Effet de profil d'ondulation sur les performances thermo-hydraulique des écoulements dans les tubes ondules.

(1)

(2)

Tout d'abord toutes bénédictio"5 au grand Dieu qui nous a domé la volonté

et la patience nécessaire pour réaliser et mener à terme ce trcNail modeste.

Now tenons à remercier tous les membres de nos fiamilles de leur encouragemerït,

et toutes les personnes qui nous ont soutenus de près ou de loin.

Nous exprimons notre gratitude à notre encadrante, Madame Aida Laissaoui pour

ces précie" conseils, Nos sincères remerciements vont également w membres

du jury d'cwoir accepté de juger ce PFE, ainsi qu'à l 'ensemble des enseignants

du département de génie mécanique.

Nous remercions tow nos collègues et amis pour leur soutien.

(3)

NommdŒk"ffe

Va riab]es Désignations Un ités

Chaleur spécifique

Coefficient de transfert convectif

Diamètre Hydraulique

Débit massique du fluide

Différence de pression, chute de pression

Coefficient de ffottement Flux de chaleur Température Surface (Section) Longueur de tube Nombre de Nusselt Nombre de Reynolds Nombre de Prandtl

Vitesse dimensionnelle suivant x

Vitesse dimensionnelle suivant y

Vitesse à l'entrée Vitesse de déplacement Nombre d'ondulation kj/kg.K

w /"2 .K

771 kgls

Pa

W

K m2 7n

m/s

(4)

Nomerwlatuïe

Lettres Grecs

Désignations

Unités

Viscosité dynamique

Amplitude

Masse volmique

Conductivité themique

la position dans la longueu d'onde

La longueu d'onde

Indices Désignations

f

P in SuP

inf

Fluide Paroi lnitiale

Supérieu

lnférieu

(5)

Liste des Figures

Figure(I.l) : Développement de la couche limite hydrodymmique le long d'un tube ... 5

Figure¢.2) : proffls de vitesse dans une conduite circulaire ... 5

Figure(I.3) : Défmition d'un élément de suiïace d'échange ... 9

Figurea.4) : couche limite thermique /Gr4/ Py. c/4/fz.»aÆ« M., J995/ ... 10

Figure Œ.5) : Croquis des tourbillons à contre-rotation (débit de Dean) dans la partie toumante du virage ... 12

Figure Œ.6) : ]es ]ignes de courant ne sont pas paralJèles dans les tubes ondu[és ... 12

Figure (I.7) : les boucles de recirculations ... 13

Figure ¢.8) : les différents déphasages d'une géométrie sinusoïdalement ondulées ... 13

Fîgure (I.9) : type de géométrie expérimentée ... 14

Figure (I.10) : variation du c/ en fct de (Œ) ... 14

Figure (I.11) : variation du c/ en fct de (Œ) ... 14

Figure (I.12): variation de ^ri. en fct de (Jie) ... 15

Figure (1.13): variation du JV.h en fct de(ÆCJ ... 15

Figure a.14): ]a géométrie dont el]e a été l'objet de ]'étude ... 15

Figure ¢.15): variation du nombre de Jvtt et Fc en fonction de Re et Pr ... 15

Figure Œ.16): rigure montrant de façon très claire la croissance simultanée de la turbulence avec celle du nombre de Reyno]ds aL]aDt de 100 à 400 ... 16

Figure (I.17): géométrie ondulée à section circulaire ... 16

Figure a.18): montrant ]a distribution du nombre (Nu) et (Fc) en fonction de Œe) et

(AÆJ)...16

(6)

Figure ¢.20): variation de la chute de pression (4P) en fonction de (Æe) el de l'ongle

d'ondulation...17

Figure Œ.21): géométrie de la paroi ondulée ... 17

Figure Œ.22): évolution des écoulements secondaires avec (Re) ... 18

Figure 11.1 : Configuration géométrique du tube circulaire ondulé sinuso.i.dal: (a) Vue isométrique; (b) Paramètres géométriques ... 20

Figme 11.2 : Schém représentatif des conditions au limites ... 23

Figure 111.1 : Éléments finis mono et bidimensionnels ... 28

Figur€ 111.2 : Domaine d'application de La méthode des é]éments fmis ... 28

Figure 111.3 : Etapes suivies pour la résolution d'un problème ... 29

Figure lll.4 : Choix du modèle ... 30

Figure lll.5 : Choix de simulation ... 30

Figure lll.6 : paramètres et variables ... 31

Figime lll.7 : La géométrie ... 31

Figure lll.8 : Choix du matériel ... 32

Figure lll.9: Température d'entrée du fluide ... 32

Figure lll.10 : température des paroîs ... 33

Figure lll.11 : condition de turbulence ... 33

Figim lll.12 : La vitesse d'entrée ... 34

Figure 111.13 : La pression atmosphérique à la sortie ... 34

Figure lll.14 : maillage ... 35

Figui.e lll.15 : Convergence du solveur non linéaire ... 35

Figure av.1) : Variation du facteur de frottement avec ]e nombre d'ondulation pour

Re=1oooo...38

Figure (IV.2) : Validation de profil numérique du rapport des Nusselt dans le tube ondulé et droit pour Re=10000 ... 38

Figure (IV3) : Variation des mpports des nombres de Nusselt dans ]e tube ondulé et ]e

tube droit pour Re=10000 ... 39

(7)

Figure (IV.4) : Variation du rapport des coeff]cients de friction en fonction du nombre

d'ondulation pour Re=5000 ... „ ... 40

Figure ¢V.5) : Variation du rapport des coefficients de friction en fonction du nombre

d'ondulation pour Re=10000 ... 40

Figure (IV.6) : La distribution de la pression pour € = 0.15 and N = 20, (a) Re = 5000;

(8)

Liste des

Tableaux

Tableau ll.1: Paramètres géométriques des tubes étudiés ... 21

Tableau 11.2: Valeurs de vitesses correspondantes aux nombres de Reynolds choisis .... 24

Tableau 11.3: Les propriétés thermo-physiques de l'Air ... 25

(9)

Table des

Matières

Introduction Générale ... 2

(l]:tpitri` E : Recherche Bibliographique

1.1 lntroduction ... 4

1.2 Tmnsfert thermique et écoul€ment dans ]es tubes droits :

1.2.1 Aspect dynamique de la convection : 1.2.1.1 Couche limite hydrodynamique : I.2.1.1.a Régime laminaire : Profil de vitesse ... 6

Facteur de rotlement : ... 6

I.2.1.1.b Régime turbulent : Profil de vi.esse : ... 7

Facteur de frottement : ... „.8

1. 2.2 Aspect thermique de ]a convection : ... 9

I.2.2.1 Flux de chaleur convectif : ... 8

1.2.2.2 Couche limite thermique : ... 10

1.3 Le Transfert thermique et les écouLements dans les tubes ondulés : 11.3.1 Différents types de géométrie de tubes ondu]és : 11. 3.2 Phénomène de recirculation de Dean : ... 12

(10)

Table des Matières

1.4 recherche bibliogmphique :

(``hzt!]iti.c-11 : Formulation Mathématique

11.1. Introduction ... „ ... 20

II.2.Géométrie du problème : ... „ ... 20

11.3. Hypothèses simplificatrices : ... 21

II.4. Equations générales de transport : ... 21

a.équation de continuité: ... 21

b.équation de quantité de mouvement: ... 21

c.équation d'énergie: ... 21

115.Décomposition statique: ... 22

II.5.l.Ies tensions de Reynolds: ... 22

II.5.2.Equation de conservation de masse : ... 22

II.5.3.Equation de quantité de mouvement : ... 22

II.6.Modèle de turbulence k-€ ... 22

a.Equation de transport de l'énergie cinétique turbulente k : ... 23

b.Equation de transport du tau de dissipation € de l'énergie cinétique

turbu]ente:

