim

p→0

pY (p)

don

y(∞) = lim

p→0



p ×

_{1 + b}

K

n

1

p + b

2

p

2

+ · · ·

.

(1 + a

1

p + a

2

p

2

_{+ · · · )p}

n

K

c

K

u

.

N

0

p

r



⇒ y(∞) = lim

p→0

 K

n

N

0

K

c

K

u

p

n+1−r



2.1.2.3 Les diérents as

Trois as se présentent (on pose

α = n + 1 − r

): 

n > r − 1

:

y(∞) = lim

p→0

 K

n

N

0

K

c

K

u

p

α



ave :

α ≥ 1

don

y(∞) = 0

. Laréje tion des perturbations est omplète aubout d'un ertaintemps. 

n = r − 1

:

y(∞) = lim

p→0

 K

n

N

0

K

c

K

u



=

K

n

N

0

K

c

K

u

.

Laréje tiondes perturbationsestin omplètemaiselleserad'autantmeilleurequelegain

en bou leouverte

K

c

K

u

sera grand. 

n < r − 1

:

y(∞) = lim

p→0

 K

n

N

0

K

c

K

u

p

α



ave :

α < 0

don

y(∞) = ∞

. Il n'y apas de réje tion etles perturbations déstabilisent lesystème.

2.1.2.4 Con lusion

Laréje tionestd'autantmeilleurequelegainen bou le ouverteestgrand(

K = K

c

K

u

) etelle est omplète si labou leouverte ontient un nombre susant d'intégrateurs (

n

).

ε(p) = Y

c

(p) − Y (p)

et

Y (p) = C(p)G

u

(p)ε(p)

, d'où :

ε(p) = Y

c

(p) − C(p)G

u

(p)ε(p)

Don nalement:

ε(p) =

Y

c

(p)

1+C(p)G

u

(p)

2.1.3.2 Hypothèse

C(p)G

u

(p) =

K

p

n

×

1 + b

1

p + b

2

p

2

+ ...

1 + a

1

p + a

2

p

2

+ ...

ave

K = K

c

K

u

le gain en bou leouverte. Don :

ε(p) =

Y

c

(p)

1 +

K

p

n

.

1+b

1

p+b

2

p

2

+...

1+a

1

p+a

2

p

2

+...

2.1.3.3 Obje tif

L'obje tif est que

y = y

c

don que laFTBF

H(p) =

Y (p)

Y

c

(p)

=

C(p)G

u

(p)

1+C(p)G

u

(p)

vaille:

H(p) = 1

. Or vu saforme,

H(p) 6= 1

don onvase limiterà obtenir:

lim

_p→0

H(p) = 1

soit

y(t) = y

c

pour

t → ∞

soit

lim

t→∞

ε(t) = 0

.

Or

ε(∞) = lim

p→0

pε(p)

don l'obje tif se résumeà :

lim

p→0

pε(p) = 0

soit:

lim

p→0

"

p

Y

c

(p)

1 +

_p

K

n

1+b

1

p+b

2

p

2

+...

1+a

1

p+a

2

p

2

+...

#

= lim

p→0

"

p

Y

c

(p)

1 +

K

p

n

#

= lim

p→0



p

n+1

Y

c

(p)

p

n

_{+ K}



Et nalementl'obje tifs'é rit :

lim

t→∞

ε(t) = lim

p→0



p

n+1

Y

c

(p)

p

n

_{+ K}



= 0

2.1.3.4 Diérents as

Diérents as peuvent être étudiés :

 la réponse à un é helon en entrée :

y

c

(t) = E

0

⇒ Y

c

(p) =

E

0

p

et

lim

t→∞

ε(t) = lim

p→0



p

n+1

E

0

(p

n

_{+ K) .p}



= lim

p→0



p

n

E

0

(p

n

_{+ K)}



⇒

si

n = 0

,

lim

t→∞

ε(t) =

1+K

E

0

don l'erreur est d'autant plus petite que le gain en bou le ouverte

K = K

c

K

u

est grand

⇒

si

n ≥ 1

,

lim

t→∞

ε(t) = 0

don l'erreurest nulle

 la réponse à une rampe omme onsigne en entrée :

