Correction du TD 2: Écoulements bidimensionnels

Correction du TD 2: Écoulements bidimensionnels

Loïc Simon, Mahdi Ben Jelloul Mercredi 24 mars 2004

1 Généralités - Fonction courant

Équation de continuité dans le cas général : ∂_tρ+div(ρv) = ^Dρ_Dt +ρ∇·v= 0.

Pour un écoulement incompressible quelconque d'un uide (même visqueux ou turbu- lent) :^Dρ_Dt = 0 ⇒∇·v= 0.

Par conséquent, la théorie des écoulements incompressibles a beaucoup de points com- muns avec l'électrostatique dans un milieu dépourvu de charges (∇·E = 0) ou la ma- gnétostatique (∇ · B = 0). En particulier, un théorème mathématique d'analyse vec- torielle garantit que le champ de vitesses v(r, t) dérive d'un potentiel vecteur Ψ(r, t) : divv = 0 ⇒ il existe une fonction Ψ telle que : v = ∇∧Ψ (analogie magnétostatique :

∇·B= 0 ⇒B=∇∧A).

Pour un écoulement bidimensionnel : v=v_x(x, y, t)e_x+v_y(x, y, t)e_y,Ψ=Ψ(x, y, t) et donc v = ∂_yΨ_ze_x −∂_xΨ_ze_y. La vitesse v est ainsi entièrement dénie par la composante verticale de Ψ, ce qui permet de prendre Ψ sous la forme Ψ = ψ(x, y, t)e_z , avec : v_x =

∂_yψ, v_y =−∂_xψ. v=∇∧(ψe_z) = (∇ψ)∧e_z ⇒v.∇ψ = 0.

On en déduit que la vitesse v est en tout point tangente à une courbe ψ =constante, c'est-à-dire précisément que les courbes ψ = constante sont les lignes de courant (par dénition).

Conséquences :

• Conditions aux limites : v est tangente aux parois rigides ; celles-ci sont donc néces- sairement des lignes de courant de l'écoulement⇒ψ =constantesur les parois rigides. De façon plus mathématique, considérons le repère orthonormé direct (t,n,e_z)lié à la paroi.

La condition sur la vitesse s'écrit : v.n = 0 ⇒ ((∇ψ)∧e_z)·n = 0 ⇒(n∧e_z)·∇ψ = 0. Donc t·∇ψ = 0 ⇒ ∂_sψ = 0, où s est l'abscisse curviligne sur la frontière. On retrouve bien le résultat précédent.

• Les lignes de courant sont d'autant plus serrées que la vitesse de l'écoulement est grande.

• Deux lignes de courant associées à des valeurs diérentes de y ne peuvent se croiser qu'à une singularité de l'écoulement.

Supposons en outre que l'écoulement est irrotationnel : ∇∧v = 0 ⇒ ∆v = 0. La condition ∇∧v=0 s'écrit donc, puisquev=ψe_z : ∆ψ = 0.

La fonction courant d'un écoulement irrotationnel incompressible satisfait ainsi l'équa- tion de Laplace. Il existe un théorème d'existence et d'unicité de la solution de l'équation de Laplace, pour des conditions aux limites données.

En fait, si l'existence est toujours garantie, il n'en est pas de même de l'unicité, qui suppose que l'espace est simplement connexe. Si la condition n'est pas satisfaite, il existe une innité de solutions à l'équation de Laplace pour les mêmes conditions aux limites.

C'est précisément le cas dans la question 3.

2 Exemples

v=∇∧(ψe_z) = (∇ψ)∧e_z.

Relations en coordonnées cartésiennes : v_x =∂_yψ, v_y =−∂_xψ. Relations en coordonnées polaires : v_r =r⁻¹∂_θψ,v_θ =−∂_rψ

• Ecoulement uniforme : v=U₀e_x ⇒ψ =U₀y=U₀rsinθ.

• Source de uide de ux m → écoulement radial : v_r = f(r) = ρ⁻¹∂_θψ, v_θ = 0 =

−∂rψ →ψ =Aθ, vr =A/r. A est donné par R

Av_rrdθ = 2πA = m= "ux" volumique de l'écoulement ⇒ ψ = (m/2π)θ.

v= (m/2πr)er.

• Dipôle de moment µe_x = superposition de deux sources, +2πm/ en +/2e_x et

−2πm/en −/2e_x⇒ψ = (m/)(θ₁−θ₂).