II.7. Conditions aux limites: ... 23

II.7.1.Conditions aux limites hydrodynamiques : ... 24

II.7.2.Conditions aux limites thermiques : ... 24

II.8. Propriétés du fluide : ... 25

(`h:ii]itrcl I I I : Formulation Numérique

111.1. Introduction ... 27

111.2. Méthode des é]éments finis . 111.2.1 Types d'É]éments Finis (Maillage): ... 27

III.2.2.Domaines d'application ... 28

1113. Présentation du logiciel coMSOL: ... 28

III.3.1 Lancement du code. Etapes principa]es: ... 29

111.3.2 Modélisation Numérique par COMSOL MULTIPHUSIQUE: ... 29

(11)

Table des Matières

(`hitpitrc` 1 \'' : Résultats et discussions

IV.1. Introduction ... 37

IV.2. Test de sensibilité maillage ... 37

IV.3. Validation du modèle ... 37

IV.4.Effet du nombre de Reynolds sur les champs thermique et hydrodymmique ... 39

IV.4.l. Effet du nombre de Reynolds sur le rapport des Nusselts des tubes ondulé

et droit ... 39

IV.4.2. Effet du nombre de Reynolds sur le rapport des Nusselts des tubes ondulé et droit...40

IV.4.3. Effet du nombre de Reynolds sur le coefricient de pression local ... 41

IV.5. Effet de l'amplitude et la longueur d'onde de la forme ondulée du tube sur le nombre de Nusselt...4l IV.5.1. Effet du nombre d'ondulation N sur le rapport des Nusselts et les rapports des coefficients de friction des tubes ondulé et droit ... 41

IV.5.2.Effet de l'amplitude g sur le rappori des Nusselts et des coefficients de friction des tubes ondulé et droit ... 42

(12)

Immoduoüon

(13)

Introduction générale

Dans la vie quotidienne, on observe autour de nous plusieurs phénomènes, naturels ou autres, qui sont gouvemés par les lois de la physique. Ces phénomènes, stationnaires ou instationnaires, peuvent appartenir aux différents domaines de la recherche. Pami ces domaines l'échange thermique et la mécanique des fluides : sciences qui servent à comprendre et à décrire

le transfert de chaleur et l'écoulement de liquides et de gaz et leurs interactions avec les corps solides. Ces sciences reposent avant tout sur l'application de lois fondamentales de la mécanique

et de la themodynamique.

L'amélioration du transfert de chaleur dans le flux de tuyaux a été appliquée pour plusieurs

appareils utilisés dans de nombreux secteurs industriels, tels que les systèmes d'extraction d'huile

essentielle, les centrales électriques, les systèmes chimiques et les systèmes de moteurs. Pour améliorer l'efficacité du transfert de chaleur dans le flux de tuyaux de ces systèmes, plusieurs tœhniques d'amélioration du transfer[ de chaleur ont été développées.

La technique d'augmentation du transfert de chaleur par des parois ondulées est une caractéristique très importante dans la conception des échangeurs de chaleurs compacts tel que le montre les la littérature. Le processus physique d'augmentation du transfert de chaleu vient du fait que la fome ondulée de la surface détruit la couche limite formée et pemet l'emplacement

continu du fluide près de la paroi solide. Par conséquent, le meilleur des solutions est de produire

le minimum de perte de charge pour un maximum du transfert de chaleur.

Le présent travail traite le problème du tnansfert themique d'un écoulement turbulent dans

des tubes ondulés en tenant compte de l'impact de l'amplitude de l'ondulation sur le transfert

de chaleur et les peftes de charges. L'analyse de l'écoulement turbulent et la prévision des échanges thermiques est effectuées sur plusieurs tubes de différente amplitude en utilisant la méthode des éléments finis et le modèle de turbulence k€psilon implémentés dms le code de calcul Comsol.

Le but de notre travail est de simuler le comportement dynamique et themique d'une convection forcée d'un écoulement turbulent dans un tube ondulé.

Le présent travail comprend quatre chapitres, le premier chapitre est consacié à une recherche bibliographique concemant les travaux récents sur les performances thermo-hydraulique des écoulements dans ]es tubes ondulés.

Dans le deuxième chapitre, nous avons présenté la géométrie du problème étudié ainsi que la formulation mathématique, les équations de conservation de masse, de quantité de mouvement,

l'équation de l'énergie et les conditions aux limites appropriées.

Le troisième chapitre aborde le code industriel COMSOLet les différentes étapes de la modélisation de structure (géométie, choix du maillage adéquat, conditions aux limites hydrodynamiques et themiques, résolution).

Le quatrième chapitre est réservé à la présentation et l'interprétation des différents résultats

des simulations numériques.

Enfin, nous terminons notre mémoire par une conclusion générale résumant l'essentiel de notre travail.

(14)

- Chapitrel

(15)

Chapitre 1 Recherche bibliographique

1,1

1.1 Introduction :

Arriver à trouver un aperçu historique sur les tubes ondulés et leur introduction dans le secteur industriel ne s'avère pas une tâche des plus simples, même toute la charge informative, qui se trouve sur intemet, concemant les industries qui leur font appel, n'y aboutit pas vraiment avec tant d'exactitude.

Ce n'est qu'après 1928, un chercheur du nom de Dean, fiit le premier à avoir décrit

un phénomène se produisant dams les conduites incurvées, appelé phénomène de recirculation

ou vortex de Dean, ces vortex se créent au niveau des courbures, et qui ont pour effet d'homogénéiser radialement les champs de température, de vitesse, par conséquent favoriser l'échamge thermique mais en contrepartie augmenter les pertes de charge. On y reviendra plus tard dans la partie de ce chapitre qui y est consacrée àjuste titre.

Compte tenu des enjeux que cela représente en termes d'énergie, non seulement cela légitime inéluctablement l'attention particulière des énergéticiens, et de tout ce qui se réfere à l'optimisation, mais aussi justifie l'intérêt de recherche dont ils font l'objet aujourd'hui encore.

Dans un premier temps de ce chapitre initiatique, on va restituer les notions de base qui seront utilisées dans la suite de ce manuscrit, ensuite on fera une rétrospective des travaux récents numériques et expérimentaux sur ce sujet.

1.2 Transfert thermique et écoulement dans les tubes droits :

1. 2.1 Aspect dynamique de la convection :

1.2.1.1 Couche nmite hydmdynamique :

Lorsqu'un fluide s'écoule le long d'un tube de diamètre D, indépendamment de la nature de l'écoulement (laminaire ou turbulent), les molécules à proximité de la surface sont ralenties

à cause des forces visqueuses domant lieu aux ffottements. Donc la couche limite hydrodynamique peut être définie comme étant la couche de fluide fieinée au contact avec la paroi. Les autres

molécules du fluide s'efforcent de glisser sur les premières qui sont ralenties (fi.einées, leur vitesse

est nulle ou la même que celle de la paroi solide) jusqu'à une épaisseur bien définie (Ô) , que l'on nomme l'épaisseur de la couche limite, ce phénomène est appelé condition d'adhérence ou de non-glissement du fluide, d'où proviennent les forces de cisaillement et provoquent l'apparition de cette demière (couche limite dynamique), et qui tend à se développer au fur et à mesure que l'on

s'éloigne de l'entrée.

