Etude de méthodes métaheuristiques appliquées à l'optimisation aérodynamique ferroviaire

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Etude de méthodes métaheuristiques appliquées à

l’optimisation aérodynamique ferroviaire

Etienne Lorriaux

To cite this version:

Etienne Lorriaux. Etude de méthodes métaheuristiques appliquées à l’optimisation aérodynamique

ferroviaire. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. Université de Valenciennes et du

Hainaut-Cambraisis, 2007. Français. �NNT : 2007VALE0047�. �tel-03001501�

Numéro d'ordre: 07/48

THÈSE

présentée

à

L'UNIVERSITÉ DE VALENCIENNES ET DU HAINAUT-CAMBRÉSIS

,

pour l'obtention du titre de

DOCTEUR

Spécialité : Mécanique des fluides

par

Etienne LORRIAUX

Ingénieur ESM2

ETUDE DE MÉTHODES MÉTAHEURISTIQUES

APPLIQUÉES

À

L'OPTIMISATION AÉRODYNAMIQUE

FERROVIAIRE

Dirigée par : FRANÇOIS MONNOYER de GALLAND - NACHIDA BOURABAA

Soutenue le

19

Décembre 2007 devant la Commission d'Examen :

M. SEVAUX G. DEGREZ

X.

GANDIBLEUX N.BOURABAA F. MONNOYER de GALLAND

J.

PATTYN

-JURY-Professeur, Université de Bretagne-Sud Professeur, Université Libre de Bruxelles Professeur, Université de Nantes

Maître de Conférences, ENSIAME UVHC Professeur, ISTV UVHC

Advance Engineering Manager, BOMBARDIER

Président Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Invité

TABLE DES MATIÈRES

Table des matières

Introduction . . . .

1 Aérodynamique ferroviaire et optimisation

1.1 Études expérimentales . . . . 1.2 Méthodes d'optimisation : généralités

1.2.1 Méthode de descente par gradient 1.2.2 Méthodes métaheuristiques . 1.2.3 Les méthodes hybrides . 1.3 La méthode de génération ciblée

1.3.1 Description de l'algorithme GCS. 1.3.2 Validation de l'algorithme GCS .

2 Mise en œuvre et analyse de la génération ciblée

2.1 Modèle numérique bidimensionnel . . . . 2.1.1 Sensibilité aux modèles de turbulence 2.1.2 Sensibilité au maillage

2.2 Paramètres géométriques . . .

2.3 Optimisation par algorithme génétique . 2.3.1 Taille de la population . 2.3.2 Influence des mutations .

2.3.3 Analyse de l'optimum bidimensionnel . 2.4 Algorithme génétique hybride et génération ciblée .

3 Application de la méthode de génération ciblée à une motrice ferroviaire

3.1 Modèle numérique tridimensionnel . . . 3 .1.1 Géométrie et domaine de calcul 3.1.2 Stratégie de Maillage . . . .

3.1.3 Sensibilité au maillage et au modèle de turbulence 3.2 Application de l'algorithme GCS . 3.3 Conclusions . . . . Conclusions et perspectives 7 11 16 17 18 30 36 37 37

43

43 44 45

47

52

52

54 55 61 67 67 67 71 75 81 99 101

ü

A AnnexeA

A.l Modélisation de la turbulence . . . . A.l.l Équations générales de la mécanique des fluides A.1.2 Turbulence et modélisation . . . . B AnnexeB

B.l Bruit introduit par les simulations numériques C Annexee

C.l Influence des paramètres Y3 et b du modèle bidimensionnel D AnnexeD

D.l Forces de traînée s'appliquant sur les solutions tridimensionnelles

TABLE DES MATIÈRES

109 109 109 110 113 113 115 115 117 117

TABLE DES MATIÈRES

Introduction

De nombreux facteurs, tels que l'ouverture des frontières dans l'Union européenne ou l'augmentation du temps de loisir, font que la mobilité des gens et le transport de marchandises ne cessent de croître (figure 1) [1]. Il apparaît clairement que le transport par voie routière prend une ampleur plus importante que tous les autres transports. Cette tendance devrait être confirmée dans les dix ou vingt prochaines années, et au vu de la situation actuelle, les infrastructures en place ne pourront absorber une telle croissance, même en réalisant de vastes projets d'aménagement. La figure 2 montre pourtant que ce mode de transport a été grandement favorisé d'un point de vue des infrastructures. Le trafic routier est également à l'origine de problèmes de pollution, de nuisance sonore et de consommation de ressources fossiles, nuisant fortement à 1 'environnement et la qualité de vie des citoyens. L'Europe n'est pas une exception et ces soucis se retrouvent à l'échelle mondiale et sont de plus en plus préoccupants avec la croissance du marché automobile sur le continent asiatique.

De plus, il est essentiel de prendre en compte l'aspect financier des différents modes de transport, et la figure 3 résume les coûts associés à chaque moyen de transport. Ces données font apparaître les conséquences impor-tantes des accidents pour le transport routier et montrent que le transport ferroviaire s'avère moins coûteux, plus sûr et moins nuisant. Ces données ne sont pas récentes, et il faut aujourd'hui tenir compte de la récente inflation du prix du pétrole qui ne joue pas à l'avantage du transport routier.

Toutes ces considérations amènent à repenser totalement la politique de transport national et international ; la Commission européenne a établi des objectifs pour les prochaines décennies [1) afin de:

- rééquilibrer les modes de transport : il est nécessaire de revitaliser le rail, développer les infrastructures ferroviaires et faciliter l'interopérabilité entre les divers États de l'Union européenne;

- développer l'intermodalité, c'est-à-dire les liaisons entre les différents modes de transport, en particulier pour le transport ferroviaire ;

- combattre la congestion des infrastructures en les développant, en les améliorant et en optimisant leur utilisation. Il convient notamment de maîtriser la croissance du trafic aérien et 1 'encombrement des voies aériennes.

- améliorer la sécurité et les qualités de service pour inciter les utilisateurs à préférer des modes de transport plus écologiques et plus sûrs que leur véhicule particulier, tout en limitant la perte de mobilité et de temps par rapport au transport routier.

TABLE DES MATIÈRES 3

125

ltoult : Loneveur dtt 1111oroutn

120 115 110 105 00

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90 Cht111in ete ltr: vihlcult dt trlltJpor1 dt vor•v•urw

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

FIGURE 2-Développement des infrastructures et des équipements par mode de transport dans l'UE-25 [2]

modes de transport les plus efficaces et les plus écologiques. Le transport ferroviaire présente de nombreux avantages en termes de consommation énergétique, de coûts d'utilisation. De plus, la régulation de son trafic évite toute saturation du réseau.

Les avancées technologiques contribuent également à valoriser l'utilisation de ce mode de transport, et l'amé-lioration de sa qualité passe par l'augmentation des vitesses opérationnelles sans altération des niveaux de sécurité et de confort. La mise en service des premiers trains à grande vitesse date des années 1980 avec des vitesse opérationnelles de l'ordre de 250 km/h et des records avoisinant les 500 km/h. Bien que la très grande vitesse soit réservée à une classe de véhicules particulière, d'autres trains de catégorie inférieure circuleront à 200 km/h dans un avenir proche. Dans ces conditions, les aspects aérodynamiques prennent un rôle impor-tant et ils doivent être pris en compte dans les processus de conception pour garantir la sécurité, le confort et l'efficacité de ce mode de transport. Cependant, l'analyse de ces derniers est complexe car leurs effets sont fortement couplés. Pour répondre à ces différents aspects, cette thèse a pour objectif d'exposer les bases d'une méthode globale d'optimisation appliquée à l'aérodynamique ferroviaire.