y

c

(t) = a.t ⇒ Y

c

(p) =

a

p

2

et

lim

t→∞

ε(t) = lim

p→0



p

n+1

a

(p

n

_{+ K) p}

2



= lim

p→0



p

n−1

a

(p

n

_{+ K)}



⇒

si

n ≥ 2

,

lim

t→∞

ε(t) = 0

don l'erreurest nulle

⇒

si

n = 1

,

lim

t→∞

ε(t) =

K

a

don l'erreur est d'autant plus petite que le gain en bou le ouverte

K = K

c

K

u

est grand

⇒

si

n = 0

,

lim

t→∞

ε(t) = ∞

don l'erreurtend vers l'inni,lesystème est instable

2.1.3.5 Con lusion

Ces résultatssont résumés dans le Tab. 2.1.

Table 2.1 Classes d'erreur

y

c

(t) = E

0

.U(t)

y

c

(t) = a.t

y

c

(t) =

1

₂

.b.t

2

n = 0 ǫ

0

=

_1+K

E

0

ǫ

1

= ∞

ǫ

2

= ∞

n = 1 ǫ

0

= 0

ǫ

1

=

_K

a

ǫ

2

= ∞

n = 2 ǫ

0

= 0

ǫ

1

= 0

ǫ

2

=

_K

b

Le système étudié étant déni sur la Fig. 2.2oùla FTBO est du type :

G(p) =

K

p

n

_{(1 + a}

1

p + a

2

p

2

+ ...)

ave

n

lenombre d'intégrations de labou le ouverte appelé lasse du système.

Figure2.2 Système bou lé à retourunitaire, f. Fig. 1.12.

N.B :La pré isiondépend du système onsidéré etdu signalappliqué en entrée.

 On appelleerreur de positionl'erreur

ǫ

0

en réponse à un é helon.

 Onappelleerreurde traînageouerreur de vitesse l'erreur

ǫ

1

en réponseàune rampe.

2.1.4 Critères de Rapidité

2.1.4.1 Temps de réponse

Pour étudier la rapidité, on dénit la notion de temps de réponse : 'est le temps que

met le système pour atteindre

x%

de la valeur nale sans s'en é arter de plus de

(100 − x)%

. Typiquement, on prend

x = 95

: d'où les tauxde 95% et 5%.

2.1.4.2 Bande passante

Quandune fon tion de transfert

H(p)

ne ontient pasd'intégrateur, ona:

H(0) = K

(gain statique).

La bande passante à

X

dB est labande de pulsations pour lesquelles







H(jω)

H(0)







dB

≥ X

dB.

A l'intérieur de ette bande, lesignal n'est atténué que d'une valeur plus faibleque

X

. On déniten général:  la bandepassante à -3dB :







H(jω)

H(0)







dB

≥

-3 dB don







H(jω)

H(0)





 ≥

√

2

2

=

1

√

2

≈ 0.7

 Pour la stabilité, le lieu de Nyquist va s'é arter du point

−1

; et pour la pré ision il va falloir pla er des intégrateurs dans la bou le ouverte, on a don un dilemme entre

stabilité et pré ision.

2.2 Le orre teur PID analogique

2.2.1 La orre tion des systèmes asservis

Soit un système dont la fon tion de transfert

G

u

(p)

est onnue grâ e, par exemple, à une identi ation (Fig. 2.3). On en déduit sa stabilité et ses performan es. Celles- i sont plus ou

moins satisfaisantes pour un usage donné. La orre tion du système permet d'améliorer les

performan es en fon tion d'un ahierdes harges déterminé.

Figure 2.3 Systèmeave orre teur, f Fig. 1.14.

 Pour augmenter la pré ision (et la rapidité), on peut augmenter le gain

K

en BO don onva hoisir un orre teur réalisant ettea tion, dit orre teur proportionnel :

C(p) = K

c

Il faudra hoisir le orre teur de manièreà ne pas rendrele système instable.