Ainsi, la contrainte de cisaillement pariétale est définie par le gradient de vitesse développé

au niveau de la paroi et est déterminée par la relation suivante

Tp = #(ôtt/ôr)|r=R (1.1)

Où : #, tt, R sont respectivement; la viscosité dynamique, la vitesse et le rayon

(16)

u® ^r Couche limite laminaire Profil

o-Ë=:.:.-T:-ïf-::;bol,que

_{: J-. X}

> > > > > Ecoulement laminaire 151

Figure 1.1 : Développement de la couche limite hydrodynamique dans un tube.

Dans la région d'établissement hydrodynamique, le profil de vitesse varie avec «x » et à partir d'ue certaine distance de l'entrée, appelée «longueur d'établissement hydrodynamique », la couche limite envàhi toute la conduite [1] et l'écoulement est dit développée. Ce qui se passe à partir de ce«e distamce dépend de la nature de l'écoulement s'il est laminaire ou tubulent.

Cette caractérisation du régime de l'écoulement se fait par la détemination du nombre de Reynolds. Ce nombre adimensionnel, représente physiquement le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses. 11 est défini par la relation suivante :

Re = Êm

4

(1.2)

Où : Z/, Dh et 4 sont respectivement, la vitesse moyenne du fluide, le diamètre hydraulique Dh du tube et la viscosité dynamique.

R . 3aoo

Figure 1.2 : Profils de vitesse dans une conduite circulaire Œelfast 1842 -Watchet, Somersetshire,1912).

(17)

• Si le nombre de Reynolds est inférieur à une certaine valeur conespondant à 2300

(Re <2300) on dit que l'écoulement est laminaire.

• Si le nombre de Reynolds est supérieur à 2300, on dit que le régime de l'écoulement est

turbulent.

Ainsi, la différence de la nature de l'écoulement dépend de la nature du fluide, la vitesse du déplacement du fluide et la géométrie et la taille du canal [2].

I.2.l.l.a Régime Laminaire :

Profi] de vitesse :

Dans la région entièrement développée, le profil de vitesse pour un écoulement laminaire incompressible peut être aisément déteminé. 11 est parabolique et défini par [a relation suivante :

U(r) = -Î:(Ï) [1 -(:)2] (i.3)

La caractéristique des conditions hydrodynamiques dans cette région, est que la composante

radiale de vitesse Ur et le gradient de la composante axiale U de la vitesse sont partout nulles.

UR -_ o, ô= = o => U(r, x) = U(r)

La vitesse maximale pour r = 0 est définie par :

u---#(Ï)

La vitesse moyenne peut être déterminée par la relation suivante :

Ü--q=--%foRU(r)rdr==uÔ=x=¥i

Où A est l'aire de la section du tube.

(1.4)

(1.5)

(1.6)

Facteur de frottement :

Un écoulement visqueux engendre des pertes de charges qui sont dus aux ftottements visqueux. Cette variation de pression entre l'entrée et la sortie de la conduite de longueur L, est

définie par la relation suivante

(1. 7)

Pour la chute de pression, on fait recours au facteur de fiiction qui est une grandeur sans

dimensions représentant l'influence du type d'écoulement (laminaire ou turbulent) et de l'aspect

de la conduite (lisse ou rugueuse) sur la perte de charge [3]. Ce paramètre est défini comme suit [4]

üôplôx)D

1/2p_UZ (1. 8)

(18)

Chapitre 1

c,-#-#-Î

4P : est la chute de pression dont l'équation est celle¢i :

Ap-3¥-#G%x)

Recherche bibliographique

(1.10)

L'expression du facteur de ffottement qui permet de caractériser ces frottements visqueux

dans le régime laminaire est la suivante :

/-Ë (1.11,

I.2.1.l.b. Régime turbulent :

Au régime turbulent, I'écoulement est irrégulier et se caractérise par un mouvement aléatoire

(bidimensionnel et devient tridimensionnel après une valeur du nombre de Reynolds) de parcelles de fluides relativement importantes, le mélange à l'intérieure de la couche limite est favorisé

par des voftex circulaires, qui sont générés par intemittence près de la paroi à la différence

du régime laminaire [ 1 ].

Le traitement de la couche limite s'est révélé tnès difficîle cn raism de la défmdapft de l'écoulement à la variabLe temps, c'est pourquoi on s'cmprcsse de rendrc les q"ions de Navier-stokes et de continuité moyemées, grâce à la décmpositim de Reynokls. Parmi les modèles posés pour la résolution de ces équations m cite le modèk kTqrilcm [5], qu'on a choisira dans notre travail de simulation.

Profi] de vitesse :

En régime turbulcmt, le profil de vitesse selon le rayon est approximé simplement par U(r), il n'est plus parabolique mais unifome su un large domaine autour de l'axe.

11 se caractérise par une brusque variation au voisinage des parois et la distance

d'établissement hydrodynamique plus courte par rapport à ce]le du régime laminaire. Ia couche

limite hydrodynamique dans ce régime, selon l'influence du degré de la viscosité, est composée de trois zones :

• Sous couche laminaire : C'est la région où les effets de viscosité sont prépondérants et la vitesse moyenne varie linéairement en fonction de y :

üÔ,,-%y

Une vitesse des frottements est définie par

•,.-\;,.:E

À l'aide de la notation suivante

u+==,y+-u=I=y

(1.12)

(1.13)

(19)

I

1

1 I

I

1

1 I

I

1

1 I

1

Chapime 1 Recherche bibliographique

On obtient la relation linéaire de la vitesse :

"+-Ëy-y+

Où : v est la viscosité cinétique. Cette zone s'étend sur l'intervalle 0 < y+ < 5.

(1.15)

• Sous-couche visqueuse : C'est une zone intemiédiaire où les effets de viscosité diminuent

avec l'augmentation de y.

• Zbne logarithmique : Dams cette région la vitesse suit une variation logarithmique définie

Par

"+ =; hy++B (,.16,

0ù : 8 et k sont expérimentalement définies par 8=5.5 et kü.40. Cette loi est valable pour

y+>30.

Facteur de frottement :

Dams le film laminaire de la couche limite turbuLente au niveau de la paroi, les toubillons qui

caractérisent la région turbulente disparaissent, les effets de la viscosité sont prqx"k5ramts, et la rugosité de la paDtoi devient un paramètne non négligeable, par conséquent le facŒAir de fiiction

G) devient de plus en plus important, sachamt qu'il est en fonction de 1'état dc surfaéè du tube, et qu'il est augmenté avec l'augmentation de la rugosité.

Dans les conduites de section circulaire lisse et pour des nombres de Reynolds a]lant de 2300 à 20000 on peut utiliser la corrélation de Blasius ( 1911 ) [6] :

/

0.3164Re-i/4 ,

Et pour un nombre de Reynolds supçrieur à 20000 on utilise cette corrélation :

f = 0.184Re-iis .

Le facteur de fi.ottement peut être calculé à l'aide de la corrélation suivante [1 ] :

J=(1.82logJie-1.64)-2, 3000<Jie<5.io6

Pour les conduites rugueuses, on peut utiliser la corrélation de Churchull :

É=2457Jn[(±)°9+o.27£]-ï

Où : É est la rugosité en [m].

(1.17)

(1.18)

(1.19)

(1.20)

1.2.2 Aspect thermique de la convection : 1.2.2.1 Flux de chaleur convœtif :

La convection qu'elle soit forcée ou naturelle est considérée comment étant le transport

(20)

Chapïtre 1 Recherche bibliographique

du contact entne ]e fluide mobile et une surface, il en résulte un transfert de chaleu. Ce mécanisme est régi paü. une équation appelée le flux convœtif :

¢ = (Tp -r,)Js: hcpds (1.21)

Où : ¢ est le flux de chaleur trmsmis par convœtion (w) et AcÜ est le coefficient de transfer[ convectif(w/m2k).