Ce travail s'appuie sur la simulation numérique du comportement aérodynamique des rames. Ces méthodes ont atteint un degré de maturité suffisant pour pouvoir modéliser des écoulements complexes avec précision. Elles sont souvent utilisées dans les domaines aéronautiques ou automobiles, et leur apparition dans le domaine ferroviaire est plus récente [3]. En effet, leur application dans le domaine ferroviaire implique des moyens de calcul importants, mais les progrès informatiques rendent désormais ces études envisageables. Cependant,

4 uros/1 000 pkm iOO 87 75 50 25 0 -+---Voiture

A ionsen mon

Pollutiorl a mosphenque uros/1 000 tkm 250 200 150 100 ₈₈ 50 0 Transport routi r Processus en a mo t Pollution

TABLE DES MATIÈRES

48

20

Autobus Chemin de fer Transpon aéri n

Re ombëes urbaines ature & paysage Chang ment ciimil lque

Bwit Acciden s

205

19 17

Eff: ts urbains Narure et paysage Changemen cJlma que

Bruit • Accidents

TABLE DES MATIÈRES 5

une méthode d'optimisation entraîne de nombreuses simulations et une partie de cette thèse s'attache au dé-veloppement de modèles numériques simplifiés pour que les durées des estimations soient supportables. Une attention particulière est portée sur la sensibilité des résultats par rapport aux simplifications effectuées. Par ailleurs, cette même contrainte et la complexité du domaine de recherche à prospecter imposent de recourir à une procédure d'optimisation à la fois flexible et performante. Parmi les méthodes existantes, les métaheuris-tiques, et plus particulièrement les algorithmes génémétaheuris-tiques, sont celles qui répondent le mieux à ces critères. Ces derniers sont bien adaptés à des problèmes d'optimisation multiobjectifs faisant intervenir de nombreux paramètres. De plus, leur structure permet de recourir à des systèmes de calcul intensif. Toujours dans le souci d'accélérer la procédure d'optimisation, les méthodes hybrides, consistant à greffer une méthode de recherche locale à l'algorithme général, ont été appliquées. Bien que leur efficacité soit vérifiée, le couplage des deux méthodes est difficile à mettre en œuvre car la spécificité de chaque problème d'optimisation ne permet de définir des règles d'application générales.

Une solution originale à ce problème est proposée. Elle consiste à intégrer la méthode de recherche locale au processus d'élaboration d'une nouvelle génération de l'algorithme génétique plutôt que de les traiter séquen-tiellement. Cette procédure, appelée génération ciblée, combine la flexibilité et les qualités d'exploration de l'algorithme génétique avec la précision des méthodes de recherche locale, qu'elles soient déterministes ou heuristiques. L'intérêt de cette procédure de couplage est d'être automatisée, avec l'avantage particulier de ne pas nécessiter de transition entre les méthodes.

L'ensemble de ce mémoire est composé de trois chapitres. Les différents effets aérodynamiques rencontrés dans le domaine ferroviaire sont décrits au chapitre 1. Parmi ceux-ci, nous nous intéressons plus particuliè-rement à l'analyse de la force de traînée et deux études expérimentales sont détaillées : elles concernent la minimisation du coefficient de trârnée en agissant sur les profils des motrices et des tendances géométriques sont dégagées. Les méthodes d'optimisation sont ensuite introduites de façon générale, puis les fondements des algorithmes génétiques sont présentés avec les différents opérateurs qu'ils font intervenir. Une autre heuris-tique appelée simplex, fréquemment utilisée dans des couplages avec les algorithmes généheuris-tiques, est également exposée et ses avantages par rapport aux méthodes déterministes de recherche locale sont illustrés. Enfin, des exemples de méthodes hybrides issus de la littérature, présentant différents moyens de couplage, sont étudiés. Les comparaisons de leurs performances par rapport à celle d'un algorithme génétique classique sont utili-sées pour vérifier l'efficacité de la méthode de génération ciblée présentée. L'algorithme simplex a été retenu comme méthode de recherche locale pour être intégré au sein de la génération ciblée.

Après avoir été appliquée avec succès à des exemples classiques, la méthode de génération ciblée et les algo-rithmes génétiques ont été mis en œuvre sur des profils bidimensionnels représentatifs de formes ferroviaires. Ce modèle, nécessitant moins de ressources qu'un modèle tridimensionnel, a été utilisé pour mener des études de sensibilité sur les caractéristiques des méthodes d'optimisation.

Enfin, une application tridimensionnelle mono-objectif est développée au chapitre 3 pour démontrer la faisabi-lité de la procédure. La sensibifaisabi-lité aux divers paramètres du modèle numérique est étudiée puis une configura-tion est retenue pour être appliquée avec la méthode de généraconfigura-tion ciblée. Les écoulements relatifs à quelques

6 TABLE DES MATIÈRES

solutions obtenues sont ensuite analysés. Des conclusions sur les résultats des applications réalisées sont éta-blies et ouvrent le chemin vers de nombreuses perspectives.

7

Chapitre 1

Aérodynamique ferroviaire et optimisation

Au cours du XXème siècle, les recherches en aérodynamique se sont principalement concentrées sur l'aéronau-tique. En effet, 1' aérodynamique ferroviaire a été peu développée car les rames n'étaient pas assez rapides pour justifier des études aérodynamiques. La volonté d'augmenter les vitesses opérationnelles des trains est apparue au Japon pendant les années 1950 et dans le courant des années 1960 en France pour relancer le transport ferroviaire qui était en déclin face aux autres modes de transport. Désormais, les trains peuvent atteindre des vitesses opérationnelles supérieures à 250 km/h et le T.G.V. (figure 1.1) a établi le 4 avril 2007 un nouveau record absolu de vitesse de 574 kmlh. Cependant le T.G.V., dont de nombreux dérivés circulent sur les conti-nents européen et asiatique, n'est pas le seul train capable d'atteindre de telles vitesses et d'autres modèles font également partie de cette classe de la très grande vitesse : le Shinkansen (Japon), l'ICE (Allemagne), l'ETR (Italie) ou le Talgo (Espagne).

Différentes tendances concernant la géométrie des motrices apparaissent sur la figure 1.1 : - des profils élancés pour le T.G.V., l'ICE, l' ETR et le Shinkansen;

- des profils dits en bec de canard pour le Shinkansen et le Talgo.

Ces différentes formes ont été développés pour répondre aux priorités qui sont apparues avec les vitesses opérationnelles de plus en plus élevées. Par ailleurs, certains trains régionaux, tels que le TER, atteignent désormais des vitesses de 200 km/h. La classe des trains à grande vitesse n'est par conséquent plus la seule à

être concernée par les aspects aérodynamiques que ces vitesses engendrent. L'étude de ces effets prend alors de plus en plus d'intérêt et elle doit fournir des éléments pour garantir la sécurité, le confort et limiter l'impact des nuisances sur 1' environnement.

- La force de traînée

La traînée est une force qui s'oppose au mouvement du train et est exprimée selon la formule :

R

=

Rm +Ra

=

A

+

BV

+

CV

2 (1.1)

Elle est composée de deux forces distinctes :

8 CHAPITRE I. AÉRODYNAMIQUE FERROVIAIRE ET OPTIMISATION

(a) T.G.V. Duplex 206

(b) ICE 3 (c) ETR 500

(d) Shinkansen FASTECH 360 (e) Talgo 350

9

évolue linéairement avec la vitesse et elle est modélisée par le terme A

+

BV dans l'équation 1.1 ; - la traînée aérodynamique

R

a

qui évolue avec le carré de la vitesse. Cette dernière représente donc une

proportion très importante dans la traînée totale pour des vitesses élevées.

