Nombre maximum de points rationnels d'une courbe sur un corps fini

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

M. P

ERRET

Nombre maximum de points rationnels d’une

courbe sur un corps fini

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

3, n

o

_{2 (1991),}

p. 261-274

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Nombre

maximum

de

_points

rationnels

d’une

courbe

sur un

_corps

fini.

par M. PERRET

Soit le corps fini à q éléments. Une courbe

projective

irréductible

C C

_Pi

est le lieu des zéros de s

_polynômes

_homogènes

_{indépendants}

en n _{+ 1 variables à coefficients dans} tels _que l’idéal

_Pi,’-’

P.1)

_C

IF~, ~X~ , ~ ~ ~ ,

Xnl

soit un idéal

premier

de hauteur n - 1. Elle est dite lisse si la matrice Jacobienne de ces s

_polynômes

est _{de rang} n - 1 en tout

_point

de la courbe. A une telle

courbe,

on associe un entier

positif g, appelé

le

genre de C.

L’objet

de cet

_exposé

est de montrer de

_{quelle façon}

cet

_{invariant g}

gou-verne le nombre de

_points

rationnels de C sur

(c’est

à dire le nombre

de

_points

de la courbe à coordonnées dans noté Le

_premier

paragraphe

est consacré aux bornes valables pour toutes les valeurs

de g :

borne de Weil

_(améliorée

_par

_Serre),

et borne relative à un revêtement.

Dans le second

_paragraphe,

on donne les valeurs du nombre maxi-mum de

points

rationnels sur

Fq

d’une courbe de genre g

lorsque

celui-ci

est connu, c’est à dire seulement dans les cas _g =

0,

1 et 2. On donne aussi

un

exemple

de construction d’une courbe de

petit

_genre

_ayant

beaucoup

de

_points

rationnels.

_Enfin,

le dernier

_paragraphe

est consacré à l’étude de la

_quantité

_A(q)

=

lim sup Nq(g)/g.

On construit _par la théorie du _corps

0-’00

de classes une suite de

_courbes,

et on

_conjecture

un critère de non finitude

de

_{celle-ci, conjecture}

démontrée dans le cas des revêtements non ramifiés.

On

_applique

alors cette construction _pour donner

_plusieurs

minorations de

A(q).

I. Estimations

_générales.

1. La borne de Weil.

On considère la fonction Zêta de C :

qui

est en fait une fraction rationnelle :

THÉORÈME

1

_(WEIL,

_1948,

_[14]).

Il existe un

polynôme

unitaire

Pc(T)

E

Z[T],

de

_degré

_2g,

tel _que

De

_plus,

les racines inverses _wi de

_Pc’

sont des nombres

_algébriques

con-jugués

deux à

_deux,

de modules

_Iwil

_

y’q.

La dernière assertion est connue sous le nom

d’hypothèse

de Riemann.

Ainsi,

On en déduit

d’où,

pour T = 0 :

Compte

tenu du théorème

_1,

on en déduit aussitôt

_{l’inégalité}

de Weil :

THÉORÈME

2

_(WEIL,

_1948,

_[14]).

Remarques.l.

Cela

peut

se reformuler comme suit :

inégalité

que l’on compare à celle du théorème 3.

2.

Cette

_inégalité

entraîne à son tour la

_conjecture

de Riemann

_(voir

par

exemple

[2],

exercice

5.7,

page

458).

PROPOSITION 1

_{(SERRE, 1983).}

et

un

polynôme

à coefficients entiers. On _{suppose que pour}

tout i,

ai est de

moduie

Alors

où

_[:c]

_désigne

la

_partie

entière du reel .c.

n

Démonstration. On pose xi= Alors

II

Xi

°

i=l

est un entier naturel non

_nul,

et _par

_{l’inégalité arithmético-géométrique,}

En faisant le même raisonnement avec _{y~ _} + 1 -

ai,

on trouve

COROLLAIRE

_{(SERRE, 1983).}

Cette

_inégalité

est meilleure _que celle de Weil

_lorsque

_q n’est _pas un

carré. Elle est d’autant meilleure que le genre est

grand. Signalons

que ces

deux

_inégalités

sont utilisées _pour l’estimation des

_paramètres

des codes de

2. Situation relative.

Soient X et Y deux courbes

_algébriques

_projectives

lisses irréductibles

définies sur de genres

_{respectivement}

_g,~- et et ~r : Y 2013~ X un

revêtement de Y sur

X ,

définit sur

_{Fq (cela}

signifie

_que si X C et

Y C

_Pm,

on

_peut

localement écrire 7r =

(7ro,’" ,

r, ),

où les _{7r i} sont des

polynômes

homogènes

de même

_degrés

en

m+ 1

variables à coefficients dans

iFq).