La figue suivamte présente un schéma simple illustrant de manière générale la convection :

7lf

P

S

Figure 13 : Définition d'un élément de surface d'échange.

Plus grande est la valeur du coefficient de transfèrL plus grand est le flux dimique échangé, la valeu de ce coefficient est dépendante de certains paramètres tels qie : la nature du fluide, sa températue, sa vitesse de déplacement et finalement les caraceéristæies géométriques

dilasurfàcedecontact.

Le flux convectif échangé au niveau de la paroi est égale au flux échfapgé par conduction, d'où l'on peut calculer le coefficient de transferl (hct, /.

I.e flux convectif aü niveau de la paroi :

pP =Æf# ir=R a.22)

En égalant les deux équations du fluL après avoir divisé la première équation par la surfàce(s), afin d'obtenir la densité de flux en (w/hi2), on aum :

hœ = -k, "Îpft±=Æ ¢23)

Où : Kf est la conductivité du fluide en (W.m-] .K-'), Tp est la température de la paioi ac°), Tf est la températtme du fluide toujous en (K) [7].

IÆ coefficient de transfèft de chaleur par conveotion b local est une fbnction de l'écoulement du fluide (vitesse et nature du mouvement du fluide), des propriétés thenniques du fluide et de la géométrie du système. Sa valeur dépend du lieu de mesure de la température et se détermine eii fimction du nombne de Nusselt défini par :

•u--%--D-3#

hDm

a. 24)

(21)

1 I

I

1

1 I

1

1 I

I

1

1 I

Chapitre 1 Recherche bibliographiqw

1.2.2.2 Couche ]imite therinique :

Lorsqu'un fluide d'une température (Tf) entre en contact avec une surface, et sa température est diffërente de celle de la paroi de cette demière (Tp), des échanges themiques s'établissent. Les particules du fluide s'échauffent ou se refiioidissent par convection au contact de la paroi et par conduction en échangeamt entpe elles une bonne partie de ]eus énergie inteme sous foime d'agitation themique le plus souvent, et ce de proche en proche. La température varie depuis celle de la surface jusqu'à la température du fluide libre au centre de l'écoulement et ce n'est qu'à partir de ce moment-là que l'on assiste donc à la fomation d'une couche limite themique que l'on rçprésente dans la figure cidessous [ 1 ] :

t.uot)',tl,+'* J' 11,u,'_". ''. 1'," 1 '1 ''' ' .` 1,E d..u; `1 `C..! (t. '',\-' ,`\,'.-I_,ü p.. t'."r" ` -,,... '`.,'L' " ` .,., 1.?,' 1=1\

Figure ¢.4) : Couche limite themique /Gna/W: ef 4/ft.naÆw À£, J99jJ.

On dit que le champ de températue est développé, une fois que la différence de tempémire du fluide (AT) entre l'entrée et l'intérieu du tube, ne va plus varier avec l'axe (ox).

Dans le régime turbulent, la couche limite thermique est composée de deux zones :

• Sous¢ouche visqueuseo < y +< 10 : Dans cette région la diffiisivité themique est dominante et le profil de température moyeme est linéaire :

T+ = Pry+

T+--

pcpu.(Tp -Î)

Avec (1. 25) (1. 26)

P

Où : Pr, u,, Tp et p sont respectivement le nombre de Prmdtl, la vitesse des ffotiements et le flux à la paroi. F est la température du mélange dans cette zone où y+"+ d'où :

r+ = pru+ (1.27) • Zone logarithmique : Dans cette région la température moyeme suit une variation

logarithmique défmie pæ

Avec

T+-ihy++A„r,

A. = 12.8 Pr°.68.7.3

(22)

I

1

1 I

I

1

1 I

I

1

1 I

1

1 I

Chqpitre 1 Recherche bibliographiqæ

Le nombre de Nusselt est déterminé (les écoulements intemes) par la conélation suivamte [6] :

Nu-

f |8(Re -1000)Pr

1+12.7(€)±(Pr3-2)

0.5 < Pr < 2000

(1. 29)

Où 3000< Re <5. i o6.

1.3 Le Transfert thermique et écou]ements dans ]es tubes ondu]és :

11.3.1 Différents types de géométrie de tubes ondu]és :

La géométrie des "bes ondulés joue m rôle très important su la performance

thermique et hydrodynamique, cetie fome de coubuie est choisie et adaptée en fonction de

son utilisation et de son intépêt énergétique dans les divers domaines industriels.

On schématise dans les illustrations ci-dessous, quelques géométries le plus

fiéque-ent rencontrées :

I Forme sinusoïda]e :

I Forme « c » :

• Forme carrée :

(23)

IEÏ

13.2 Phénomène de recir€ulation de Dean :

Ce phénomène est dû à la présence de structures secondaires, générées par la courbure du canal, accompagnant l'écoulement principale du fluide. Un schéma du flux de Dean peut être vu

à la figue cidessous.

P.rol .xtérl®ur

8

Figue 15 : Tourbillons à contre-rotation (flux de Dean) dans la partie toumamte du virage.

Les lignes de courant à ['intérieu des tubes ondulés ne sont pas parallèles à l'aKe principal du tube, telles que le sont celles se trouvant dans les tubes rectilignes, et cela s'explique par la présence de zones de recirculation générées incontestablement par la coubue du canal Œa figure 1.6).

Figure 1.6 : Les lignes de courant ne sont pas parallèles dans les tubes ondulés.

À l'entrée de la coubue, une force centrifiige Fc s'exerce sur les éléments de fluide, elle est proportionnelle au carré de la vitesse axiale et nomale à l'écoulement :

É-¥ =i F-V2 (I.3o,

En conséquence de cette force centrifiige qui est grande au cœur de l'écou]ement, un mouvement se crée vers la droite de ]a coubure. Plus la vitesse d'écoulement dans le camal est grande pour négliger les effets de la viscosité et dh<<Rc, l'équation des moments de Navier Stocks devient

vy¥+vz¥-#--8 ,,.3,,

La force centrifiige (force de volume) est ainsi proportionnelle au gradient de pression : un mouvement des particules fluides se crée du centre vers la direction de la paroi exteme du coude

(24)

(où la pression est grande) pour prendre la p]ace des particu]es proches de ]a paroi inteme du coude

(de basse pression). Cela est responsable de l'apparition des boucles de recirculations « Boucles

de Dm ».

Figure 1.7 : Les boucles de recirculations.

W. R. Dean a fomulé un nombre qui calcule l'intensité de ces structures :

D e -- R e

(1.32)

Pour résumer le tout, la création de ces boucles de recirculations favorise le brassage du fluide au niveau de la paroi en augmentant les fiottements, et ainsi la couche limite se réduit relativement, simultanément le coefficient de transfert ne fait qu'augmenter, ce qui fait que tous les éléments idéals pour intensifier le transfert thermique soient réunis [8].

1.4 Recherche bib]iographique :

T.A Rush T.A Newell A.M Jacobi (1999) [9] : avait effectué une étude expérimentale d'une convection forcée dans les passages sinuso.i.dalement ondulés pour comparer l'effet de déphasage (q)) d'une géométrie sur l'apparition des structures secondaires et leur effet su l 'amélioration du transfert themique.

(c)

(25)

I

1 I

I

1

1 I

1

1 I

I

Les résultats de ces expériences avaient montré qu'à mesure que le nombre de Reynolds augmente, l'instabilité s'établit près de l'entrée du tube, et pour un nombre de Reynolds domé, l'écoulement à q) = 180 est plus stable qu'à ¢ = 0,¢ = 90,et que l'apparition des écoulements secondaires améliore le transfert themique.