Les coefficients

A

, B

et

C

dépendent du train considéré et sont déterminés expérimentalement. Par exemple, Osawa [4] propose la modélisation suivante pour un Shinkansen série 100 (figure 1.2):

R

=

12,484

+

0, 04915V

+

0, 001654V2 (1.2)

FIGURE 1.2- Motrice du Shinkansen série 100

À partir de l'expression (1.2), l'évolution de la traînée totale en fonction de la vitesse, ainsi que celle des forces mécanique et aérodynamique, est reproduite sur la figure 1.3.

14 - Traînée totale 12 ~10 ~ CIJ '(1J 8 c

(

e

... CIJ "0 ₆ CIJ ~ 0 u.. 2 50 100 150 200 250 Vitesse (km/h)

FIGURE 1.3- Évolution des différentes forces de traînée d'après les travaux de Osawa [4]

Pour des vitesses d'environ 100 kmlh, les forces aérodynamiques et la traînée mécanique sont du même ordre de grandeur. Au delà de cette valeur, la traînée aérodynamique devient prédominante et elle est quatre fois plus élevée que la traînée mécanique pour une vitesse de 250 km/h. Afin de limiter la consommation

10 CHAPITRE 1. AÉRODYNAMIQUE FERROVIAIRE ET OPTIMISATION

énergétique et d'augmenter la vitesse opérationnelle des rames, il convient donc de réduire la force de traînée aérodynamique. Pour y parvenir, les contributions des différentes parties du train doivent être quantifiées et Raghunathan et al. [5] présentent des données concernant une rame ICE (tableau 1.1). Des modifications apportées sur la forme des motrices, sur les pantographes, sur les équipements sous châssis ou sur les liaisons entre les voitures peuvent donc influer sur la force de traînée aérodynamique.

Contribution à la traînée aérodynamique

Équipements sous châssis 44%

Efforts de frottement 35%

Motrices 10%

Pantographe 9%

Liaisons entre les voitures 2%

TABLEAU 1.1 -Contributions à la force de traînée aérodynamique pour une rame ICE (Raghunathan et al. [5])

- L'effet des vents traversiers

Les vents traversiers sont à l'origine de forces transversales et d'un moment de roulis. Dans des conditions extrêmes, ces efforts peuvent faire dérailler le train ou même le renverser. Sanquer et al. [6] ont mis au point une méthode expérimentale permettant de mesurer les efforts exercés par les vents traversiers. Pour cela, un grand nombre de prises de pression statique ont été disposées sur toutes les voitures d'une maquette de train afin de connaître instantanément les efforts de pression. La connaissance de la répartition des efforts avec différentes incidences du vent latéral indique les voitures les plus exposées à ces problèmes de stabilité et sous quelles incidences les risques sont les plus élevés. Heine et Matschke [7] ont également publié les ré-sultats concernant l'influence des vents traversiers en mesurant les efforts perpendiculaires à l'axe principal du train. Cette étude met en évidence l'intérêt des profils en bec de canard tels que le Shinkansen ou le Talgo.

- L'effet de souffle

L'effet de souffle est l'interférence mutuelle de deux trains qui se croisent ou du mouvement relatif entre le train et un obstacle. Les déplacements d'air importants présentent des dangers pour les passagers en attente sur un quai ou pour les ouvriers travaillant à proximité des voies. Depuis 1972, 24 accidents dûs aux effets de souffle ont été recensés au Royaume-Uni (Baker et al. [8]). L'analyse de ces phénomènes doit fournir les éléments permettant d'établir des normes de sécurité.

- Le boum sonique et les ondes de pression en tunnel

Lorsqu'un train entre dans un tunnel, une onde de pression se forme et se propage le long du tunnel. Comme l'illustre la figure 1.4, le gradient de pression peut augmenter au fur et à mesure que l'onde se propage et l'onde transmise vers l'extérieur peut être suffisamment puissante pour s'apparenter à un boum sonique. Ce phénomène provoque des détériorations des structures environnantes et représente une gêne pour les

1.1. ÉTUDES EXPÉRIMENTALES 11

riverains et passagers. Il a été observé pour la première fois en 1975 au Japon où la géométrie des tunnels favorise sa formation. En Europe, les sections des tunnels sont plus grandes et 1 'utilisation de ballasts, bien que non prévus à cet effet, limitent l'apparition du boum sonique en amortissant l'onde de pression. Des études montrent que la géométrie de la motrice avant du train a également une influence sur ce phénomène [9, 10].

...

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FIGURE 1.4- Illustration du boum sonique d'après Tielkes [11]

Une partie de l'onde arrivant à la sortie du tunnel y est également réfléchie. Lors de la traversée du tunnel, le train est donc amené à rencontrer ce front d'onde qui engendre des efforts aérodynamiques importants sur les parois du train et sur les structures du tunnel, source de fatigue structurelle des caisses et des équipements.

L'étude simultanée des différents phénomènes évoqués ci-dessus est complexe car ils sont fortement couplés. Nous nous proposons dans ce travail de développer une méthode globale d'optimisation appliquée à l'aé-rodynamique ferroviaire. Dans un premier temps, la faisabilité de cette procédure est étudiée en traitant la minimisation de la force de traînée par rapport à la forme de la motrice des rames. Néanmoins, l'intégration d'autres critères reste possible et les choix sont établis dans cette perspective.

1.1 Études expérimentales

Cette partie est consacrée à l'analyse de deux études expérimentales concernant l'influence de la forme des motrices sur les propriétés aérodynamiques des trains. La réduction du coefficient de traînée Cx y est abordée en mesurant les efforts s'appliquant sur des maquettes de train.

Raghunathan et al. [5] présentent les résultats de mesures de forces de traînée sur seize formes de motrices (figure 1.5). Quatre familles de profils sont identifiées par les références A, B, Cet D, pour lesquelles le rapport de la longueur Là la largeur West de 0,5; 1; 2 et 4. Les forces de tramée aérodynamique de ces différentes maquettes ont été mesurées à l'aide d'une balance aérodynamique dans une soufflerie dont la configuration de la veine d'essai est représentée sur la figure 1.7. Les différents profils ont été évalués pour la motrice avant en conservant la motrice arrière constante puis inversement. Les résultats obtenus pour les coefficients de traînée en fonction du rapport

~

sont exposés sur les figures 1. 7.

L'examen des figures 1.7 montre que le profil4-D, qui est le plus long et le plus affûté, est celui qui présente le Cx le plus faible. Le coefficient de traînée est constant pour la motrice avant lorsque L

>

l-V. Par ailleurs,

12 CHAPITRE 1. AÉRODYNAMIQUE FERROVIAIRE ET OPTIMISATION

1~

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2~

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FIGURE 1.5- Ensemble des profils testés

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1 332 400 1 613

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1.1. ÉTUDES EXPÉRIMENTALES 3-C type Middle(dummy)

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~--..-~l---~"CII

(a) Essais concernant la motrice avant

0.8 13 3-C type Middle _• T ·1 _a1

<-=

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-=-...,

(dummy)/ 0 :l-A,2·A.3-A.4-A 1!:1 :1-8,2-8,3-8,4-8 L/W

(b) Essais concernant la motrice arrière

FIGURE 1.7- Évolution du coefficient de traînée en fonction de la longueur du nez pour les quatre familles de profils, d'après Raghunathan et al. [5]

les deux familles

B

et

C

sont très peu influencées par la longueur de la motrice avant. Au contraire, la force de traînée est beaucoup plus sensible à la forme et à la longueur de la motrice arrière (figure 1.7(b)).

Sur l'ensemble des deux figures, les profils qui présentent les coefficients les plus faibles correspondent aux motrices les plus longues et les plus affûtées. Ces résultats mettent en valeur l'importance du profil de la motrice arrière par rapport au coefficient de traînée et la nécessité de considérer les deux motrices dans les analyses expérimentales ou numériques. La longueur des motrices s'avère être un paramètre déterminant. En effet, la force de tramée est toujours plus faible pour les formes les plus allongées.

