Les socles de compétences en mathématiques
1. Les compétences mathématiques générales
Par leur souci de développer des compétences générales en mathématiques, les socles de compétences se positionnent clairement dans une volonté de dépasser un apprentissage centré sur la simple acquisition de connaissances et de procédures, pour viser une compréhension profonde et une utilisation pertinente des mathématiques. Les contenus mathématiques sont importants, mais c’est la manière de les enseigner qui pourra leur donner toute leur pertinence. Les socles mettent ainsi l’accent sur la nécessité de donner aux élèves l’occasion de résoudre de réelles situations problématiques et de communiquer sur les mathématiques.
Cinq compétences mathématiques générales sont définies globalement pour l’enseignement fondamental. Des étapes de progression dans leur acquisition sont également décrites de façon à déterminer ce qui est attendu des élèves au terme de chaque cycle.
Les cinq compétences générales sont la modélisation (ou mathématisation), la résolution de problèmes, l’argumentation, la construction de représentations et la communication. Chacune de ces compétences recouvre divers aspects qui sont brièvement décrits ci-dessous.
Modéliser (ou mathématiser) implique de créer des liens entre le monde réel et les mathématiques ; il s’agit de simplifier les situations réelles de façon à les décrire en s’exprimant dans un langage mathématique. Autrement dit, modéliser consiste à prélever les informations pertinentes dans un problème et à traduire en langage mathématique des situations faisant référence à la vie quotidienne. Cette compétence implique aussi de pouvoir traduire et interpréter les solutions mathématiques en lien avec la réalité, ainsi que de pouvoir formuler en langage courant des opérations ou des représentations mathématiques.
Résoudre des problèmes consiste notamment à mobiliser et à appliquer des connaissances et des procédures mathématiques pour traiter des tâches problématiques. Il s’agit d’explorer des structures arithmétiques et géométriques, de les identifier, de les utiliser et de les transférer dans de situations similaires. Il est aussi question d’identifier des relations et de distinguer des régularités, ainsi que de développer et d’utiliser des stratégies de résolution dans des situations peu familières.
La résolution de problèmes implique la mise en œuvre de stratégies générales (comme par exemple, chercher des régularités, développer une approche par chaînage avant ou par chaînage arrière, simplifier les nombres,…) et de stratégies spécifiques (comme par exemple, employer différents types de représentations). Les élèves acquièrent des compétences en résolution de problèmes en travaillant sur des problèmes variés, en menant un travail réflexif sur les différentes stratégies à développer et en portant une regard critique sur les solutions obtenues.
Argumenter est une compétence qui se développe face à des situations qui conduisent les élèves à questionner certaines affirmations mathématiques, à s’interroger sur certaines relations, à poser des hypothèses et à chercher à en vérifier l’exactitude ou à
les réfuter. Ce type d’approche implique d’organiser ses propres arguments, de chercher à les justifier, à les évaluer et à les vérifier. Les élèves doivent pourvoir exprimer clairement leurs propres arguments, mais aussi écouter ceux des autres et pouvoir en débattre.
Représenter, c’est être capable de construire, de sélectionner ou d’utiliser des représentations appropriées pour traiter des problèmes de mathématiques ; c’est aussi pouvoir comparer et évaluer différents types de représentations. Face à une situation problématique, il n’est pas toujours aisé de savoir d’emblée quelle procédure mathématique il convient d’utiliser. Il est alors important de recourir à des représentations qui permettent de simplifier la réalité et de la modéliser (ou de la mathématiser), c’est-à-dire de la décrire à l’aide de divers modèles mathématiques.
Communiquer consiste notamment à décrire ses propres procédures de résolution, à comprendre les procédures développées par autrui et à en débattre. La communication peut être facilitée par l’utilisation de notions mathématiques et de schématisations pertinentes. Cette compétence implique aussi de pouvoir traiter des tâches en commun, de se mettre d’accord sur des règles de fonctionnement et de les respecter. Les élèves ont de nombreuses occasions de communiquer en mathématiques. Au départ de la lecture d’un texte par exemple, ils peuvent débattre de leur compréhension d’une situation problème ou de la façon dont ils la traduisent en langage mathématique. Ils peuvent utiliser des schémas, des graphiques, ou d’autres représentations mathématiques pouvant servir de support à leurs explications.