Cc Wang C.-K. Chen (2002) [10] : avait effectué une étude numérique d'une convection forcée d'un écoulement laminaire dans un tube ondulé afin d'examiner l'effet d'une géométrie ondulée et du nombre de Reynolds sur le nombre de Nusselt (Nu) et le cœfficient de frottement (Cf). ] 1' -..-.,.-. 1`J: ,t-'^ = + r.¥ 3tJwtu=il- u.îl!!

iiHiE-_;:,-,' '.''1,Iih'j i.'.,_' Üh..1 *,! ','1; ï JI: _,+jiJtu._il- .ù.all

Figure 1.9 : Type de géométrie expérimentée.

11 avait constaté qu'avoir un grand rapport amplitude-longueur d'onde (c[) et un nombre de Reynolds (Re) élevé assure une amélioration du transfert thermique, et que l'augmentation de ces demiers entraine également une augmentation du nombre de Nusselt (Nu) et du coefficient de fiottement (C/).

é

o 5 10 15

(26)

Recherche bibliogrqphique

I

1

1 I

I

1

1 I

I

1

4S€7

Figure l.12: Variation de JVu en fct de (Jie) Figure l.13: Variation du Mh en fct de (Re/

Nathan R. Rosaguti, David F. Fletcher, Brian S. Haynes (2006) [11| : avait réalisé une étude numérique sur le tramsfert convectif forcé d'm écoulement laminaire développé dans un tube ondulé de forme carrée. 11 avait constaté que l'écoulement est caractérisé par l'apparition des vortex de Dean dans chaque courbue, et à mesure que le nombre de Reynolds s'accroit, les vortex s'intensifient, l'écoulement devient de plus en plus complexe et dominé par ces demiers. Par conséquent il y a une amélioration du taLix de transfm de chaleu.

L;

dt

Bond 1 Bend 4

Figure 1.14 : La géométrie dont elle a été I'objet de l'étude.

13_0 11.0 9.0 ®_ z- 7.0 ® 5_0 3.0 1.0 0 100 200 300 4 00

(27)

Recherche bibliograph}que

.,-(a) (b) (c) (d)

Fîgure L16 : I.a croissance de la turbulŒœ aye€ celle du nonbre de Reynolds allant de 100 à 400.

Nathan R Rosaguti, David F. Fletcher, Brian S. Hayncs (2007) [12] : son étude est menée

sur la convection force d'un écoulement laminaire développé dans un tube ondulé à section circulaire pour but d'expérimenter à des valeurs petites du nombre de Reynolds (Re), allmt de 5 à 200, son effet sur l'amélioration du ta`ix de transfm themique.

dL_/

Figure 1.17 : Géométrie ondulée à section circulaire.

Les résultats ont mené à conclure qu'il y a eu une augmentation du nombre de Nusselt (Nu) et du coefficient de fi.ottement Œc), et cela s'est fait au fiir à mesure que le nombre de Reynolds Œ`e) s'accroissait pour une valeur domée du rapport (A/L). Cette amélioration a encore d'avantage à des valeus croissantes du rapport (A/L) ce qui implique nécessairement une amélioration du taux

de tmsfert themique.

1_6 1_5 1.4 J1.3 12 1.1 1.0 0 50 1œ 150 200 0 50 100 160 200

(28)

1 I

1

1 I

1

1 I

I

1

1 I

I

1

1 I

I

Chapitre 1 Recherche bib liographique

Paisarn Naphon (2007) [13| : a présenté une étude expérimentale sur la convœtion forcée d'un écoulement laminaire développé entre deux plaques ondulées afin d'examiner l'effet de la géométrie sur la chute de pression.

5r=3oo mm

Figure 1.19 : Schéma illustratif du dispositif de l'expérience.

Ses résultats ont montré que ces plaques augmentent la chute de pression de manière générale,

et cette augmentation est proportionnelle à l'angle d'ondulation (20°, 40°, 60°). Cela est dû à l'apparition de zones de recirculation qui favorise le brassage des particules de fluide dans la couche limite.

1.2

0.0

Hoai flux 0.83 kw/m'

lnlet air lemperaiure = 27.i 5°C

Wavy angie (o)

020

E,40

^60

4CX) 600 800 1000 1200 1400 1600

F]eynolds number

Figure 1.20 : Variation de la chute de pression (4P) en fonction de (Re) et de l'ongle d'ondulation.

Ramgadia Abhishek G. Fbmgadia, Arun K. Saha (2013) [14]: a présenté une étude

numérique bidimensionnelle du transfert convectif forcé d'un écoulement développé

dans un passage ondulé de 180° de déphasage.

(29)

Les résultats obtenus ont montré un accroissement des vortex de Dean avec le nombre de Reynolds (Re) accompagnée d'une augmentation du coefficient d'échange themique au pic de chaque ondulation du tube. Cette amélioration implique nécessairement une amélioration du taux de transfert themique.

ri__ `_J

(€`, ,t.= _2i { - )__ .ï--._ 2 ` ,` , (--) 1{-. ,`()<,

__¥qT=i-J==,--,=

{ b) 'lc---_ ' .,`,

r--i.-..-..-~ (.1) 1<-- 4{,1,

=---:---(r> [<-. x(,{)

Figure 1.22: Évolution des écoulements secondaires avœ (Re).

1.4 Conclusion :

Les surfaces courbés dans leur globalité et indépendamment des formes qu'ils peuvent

prendre, constituent un objet d'intérêt majeur pour une étude quel que soit sa nature, s'intéressant aux performances themiques et hydrodynamique.

Les structures secondaires, qui se créent à l'intérieur lors de l'écoulement, provoquent

des turbulences augmentant les fiottements à l'intérieure de la couche limite, ce qui favorise

le brassage des particules fluides près de la paroi. Donc cela réduit la couche limite, et augmente

le coefficient d'échange thermique, donc le nombre de Nusselt, et conséquemment l'amélioration du taux de transfert thermique.

(30)

- Chapitrell

Fo"uhüon

MŒlhémŒkÆque

(31)

Chapitre 11 Formulation Mathématique

11.1 lntroduction :

L'écoulement des fluides est un phénomène complexe, les éléments du fluide en mouvement peuvent se déplacer à des vitesses différentes et peuvent être soumises à des accélérations différentes. Les trois notions importantes en ce qui conceme I'écoulement de fluide sont :

• Leprincipe de laconservation de la masse

• Le principe de la conservation de la quantité de mouvement

• Le principe de la conservation de l'énergie

Dans ce chapitre nous allons présenter ces trois principes sous fome d'équations différentielles, associées aux hypothèses appropriées au problème étudié de convection forcée en régime turbulent, et les conditions aux limites.

11.2 Géométrie du problème :

Le problème considéré dans cette étude consiste à étudier la convection forcée d' un écoulement bidimensionnel turbulent de l'air dans un tube sinuso.i.dalement ondulé de longueur L = 180 mm, de rayon moyen Ro = 3 mm, d'amplitude € et de nombre de périodes N comme le montre la Figure ll.l.b. Ce fluide entre dans le canal de température fixe Tp avec une vitesse à profil unifome Uo et une température uniformeTo.

Afin d'étudier les paramètres régissant l'écoulement et le transfert de chaleur dans le tube ondulé nous avons divisé le domaine en cinq parties différentes désignées par ® à ® dans la Figure 11.1. Le quatrième segment © représente la région hydro dynamiquement et thermiquement développée du tube pour effectuer l'analyse.

/-. ( - , ï,' 1\- )

fl,)

Figur€ 11.1 : Configuration géométrique du tube circulaire ondulé : (a) Vue isométrique ; (b) Paramètres géométriques.