Heine et Matschke [7] ont également réalisé des essais en souffierie. Les profils de cette étude dérivent d'une rame ICE2, représentée sur la figure 1.8, qui circule en Allemagne à une vitesse opérationnelle de 280 km/h. La forme de la motrice de l'ICE2 a été paramétrée par rapport à la longueur et à la largeur du nez, à la hauteur du train, au rayon de courbure du toit, à la hauteur du bas de caisse et à la concavité du nez. Quatre des quatorze profils étudiés sont représentés sur la figure 1. 9. Il sont nommés par les auteurs de la façon suivante (de 1' arrière plan vers le premier plan) : nez long et élancé, nez long, nez en bec de canard et nez affûté.

Les essais ont été réalisés pour une vitesse de 55 mis et les mesures sur quatorze profils ont été effectuées à l'aide d'une balance aérodynamique à six composantes, utilisée pour mesurer les efforts et moments aérody-namiques. La figure 1.10 montre que trois profils en particulier présentent un coefficient de traînée plus faible que les autres configurations :profil à nez long (3), profil à nez long et étroit (11) et profil à toit rabaissé (13). Trois paramètres géométriques ressortent de cette étude expérimentale :

- la longueur du nez est un paramètre significatif pour le coefficient de traînée : deux des trois meilleurs profils (3 et 11) présentent un nez rallongé par rapport au profil de base de l'ICE2;

- la largeur du profil à l'extrémité du nez qui a été diminuée par rapport à celle de l'ICE2 pour un de ces trois profils (11) ;

14 CHAPITRE 1. AÉRODYNAMIQUE FERROVIAIRE ET OPTIMISATION

FIGURE 1.8- Motrice d'une rame ICE2

FIGURE 1.9- Quatre profils étudiés par Heine et Matschke [7]

Drag force Cx

-;; 0.150 •1-ICE2 • 2-short nose

(.) _{c 3-long nose c4-wide nose}

cl)

u _{• 5-narrow nose c6-duck shape}

...

$2

• 7 -sharp nose C8-sharp edge

g

0.100

...

• 9-round edge • 1 0-short+wide

Cl

c

11-long+narrmv 12-low bottom

• 13-low roof • 14-high roof 0,050

1.1. ÉTUDES EXPÉRIMENTALES 15

forme de la motrice. En effet, modifier cette hauteur impliquerait de modifier le gabarit du train et et changer l'aménagement des voitures. Dans ce travail, le gabarit est considéré comme fixe.

Les résultats fournis par ces essais fournissent des indications permettant d'obtenir des formes de motrices plus performantes, mais ne dégagent pas solution optimale. En effet, le nombre de configurations étudiées est limité et ne permet pas la recherche d'un optimum autour des tendances constatées. Dans l'objectif d'approcher au plus près une configuration optimale, un modèle paramétrique est développé dans cette étude et il est couplé

à un estimateur numérique pour évaluer un grand nombre de solutions. Le choix des paramètres est laissé à la charge d'une méthode d'optimisation dont les bases sont exposées dans la prochaine partie.

16 CHAPITRE 1. AÉRODYNAMIQUE FERROVIAIRE ET OPTilvliSATION

1.2 Méthodes d'optimisation: généralités

La résolution de tout problème de conception ou d'innovation repose sur des choix et des compromis visant à obtenir la meilleure solution, ou optimum. De manière générale, une démarche d'optimisation consiste à analyser les solutions possibles du problème posé pour en déterminer celle qui répond le mieux à des critères de choix définis au préalable. Ces critères peuvent viser à améliorer les performances, à rendre le produit plus robuste, à limiter les coûts de fabrication ...

Une procédure de recherche d'optimum n'a de sens que si la solution n'est pas unique. Cette diversité de solutions est assurée par un ensemble de paramètres du problème, qui sont des variables identifiées dont dépendent les solutions. Quel que soit le problème d'optimisation considéré, il faut être en mesure d'obtenir les solutions du problème à partir de ses paramètres.

La définition des paramètres d'un problème est une étape essentielle. L'utilisateur doit être en mesure d'identi-fier les paramètres significatifs du problème par rapport aux objectifs recherchés, en limitant leur nombre pour simplifier 1' élaboration des solutions ainsi que le travail d'optimisation. En effet, plus les paramètres sont nom-breux, plus la recherche de l'optimum est complexe. Par ailleurs, un nombre de paramètres élevé fournit une diversité de solutions importante. Il faut également tenir compte des contraintes imposées dans de nombreux cas pratiques, qui limitent les valeurs admissibles des paramètres. L'ensemble des paramètres ainsi que leurs limites constituent l'espace de recherche du problème.

Afin d'établir une relation d'ordre entre les différentes solutions du problème, il est nécessaire de disposer d'une formulation mathématique dont la minimisation ou la maximisation doit refléter un critère de choix. ou objectif. Cette formulation mathématique est souvent appelée fonction de coût et permet de juger de la qualité d'une solution en la comparant aux autres. Si le problème ne comporte qu'un seul objectif à atteindre, la définition de la fonction de coût est triviale puisque la grandeur correspondant à la propriété que 1 'on souhaite améliorer peut être utilisée comme objectif. Dans le cas où le problème comporte plusieurs objectifs, on parle d'optimisation multiobjectifs [12]. Dans la plupart des cas, les objectifs sont contradictoires, c'est-à-dire que les meilleures solutions pour les uns correspondent à de moins bonnes solutions pour les autres. Des compromis doivent alors être faits, favorisant les objectifs considérés comme prioritaires. La façon la plus classique de construire la fonction de coût pour un problème à n objectifs faisant intervenir p paramètres est de:

définir une fonction de coût normalisée pour chaque objectif :

i E [Ln]

construire une fonction de coût globale par une combinaison pondérée de la forme :

"

l:adi

f

= -'-•=...:~;__- (1.3)

:Lat

i=l

1.2. MÉTHODES D'OPTIMISATION: GÉNÉRALITÉS 17

Dès lors qu'une fonction de coût est définie et qu'une relation d'ordre peut être établie entre différentes so-lutions, il convient d'utiliser un processus de recherche pour déterminer les combinaisons de paramètres qui approcheront au mieux les objectifs.

Un algorithme d'optimisation consiste en une procédure itérative convergeant vers la meilleure combinaison de paramètres en rapport avec le ou les objectifs souhaités. Les algorithmes sont de type récurrent, car ils utilisent les dernières combinaisons de paramètres et leurs solutions correspondantes pour orienter la recherche. La spécificité des différents algorithmes réside dans la méthode utilisée pour établir les nouveaux jeux de paramètres à évaluer en fonction des résultats connus. Les algorithmes d'optimisation peuvent être classés selon deux catégories de méthodes : les méthodes déterministes, basées sur un raisonnement mathématique, et les méthodes non-déterministes qui sont des méthodes stochastiques ou inspirées de schémas de la vie courante. La méthode de recherche la plus simple est la méthode de Monte-Carlo qui consiste à prospecter la totalité de l'espace de recherche et à évaluer la fonction de coût en un grand nombre de points choisis de façon aléatoire : chaque paramètre est fixé dans les limites de l'espace de recherche avec une probabilité uniforme. Cette procédure est aisée à mettre en œuvre et donne une description complète de la fonction de coût. L'analyse de ces résultats présente donc un intérêt certain pour étudier l'influence des paramètres sur la totalité de l'espace de recherche. Cependant, comme le nombre d'évaluations nécessaires est d'autant plus élevé que le nombre de paramètres, la recherche de la solution optimale peut impliquer des temps de calculs très élevés. Cette méthode n'intègre aucun processus d'analyse des résultats pour orienter la recherche vers les zones de l'espace les plus prometteuses et pour converger plus rapidement vers l'optimum. En pratique, elle est donc peu utilisée pour l'optimisation de problèmes.

