Les tentatives de rapppochement entre les constantes λ (constante cosmologique) et μ0 (masse du photon)

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Les tentatives de rapppochement entre les constantes λ

(constante cosmologique) et µ0 (masse du photon)

M.A. Tonnelat

To cite this version:

LE

JOURNAL

DE

_PHYSIQUE

ET

LE

RADIUM

LES TENTATIVES DE

RAPPPOCHEMENT

ENTRE LES CONSTANTES 03BB

(CONSTANTE COSMOLOGIQUE)

ET _03BC0

_(MASSE

DU

_PHOTON)

Par Mme M. A. TONNELAT. Institut Henri

Poincaré,

Paris.

Sommaire. -

Examen des diverses tentatives pour établir une _égalité de la forme 03BC2 = 2014 03BB

avec 03BC

= 203C0/h

03BC0 c et 03BB ~2014 I/R2

_(03BC0

étant la masse d’un corpuscule du _{type photon et R le rayon de}

cour-bure d’un espace à courbure _constante). Discussion du sens et des limites de cette _{équivalence.}

TOMB 12. 1~° 9. NOVEMBRE 1951.

La relativité

_générale

_permet

d’écrire la loi de

gravitation

dans le vide

en

désignant

_{par y,,,, le} tenseur

_{métrique symétrique}

habituel et en

_posant

La constante

_{cosmologique 1, qui,}

avec cette défi-nition doit être

_négative,

est de l’ordre de

_{-- ~.~}

[a

étant le rayon de courbure de

l’espace

à courbure

constante

_qui

intervient dans la solution de

_(1)].

Cette constante a été

_plusieurs

fois

_rapprochée

d’une

autre _{constante ,~ o}

_qui

_peut

introduire des termes

supplémentaires

dans les

_équations

de Maxwell et

qui représente

alors la masse du

_photon.

La relation

_proposée

entre ~ _{et jao est}

_toujours

de la forme suivante

_{(1) :}

a étant une fraction

_simple

ou un entier voisin de

l’unité.

Si l’on examine

_simplement

les ordres de

_grandeur,

(’) Nous n’examinerons pas ici les déterminations de po à

partir d’hypothèses étrangères à la Relativité _générale.

Tel est le _{cas, par exemple,} de l’évaluation des limites de

l’énergie d’un photon à _partir de la théorie de Milne.

CI. WHITROW, Nature, ig5o, ~.65, 28 1.

cette relation est tout à fait admissible. On a en

effet

avec

On obtient donc

ce

_qui

semble

_correspondre

à une valeur

_possible

de la masse du

_{photon, d’après}

les

_conjectures

_que

l’on

_peut

faire sur celle-ci

_(2).

Toutefois,

il est

_plus

difficile d’attribuer un sens

physique

à une relation du

_type

_(4),

car elle établit une

_{correspondance}

entre la constante z, et des

termes

_{spécifiquement quantiques.}

Pour en discuter

la valeur on ne

_peut

_que se référer aux

_hypothèses

qui

ont motivé cette

_égalité.

1. Les

_{plus simples}

de ces

_hypothèses

sont issues

de l’étude de la

_propagation

d’un

_champ

maxwellien dans un _{espace de Riemann. On} constate

₍₃₎

que la (2) Cette masse n’étant pas décelable par l’expérience,

on _peut en inférer _qu’elle doit être inférieure à une valeur voisine de o wJ

g.

C f . L. DE BftoGLIE, Une nouvelle _conception de la _lumière, p. 40.

(3) Ci. EDDINGTON, Relativitâtstheorie, p. 260.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. -

T. 12. - N° 9. -

NOVEMBRE 1951. 5i

830

propagation

des

_champs

et des

_potentiels

est décrite par les

équations ^

, "

avec

La dérivée covariante est

_prise

à l’aide des

_{;,~ ,,}

1

qui

caractérisent la connexion de

_l’espace

de

Rie-mann. En choisissant un

_système

de coordonnées

naturelles

_(4),

on

_peut

ramener ces

_équations

aux

suivantes

_«»

:

avec (1)

~ ~ 1B1. Tokio rrakeuchi

_C)

a

_essayé

le

_premier

d’établir une relation entre ~. _{et ,uo} en

_supposant

que les

équations (7)

admettent la solution

Dans ces conditions

définit,

d’après (7),

une

_dispersion

_par le vide

₍₈₎

avec l’indice

et une masse au _{repos du}

_photon

telle _que

On aura donc

2° Un

_{rapprochement analogue,}

et

_peut

être moins

arbitraire,

peut

être tenté

_d’après

les

prin-cipes

de la théorie du

_photon.