On se persuade, en ramenant les deux angles à la même origine et en faisant un déve- loppement limité à l'ordre 1en (ou en 1/r), que : ψ =−m∂_xθ=−µ·∇θ= (ρ⁻¹µe_x.e_θ) ete_x.e_θ =−sinθ⇒ψ = (m/r) sinθ.

Une démonstration géométrique est également possible.

v= (m/r²)(cosθe_r+ sinθe_θ)

• Vortex ponctuel de circulation Γ (vortex = tourbillon !) → l'écoulement tangen- tiel :vr= 0 =ρ⁻¹∂θψ, vθ =f(r) = −∂rψ.

Γest dénie parR

Av_θrdθ= 2πrf(r) = Γ⇒v_θ = Γ/2πr=−∂_rψ ⇒ψ =−(Γ/2π)ln(r/a) oùa est une longueur quelconque v= (Γ/2πr)e_θ.

3 L'eet Magnus

3.1- Soit ψ = ψ(ρ, θ) la fonction courant générique de l'écoulement bidimensionnel irrotationnel incompressible décrit dans l'énoncé.

Conditions requises :

(1) écoulement potentiel à l'extérieur du cylindre→équation de Laplace : ∆ψ = 0, ρ≥ a.

(2) conditions aux limites à l'inni : l' écoulement uniforme de vitesse v =U₀ : r → ∞ ⇒ψ ≈U₀rsinθ

.

(3) conditions aux limites sur le cylindre : cylindre = ligne de courant :ψ(r =a, θ)indé- pendant de θ. Bien que l'écoulement de fonction courant ψ(r, θ) =U0rsinθ−U0a²sinθ/r vérie ces trois conditions, ce n'est pas le seul puisque l'espace n'est pas simplement connexe du fait de la présence du cylindre ⇒ la circulation Γ de l'écoulement autour du cylindre reste indéterminée (voir plus bas).

⇒ forme générale de la fonction courant ψ : ψ(r, θ) = U₀rsinθ − U₀a²sinθ/r − (Γ/2π)ln(r/a)

- (Γ/2π)ln(r/a) vérie (1) et (3) et donc ψ(r, θ) vérie bien les trois conditions.

D'où pour les trois termes :

1^er terme = écoulement uniforme de vitessev=U₀;

2^eme terme = dipôle de momentµ=U₀a²e_x situé à l'origine ; 3^eme terme = vortex de circulationΓ= Γe_z situé à l'origine.

Par l'intermédiaire de la mince couche limite visqueuse, qui assure la condition de non-glissement à la surface du cylindre, l'interaction entre l'écoulement principal (qui est inviscide) et le cylindre détermine physiquement la valeur de la circulationΓ. Par exemple, un mouvement de rotation du cylindre sur lui-même impose des vitesses tangentielles non nulles dans la couche limite et à son interface avec l'écoulement : la rotation est transmise à l'écoulement principal sous la forme d'une circulation Γ. On ne peut donc pas négliger la viscosité de l'écoulement près des parois.

3.2- Points de stagnation de l'écoulement : v = 0 ⇒v_r =ρ⁻¹∂_θψ = 0, v_θ =−∂_rψ = 0 v_r = 0 =U₀cosθ−U₀a²cosθ/r²

v_θ = 0 =−U₀sinθ−U₀a²sinθ/r²+ Γ/2πr.

La première équation ⇒θ=±π/2 our =a. Dans la seconde équation :

• θ =±π/2⇒r²±(Γ/2πU₀)r+a² = 0

• r =a⇒sinθ= Γ/4πU₀a

Après analyse des diérents cas particuliers et de leurs domaines de validité, puis éli- mination des cas sans signication physique (on se limite aux valeurs der ≥a), l'étude de ces deux nouvelles équations conduit aux résultats suivants :

• |Γ| ≤4πU₀a→ l'écoulement possède deux points de stagnation, localisés à la surface du cylindre (r=a) et symétriques par rapport à l'axeOe_y.

• |Γ| ≥4πU₀a→l'écoulement possède un seul point de stagnation, situé dans le volume de l'écoulement sur l'axe Oe_y (θ =±π/2).

cylindre

Position des points de stagnation en fonction de α = Γ/4πU0a : voir gure.