La suite de ce chapitre détaille quelques algorithmes d'optimisation, avec une attention particulière pour une famille de méthodes dites métaheuristiques. Une heuristique simule des processus de la vie courante et s'affran-chit de toute formulation mathématique et d'analyse physique. Une méthode métaheuritisque peut combiner différents types d'heuristiques.

1.2.1 Méthode de descente par gradient

La méthode de descente par gradient est une méthode déterministe dont le principe est de minimiser la fonction de coût en utilisant son gradient pour orienter la recherche vers un optimum. Les dérivées de la fonction

f

considérée doivent donc être calculables. Partant d'une condition initiale

X{;,

la direction de descente est fixée

à l'aide du gradient de la fonction de coût

f.

Soit .x;=(x1 , · · ·, xp) le vecteur contenant les p paramètres de la modélisation du problème à l'itération j de l'algorithme. Le nouveau vecteur XJ+l est déterminé par la relation:

où cxJ est appelé pas de descente.

La suite (x;) ainsi définie converge vers le vecteur

F

qui contient les paramètres de la solution optimale minimisant la fonction de coût

f.

Cette méthode n'est pas applicable aux problèmes dont la définition

ana-18 CHAPITRE 1. AÉRODYNAMIQUE FERROVWRE ET OPTIMISATION

lytique de la fonction de coût n'est pas connue. De plus, ce type de méthode est mal adapté à des problèmes faisant intervenir des optima locaux. Dans ce cas, l'optimum trouvé est dépendant de la condition initiale

X';

choisie et il est nécessaire d'avoir au préalable une bonne connaissance du problème traité pour déterminer une condition initiale.

Ces différentes contraintes font que l'utilisation de telles méthodes n'a pas été approfondie. Ne disposant pas d'expression analytique de la fonction de coût et ne connaissant pas la complexité des espaces de recherche de notre étude, nous nous sommes orientés vers des méthodes plus performantes dans le cas de problèmes à grand nombre de variables et susceptibles de comporter des optima locaux.

1.2.2 Méthodes métaheuristiques

Méthode du recuit simulé

Le recuit est une technique utilisée en métallurgie consistant à chauffer un matériau et à le refroidir dans certaines conditions. Lors du refroidissement, les atomes de la matière s'organisent entre eux de manière à

ce que les configurations de plus faible niveau d'énergie soient privilégiées. Le but ce cette opération est de minimiser le niveau d'énergie du métal pour obtenir sa structure la plus stable et solide. La méthode du recuit simulé est une analogie de cette pratique appliquée à la minimisation de fonctions. Elle est exposée en détail par .Kirkpatrick et al. [13] et de façon plus concise par Michalevicz [14]. Le principe est de partir d'un point initial et de choisir un autre point de l'espace de recherche dans une direction aléatoire. La fonction d'évaluation est calculée en ce point qui est retenu s'il est mieux adapté. Dans le cas contraire, il est accepté avec une probabilité dépendant de son évaluation et de l'avancement de l'algorithme. Cette probabilité est d'autant plus faible que l'évaluation du nouveau point est mauvaise ou que le nombre d'itérations de l'algorithme est important. La procédure est ensuite réitérée à partir du nouveau point.

Le fait de retenir une solution moins bien adaptée peut éviter que l'algorithme converge vers un optimum local et de balayer l'espace plus largement. Ainsi, cette méthode est capable d'identifier un optimum global même lorsque la fonction d'adaptation présente des optima locaux.

Les algorithmes génétiques

Les algorithmes génétiques sont inspirés de la sélection naturelle chez les espèces vivantes. C'est en constatant les facultés naturelles d'adaptation des espèces vivantes à leur environnement que Bolland [15] envisage des systèmes artificiels possédant des propriétés similaires aux systèmes naturels. Goldberg [ 16] a ensuite appro-fondi ses travaux. L'ingénierie scientifique montre un intérêt grandissant pour ce type de méthode dont les applications sont nombreuses dans des domaines très variés [17-26]. Ce succès est dû à leur bonne faculté de recherche ainsi que leur flexibilité, qui les rend facilement et rapidement adaptables à de nombreux problèmes d'optimisation.

1.2. MÉTHODES D'OPTIMISATION: GÉNÉRALITÉS

Une analogie s'établit naturellement au niveau de la terminologie : - un individu correspond à une solution du problème ;

- une population est un ensemble d'individus; - les chromosomes sont les paramètres du problème ;

19

- la fonction de coût peut être appelée fonction d'adaptation et reflète l'adaptation d'un individu par rapport

à son environnement.

La sélection naturelle chez les êtres vivants tend à sélectionner et générer des organismes les mieux adaptés à un environnement car les individus les moins bien adaptés auront plus de difficultés à survivre et se reproduire. Une itération de l'algorithme génétique représente l'évolution d'une population vers une nouvelle génération par application d'opérateurs calqués sur des phénomènes biologiques (figure 1.11) :tout d'abord, des indi-vidus aléatoirement choisis sont mis en compétition. Les vainqueurs formeront une population intermédiaire de taille réduite par rapport à la taille initiale. Des nouveaux individus sont ensuite générés par croisements et mutations, jusqu'à retrouver la même taille que la population initiale.

Croisements, mutations

Génération t Génération Génération t+ 1 intermédiaire

FIGURE 1.11 -Une itération d'un algorithme génétique

Méthode de sélection

Les hommes ont depuis toujours sélectionné les animaux ou les plantes selon différents critères (robustesse, couleur ... ) de façon à obtenir des organismes qui conviennent le mieux à l'utilisation qu'il souhaitent en faire. Dans le cadre des algorithmes génétiques, diverses méthodes sont envisageables.

1. Sélection par tournoi binaire

Des individus choisis au hasard dans la population sont mis en compétition deux par deux. Chaque com-bat consiste à comparer l'évaluation des deux candidats et de sélectionner celui présentant la meilleure adaptation pour la génération intermédiaire. Cette méthode de sélection entretient la diversité génétique, ce qui évite une convergence prématurée due à la consanguinité. Cependant, elle présente deux inconvé-nients:

- des combats entre individus bien classés peuvent conduire à une disparition de bonnes solutions ; - la ou les meilleures solutions peuvent disparaître si elles ne sont pas sélectionnées pour les tournois.

20 CHAPITRE I. AÉRODYNAMIQUE FERROVWRE ET OPTIMISATION

2. Méthode élitiste

La méthode élitiste consiste à sélectionner les meilleurs individus dans la population pour former une génération intermédiaire. En considérant une population de N individus et en sélectionnant les

!if

meilleurs, cette méthode est dite !if-élitisme. Elle permet de conserver les meilleurs individus dans la génération suivante. Cependant, cette pratique comporte un inconvénient. La sauvegarde systématique des meilleures solutions peut engendrer l'élimination des configurations moins satisfaisantes et des va-leurs des paramètres qui leur sont associées. Cependant, ces individus peuvent néanmoins contenir des valeurs de paramètres utiles dont l'effet est masqué par un autre paramètre plus influent. De plus, cette méthode est très sélective et présente un risque de perte de diversité génétique.

Chacune des deux méthodes comporte des avantages et des inconvénients, et pour assurer une bonne conver-gence de l'algorithme, il est de conserver au sein de la population, à la fois une diversité génétique la plus importante possible et les meilleurs individus. Pour cela, les deux méthodes peuvent être combinées lors de 1' étape de sélection :

- une partie de la génération intermédiaire est peuplée par la méthode élitiste, afin de conserver les meilleures solutions;

- ensuite des tournois sont organisés afin de garder un maximum de diversité génétique.

Pour nos applications, nous avons fait le choix de retenir

If

individus par élitisme, puis d'organiser

If

combats pour obtenir une population intermédiaire de ~ individus.