A un tel

_revêtement,

il

_correspond

une extension des _corps de fonctions

lÉ

_{IF (Y),}

donnée _par

_{x*( f)(Q)}

_f(7r())

_pour

_{f e}

_{1F’ (X )}

et

Q

E

_Y(Fq).

Le revêtement 7r est dit Galoisien

_{(resp.Abélien,}

de Kummer

ou

d’Artin-Schreier),

si l’extension ~r* l’est.

THÉORÈME

3

_{([5], [8]).}

_Supposons

que le revêtement 7r soit

d’Artin-Schreier,

ou de h’ummer. Alors

Là

_aussi,

on

_peut

_remplacer

le

_majorant

_par

_{(g~: -}

La _preuve

de ce théorème utilise la théorie des fonctions L : on écrit le

quotient

comme un

_produit

de fonctions L

_Abéliennes,

ces dernières

étant des

_polynômes.

Le

_polynôme

_P,~-(T)

divise donc

_P~.-(T).

On écrit alors = et on _compare les

coef-ficients de T.

CONJECTURE 1. Le théorèmes 3 est vrai _{pour tout} revêtement.

Lors d’un récent

_colloque

à

_Marseille,

J.P. Serre m’a

_signalé

_que l’on

_peut

démontrer cette

_conjecture

en faisant un raisonnement

analogue

à celui ci

dessus soit en considérant les Jacobiennes des deux

courbes,

soit en faisant

appel

à la

_cohomologie

_.~-adique.

II. Le cas des

petits

_genres.

Dans tout ce

qui suit,

on note le nombre maximum de

_points

rationnels sur

_Fq

d’une courbe de genre _g, définie sur

_{Fq .}

_D’après

_{l’inégalité}

de

_Serre,

on a

Dans ces trois cas

seulement,

la valeur de est connue

explicite-ment.

_{Pour g}

=

0,

c’est à dire _pour les courbes

rationnelles,

le théorème 2

montre

_qu’une

telle courbe à

_toujours

q + 1

_points

rationnels. Le cas des

courbes

_elliptiques

_(ce

sont _{les courbes de genre}

₁₎

est moins

_{trivial ;}

il est

connu

depuis

Hasse et

Deuring :

THÉORÈME

4

_{(HASSE, DEURING).}

Soit q =

_pn

avec _p

premier,

et _posons m =

[2vq].

Alors

Le _{cas g} = 2 a été entièrement résolu _par Serre

(1983).

L’énoncé est

plus

long :

Soit q =

_p~

une

_puissance

du nombre

premier

_p, et notons m =

[2Vqq.

On dit que q est

spécial

si e est

impair,

et si _q vérifie l’une des conditions

suivantes :

THÉORÈME 5

_(SERRE,

1983,

[11]).

- Si

q est un

carré,

4, 9,

alors

Nq(2)

= _{q +}

1 + 4y’q ;

de

plus,

N4(2)

= 10 et

N9(2)

= 20.

- Si _e est est

impair

(c’est

à dire si _q n’est _pas un

carré),

alors

2. Minorations de _par constructions

_explicites.

Dans cette

_section,

on va montrer sur un

exemple

comment on

_peut

beaucoup

de

_points

rationnels. Construisons _par

_exemple

une courbe sur

IF2

de _genre

_6,

_ayant

10

_points

rationnels. On

rappelle

les résultats suivants

(on

trouvera un

_exposé

_plus

détaillé dans

[9]).

Soit X une courbe

projective

lisse irreductible definie sur

_IFq.

Si S est un ensemble fini de

_points

fermés de

X ,

on

appelle

diviseur sur X

porté

_par S une combinaison linéaire formelle

où _{pour tout}

_{P E ,S’,}

rn n est un entier relatif. On dit

_qu’une

fonction

f

E est _{congrue à 1} mod* m si

_{f ) &#x3E;}

m p pour tout P E ,5’. On définit _{alors le groupe des classes de diviseurs}

_étrangers

à S modulo*m :

La théorie du _corps de classes _{montre que gouverne} les revêtements

Abéliens de

_J~,

de conducteur m. Plus

précisément,

il _y a une

bijection

Si de

_plus

le revêtement Y - X

_correspond

au _sous-groupe K d’indice

fini de

_Pm,

les

_places

associées aux diviseurs irréductibles

_P,

tels _que P

mod*m E

_K,

sont totalement

_{décomposées}

dans Y.