Au travers des brèves explications fournies ci-dessus, on perçoit d’emblée que ces cinq compétences mathématiques générales ne peuvent pas être isolées dans la réalité ; elles interagissent en effet dans de nombreuses tâches. D’autres paramètres comme la créativité, la confiance en soi, la motivation, l’assiduité dans la recherche… interviennent également dans les activités mathématiques et doivent être encouragés. En plus de ces compétences et attitudes générales, les compétences et les connaissances mathématiques spécifiques sont également essentielles, notamment parce que ce sont elles qui posent le cadre dans lequel se développent les compétences générales. Avant de détailler les recommandations des Socles relatives aux zones de contenus, nous allons d’abord tenter de rendre compte de la logique de progression qui est proposée dans les socles par rapport à ces compétences générale.
2. Progression envisagée tout au long de l’enseignement fondamental
Au premier cycle, il convient de confronter les enfants à des expériences de résolution de problèmes qui sont liées à leur environnement et qui leur permettront d’interagir avec différents objets et matériaux. Ils seront ainsi amenés à développer des concepts logiques et des compétences qui joueront le rôle de précurseurs pour des développements mathématiques ultérieurs.
Au cycle 2, les élèves devront être amenés à inventer et à utiliser des démarches personnelles de résolution de problèmes. Ils découvriront la signification de certaines expressions et représentations mathématiques et apprendront à les utiliser pour
communiquer leurs propres idées et les confronter avec celles des autres. Ils seront amenés à s’exprimer en utilisant un langage mathématique élémentaire pouvant s’appuyer sur des objets, des dessins, des symboles,…
Le travail sur la résolution de problèmes joue également un rôle essentiel pour aider au développement de la compréhension de ces opérations. La formulation des Socles pourrait laisser entendre que l’apprentissage des opérations arithmétiques (un apprentissage plus technique, en dehors d’un contexte de problèmes à résoudre) est un préalable à la résolution de problèmes impliquant ces opérations. Cette façon de concevoir les choses correspond d’ailleurs assez bien à l’approche rencontrée dans les manuels actuels du MEN : les problèmes servent essentiellement à appliquer les opérations qui viennent d’être apprises de façon plus formelle. Etant donné l’approche plutôt novatrice développée dans les Socles (et notamment l’idée que l’on donne déjà du sens aux opérations en pré-primaire, au travers de jeux et de manipulations), on peut penser qu’il ne faut pas interpréter cette idée de « conditions préalable » au pied de la lettre et qu’il est au contraire conseillé de proposer assez vite des problèmes aux élèves, pour aider justement à donner du sens aux opérations.
Au cycle 3, les élèves devront continuer à développer leurs propres stratégies de résolution de problèmes et seront amenés à construire leurs propres processus de calcul. Les significations des expressions mathématiques et des symbolisations se préciseront. Ils seront amenés à participer à des débats avec leurs camarades de classes et à développer leurs compétences d’argumentation. Ils s’appuieront pour ce faire sur des représentations orales ou écrites, pouvant prendre la forme de schémas, de tableaux, de graphiques,…
Au cycle 4, les élèves seront toujours amenés à développer des démarches personnelles de résolution de problèmes ; ils devront pouvoir mobiliser et utiliser des procédures de calculs familières et conventionnelles. Ils devront être capable d’expliquer de façon de plus en plus précise pourquoi ils ont choisi telle ou telle démarche et seront amenés à comparer des informations provenant de sources variées. Ils devront aussi pouvoir comprendre les idées défendues par les autres et, si nécessaire, réviser leur propre approche. Les élèves devront maintenant pouvoir utiliser une variété de représentations mathématiques.
3. Les quatre zones de contenus mathématiques
Les compétences et connaissances mathématiques spécifiques à acquérir au cours de la scolarité primaire sont organisées autour de quatre thématiques : « les nombres et les opérations », « les grandeurs et les mesures », « l’espace et les formes » et « les problèmes » (sous l’appellation sachrechnen en primaire et augaben lösen pour l’enseignement pré-primaire).
4. Les problèmes
Les différents documents Socles (cycles I à 4) précisent que les problèmes (Aufgaben lösen et Sachrechnen) ne constituent pas en soi une zone de contenu bien délimitée puisque la résolution de problèmes intervient aussi dans les autres domaines. Aux yeux des concepteurs des Socles, il est toutefois apparu important de consacrer un thème
spécifique à cette thématique, notamment parce que la résolution de problèmes a un rôle important à jouer dans le développement de compétences transversales comme la pensée créative, le traitement de l’information et la communication.