Méthodes de croisement

Cette étape consiste à compléter la génération intermédiaire pour obtenir une population de même taille que 1' originale. Des couples sont alors formés aléatoirement dans la génération intermédiaire pour créer de nouveaux individus et la compléter.

1. Croisement binaire

Les chromosomes des individus sont exprimés sous forme binaire et accolés bout à bout pour former une chaîne de bits. Après avoir défini aléatoirement un ou plusieurs points de croisement, 1' opérateur réalise une recombinaison pour générer les nouveaux individus. :_ e but recherché est d'effectuer un brassage génétique au sein de la population et d'explorer l'espace de recherche. Les figures 1.12 et 1.12 schématisent des exemples de croisement en un point et en deux points. Le nombre de points de croisement peut être supérieur et atteindre le cas extrême où un point de croisement est défini entre chaque bit et le croisement est alors dit uniforme.

2. Croisement réel - Croisement simple

Le schéma du croisement binaire est applicable aux paramètres exprimés sous forme réelle. Les en-fants sont alors une recombinaison des paramètres des parents. Le cas réel est illustré sur la figure 1.14 dans le cas d'un espace de recherche à deux dimensions. Les deux parents

X

1=(2,4) et

X

2=(3,5) gé-nèrent les deux enfants

X~

=(2,5) et x;=(3,4). Les possibilités de croisement par cette méthode sont finies.

1.2. MÉTHODES D 'OPTJMJSATJON: GÉNÉRALITÉS 21

2 Parents

Permutation

2 enfants

FIGURE 1.12- Croisement en un point

Points de croisement

[î!~[Q~oioi

~

2 Parents Permutation 2 enfants

FIGURE 1.13- Croisement en deux points

Points de croisement

2 Parents

Permutation

~ .. 51

~

2 enfants

22

CHAPITRE 1. AÉRODYNAMIQUE FERROVIAIRE ET OPTIMISATION

Croisement arithmétique

Dans le cas de paramètres réels, d'autres méthodes de croisement sont couramment utilisées comme le croisement arithmétique [14, 17, 18], encore appelé croisement linéaire. Les paramètres du nouvel individu

r

sont alors des moyennes pondérées de ceux des parents

x

1 et

x

2 :

r

=v~+

(1-

v)X';

où:

- ~ et

X';

sont les vecteurs contenant les paramètres des parents ;

- r

est le vecteur contenant les paramètres du nouvel individu généré ;

- v est un réel compris dans l'intervalle [0,1].

La valeur de v peut être choisie constante pendant tout l'algorithme ou être fixée aléatoirement avant chaque utilisation de 1' opérateur.

- Croisement double linéaire proposé par Rasheed [18]

Il est également possible de faire varier le coefficient v à chaque paramètre x~ de l'individu gé-néré. En appelant _{___,}

:x;

=(xu, .. . ,X1p) et X';=(x21 , ... ,x2p) les deux parents contenant p paramètres et X'=(xi, .. . ,x~) l'individu généré, les paramètres de ce dernier sont calculés de la façon suivante:

X~= V1X1i

+

(1 - v,)X2i

Les procédés d'exploration de ces différents opérateurs de croisement n'ont pas les mêmes effets. Alors que la méthode de croisement simple ne peut générer qu'une quantité finie d'individus, les possibilités sont infinies avec le croisement arithmétique ou le croisement double linéaire. Les zones d'exploration

___,

___,

sont représentées sur la figure 1.15 dans le cas d'un espace à deux paramètres. Les enfants

X'

1 et

X'

2 générés par croisement simple dans 1 'exemple ci-dessus y sont représentés ainsi que les deux parents

X

1 et

X

2· L'ensemble des individus qui peuvent être générés par le croisement arithmétique est représenté

par le segment reliant les deux parents

X

1 et

X

2 , tandis que ceux qui sont générés par le croisement

double linéaire se situent dans le rectangle grisé. Ainsi. la zone d'exploration de l'opérateur proposé par Rasheed est plus vaste et permet de générer une plus grande gamme d'individus. C'est cette méthode que nous utiliserons dans nos applications.

Méthode de mutation

Les mutations génétiques sont un facteur important dans 1 'évolution des espèces vivantes. Ce sont des mo-difications génétiques rares et aléatoires de la séquence d'ADN qui peuvent rendre l'individu mieux ou moins adapté à son environnement. Les mutations qui le rendent mieux adapté ont plus de chances d'être transmises au générations suivantes.

Le principe de l'opérateur de mutations est donc de modifier aléatoirement et avec une certaine probabilité d'occurence, un ou plusieurs paramètres des nouveaux individus générés lors du croisement. Ce processus contribue à obtenir des solutions variées et à diversifier la carte génétique de la population.

Gautard-Y zquierdo [ 17] a réalisé une étude approfondie de la sensibilité des algorithmes génétiques appliqués

1.2. MÉTHODES D'OPTIMISATION: GÉNÉRALITÉS 5 4.8 ~ 4.6 .tl •tU

s

4.4

~

4.2

4 2

2.2

2.4

2.6 Paramètre 1

2.8

3

FIGURE 1.15-Illustrations des méthodes de croisement pour des paramètres réels

23

probabilité d'occurence des mutations. Les résultats obtenus ont été comparés pour des valeurs de probabilité de 0,01; 0,1 et 0,3. Aucune valeur particulière n'a pu être mise en évidence étant donné que la probabilité d' occurence doit être adaptée au problème d'optimisation : une valeur peut être efficace avec une fonction mais beaucoup moins avec une autre. En revanche, 1 'auteur constate que les algorithmes génétiques à encodage binaire obtiennent de meilleurs résultats avec des probabilités plus élevées.

Pour un problème faisant intervenir des paramètres binaires, 1' opérateur de mutation consiste à modifier un bit choisi aléatoirement comme schématisé sur la figure 1.16.

FIGURE 1.16- Mutation pour un codage binaire

Pour un problème faisant intervenir des paramètres réels, l'opérateur consiste à ajouter une perturbation à un paramètre. De nombreux exemples sont évoqués dans la littérature, dont les plus classiques sont :

- Mutation uniforme : le paramètre muté Xi est choisi aléatoirement dans l'intervalle [x,mm, Ximax ].

- Mutations aléatoires : la perturbation est fixée aléatoirement dans un voisinage de la solution, borné dans chaque dimension par un pourcentage de 1' espace de recherche ; par exemple, pour le ième paramètre de l'individu :

où q est taux de mutation, o: un nombre aléatoire compris dans l'intervalle [-1,1] et [ximm, x,maxll'espace de recherche dans la dimension i. Une variante proposée par Rasheed [18] consiste à faire décroître le paramètre

24 CHAPITRE I. AÉRODYNAMIQUE FERROVIAIRE ET OPTIMISATION

q avec l'évolution de l'algorithme afin de rendre la méthode plus conservative à la fin de la recherche. - Mutations gaussiennes [27] :la perturbation est apportée à l'aide d'une gaussienne à moyenne nulle.

1.2. MÉTHODES D'OPTIMISATION: GÉNÉRALITÉS 25

La méthode simplex ou méthode de Nelder-Mead

En 1965, Nelder et Mead [28] proposent une alternative aux méthodes de type quasi-Newton pour les pro-blèmes de minimisation de fonctions. Elle est basée sur un principe de tâtonnement et n'utilise pas les proprié-tés mathématiques de la fonction de coût. Il n'est donc pas nécessaire de calculer ou d'approcher les dérivées pour choisir une direction de descente, ce qui en fait une méthode facilement applicable à un grand nombre de problèmes d'optimisation, même lorsque les dérivées de la fonction d'adaptation présentent des disconti-nuités. Les fondements de cette méthode sont exposés dans ce paragraphe et ses avantages par rapport aux méthodes déterministes sont discutés, en particulier sa capacité à traiter les problèmes comportant des optima locaux. Enfin, cette méthode a l'avantage d'être facile à mettre en œuvre et à programmer. Considérant un pro-blème d'optimisation faisant intervenir n paramètres, n

+

1 solutions évaluées sont nécessaires pour initialiser l'algorithme et le schéma 1.17 décrit le fonctionnement de cette méthode.