Ecoulement incompressible, irrotationnel et stationnaire→théorème de Bernoulli dans tout le uide : p+ρv²/2 =p∞+ρU₀²/2 =p₀ .

r =a sur le cylindre → vr = 0 et vθ = Γ/2πa−2U0sinθ → champ de pressionp(θ) à la surface du cylindre :p(θ) =p₀−ρv²/2 = p₀−(ρ/2)(Γ/2πa−2U₀sinθ)².

Force s'exerçant par unité de longueur du cylindre : F = −R

Cpndl, où dl = |dl| = adθ=élément curviligne sur le cylindre, n =vecteur normal au cylindre :

F_//=−Rπ

−πp(θ)acosθdθ = 0 pour des raisons évidentes de symétrie.

F⊥=−Rπ

−πp(θ)asinθ)dθ =−^ρU_π^0ΓRπ

−πsin²θdθ=−ρU₀Γ.

Sous forme vectorielle, la force par unité de hauteur s'écrit donc : F=ρU₀∧Γ.

L'existence de cette force transverse se comprend facilement. En présence d'une circu- lation Γ 6= 0, les deux points de stagnation se déplacent sur le cylindre, et les lignes de courant de l'écoulement sont déformées. Elles se resserrent sur un côté du cylindre, ce qui entraîne des vitesses d'écoulement plus élevées, donc une pression plus faible par applica- tion du théorème de Bernoulli. Une force transverse apparaît alors, dirigée de la région de haute pression (écoulement lent) vers celle de basse pression (écoulement rapide).

On a jusqu'ici considéré un écoulement incident de vitesse U₀ = U₀e_x dans lequel le cylindre était immobile. Par un changement de référentiel, on en déduit la force (par unité de hauteur) exercée par un uide au repos sur un cylindre qui s'y déplace à la vitesse V₀ =−U₀ :

F_{M agnus}=−ρV₀∧Γ

3.3- Comme pour le cylindre, on se place d'abord dans le référentiel de l'obstacle : l'obstacle immobile est plongé dans un écoulement uniforme de vitesseU₀ =−V₀. Comme le corps mince est peu incliné sur la direction de l'écoulement incident, le champ de vitesses est peu perturbé par rapport à v=U₀. Expression de la force : F=−R

Cpndl. Pour faciliter le calcul, on remarque quen ⊥dls'écritn= (dl/dl)∧e_z ⇒F=−R

Cpdl∧e_z. Utilisant Bernoulli : F=−R

C(p₀−ρv²/2)dl∧e_z = (ρ/2)R

Cv²dl∧e_z

Obstacle mince et peu incliné sur la directionU₀ ⇒le champ de vitessesvest peu diérent du champ de vitesses non perturbé U₀ : v=U₀+u,|u| |U₀|.

On fait donc un développement limité dev²en remarquant queR

CU₀²dl=0:F= ^ρ₂R

C(U₀²+ 2U₀·v)dl∧e_z =ρR

C(U₀²+U₀·v)dl∧e_z =ρR

C(U₀·v)dl∧e_z.

Formule d'analyse vectorielle : (U₀·v)dl= (v·dl)U₀+ (U₀∧dl)∧v.

Obstacle mince et peu incliné sur la direction U₀ ⇒dlpresque parallèle à U₀ ⇒ le double produit vectoriel est négligeable : (U₀·v)dl≈(v·dl)U₀ ⇒F=ρR

C(v·dl)U₀∧e_z. On reconnaît la circulation du champ de vitesses autour de l'obstacle :Γ =R

Cvdl. Introduisant la notation vectorielle Γ= Γe_z on obtient :

F=ρU₀∧Γ

d'où une force de traînée F//≈0 négligeable, et une force de portance F⊥ =−ρU0Γ. On retrouve la même expression qu'en 3.2. On peut d'ailleurs montrer (livre de Pater- son) qu'un corps de forme quelconque, se déplaçant à la vitesse V₀ =−U₀ dans un uide au repos, subit la force transverse de Magnus :

F_{M agnus}=−ρV₀∧Γ.

Si l'angle entre le corps et la vitesse V₀ n'est pas petit, la couche limite ne reste pas localisée à la surface du corps mince. Elle se décolle aux deux bouts, où le rayon de courbure est très petit, et apparaît un sillage où la viscosité joue un rôle important, qui délimite un écoulement secondaire derrière le corps. L'écoulement n'est plus irrotationnel, et on ne peut plus appliquer Bernoulli comme ci-dessus.