La

_propagation

du

photon

dans un _{espace euclidien obéit} en effet aux

équations

(1)

-(’) Pour la définition, des coordonnées « naturelles _», on

pourra consulter EDDiNGTON~ Op. Cit., p. 105. (~) Cf. EvDr~c~TO~, Op. cif., p. 262.

(6) Les valeurs _galiléennes des _g" étant 0.J.- en notations d’univers et _{( r,} i, i, -

r) en notations d’espace-temps.

(’7) TOKIO T:~KEUCHI, Esl. Zs. _{f . Phys., 1928, 50, 700 et} 1929, 53, r ~8.

(~) Ou « superdispersion k, d’après TOKIO T AKEUCHI.

(9) L. DE BROGLIE, Nouvelles recherches sur _{la, lumière,}

Hermann, 1936, p. r 5.

avec

Il existe donc une

_grande

similitude entre la f orme de

ces’

_équations

et celle des

_équations

de

propa-gation

d’un

_champ

maxwellien dans un _{espace de}

Riemann à courbure constante. En

_comparant

₍₅₎

et

_(11),

on est encore amené à _poser .

c’est-à-dire

On voit

_apparaître

nettement ici _{le genre de}

_parenté

que

peuvent

indiquer

des relations comme

₍₁₀₎

ou

_(14).

Il

_s’agit

d’une

_équivalence

formelle entre les

_équations

de

_propagation

d’un

_photon

de masse

,~ù-o ~ o dans un _{espace euclidien} et celles d’une

onde maxwellienne dans un _{espace de Riemann}

à courbure

_constante.

Courbure et masse

pro-duisent une

_dispersion

_par le vide

_qu’on

_peut,

d’ailleurs

arbitrairement,

supposer

identique

dans les deux cas. Mais cette

_propriété

n’introduit

physi-quement

aucun lien entre la masse du

_photon

et

la courbure de l’univers. En

_dépit

de la

_possibilité

de

_produire

des effets

_identiques,

ces deux

carac-tères restent totalement

_{hétérogènes,}

comme les

théories dont ils sont issus.

_{Physiquement,}

ils

s’excluent.

Sinon,

il faudrait considérer la

propa-gation

d’un

_photon

non pas dans un _espace

euclidien,

mais dans un _{espace de Riemann à courbure}

cons-tante. On aurait alors les

_équations

de propaga-tion

_CO)

dans

_lesquelles

les effets de masse et de courbure

s’ajoutent.

Tout revient donc à considérer la

propa-gation

d’un

_photon

de masse

dans un _{espace euclidien. Mais} aucun lien entre les

constantes po et a,

_{qui produisent}

des effets additifs

et non

_{plus équivalents}

ne saurait évidemment en

résulter.

#

2. Dans ce

_{qui précède,}

les relations entre ~

et

_ti-2

s’introduisent au sein de la théorie

électro-magnétique.

La structure de l’univers n’intervient que pour servir de cadre à cette théorie. La

cour-bure

_peut

modifier les

_équations

de

_propagation

du

_{champ électromagnétique}

mais,

de toute

_façon,

celui-ci reste

_{complètement}

_étranger

à la

_géométrie.

On

_{pourrait espérer,}

au

contraire, rapprocher

les

grandeurs

géométriques

issues des théories

clas-siques

des

_grandeurs

_{définies par} la _théorie

quan-tique

des

_champs

et

_{représentant}

des transitions

corpusculaires.

Cette

_entreprise

n’a aucun sens

dans le cadre restreint de la relativité

_générale

et

de la théorie

_{électromagnétique.}

En

_effet,

la relativité

_générale

fait intervenir un

tenseur

_G~,,,

nécessairement

_symétrique.

A

l’approxi-mation

_quasi

euclidienne

₍₁₁₎

et avec un choix de coordonnées isothermes

_(~~),

on obtient

de sorte _que

_{l’équation (7)}

se réduit à

_{l’équation}

de

propagation

-Or,

la théorie

_{électromagnétique}

ne

_peut

aboutir

qu’à l’équation

de

_propagation

₍₁₃₎

Pour

_{qu’un rapprochement}

soit

_possible,

il est

nécessaire

_d’élargir

les bases de l’une et de l’autre

théorie,

de

_façon

à introduire soit un tenseur

symé-trique

dans les

_{équations corpusculaires}

des

_champs,

a soit un tenseur

antisymétrique

dans les

équations

déduites d’un théorie

_{géométrique.}

z ~ Fierz et Pauli ont étendu les résultats de la théorie

_quantique

des

_champs

en

_{introduisant,}

à

côté des

_{équations électromagnétiques}

relatives au

tenseur

_{antisymétrique}

_{~~~v~, des}

_{équations qui}

se

rapportent

à un tenseur

_symétrique

_(14).