Dès le premier cycle, l’objectif est de confronter activement les élèves à des tâches problématiques et de les encourager à développer des démarches autonomes. Par le jeu de l’action, l’enfant pourra développer des démarches variées et confronter les résultats obtenus aux situations vécues. Tout au long de la scolarité primaire, les problèmes constituent une thématique importante parce qu’ils impliquent d’analyser les situations et de rechercher des stratégies de résolution. La résolution de problèmes favorise en effet le décodage de l’information, la modélisation, la vérification, l’interprétation, l’explication et la validation. La résolution de problèmes constitue un processus dynamique qui implique anticipation et régulation de ses actions. Les Socles recommandent ainsi de confronter les élèves à des problèmes qui constituent un défi pour eux, qui éveillent leur intérêt et qui leur donnent envie de chercher. Le rôle de l’enseignant est essentiel pour accompagner le processus de recherche, de réflexion et d’argumentation.
Les compétences spécifiques à cette thématique sont précisées pour chaque cycle. Au cycle I, elles sont regroupées sous un intitulé général correspondant à l’idée de pouvoir résoudre et modéliser (mathématiser) des tâches problématiques. Pour les cycles suivants, elles sont scindées en trois dimensions que l’on peut synthétiser comme suit :
¾ Analyser la tâche et planifier la démarche
o Cette dimension implique notamment de pouvoir formuler le problème en ses propres termes, de repérer les informations pertinentes, d’identifier celles qui seront utiles à la résolution, de reformuler la ou les questions et de planifier son travail. Dans les cycles supérieurs, cette dimension peut aussi impliquer de reconnaître les similitudes entre différentes situations, d’identifier la possibilité de transférer des stratégies appropriées ou de percevoir qu’il convient de développer une approche personnelle.
¾ Interpréter et évaluer les données et les solutions
o Les compétences reprises ici portent sur la capacité d’expliquer les solutions obtenues, de les interpréter, de les comparer et de les évaluer en lien avec la réalité. Les élèves doivent aussi pouvoir anticiper ou estimer les solutions a priori, puis en vérifier l’exactitude a posteriori. Ils doivent être à même de comprendre les stratégies développées par autrui et pouvoir en débattre. Au fur et à mesure de l’avancement dans la scolarité, les solutions à interpréter deviennent plus complexes, découlant notamment de problèmes à plusieurs étapes. Les élèves doivent aussi être capables de sélectionner, d’interpréter et d’évaluer des données qui sont à prélever dans des tableaux ou dans des textes de plus en plus complexes. Ils doivent aussi pouvoir débattre de ce processus avec leurs pairs.
¾ Traduire la situation en langage mathématique et la résoudre
o Cette dimension implique de pouvoir utiliser diverses représentations et symbolisations mathématiques qui peuvent aider à la résolution des problèmes. Les élèves doivent notamment pouvoir mettre en œuvre les opérations arithmétiques appropriées et recourir aux procédures mathématiques adaptées (comme les règles de proportionnalités par exemple). Ils doivent pouvoir communiquer clairement les résultats obtenus et en vérifier la pertinence en lien avec la vie réelle.
Au sein de chaque cycle, chacune de ces dimensions est subdivisées en 4 niveaux qui traduisent différents paliers de maîtrise de la compétence. L’objectif est de situer les élèves par rapport à ces niveaux, de façon à les placer en quelque sorte sur un continuum définissant le chemin à parcourir vers l’atteinte d’une réelle maîtrise.
5. Conclusion
L’approche prônée dans les documents « Socles de compétences » s’éloigne d’une vision traditionnelle de l’enseignement pour s’orienter vers une approche plus novatrice de type « problem based learning » ou « inquiry based learning ».
La dichotomie proposée par Anderson (1998) éclaire assez bien cette distinction :
- Les approches traditionnelles sont souvent associées à l’idée selon laquelle les mathématiques constituent un ensemble de faits que l’enseignant doit délivrer et que les étudiants doivent internaliser. Les pratiques de classes impliquent souvent que les élèves travaillent individuellement et doivent faire face à des questions routinières souvent issues de manuels ou de feuilles d’exercices. Ce type d’approches peut s’accompagner d’une croyance selon laquelle les problèmes sont une fin en soi et qu’ils doivent être proposés aux élèves après qu’ils aient maîtrisé quelques techniques et outils mathématiques de base.
- Les approches plus novatrices sont quant à elles associées à l’idée selon laquelle les mathématiques sont un sujet dynamique à explorer et à investiguer.
Les pratiques de classes liées impliquent davantage de travaux en groupes, ainsi que l’utilisation de problèmes non-routiniers qui promeuvent le développement de la réflexion mathématique et les compétences de résolution de problèmes.
Cette vision peut s’accompagner d’une croyance selon laquelle la résolution de problèmes est un moyen et que les problèmes peuvent être le point central de l’apprentissage.