Revenons à la construction d’une courbe sur

1F2

de genre 6

_ayant

10

_points

rationnels. On

_part

d’une courbe

_elliptique

E

_ayant

5

_points

Pi, ’ ’ ’ ,

P,5

rationnels sur

_IF2

(courbe

dont l’existence est assurée _par le théorème

₄₎

et d’un

_{point Q}

de E de

_degré

5

_(c’est

à dire un

_point

rationnel

sur

_IF2n,

mais _pas sur

IF2).

Un tel

_point

existe car

_d’après

le théorème

_2,

le

nombre de

_points

rationnels de E sur

_{F2R est &#x3E; 2‘5}

_{+ 1} - 2

x 1 x &#x3E; 5 = nombre de

_points

rationnels de E sur

_IF2.

En considèrant le diviseur m =

2Q,

on _a, en notant t une uniformisante de la

_{place Q :}

Ainsi,

6

Il _y a donc une

surjection

de

Pm,

dans

(7L/27G) ,

donnée _par

Notons,

pour 1 i

5,

(Ti e

7/

_l’image

de

_Pi

mod*m _par

/ B

cette

_application.

Il existe une forme linéaire non

_{nulle 0}

de

con-tenant les ~z dans son _noyau. Cette forme linéaire induit un

isomorphisme

7l/271 ;

le _noyau K

_{de 0}

définit donc un revêtement

quadra-tique

X de

_E,

de discriminant

_2Q.

Son _genre est donné _par la formule de Hurwitz :

soit _gx = 6. D’autre

_part,

les 5

points

Pi

_E

E(IF2)

_sont dans

_K,

donc

se

décomposent totalement,

et donnent chacun naissance à 2

_points

de X rationnels sur

IF2 ,

d’où

#X(1F2) ~

10.

Enfin,

les formules

explicites

discrètes

_montrent,

avec un bon choix de

polynôme

trigonométrique,

_que

N2 (6)

10. La courbe X a donc exactement 10

points

rationnels sur

IF2 ,

et est maximale.

III. Résultats

_{asymptotiques.}

1. La

_quantité

_A(q).

Les résultats de la section II.1. _{montrent que,} à _q

_fixé,

_{l’inégalité}

de Serre est

_optimale

_pour les

_petites

valeurs _{du genre}

_(g

=

0, 1,

2).

Nous allons voir dans ce

_paragraphe

qu’il

n’en est rien _pour les

_grandes

valeurs

Remarque.

Cette

_{quantité joue}

un rôle

_important

dans les

questions

asymptotiques

de la théorie des codes correcteurs d’erreurs

_(voir

_par

exem-ple

[4],

[7], ~13J~.

La

_proposition

1 _{montre que}

_A(q)

_[2yq].

En

_fait,

on

_peut

montrer

(en

utilisant des formules

_explicites

discrètes à la

_Weil)

le théorème suivant :

THÉORÈME

6

_{(DRINFEL’D,}

VLADUT, 1983,

[1]).

D’autre

_part,

_Ihara,

_Tsfasman,

Vladut et Zink ont montré dans

_[3]

et

[13]

que les courbes de Shimura

atteignent

cette borne

lorsque

q est un

carré. cela montre _que

_A(q2)

=

q -

1,

et on

conjecture

_que c’est vrai dans

tous les cas :

CONJECTURE 2. Pour tout q,

_{A(q) =}

_{lq- -}

1.

Afin de démontrer cette

_conjecture,

il

_s’agit

_(en

vertue du théorème

6)

de construire

_{explicitement}

une suite de courbes de genre

tendant vers

l’infini,

telles _que lim 1. Dans la

sec-tion

_suivante,

nous allons donner une méthode de construction de suites de

courbes

_ayant

_{asymptotiquement}

un nombre de

points proche

de la

conjec-ture 2.

2. Minorations de

_A(q)

_par constructions

_explicites

de tours de

corps de classes.

a. Construction de la tour et critère de non finitude.

Afin de construire une telle suite de

courbes,

on se

place

du

point

de vue

arithmétique,

en utilisant la

correspondance

Explicitement,

une courbe X est associée à son _corps de fonctions

K - Dans cette

_{correspondance,}

les

_places

de

_degré

n sur

_IF~,

de K

_{correspondent}

aux

points

rationnels de X sur non rationnels sur

pour

d ~

n, et le genre de 7~ est

égal

au _genre de X .