 Pour augmenter lapré ision,onpeutaussi ajouter un intégrateur danslaBO don onva

hoisir un orre teurréalisant ette a tion, dit orre teur proportionnel intégral :

C(p) =

K

′

c

p

 Pour augmenter larapidité,onpeutajouter un dérivateurdans laBOdon onva hoisir

un orre teur réalisant ette a tion,dit orre teur proportionnel dérivé :

C(p) = K

′′

c

p

⇒

on va don faire agir trois fa teurs PID

Le gain en bou le ouverte est noté

K = K

c

K

u

produit du gain du pro essus et du gain du orre teur.

2.2.2 Corre teur proportionnel P

2.2.2.1 Dénition

a) b) )

Figure2.4 Corre teur proportionnel:a) gain; b)phase; )eet.

2.2.2.2 A tion sur le système

Pourun système de lasse0,l'erreurlorsd'unessai indi ield'amplitude

E

0

vaut :

ε

0

=

E

0

1+K

don si l'on augmente

K

c

on réduit l'erreur. Le système est plus pré is mais il est moins stable,et ilpeut même être destabilisé ( f. Fig.2.4 ).

2.2.3 Corre teur proportionnel intégral PI

2.2.3.1 Dénition

Sa fon tion de transfert vaut :

C(p) = K

c



1 +

_τ

1

i

p



ave :

K

c

> 0

,

τ

i

> 0

⇐⇒

C(p) = K

c

 1 + τ

i

p

τ

i

p



=

K

c

τ

i

 1 + τ

i

p

p



On parle de orre teurà retard de phase ( f. ourbesde Bode Fig. 2.5).

a) b) )

Figure 2.5Corre teur proportionnelintégral : a)gain; b)phase; )eet.

2.2.3.2 A tion sur le système

Il améliorela pré ision.Suivantlamargede phasedusystème,onpla eson a tionàune

dé ade avant lapulsation ritique ou plus près (à

ω

c

/4).

Dans le as d'une seule a tion intégrale, le lieu du système est modié omme indiqué

Fig. 2.5 . Le gain n'est augmenté qu'aux basses fréquen es : le système est plus pré is et sa

a) b) )

Figure 2.6Corre teur proportionneldérivé :a) gain; b)phase; )eet.

2.2.4.2 A tion sur le système

Il améliore la stabilité.

En général, onpla e son a tionaux alentours de lapulsation ritique (telle quele gain est

de 1) :

 il augmentela margede phaseet don stabilisele système

 il augmentele gain etdon améliorela rapidité.

Dans le as d'une seule a tion dérivée, le lieu du système est modié omme sur la Fig. 2.6 .

Le système est stabilisé.

2.2.5 Corre teur proportionnel intégral dérivé PID

2.2.5.1 Dénition

Sa fon tion de transfert vaut :

C(p) = K

c



1 +

1

τ

i

p

+ τ

d

p



= K

c

 1 + τ

i

p + τ

i

τ

d

p

2

τ

i

p



=

K

c

τ

i

1

p

(1 + τ

1

p)(1 + τ

2

p)

Cela suppose que letrinmea un dis riminantpositif :

∆ = b

2

_{− 4ac > 0 ⇔ τ}

i

> 4τ

d

.Lesdeux ra ines donnentdeux onstantes de temps :

τ

1

=

2τ

d

1−

√

1−4τ

d

/τ

i

et

τ

2

=

2τ

d

1+

√

1−4τ

d

/τ

i

.

Ses ourbes de Bode sont présentées Fig. 2.7 (où

τ

1

> τ

2

).

2.2.5.2 A tion sur le système

 Pour leshautes fréquen es, le orre teur à une a tion ampli atri eetavan e de phase.

 Pour lesbasses fréquen es, le orre teur à une a tion ampli atri eetretard de phase.

 Pour lesmoyennes fréquen es,le orre teur ae te peu lesystème.

2.2.6 Stru ture de quelques orre teurs

a) b)

Figure2.7 Corre teur PID :a) Gain; b)Phase.

 Ilestimpossiblederéaliserunintégrateurpurave desAOP(lebruitsutàfairesaturer

l'AOP)

 L'ampli ationen hautefréquen e amplie aussi lebruit.

⇒

on propose don les stru tures suivantes pour réaliser les orre teurs.