La plus mauvaise solution Ph est retenue comme point de départ et la direction de descente est obtenue en calculant le barycentre, noté P, des n autres solutions. Si le problème est continu, la présence d'un optimum local ou d'optima locaux dans cette direction est assurée. Les paramètres d'une nouvelle solution, notée P*,

sont calculés par réflexion du point de départ par rapport au barycentre P. Après évaluation de cette solution

P*, différents cas sont envisagés et détaillés ci-après et illustrés sur les figures 1.18.

- 1er cas : P* est meilleur que la meilleure solution

Pz

(figures 1.18(b) et 1.18( c))

Si l'évaluation de la réflexion P* est meilleure que la meilleure solution

Pz,

la direction de descente em-pruntée est concluante mais il est possible que le pas de descente ne soit pas choisi suffisamment grand pour s'approcher au plus près de l'optimum. Un prolongement P** est alors effectué dans la même direction par réflexion du barycentre P par rapport à la solution réfléchie P*. La moins bonne solution Ph est ensuite remplacée par la meilleure solution entre P* et P** et le processus est réitéré.

- zème cas : P* se situe entre la meilleure solution

Pz

et la plus mauvaise solution Ph (figure 1.18(d)) La réflexion P* remplace Ph, ce qui rapprochera le barycentre de l'optimum lors de l'itération suivante;

- 3ème cas : P* est la plus mauvaise solution (figures 1.18(e) et 1.18(f))

Une contraction P** est réalisée car il est probable que la réflexion se soit trop éloignée de l'optimum. Si 1' évaluation de cette dernière est meilleure que le point de départ, elle le remplace. Dans le cas contraire, l'échec de la contraction indique que la solution doit être proche de l'optimum recherché. On effectue alors une étape de fenêtrage (figure 1.17) qui consiste à remplacer chaque solution par sa moyenne avec la meilleure solution. Cette opération a pour but d'affiner la recherche autour de

Pz

et empêche 1 'algorithme de stagner.

Cette méthode d'optimisation fait apparaître trois coefficients a:,

f3

et 'Y qui sont des paramètres de la méthode et doivent donc être fixées par l'utilisateur. Nelder et Mead [28] ont testé différentes valeurs et ont conclu que les valeurs a: = 1,

f3

= ~ et 'Y = 2 sont les plus efficaces et permettent une meilleure convergence de la méthode. Nous utiliserons également ces valeurs dans les applications faisant intervenir la méthode simplex. La fonction de Griewank est utilisée comme fonction à minimiser car elle présente des minima locaux et permet

>-rj

0

c

:;d t'li ,_. ,_. -..} 1 r/J

g.

("[),

g

go

-Pol

s

("[),

~

go

00 §' ~ ~ Point de départ :

. - - - 1 Calcul des paramètres du barycentre P des n meilleures solutions

P' est calculé et évalué par réflexion de la plus mauvaise solution P,. par rapport au barycentre P

P* '~ (1 t-<})P- nPh, n > 0

S1 la réflexion est meilleure que l'optimum

Si la réflexion est comprise entre l'optimum et

la moins bonne solution

S1la réflexion est la plus mauvaise solution

Expansion : P*' est calculé et évalué par réflexion du barycentre P par rapport

au point rétléchi P'

P** est calculé et évalué

Si l'expansion P"

est meilleure que l'optimum Tl La plus mauvaise solution Ph

Si l'expansion P*'

est moins bonne que l'optimum P1

La plus mauvaise solution Ph est remplacée par la réflexion P*

par contraction entre la moins bonne solution Ph

et le barycentre P

Si la contraction P .. est meilleure que la plus mauvaise solution Ph

Si la contraction P**

est moins bonne que l'optimum Pt

La plus mauvaise solution !7, La plus mauvaise solution Ph est remplacée par la contraction P**

Fenêtrage: chaque solution

est remplacée par sa moyenne avec l'optimum Pt N 0'1

~

~ ~

~

:-:=t... p,, ::ti

g

~

~

~

~

~

~

~

~

~

::j

~

::t.: ~

~

1.2. MÉTHODES D'OPTIMISATION: GÉNÉRALITÉS 27

ainsi de montrer les avantages de la méthode et ses limites. Son expression est la suivante :

f(x)

=

x

2 /50-

cos(x)

+

1

Comme il n'y a qu'un seul paramètre d'optimisation dans cet exemple, la méthode simplex nécessite deux points pour être initialisée. Dans ce cas, le barycentre P correspond à la meilleure des deux solutions.

Plusieurs exemples de convergence sont illustrés sur les figures 1.19 en utilisant différentes conditions initiales pour montrer leur influence sur le résultat obtenu. Toutes les solutions évaluées lors des 50 itérations de l'al-gorithme ont été représentées sur les figures à l'aide d'une couleur correspondant à l'opérateur utilisé pour déterminer les paramètres.

Les deux exemples des figures 1.19(b) et 1.19(d) vérifient que l'algorithme simplex permet bien de détecter l'optimum global même si les deux solutions de départ ne se situent pas à proximité de celui-ci. Dans le cas de la figure 1.19( d), les deux points de départ se situent à proximité d'un minimum local, et 1' algorithme parvient néanmoins à converger vers le minimum global. Une méthode de descente par gradient aurait probablement convergé vers le minimum local dans une telle situation.

En revanche, l'exemple 1.19(c) converge vers un optimum local de la fonction. Bien que cet algorithme soit moins sensible aux conditions initiales que certaines méthodes déterministes, le choix de ces conditions a tout de même une influence importante sur le résultat.

28

4 3 2 0 -10 4 3 2 0 -10

CHAPITRE 1. AÉRODYNAMIQUE FERROVIAIRE ET OPTIMISATION

-.5 0

*

Solutions de départ • Solutions prolongées

A Solutions réfléchies •solutions contractées

(a) Légende 4 3 2 1 0 5 10 -10 -5 0 5

(b) Réussite du prolongement (c) Échec du prolongement 4 3 2 1 0 -10 -5 0 5 10

(d) Cas intermédiaire où la réflexion laisse le minimum et le maximum inchangés 4 3 2 1 0 -5 0 5 10 -10 -5 0 5

( e) Réussite de la contraction ( f) Échec de la contraction FIGURE 1.18- Les différents cas de figure

10

1.2. MÉTHODESD'OPTJMJSATJON: GÉNÉRALITÉS 29 4 3 2 1 0 -10 -5 0

*

Solutions de départ • Solutions prolongées

 Solutions réfléchies IISolutions contractées

+

Meilleures solutions successives

(a) Légende 4 3 2 1 0 5 10 -10 -5 0

(b) Réussite de la convergence (c) Échec de la convergence

4 3 2 1 0 -10 -5 0 5 10 ( d) Réussite de la convergence FIGURE 1.19-Exemples de convergence

30 CHAPITRE 1. AÉRODYNAMIQUEFERROVIAIREETOPTIMISATION

1.2.3 Les méthodes hybrides

Comme leur nom l'indique, les méthodes hybrides combinent plusieurs méthodes d'optimisation différentes. De façon générale, les résultats de l'algorithme génétique sont utilisés pour initialiser un processus de recherche locale. Les méthodes dites quasi-Newton ou la méthode de Nelder-Mead sont couramment utilisées dans ce but. L'art du couplage réside dans la détermination de la transition entre l'algorithme génétique et l'algorithme de recherche locale. La méthode de descente doit intervenir le plus tôt possible car elle est plus précise et plus rapide dans la recherche de l'optimum. Cependant, afin d'éviter les pièges que présentent les optima locaux, l'exploration de l'algorithme génétique doit être suffisamment aboutie pour situer la zone de l'optimum global. De nombreuses variantes de méthodes hybrides sont disponibles dans la littérature mais ne permettent pas d'en déduire des règles pour mettre en œuvre une méthode générale applicable à tous les problèmes d'optimisation. Les exemples détaillés dans ce paragraphe exposent différentes façons de coupler et d'alterner les algorithmes. Les auteurs de ces exemples ont également publié les résultats permettant de comparer les performances de leur méthode hybride avec celle d'un algorithme génétique seul.