On va construire la suite de _corps comme suit : on considère un _corps

de base K

_(global,

contenant

_{IFq) ,}

deux ensembles finis

_disjoints

,S’

_{:1 0}

et

R de

_places

de

_K,

un nombre

premier£,

ainsi

_qu’un

module m

= E

m nP

T’ E R.

de K

_porté

par R. On considère alors la

plus

grande

extension Abélienne

de

_{K, d’exposant}

1 ou

_£,

où les

places

de ,5‘ se

décomposent totalement,

et de conducteur m. En d’autres

_{termes, Iin}

est le _corps de classes du

groupe de normes

On note alors

_Sn

l’ensemble des

_places

de

_K,.

au dessus de S

(resp.R),

et

1

mpQ.

On

_peut

alors itérer cette construction

en

_posant

et _pour tout n &#x3E;

_0,

On a donc construit une suite

(7~,

Sn,

_mn,

£),,,EN,

appellée

la .~-tour

de _corps de classes au dessus de

(Ii ,

S,

_R,

m).

On montre alors le théorème

suivant :

THÉORÈME

7

_(7).

S’l la tour

_Rn,

est

_infinie,

et

_si,

_pour tou t n e les

_places

de

Rn

sont totalement ramifiées dans

_(ce

_qui

est le cas si

0,

ou = _p = et =

1),

alors

Il

_s’agit

donc de donner un critère de non-finitude _pour ces

£-tours,

puis d’expliciter

un

_quadruplet

_{S, R,}

m)

tel _que sa £-tour de _corps de

classes associée soit infinie. Posons

_G1

= et notons d le nombre minimum de

_{générateurs}

du

_£-groupe

_G1.

CONJECTURE 3. Si

_d+)t5’

_{d2 /4,}

alors lai-tour au dessus de

(K,

S,

R,

m)

est infinie.

THÉORÈME

8

_(SERRE,

_1983,

_[12]).

La

_conjecture

3 est vraie si R

= ~.

La

_conjecture

3 est liée au théorème de

Golod-Shafarevich,

amélioré

par Gaschütz et

Vinberg

(si

d est le nombre minimum de

générateurs

d’un

.-groupe fini

G,

et si r est le nombre minimum de relations entre d

_{générateurs}

de

_G,

alors r

_{d2 /4),}

et au

multiplicateur

de Schür

H;~ (G, Z)

d’un groupe

fini G.

_Signalons

enfin _{que cette}

_{construction,}

ainsi _que les théorèmes et

conjectures qui

lui sont

_attachées,

est valable pour les corps de

nombres,

pourvu que S‘ contienne les

places

à l’infini de K.

b. Minorations

_{indépendantes}

de la

_conjecture

3.

On considère le

_{corps k}

= _{on se} donne deux

parties

non

vides

_disjointes

A et B de

_{IF~, .}

Soit K =

k( y)

avec

y’ Il

(T -

posons

On montre que si _q = 1

_(mod

_£),

si =

_1,

_et si tous les éléments

de B - A sont des

_puissances

dans alors 1. Il résulte alors des théorèmes 7 et 8 la

_proposion

suivante

_(cf

_[12]

dans le cas

~=2) :

PROPOSITION 2. Soit .~ un nombre

premier

tel _{que g = 1}

(mod~).

Si on

peut

trouver deux

_parties

non vides

_disjointes

A et B C

_IFq,

avec

i)~A&#x3E;2,~B&#x3E;_ 1,

alors

COROLLAIRE 1

_(SERRE,

_1983,

_[12]).

Il existe une constante c &#x3E;

_0,

telle

que pour tout q, on ait

A(q)

&#x3E;

_clogq.

En

_particulier,

_A(q)

&#x3E; 0 pour tout q. De

plus,

A(2)

&#x3E; 9.

COROLLAIRE

_2([7]).

_Supposons

que q &#x3E;

4£ +

1. Soit k un entier non

_nul,

tel _{que q} soit une racine

_primitive

~~P~’P

de l’unité dans Alors

Le corollaire 1

_provient

d’un lemme combinatoire. Le corollaire

_2,

quant

à

_lui,

_provient

du fait _que

_{si q -}

1

_{(mod £),}

tous les éléments de

_IF~,

sont des

_puissances

dans et que si

_pgcd

_{(£, q - 1)}

=

1,

tous les éléments de

_Fq

sont des

_puissances

.~’p’~P ~

dans

_Fq,

donc aussi dans

_{IF qlc.}

Dans ces deux cas, on

prend

_pour

couple

(A, B)

une

partition

de et on

applique

la

_proposition

2

_{à q’}

_(resp.

