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Sur quelques surfaces à courbure constante

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Texte intégral

(1)

B ULLETIN DES SCIENCES

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES

N. N ICOLAÏDÈS

Sur quelques surfaces à courbure constante

Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, tome 9 (1875), p. 142-145

<http://www.numdam.org/item?id=BSMA_1875__9__142_1>

© Gauthier-Villars, 1875, tous droits réservés.

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(2)

PAR M. N. NICOLAÏDÈS.

Je représente par a la première courbure absolue de l'ui systèmes des lignes de courbure d'une surface, et par b cell second système. Si a et b sont constants pour tous les points surface, elle sera à courbure constante, c'est-à-dire que le pr<

des deux courbures principales sera constant pour tous ses pc

(3)

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i43 On peut démontrer cette proposition en se servant des équations fondamentales} on a

(0

d.EG d.E.G, du{ du d.EH dE

du{ du{ au . £1 t au du

H, Ht sont les courbures normales des lignes de courbure ; G, G4 les courbures géodésiques, et E, EA les coefficients qui figurent dans l'expression de Tare.

On a, par hypothèse, (

d'où (3)

<).EH

<?.E,G, d.

EiGi

^ ^ r -

+EiHi

^

dE _^

aux

E i - d ' o ù , e n ayant égard aux équations ( i ) ,

dut

du (4)

par conséquent,

<?.EG c'est-à-dire (i)

a et b étant constants par hypothèse, il s'ensuit que HHl5 c'est- à-dire le produit des deux courbures principales de la surface, est aussi constant.

(4)

i44 BULLETIN DES SCIENCES

II est à remarquer que l'intégration des équations fondamentales s'achève aisément dans ce cas particulier. En effet, en combinant les équations (3) et (i), on obtient

d'où

<?.E,Gt

E2G2-i-a2E2:=:Ut,

11,11! étant deux fonctions arbitraires, l'une de M, l'autre de ux. Mais on peut prendre ces fonctions égales à l'unité, en espaçant convenablement les lignes du réseau 5 les équations précédentes deviennent, par conséquent,

(6)

et encore, (2) et (5),

(7) 7 2 1

enfin, en combinant ces trois dernières équations avec les deux der- nières (1), on obtient les valeurs de E, Ej } on a /^ ~"\

(8) * U{ J v/i —62E2 v/i — ( «2+ 62) E2'

U ~~J \'T—a2El ^—{a'-hb^EÎ '

ƒ et f Y étant deux fonctions arbitraires qui seront déterminées par la condition (6). D'ailleurs, les valeurs de E et El 5 substituées dans les équations (2) et (5), donneront celles de H, Hl7 G, G4.

(5)

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i45 Nous avons à communiquer à nos lecteurs une douloureuse nou- velle. Un de nos collaborateurs les plus zélés et les plus éminents, M. Painvin^ s'est éteint le 12 octobre dernier dans sa cinquantième année, après une longue et cruelle maladie. Les géomètres connais- sent depuis longtemps les beaux travaux qu'il a publiés en si grand nombre; nos professeurs appréciaient et étudiaient les excellentes leçons de Géométrie analytique qui reproduisaient et développaient la matière de son enseignement. Il appartient à ceux d'entre nous qui l'aimaient et le voyaient de près de rendre justice à ses belles qualités morales, à son ardeur infatigable au travail, à la loyauté qu'il apportait dans toutes ses relations, au soin jaloux avec lequel il s'occupait de ses élèves et travaillait constamment à développer leurs aptitudes mathématiques.

La Géométrie analytique, l'Algèbre moderne étaient les objets favoris de ses études, le but principal de ses efïbrts. L'un des pre- miers en France, il a cultivé cette branche de l'Analyse qui est de- venue presque l'unique sujet d'études des jeunes savants français.

Nous avons formé avec soin et l'on trouvera plus loin la liste des Ouvrages de notre collaborateur 5 elle ferait honneur même à un géomètre qui n'aurait pas eu à concilier ses études personnelles avec les travaux d'un enseignement des plus pénibles.

Apprécié de tous, notre excellent ami avait obtenu, l'année der- nière, la récompense de ses efforts : il venait d'être appelé à pro- fesser à la Faculté des Sciences 5 la maladie ne lui a pas permis de terminer son premier Cours.

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