2.2.6.1 Avan e de phase

Sa fon tion de transfert est dénie par (voir abaque Fig. 13.2) :

C(p) = K

c

 1 + aτ p

1 + τ p



ave :

a > 1

Il peut être réalisépar le ir uit de la Fig. 2.8a).

a) b)

Figure 2.8  a)Filtre àavan e de phase; b)Filtre àretard de phase

 V

s

(p) = −R.I(p)

V

e

(p) = [R

2

+ (R

1

//C)] I(p)

V

s

(p)

V

e

(p)

= −R

1

R

2

+

R

1

.

_Cp

1

R

1

+

_Cp

1

= −R

1

R

2

+

_R

₁

_Cp+1

R

1

= −R

1 + R

1

Cp

(1 + R

1

Cp) R

2

+ R

1

= −R

1 + R

1

Cp

R

1

+ R

2

+ R

1

R

2

Cp

⇒

V

_V

s

(p)

e

(p)

= −



R

R

1

+ R

2



1 + R

1

Cp

1 +

R

1

R

2

R

1

+R

2

Cp

Don :







τ =

R

1

R

2

R

1

+R

2

C

a =

R

1

C

τ

=

R

1

+R

2

R

2

= 1 +

R

1

R

2

K

c

= −

_R

₁

R

_+R

₂

V

s

(p)

V

e

(p)

= −



R

2

+

R

1

R

1

Cp + 1

 1

R

= −

1

R

R

1

+ R

2

+ R

1

R

2

Cp

1 + R

1

Cp

⇒

V

s

(p)

V

e

(p)

= −

R

1

+ R

2

R

1 +

R

1

R

2

R

1

+R

2

Cp

1 + R

1

Cp

Don :







τ =

R

1

R

2

R

1

+R

2

C

b =

R

1

C

τ

=

R

1

+R

2

R

2

= 1 +

R

1

R

2

K

c

= −

R

1

+R

_R

2

2.3 Méthodes de réglage des PID

 A tion proportionnelle : si

K

p

↑

alors

ε

statique

↓

 A tion intégrale: permet d'annuler l'erreur de position

 A tion dérivée : permet d'anti iper (prend en ompte la vitesse d'évolution) don

aug-mentela rapidité

2.3.1 Réglage expérimental

On règle lesa tions l'uneaprès l'autre.On étudielesystème suivantpour

y

c

= 0

(Fig.2.9).

Figure2.9 Système perturbéave orre teur àrégler.

2.3.1.1 Premier réglage : a tion proportionnelle P

C(p) = K

p

. Trois types de réponse peuventêtre obtenus :

 L'a tionproportionnelle est trop faible,il faut augmenter

K

p

: Fig. 2.10a).

a) b) )

Figure2.10  Corre tion proportionnelle : a)trop faible;b) orre te; )trop forte.

 L'a tionproportionnelle est orre te :Fig. 2.10b).

2.3.1.2 Se ond réglage : a tion intégrale I

C(p) = K

p



1 +

_τ

1

i

p



.Trois types de réponse peuvent être obtenus :

 L'a tionintégraleest tropfaible(l'erreurn'estpas nulle),ilfautdiminuer

τ

i

:Fig.2.11a).

a) b) )

Figure 2.11 Corre tion intégrale : a)trop faible;b) orre te; )trop forte.

 L'a tionintégraleest orre te (l'erreur est nulle) : Fig.2.11b).

 L'a tion intégrale est trop forte, il faut augmenter

τ

i

(les os illations sont trop impor-tantes) : Fig. 2.11 ).

2.3.1.3 Troisième réglage : a tion dérivée D

C(p) = K

p



1 +

_τ

1

i

p



. (1 + τ

d

p)

. Deux typesde réponse peuvent être obtenus :

 L'a tion dérivée est trop forte (les os illations sont trop importantes), il faut diminuer

τ

d

:(Fig. 2.12a).

a) b)

Figure 2.12 Corre tion dérivée :a) trop forte; b) orre te.

 L'a tiondérivée est orre te (Fig.2.12b).

2.3.2 Méthode de Ziegler-Ni hols

Deux essais peuvent permettre de déterminerle orre teur PID.

2.3.2.1 Essai indi ielen bou le ouverte

Soit

(AB)

la tangente au point d'inexion. On appelle

θ = T

u

son interse tion ave l'axe des abs isses et

a

sapente (Fig. 2.13).