_qk).

c. Minorations de

A (q)

sous la

conjecture

3.

On se

_place

maintenant dans le cas où £ = _p. On se donne encore

deux

_parties

non vides

disjointes

A et B de où

~B

est une

puissance

de

p. On considère le corps 7~ =

k(z),

avec k = et

On _pose

m =

2P 00’

et on considère la

_p-tour

de _corps de classes au dessus de

(Ii,

,5’, R,

m).

On montre alors _que

_{#A -}

_1,

_{et que} la condition de la

_conjecture

4 est vérifiée dès _que = 3 +

(partie

entière

par

excès)

et

#B

=

q/p ;

on

_peut

choisir deux telles

_parties

_disjointes

dans

Fq

si et seulement si 3 + +

_q/p

q, c’est à dire si q n’est pas

trop

petit

vis à vis de _p. La

_conjecture

3 et le théorème 7

_permettent

donc d’énoncer

THÉORÈME

_{9 ([7]).}

Sous la

_{conjecture 3,}

si _q =

_p",

n &#x3E;

2,

et

4,

8, 9,

-

--De

_{façon similaire,}

on

_peut

montrer en considérant des

places

de la forme

(T2 -

Q)

pour

Q

E

IF2 :

THÉORÈME

9’

_([7]).

Sous

la

_conjecture

_3,

si q =

p",

_p

impair,

n &#x3E;

2,

et

q ~ 9,

25, 27, 49, 81, 121,

et

_169,

alors

Remarque.

Comme me l’a fait _remarquer

Tsfasman,

on

_peut

obtenir

par cette méthode une minoration de

A(q)

_{pour q}

_pair

en considérant des

places

de la forme

_{(T2 -}

_{T - ,Q)}

pour

Q

e

_IFq,

Q

i= b2 -

b Vb E

De ces deux théorèmes et de la

proposition

2,

corollaire

1,

on déduit

COROLLAIRE. Sous la

_conjecture

_3,

_pour tout nombre

_premier

_p, il existe

une constante

c(p)

&#x3E; 0 telle _{que, pour toute}

_puissance

q de p, on ait

Si de

_plus

on _{suppose q} distinct des valeurs écartées dans les théorèmes 9

et

_9’,

on

_peut

choisir

c(2)

=

1/3

_et

c(p)

=

1/(p - 1)

si

p est

impair.

d.

_Comparaison

avec le cas des _corps de nombres.

Soit K un _corps de

_nombre,

et son discriminant absolu. Les

méthodes utilisées _pour l’étude

_asymptotique

de la

_quantité

(log6K)/[/( : Q]

sont similaires à celles

_employées

ici. En

_effet,

_{l’inégalité}

1 s’obtient via

_{l’hypothèse}

de Riemann

_(démontée

9

dans ce

cas)

et des formules

_explicites

discrètes à la

_Weil,

alors _que

_{l’inégalité}

liminf

_{Q] &#x3E;}

_{log 44, 763}

s’obtient sous GRH et les formules

explicites

de Weil

_(par

la méthode de

_{Stark-Odlyzko).}

De

_même,

c’est en utilisant une construction

_analogue

à celle de la

section III.2.b.

_{(avec k}

r=

Q,

Ii =

k(y),

et

y2

=

3.5.7.11.13.17.19),

Shafarevich

a montré le

premier

l’existence d’une tour

(non ramifiée)

infinie

de corps de nombres telle que

Le record dans cette direction est actuellement détenu _par Martinet

_(cf.

~6~),

qui

a montré l’existence d’une tour infinie

(non ramifiée)

de _corps, avec

Q]

=

log92,368....

Dans _cet

esprit,

on

_peut

espérer

(après

avoir démontré la

_conjecture

₃₎

construire une tour ramifiée infinie de _corps

de

_nombres,

ayant

asymptotiquement

un

_rapport

Q]

plus

petit.

RÉFÉRENCES.

[1]

V.G. Drinfel’d et S.G. _Vladut, Number _{of points of} an _algebraic curve,

Funkt-sional’nyi Analiz i _{Ego Prilozheniya} 17

_(1983),

53-54.

[2]

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[11]

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Berlin, 1986.

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[16]

J. _{Wolfmann, Polynomial description of binary} linear codes and related topics, à

paraître au journal of AAECC, Springer.

M. PERRET

Equipe "Arithmétique et Théorie de l’Information"

C.LR.M., Luminy, Case 916 13288 - Marseille Cedex 9