Les

_premières

décrivent le

_comportement

d’une

particule

de

_spin

i, les secondes d’une

particule

de

spin

2. Nous avons montré

_qu’il

est

_possible

de déduire les unes et les autres des mêmes

_équations

d’onde

₍₁₅₎

et de les

_rapprocher

des

_{équations quasi}

euclidiennes tirées de la relativité

_{générale (16).}

(l’) Si 6,,, (~.--. i, - 1,’ -

i, + i) représente les valeurs galiléennes des _{IP.BI’ l’approximation quasi} euclidienne consiste à supposer que h,,, = 1 JBI - et toutes les dérivées

des

sont des _quantités E _petites devant l’unité, de sorte _qu’on

J

peut négliger tous les termes en s2.

("-’) Les coordonnées « normales » ou « isothermes » soit telles que :

relations _{équivalentes} à = o.

_

On _peut montrer _qu’il est _possible de choisir des

coor-données _qui soient à la fois isothermes et quasi galiléennes.

Cf. CHAZY, La théorie de la Relativité et la _{Mécanique céleste,} p. 140.

(1j) De cette équation résulte que la constante A =

G doit _être, elle _aussi, de l’ordre de E. ,

4

(") M. FmRZ, Helv. Phys. Acta, 1939, ~.5, 29~.

~1~) 1B1. A. _TONNELAT, C. R. Acad. _{Sc., r g4 r, 212, 187, et} de _{Physique, 1942, 17,} 158.

eut) M. A. _TONNELAT, C. R. Acad. AS’c., _{212, 687,} et

Ann. de _{Physique, 1944, 19, 405.}

On a, en

_effet,

les

_équations

de

_propagation

sui-vantes :

Pour le

_spin

Pour le

spin

. les

constantes F

et

¡J.’

pouvant

se

rapporter

à des

masses au _repos et

V-’

éventuellement

diffé-rentes.

Supposons

que soit défini de la

façon

sui-vante à

_partir

d’un certain tenseur

_symétrique

yp,,

(11)

avec

Les

_équations

de la théorie conduisent à

_{l’équation}

de

_{propagation C 8)}

’

En

_comparant

₍₂₀₎

et

_(24),

on est amené à _poser

c’est-à-dire

20

_{L’élargissement}

des bases de la relativité

générale

de manière à

_permettre

la

_{géométrisation}

de

_{l’électromagnétisme}

est le but

_poursuivi

_{par les} théories unitaires

_classiques.

La

_façon

la

_plus

natu-relle et la

_{plus générale}

de l’atteindre consiste à

remplacer

la connexion _{riemannienne par} une

connexion affine

_quelconque

en

_supposant

_que

l’univers

_possède

une torsion et deux sortes de courbures. A

_partir

de ces

principes,

Einstein a

édifié une théorie unitaire affine très

_générale

_{(1 fi)}

qui

suppose

toujours

une

_équation

de la forme

(’ ~) Nous avions défini

_~,,~;,

1 à partir de yj, au moyen d’une expression un _{peu différente [Cf.} Ann. de _{Physique, ~gf~4,}

19, 407 relation (12)]. Il nous semble _préférable de définir

le (séparé des grandeurs liées au spin j o) à-partir

des ; ,,, et de choisir l’expression ci-dessus. Pour la

défi-nition des

_{~, ~,9;,,}

_{C f.} VAN ISACKER, C. R. Acad. Sc., z g1~4,

p. 5i.

’

(~s) Les _équations de la théorie

conduisent aussi à la condition

qui est _{précisément} la définition ₍₁₈₎ des coordonnées iso-thermes.

Cf. EINSTEIN, The _{Meaning of Relativity, Appendix} 2 e édition..

-

832

R~.,, et _{g’;J.’1 = g~.~~ + g,.,} n’étant

_plus

_{ici des} gran-deurs

_{symétriques.}

Avec

_quelques

variantes sui-vant le ou les tenseurs de base

_adoptés,

_R;,,,,

_s’exprime

au _{moyen des coefficients de la connexion amine} et ces derniers en fonction

_{des-y,,, :}

c’est la solution

rigoureuse

des

_équations

o _que nous avons

+-calculée dans un

_précédent

travail. Aucune

approxi-mation n’a besoin d’être faite sur la forme et l’ordre de

_grandeur

du tenseur

_symétrique

_g~,~~. Par _contre,

si nous _{supposons le}

_{champ antisymétrique}

de

v

l’ordre de ;-- et si nous convenons de

_négliger

les

termes en e3 devant l’unité nous constatons que

(26)

conduit aux

_{équations approchées}

l’approximation

portant

seulement sur les termes

électromagnétiques.