Les paramètres géométriques associés aux différents cas étudiés du problème sont donnés

(32)

Chapitre 11 Formulation Mathématique Le tube L (mm) Ro (mm) € (mm) N Simple 180 3 - -Ondulé 1 180 3 0.15 20 Ondulé 2 180 3 0.10 20 Ondulé 3 180 3 0.15 15 Ondulé 4 180 3 0.10 15 Ondulé 5 180 3 0.15 10 Ondulé 6 180 3 0.10 10

Tableau 11.1: Paramètres géométriques des tubes étudiés.

113 Hypothèses simplif]catrices :

La modélisation du système étudié est basée sur la simplification des équations différentielles représentant le phénomène. Cela nécessite l'adoption des hypothèses simplificatrices suivantes :

1. L'écoulement est bidimensionnel, stationnaire et turbulent. 2. Le fluide est newtonien incompressible.

3. La géométrie est axisymétrique (r, x).

4. Le transfert de chaleur par rayonnement est négligeable.

5. I.a dissipation visqueuse est négligeable ®j) et la some de chaleur est nulle.

6. Les propriétés physiques de fluide (p, Cp, H, k) sont considérées constantes.

11.4 Equations généra]es de transport :

11.4.1 Équation de Continuité :

C'est l'équation qui traduit la loi de conservation de masse pour un volume de contrôle matériel. Elle s'exprime mathématiquement sous la forme suivante :

£-0

(11.1)

11.4.2 Equation de quantité de mouvement :

Le principe de conservation de la quantité de mouvement permet d'établir les relations entre les caractéristiques du fluide lors de son mouvement et les causes qui le produisent. 11 indique que

le taux de variation de quantité de mouvement contenue dans le volume de contrôle est égal

à la somme de toutes les forces extérieures qui lui sont appliquée.11 s'écrit sous la foime suivante :

p(",%+Ü%)--#+±("(#))

11.4.3 Équatîon d'énergie :

L'équation de conservation d'énergie est obtenue à partir du premier principe

la themodynamique :

(11.2)

(33)

Chapitre 11

•£#-Œ(#)

Formulation Mathématique (11.3) Avec : Œ = k/pCp Œ : Difflsivité themique. k : Conductivité thermique.

Cp : Chaleur spécifique à pression constante.

11.5 Décomposition statistique :

Pour résoudre ce système une approche statistique est utilisée. Les grandeurs caractéristiques de l'écoulement turbulent seront décomposées selon les règles de Reynolds comme suit : le premier représente le mouvement d'ensemble et le second le mouvement fluctuant, soient :

Ui=U-L+Ui', d=O, Pi--ÏI,+pi', p-'=0

(11.4)

En général, la quantité f(x, t) est décomposée en deux parties distinctes :

f - Î + f i`

/-et la partie moyenne et /i' est la fluctuation. La partie fluctuante est centréeF' = 0 .

11.5.1 Les tensions de Reynolds :

Le fomalisme des règles de Reynolds conduit en prenant la moyenne de chaque équation aux équations de Reynolds.

(u]+u'])%(u.+uD=-=%.(p+p'n%](v%,ut+u'.) (\\.s)

On moyenne ensuite ces équations et après calcul, on retrouve l'équation de continuité et celle quantité de mouvement moyennée.

11.5.2 Équation de conservation de masse :

2E=o

ari

11.5.3 Équation de quantité de mouvement :

u-)%®u-.)--±p%,+v#+%,(-v")

(11.6)

(11.7)

I.es équations de Reynolds moyennées obtenues font apparaître un nombre d'inconnues Supplémentaire d'où la nécessité d'un modèle de turbulence afin de fermer le système d'équation à résoudre.

11.6 Modè]e de turbu]ence k-£ :

11 existe diffërents modèles de turbulence, qui se distingue par un nombre d'équation

de transport supplémentaires nécessaires pour fermer le système d'équations du problème à résoudre. Dans notre cas, on a utilisé le modèle k-€ standard qui est un modèle semi empirique basé sur le concept de Boussinesq reliant les contraintes de Reynolds au taux de défomation moyen

(34)

Chapïtre 11 Formulatiom Mathématique

-pH--"t(#+#)-3,ô"Æ,

(11.8)

0ù-p;7;;ï=-#t(;=;+::;)-:(ô#Æ)estletemeudedéfomation

Æ=-¥Représentel'énergiecinétiquetubulente.

LLtestlavÉcositédynamiqueturbulentedéfiniepar:4t=pvt=¥

Avec Cp= 0.09, et € le taux de dissipation. k et c sont obtenus à partir de leur équation de transport présentée ci-dessous.

a. Équation de transport de I'énergie cinétique turbulente k :

±(pÆU,., = ±[("#)#] + GÆ -P£ ,]1.9,

b. Équation de transport du taux de dissipation € de l'énergie cinétique turbulent :

±(P»/.) = ±[(4#)#] + Ci€:GÆ -C2£ (PË) (11.10)

Les coefficients sont déteminés de façon empirique : Ci€=1.44, C2€ =1.92, og =1.3, ok =1.0.

Le teme de production Gk est donnée paD :

Gk = -p;ïÉ7# = Pvt(#+#)# (ii.ii)

11.7 Conditions aux limites :

La résolution du système des équations différentielles citées précédemment nécessite des conditions aux limites aiydrodynamiques et themiques) aux quatre ffontières du domaine d,étude. r _ _ _ `1

+pératmjmEé. Î

L _____ _ _______ Æ

uo,f: J\,\/_\,

so,tie D

x=!=----x=L

(35)

Chapitre 11 Formulation Mathématique

11.7.1 Conditions aux limites hydrodynamiques :

La vitesse à l'entrée du tube Uo est constante et correspond à un nombre de Reynolds fixé. Cette vitesse s'exprime par l'équation suivante :

(11.12)

Nombre de Reynolds

Vitesse initiale (nvs)

5000 12.83

10000 25.66

Tableau 11.2 : Valeurs de vitesses correspondantes aux nombres de Reynolds choisis.

A l'entrée du cylindre x=0 : u-Uo

ur-0

À la sortie du cylindre x=L : Ëlx=L = o

#-o

À la surface latérale du cylindre r=R :

u=O

ur-0

À l'axe central du cylindre r=0 :

u = umax

t+-0

11.7.2 Conditions aux limites thermiques :

A l'entrée du cylindre x=0 : A la sortie du cylindre x=L :

T-To

Ëlx=L - o

(11.15) (11.16) (11. 21) ( 11. 22)

(36)

Chapitre 11

À la surface latérale du cylindre r=R :

7' - Tp

À l'axe central du cylindre r=0 :

#lr=o = o

Forrrmlaf ion Mathématique

(11. 23)

(11. 24)

11.8 Propriétés du fluide :

Dans cette étude, nous avons choisi l'air comme fluide caloporteur, le tableau 11.3 cidessous

présente les propriétés thermo-physiques du fluide à To=288k.

Propriétés physiques Symboles Valeurs Unités

Masse volumique _P 1.29 Kg,m2

La conductivité themique K 0.025 Kg/m.K

Capacité themique spécifique Cp 1006 JÆg-K

Viscosité dynamique H 18.510-6

(37)

-Chapitre lll

(38)

Chapitre 111 Forrmlation Nmérique

111.1 IntiDduction :

La nature non-linéaire et couplée des équations gouvemant le problème du transfert themique est la cause de toute la complexité et les difficultés rencontrées lors de leur résolution mathématique. D'ailleurs les méthodes analytiques demeurent impuissantes et ne peuvent être utilisées que dans les cas simples et en imposant des hypothèses simplificatrices. Ainsi,

la réalisation d'une simulation numérique fiable est une voie importante pour la solution du problème considéré.