2.3.2.2 Essai de pompage

Il s'agit d'une mise en os illation en bou le fermée (Fig. 2.14). Cette méthode est utilisée

quand le pro essus ontient une intégration (don est instable) ou qu'il est intrinsèquement

instableen bou le ouverte : il est alors impossible d'ouvrirla bou le.

On note

k

0

lavaleur du gain pour lequel apparaissentdes os illationsdontonnomme

T

0

la période.

Figure2.13 Méthode de Ziegler-Ni hols f Fig. 1.15

Figure2.14  Pompage.

2.3.2.3 Tableau des orre teurs

Pour le réglagedes paramètres des PIDsuite à es essais : f. Tab. 2.2.

Table2.2 Réglage des paramètres PID

Régulateur :

C(p)

Essai indi iel: (

a

,

θ

) Essai de pompage: (

k

0

,

T

0

)

C(p) = k

p

k

p

=

_a.θ

1

k

p

= 0.5k

0

C(p) = k

p



1 +

1

τ

i

p



k

p

=

0.9

_a.θ

k

p

= 0.45k

0

τ

i

= 3.3θ

τ

i

= 0.83T

0

k

p

=

1.2

_a.θ

k

p

= 0.6k

0

C(p) = k

p



1 +

_τ

1

i

p

+ τ

d

p



τ

i

= 2θ

τ

i

= 0.5T

0

τ

d

= 0.5θ

τ

d

= 0.125T

0

2.3.3 Critère de Naslin

1. On onsidère un pro essus de fon tion de transfert :

G(p) =

b

0

a

0

+ a

1

p + ... + a

n

p

n

On note les rapports ara téristiques :

r

i

=

a

2

i

a

i+1

a

i−1

.

Si l'on fait le hoix

b

0

= a

0

, et

r

i

= α

ave :

1.8 ≤ α ≤ 2.4

, alors la réponse indi ielle présente un dépassement

D

en %à l'instant

t

D

tel que:

 log

₁₀

_{(D%) = 4.8 − 2α}

t

D

= 2.2

a

_a

1

₀

On obtientun amortissement orre t pour :

r

i

≥ 2

2. On onsidère un pro essus de fon tion de transfert :

G(p) =

b

0

+ b

1

p

a

0

+ a

1

p + ... + a

n

p

n

ave :

a

i

> 0

et

b

i

> 0

Le réglagepré onisé est telque :

r

1

= 1.5 + 4

a

0

b

1

a

1

b

0

(α − 1.5)

2.3.4 Tableau ré apitulatif

f. Tab. 2.3

Table 2.3Tableauré apitulatif

Pro essus Corre teur P Corre teurPI Corre teur PD Corre teur PID

G(p) = ...

C(p) = k

p

C(p) = k

p



1 +

1

τ

i

p



C(p) = k

p

(1 + τ

d

p) C(p) = k

p



1 +

1

τ

i

p

+ τ

d

p



k

p

=

√

2

2k

k

p

<

0.8

k.θ

k

p

e

−θp

- -

τ

d

= 4

θ

3π

τ

d

= 0.4θ

τ

i

≥ 4.θ

k

1+τ p

-

k

p

>

1

k

-

-τ

i

= τ

k

p

=

0.35τ

_k.θ

k

p

=

0.6τ

_k.θ

k

1+τ p

e

−θp

k

p

=

0.3τ

k.θ

τ

i

= 1.2τ

-

τ

i

= τ

τ

d

= 0.5θ

k

(1+τ

1

p)(1+τ

2

p)

-

k

p

>

1

k

- (*) ave

τ

1

> τ

2

τ

i

= τ

1

(*) dans e as, le PID utiliséest :

C(p) = k

p

(

1+τ

′

i

p

)

(1+τ

d

′

p)

τ

′

i

p

ave

τ

′

i

= τ

1

,

τ

′

d

= τ

2

et

k

p

≥

1

k

2.3.5 Méthode des modèles

Soit le système bou lé ( f. Fig. 2.15) de fon tion de transfert :

H(p) =

C(p)G(p)

1 + C(p)G(p)

Lafon tion de transfertidéalepour labou le ferméeserait

H(p) = 1

,maisonauraitalors :