Si ri

est

_supposé

nul,

le

_champ

ne

_peut

être f

rapproché

du

_champ

_{électromagnétique,}

à moins que la constante

_cosmologique

ne

disparaisse

(21).

Si

_{f v}

~ o, il est

possible

de définir un

_champ

qui

dérive d’un

potentiel,

même si 1,

_5;~~

o. Ce

champ

vérifie

_{l’équation}

de

_propagation

La

_comparaison

entre cette dernière

_équation

et

l’équation

13 de

_propagation

d’un

_champ

électro-magnétique

conduit à poser en choisissant un

_système

de coordonnées naturelles

Il

_importe

de noter _{que des}

_égalités

telles que

(25)

et

_{(31) impliquent}

encore un

_{rapprochement}

pure-ment formel. Elles

_{représentent}

une

_équivalence

entre la

_propagation

des

_champs

issus d’une

descrip-tion

_{géométrique}

et celle des

_champs

macrosco-piques

que définit

statistiquement

une théorie

quantique.

Mais cette

_équivalence

de

_langage

_que

traduisent

les

_{égalités (25)}

ou

₍₃₁₎

laisse finale-(l!)) M. A. TONNELAT~ J. _{Physique Rad.,} Si.

(20) Cette _équation est liée aux choix d’un certain tenseur de base, on obtiendrait des coefficients différents en _partant

d’un autre tenseur mais les conclusions seraient _inchangées.

(2z) Ci. M. A. _TONNELAT, .ï. _Phrdsique Rad.

ment les théories

_étrangères

l’une à l’autre. Elles

restent deux

_{descriptions possibles,}

mais aucun

lien

_explicatif

ne les unit. Les

_{interprétations}

physiques qu’elles

proposent

s’excluent donc encore.

Il en irait différemment si l’on

_{pouvait imaginer,}

par

exemple,

une relation de cause à effet entre le

champ

corpusculaire

et les structures

_{géométriques}

de l’univers. S’il en était

ainsi,

un

_corpuscule

du

type

photon

serait

_responsable,

par ses

transitions,

du

_champ

_{antisymétrique macroscopique}

et de la structure de l’univers dans

_lequel,

finalement,

il

se _{propage. Ses}

_équations

devraient être écrites au

départ

dans l’univers à connexion affine

_qu’il

contribue à définir.

Malheureusement,

les

_équations

des

_champs

ne sont _pas connues dans un _espace à

connexion affine

_quelconque

et non

_simplement

riemannienne

_(hypothèse

nécessaire pour

interpréter

géométriquement

le

_champ

C’est

_{précisément}

à la théorie

_classique

unitaire de les établir. Les

équations

d’ondes

_{correspondant}

à ce cas ne sont

même pas forcément

compatibles.

Il semble donc

_{qu’une équivalence}

entre théorie

corpusculaire

des

_champs

et théorie affine

_classique

se borne à confronter deux

_{descriptions possibles}

et d’ailleurs

_{approximatives,}

mais sans lien

expli-catif. Seul le cadre euclidien intervient dans la théorie

corpusculaire

mais,

chose

_remarquable,

il se trouve

que le

comportement

du

_corpuscule

décrit à l’aide de coordonnées cartésiennes

_quelconques,

est «

équi-valent » aux relations entre les structures

géomé-triques

classiques quand

on les

_rapporte

à certains

systèmes particuliers

de coordonnées

_{curvilignes :}

coordonnées « naturelles _», s’il

s’agit

de

(8)

et de

(30)

coordonnées « _{isothermes », s’il}

_s’agit

_de

_(20).

Si intéressante

_qu’elle

soit,

cette

_équivalence

approchée,

ou

_plutôt

ce

_pont

entre les

_langages

géométrique

et

_{corpusculaire}

est donc loin de se

présenter

comme une théorie

_explicative

satisfai-sante. Cette discussion n’a d’autre but _{que de}

préciser

ses caractères et ses limites.

Dans une autre

_voie,

il reste la

_possibilité

de

trouver,

grâce

à la solution exacte des

_équations

p = o, solution valable même dans le cas de

+-

champs

très

intenses,

l’explication

de la nature

des

_particules

élémentaires. Mais la réalisation de cet

_espoir,

comme le

_souligne

fort bien

Schrô-dinger (22),

demeure,

malgré

tous les

efforts,

assez

problématique.

(22) SCHRDDINGER, Studies in the non _symmetric

genera-lization of the theory of gravitation, Dublin, 1951, p. 3.

’