Dans le cadre de notre étude, nous allons utiliser un logicie] de modélisation numérique appelé COMSOL Multiphysics. Ce logiciel permet de coupler plusieurs équations et phénomènes

physiques (thermique, mécanique des fluide, physique du solide...). Dans ce chapitre, nous

représentons les différentes étapes de simulation numérique du problème considéré en utilisant le code Comsol multiphysics.

111.2 Méthode des é]éments finis :

La méthode des éléments finis est une méthode numérique, de résolution approchée des équations différentielles, décrivant Les phénomènes physiques de l'ingénierie. Elle connaît une extension fantastique, qui va de pair avec le développement et l'accroissement de la puissance des ordinateurs. Elle est devenue un outil de travail, calcul et conception quotidien, voir fainilier

de l'ingénieur, dans des domaines aussi variés, tel que l'analyse des structures, le transfert

de chaleur, la mécanique des fluides, l'électromagnétisme, les écoulements souterrains,

la combustion ou encore la diffusion des polluants.

La méthode des éléments finis consiste à remplacer le problème différentiel par un problème algébrique afin de trouver une solution approchée, les valeurs des grandeurs inconnues sont

stockées dans des nœuds, entres lesquelles sont faites des interpeLlations.

Les diffërentes étapes de la méthode des éléments finis sont :

1. La fomulation sous une fome variationnelle ou plus précisément sous une fome faible. 2. L'écriture sous fome discrète du problème continu.

3. La résolution numérique du problème discret.

IH.2.1 Types d'Éléments Finis (Maillage) :

Qu'elle que ce soit la fome et la dimension du problème, à une ou deux ou même à trois dimensions, plusieurs types d'éléments finis existent. On rencontre le plus souvent des éléments

(39)

Chapitre 111 Formulation Nurnérique

-,,---- ` ,.----, ___ ,..,.

héarie(: ) quadratüue ( 3 t cubique(J )

figue ln 11 a Elémen( firis monodriensiomels

É± qu.::.a:::„ c:iuj:;,

figue 111 11 b Elemcnt firis bidhensiomels Trian.des

- = --,,-. _-.-+'

L_J :___._:

1281

héaie{J) quadratiquc(S) cubique(l:\

Figure 111.1 : Éléments finis mono et bidimensionnels.

111.2.2 Domaines d'application :

La méthode des éléments finis est appliquée dans la majorité des domaines de la physique (Figue 111.1). Cela va de la mécanique à l'électronique, en passant par la themique

et la météorologie [ 15] .

Figuit 111.2 : Domaines d'application de la méthode des éléments finis [ 15].

111.3 Présentation du logiciel COMSOL :

L'objectif de ce travail est d'établir un modèle mathématique, pemettant de faire une modélisation et simulation d'une convection forcée d'un écoulement turbulent afin d'examiner l'effet d'une géométrie ondulée et du nombre de Reynolds sur le nombre de Nusselt (Jvt.) et le coefficient de fiiction Œ).

Notre choix s'est porté sur le logiciel COMSOL Multiphysics. En effet, cet outil de simulation numérique, basé sur la méthode des éléments finis permet de traiter de nombreux

problèmes grâce à sa banque intégrée d'équations physiques très variées. 11 possède de plus

un environnement graphique permettant de réaliser rapidement des figures relativement complexes (en 2D ou 3D). Par ailleurs, COMSOL Multiphysics possède un environnement de programmation

(40)

Chqpitre 111 Fomulaiion Nmérique

dams lequel il est possible de modifier le maillage et les équations du problème. Par défaut le maillage est automatique et se compose de triangle en 2D et de tétraèdre en 3D. Ce logiciel possède de nombreux systèmes de résolution dits « solvers », pouvamt être linéaii€s ou non, paramétriques ou encore dépendant du temps [16].11 est donc possible d'évaluer avec ce logiciel la conductivité, la capæité et la diffiisivité themique des matériaux composites.

IH.3.1 Lancement du code Œtapes principa]es) :

La figue suivamte schématise les diffërentes étapes suivies lors de l'utilisation du Comsol 4.3.

I choixd

umodèle | | Résddionetaffichæe |

mai:hématiaiie dŒ TÉsultats

matériaux/fluides conditions aux limites

Figure 111.3 : Ëtapes suivies pou la résolution d'un problème.

111.3.2 ModéLisation Numérique par COMSOL Mu]tiphysics :

Notre travail consiste à modéliser le transfert de chaleur en 2D aKisymétrique à l'aide du logiciel COMSOL version (4.3), en régime turbulenL à réaliser La géométrie du problème, à faire entrer les hypothèses et les conditions aux limites correspondantes, qui sont énumérés dans le chapitœ 11. Là simulation par le biais de COMSOL, passe par les étapes suivamtes :

• Choixdumodèle:

Au démarrage de COMSOL nous devons choisir le modèle adéquat à notre problème. Afin de limiter les calculs, nous choisissons tout d'abord de faire des simulations avec un modèle 2D

(41)

I

1 l cÆqp,.fte Æ

Ü: Moddeu.ld- E-E] -` Mod.lwz|nd

.H.=.-t ,Ë` s.,-sp.c. . `i ur".d.mph /hæ) O|m.i..Ion I Glob.l I}dmftions G Rë`Jhs 3D • 20 -mdrK 20

Figure IH.4 : Choix du modèle.

• Création du modè]e de simu]ation :

Lors de l'ouverture d'une fenêtre de calcul, COMSOL demande le type de géométrie souhaitée pou la modélisation. 11 s'agit ici d'un modèle Navier Stockes régime turbulent et de trmsfer( de chaleu et stationnaine pour résoudne les équations de vitesse du fluide.

:`` Modd wm.d

Add Phy.ic. q±. R«.mù Used

|- H.d Trenstcr ir. Fluids Ot)

=:? Tuibulerrt Flo\^/, k-. (spf)

\AC-iii) Acoustics

*S Chemi¢.l Species Tœnsport

Ü Electmcl`mistry S= Fluid Flow |tt Hœ Tr.n5f-® PLu-'ëàq Rdio FŒquHency Ë Strudural Mech.nic!

Au h-CS

++1 Sdæed physic5 |- Hert Tr.r`5fŒ in FluidŒ (ht)

',('.: Turbulent Flo`^., k-t (spO

'= E] ``. Model wizard

'ç} f; fl ,-\ Selec{Sti.dyTyp.

1

Studi6

= Pœsc( Studie5 for Seledd Phygcs

L=St".n,

ÎLT Tim. Dep"düt i=: Custom Studie

S€LEcted physics

FPhysH=1- He4t Tûnsfer in Fluîds ot)

L + -`-`-' TurbulciitFiow, k.€(£po

-Ej •-± fl

Figure m.5 : Choix de simulation.

• Introduction des pammètrœ et dcs variables :

Avec un clic droit de la souis su Global Définitions, on choisit Paramètres (voir la Figure 111.4) pour définir les diffërentes constantes dont nous aurons besoin, Lorsqu'on définit une constante, il est possible d'associer des unités à cette demière. Les unités doivent être mises entre crochets.

(42)

1 I l chpf"/H

1

1 I

I

1

FOT"laiion NméTiqw

t= ModelBujldei C] E] Pi paramcter5 H ModelLibr®v: -E] ¢ '= '= T=t !=t `- .mmer2dri.mph /hx*) Ë 6Iobal DdinitiorB Pi Par.mcteis a= V.ri.bles 1 ¢ Modell /h"7Ü = Dcfinitiom

^

6eomctry1 ® Metemk ï:€ Turt)ulcnt Flow, k-t /5p |- Hc.t ïren5fer in Fluids É:`=ij Mesh 1 8 Shldy 1 œ Rcsüft5

' P-crs

Nbme EH"5ion Vilue

3[mm] Om30000 m 20 20mo 220[mm] 022000 m 180 180.00 015(mrn] 15000E4 m 3141592 31416 5000 50000 (Re.mu)/(rho.„ 11951 m/s

OOÛ00185[Pa.s] 18500E-5 Pa€ 129|kg/m^3] 1"kg/m'

uo*(m^2}.pi.„. 4j59oE4 kg/s

l ,015e5 [Pa] 101joE5 Pa

1.0128e5[P.] 10128E5 P® (..m-pl).m}... oml5g21 ((fÆ).Œ`e-loo„. OÆ1202

û Ü i", 8 B

Figure 111.6 : Paramètres et variàbles.

• Lagéométrie:

On obtient la géométrie par l'utilisation des commandes du dessin de la barre d'outils

en cliquant su les boutons : Geometiy >> Præmetric Curve. Dans cette fenêfte on a indoduit

les paramètres, comme la longueur du tube, ainsi que l'expression de l'ondulation, après on a utilisé la commande Draw Line pou attacher les lignes les unes aux autres, et fomer la géométrie du tube

comme le montre la figLJre 111.5.

File Eën Vicw Option5 Help

DE>Be 6;+ r@ œœ jL-,=

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® T'==t" \. .+2d".mph /ü f! Gk" OEfinitiom P) Pmmdeœ 1= Vmk=1 i| h"ell/hdü = Ddinhkms A GœmaTyl

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' Mt=s.ges æ "-Pnt>grtsst_ (.og -ResLix= C= E]

C0hœ0143JU51

(43)

Chapitre 111 Formulation Numérique

• Ajout dcs propriétés du matérie] composant le conduit :

Faites apparaître le menu contextuel de Matériels dans le Model transfërt de chaleu puis sélectionner et ou`rir Matériel pou Choisir le gaz Air.

Fi!e Ed® `.`iew Optio" Help

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Figure 111.8 : Choix du matériel.

• Ajout dcs conditions aux ]imites :

Dams la fenêtre transfert de chaleur, on ajoute les conditions aux limites qui sont :

La tempémture à ]'entrée :

FilÉ Edit V.ew Optron[ Hdp

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(44)

Chapitre HI

La tempémture des parois :

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COMSO[ .30J5l

Figiire 111.10 : Température des parois.

Condition du modèle turbu]ent :

On a choisi un fluide compressible, puis le modèle k€psilon et à la fin on a introduit les coefficients de turbulence comme le montre la figure 111. 1 1 .

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COMSOL.30ül

(45)

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1 l cÆ"pj" /+T

La vitesse d'entnée :

Formuktion Numérique

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Figure 111.12 : La vitesse d'entrée.

La prcssion à ]a sortie :

Ftle Edtt `..iew Opt(Ôns Help

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Figure m.13 : La pression amosphérique à la sortie.

• Lemaiuage:

On Clique su Mesh et on choisit la taille du maillage. 11 est possible de défmir manuellement les paramètres de maillage. Une fois l'opération teminée, on peut lancer les calculs.

(46)

Formulation Numérique

1351

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Figure IH.14 : Maillage.

• Résultats:

Comme le problème est complètement défini, on passe alors à la résolution en utilisant

la oommande << Stiidy >> qui se trouve dans la fenêm << Compute >>.

La vérification de la résolution du problème par le solveur non linéaire est conditionnée par la convergence du programme montrée su la figure 111.15. Cette demière doit être indépendante de la densité de maillage.

8 10 12 14 16 18 20 22 24

lteration number 246

(47)

Chapitre 111 Formulation Numérique

m.4 Conc]usion :

Dans ce chapitre, nous avons présenté la modélisation numérique du problème par le code CONSOL en illustrant les étapes principales de la résolution. Après la définition du problème et la vérification de la convergence de la résolution numérique, diffërents résultats de simulation sont obtenus comme les champs de température et les champs de vitesse.

(48)

-Chapitre lv

(49)

Chapitre IV Résultats et Discussions

IV.1 Introduction :

Daim ce chapitre nous présentons et commentons les résultats obtenus de la simulation nunérique de la convection forcée dans un écoulement turbulent afin d'examiner l'effet

d'me géométrie ondulée et du nombre de Reynolds su le nombre de Nusselt (M.) et le coefficient

de fiction (/). Nous suivons une analyse paiamétrique (Jie, €, N) de l'effet de l'amplitude et de la longueu de 1'ondulation du tube su les caractéristiques thermiques (jvw, Æ) et hydrodynamiques (4P).

Parallèlement, m tube droit, frit l'objet de la même expérience, et ce pou des fins

de comparaison, qui vont pouvoir pemettre d'analyser l'influence des ondulations su le comportement dynamique et themique de l'écoulement de l'air dans les tubes ondulés.

DaDis cette étude, le nombre de Reynolds Jze prend les deux valeuis 5000,10000 ; l'amplitude d'ondulation s prend deux valeus : 0.10, 0.15 et le nombre d'ondes prends les valeus 10,15 et 20. Les résultats obtenus seront présentés par les champs de pression, les isothermes et les coubes

s^]irNaniùf:s..Nu/NuoCx/I/N),f/fti!N),f/fo(Re).

IV.2 Test de sensibilité de maillage :

Afin de s'assuer de la précision et de la fiabilité des résultats numériques obtenus par le code de càlcul de COMSOL, on a effectué me série de tests su le maillage dans le plan (r,x). On a proposé trois maillages différents, A (2500) nœuds, 8 (3500) nœuds et C (4500) nœuds, afin de s'assurer que les résultats obtenus sont indépendant du nombre des nœuds.

L'influence du maillage su la solution numérique a été testée pou le cas de l'écoulement

forcé de l'air dms m cylindre horizontal ondulé (3mmxl80mm) d'amplitude gü.15

de température rp=373°K, avec Re=5000. Le tableau (IV. 2) regroupe quelques résultats obtenus, de vitesse axiale dans la région développée (4) pou les trois maillages.

Mainage

Umœ(mls)

2500 13.204

3500 13.212

4500 13.212

Tableau IV.l : Effet de maillage su la vitesse axiale (m/s).

D'après les résultats obtenus à l'aide du code numérique, on a retenu le maillage 8(3500) pou tous nos calculs, vu qu'il nous a donné le meilleu compromis entre la précision des résultats et le temps de calcul.

IV.3 Validation du modèle :

La fiabilité et la précision du modèle de calcul ont été testées par la comparaison des résultats numériques obtenus, pou la convection forcée du fluide (air) dans le cylindre horizontal, et les résultats numériques disponibles dans la littérature [ 17].

(50)

Résdtats et Discussions

1381

Re=10000

8 10 12 14 16 18 20 22 N

Figure IV.l : Variation du facteur de fiioteement avec le nombre d'ondulation pou Re=10000

Re=1m

Figi]re IV.2 : Validation de profil numérique du rappor( des Nusselt dans le tube ondulé etdroitpouRe=10000

Les figures (IV. l) et (IV.2) montrent respectivement, la variation du facteur de ffottement en fonction du nombre d'ondulation (N), et la variation de Nusselt en fonction de la longueu d'onde pour l'air. Pour des fins de comparaison, on a présenté sur les mêmes figures les résultats obtenus par Young Joo Kim et Man Yeong lla [ 17]. On observe clairement une bonne concoiidance entre les résultats, ce qui confime la validation du modèle numérique.