Une première variante consiste en l'exploration de l'espace de recherche avec un algorithme génétique afin de situer la zone de l'optimum global. Cette région est ensuite parcourue plus finement avec une méthode de recherche locale. Kasprzyk et Jaskula [29] proposent une application pour un problème d'électrochimie fai-sant intervenir six paramètres. Leur méthode combine l'algorithme génétique et l'heuristique simplex, comme schématisé sur la figure 1.20. L'algorithme génétique est d'abord utilisé jusqu'à ce que la différence abso-lue entre deux optima successifs soit inférieure à un seuil fixé par l'utilisateur, puis la meilleure solution est utilisée pour initialiser la méthode simplex. Les autres solutions nécessaires à l'initialisation de simplex sont choisies aléatoirement dans un voisinage D de l'optimum. La taille de ce voisinage D est fixée par l'utilisateur. L'algorithme simplex est ensuite appliqué jusqu'à obtenir la précision voulue sur les paramètres.

Les auteurs ont comparé leur méthode hybride à un algorithme génétique classique par une application dont la solution est connue. La différence d'évaluation entre l'optimum et le résultat attendu peut donc être calculée et l'écart au sens des moindres carrés est représenté en valeur absolue sur la figure 1.21. La transition vers la méthode simplex a lieu d'après la figure 1.21 entre la 350zème et la 400zème évaluation. À partir de cette transition, la méthode simplex démontre ses capacités de recherche locale et met en évidence un meilleur optimum que la méthode génétique simple qui ne présente plus d'évolution significative.

Cet exemple de méthode hybride est concluant sur deux points : - la solution est de meilleure qualité ;

- les temps de calcul sont réduits. Bien que les auteurs ne développent pas de conclusion sur 1' effort de calcul, on constate que leurs populations génétiques contiennent 100 individus alors qu'un cycle simplex à six paramètres contient au plus sept évaluations 1 . Le nombre de solutions évaluées est donc plus faible avec la méthode hybride.

Cependant, le critère de transition et la définition du voisinage d'initialisation de la méthode simplex D sont

1

I.2. MÉTHODES D'OPTIMISATION: GÉNÉRALITÉS

Algonthme génétique

Oui

Croisements et mutations

Méthode simplex

Précision obtenue sur les paramètres _Non

FIGURE 1.20- Schéma simplifié de la méthode proposée par Kasprzyk et Jaskula [29]

0,04 t.tl Cil ~ =r: 0,01 0,00 ' ' '

t

,,

' } 1 1 1. 1 '-..

--

...

Simple Genetic Algorithm --GA

Hybrid Genetic Algorithm ---- GArun

· · · Simplex run

0 lOO 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

number of cycles

31

FIGURE 1.21 -Évolution de la meilleure solution d'un algorithme génétique et de la méthode hybride proposée par Kasprzyk et Jaskula [29]

32 CHAPITRE I. AÉRODYNAMIQUE FERROVIAIRE ET OPTIMISATION

deux éléments laissés au libre choix de l'utilisateur, sans règle particulière. En effet, il n'y a aucun moyen de

s'assurer que la transition intervienne au bon moment par rapport à l'avancement de l'algorithme génétique et le voisinage ne doit pas être choisi trop vaste pour ne pas englober plusieurs optima. Ces choix doivent bien entendu être adaptés par l'utilisateur en fonction du problème d'optimisation considéré.

Une autre variante consiste à alterner des générations de l'algorithme génétique avec des itérations d'une méthode de recherche locale. Muyl et al. [19] présentent une application où trois itérations d'une méthode dite quasi-Newton (BFGS2) sont appliquées dès que la meilleure solution de la population génétique stagne pendant trois générations successives. Cette méthode a été appliquée à deux fonctions :

- fonction de Rastrigin à 20 paramètres :

20

JR(x1, · · ·

,

x2o)

= L:xl - cos(18xi)

+

p

i=l - fonction de Griewank à 50 paramètres.

50 2 50

"""""'

x

II

Xi

Jc(xl, · · · , x

5o)

=

L..,;

5

~ - cos(

VI)

+

1

i=l i=l ~

Evolution of cast 1unction values

104 r---~----~---r==~~~~~~ - Hybrid Method --· Genelic Algorithm •••• BFGS Method ~-...

-...

···---

...

_

...

, \..

...

___

... ..

10-•o.__ __ 1_oo~o---2-oo.._o ___ s_o.._oo ___ 4_0.._oo ___ s_o.._o_o __ s__.ooo

Number of cost function evaluations

FIGURE 1.22 - Résultats pour la fonction de Ras-trigin d'après Muyl et al. [19]

Evolution of cast function values

- Hybrid Method

~

--

_...

_....

···- Genetic Algorithm ••••••• •••• BFGS Method

.

-

--

..

.

...

~ ~'"--···-···--·-···-·-··..._. .... ~ --Ol

.g

§ 10 .

.,

u c: .2 2 0

-8

10

.

_

10-6 0 200 400 600 800 1 000 1200

Number of cost function evaluations

FIGURE 1.23- Résultats pour la fonction de Grie-wank d'après Muyl et al. [19]

La convergence de cette méthode hybride, d'un algorithme génétique et de la méthode BFGS sur ces deux fonctions sont représentées sur les figures 1.22 et 1.23. Sur la figure (1.22), la convergence de la méthode BFGS seule est peu visible car elle a été piégée dans un optimum local et a donc été arrêtée après n'avoir effectué que quelques itérations. Les lacunes des méthodes de descente par gradient pour des problèmes faisant apparaître des optima locaux sont bien mises en évidence par cet exemple. Cela n'apparaît pas sur la figure 1.22, mais pour obtenir la même qualité de solution que la méthode hybride, l'algorithme génétique nécessite 400 000 évaluations, contre 1 700 pour la méthode hybride. La figure 1.23 montre que la différence de convergence entre les deux algorithmes est encore plus marquée, et le nombre d'évaluations est divisé par 500 avec la méthode hybride pour obtenir une qualité de solution équivalente. Ce travail, comme celui de Kasprzyk et

I.2. MÉTHODES D'OPTIMISATION: GÉNÉRALITÉS 33

Jaskula [29], confirme les performances accrues des méthodes hybrides. Cependant, les mêmes contraintes de définition de seuils de transition judicieux restent posées.

Yang et al. [30] proposent une autre variante consistant à intercaler systématiquement une méthode de re-cherche locale entre deux itérations de l'algorithme génétique. Cette méthode hybride a été appliquée à un problème de dynamique à quatre paramètres modélisé par une équation du type :

y(t) =A-

k(l +be-at)

À partir de valeurs expérimentales y,, il s'agit d'optimiser les paramètres a, b, A et k afin de minimiser l'écart au sens des moindres carrés entre les valeurs y(

ti)

obtenues par cette modélisation et les valeurs y, expérimen-tales:

8

h =

l)y(ti)-

Yi)2 i=l

Comme l'expose le schéma 1.24, trois itérations de la méthode simplex sont appliquées à l'issue de chaque génération de l'algorithme génétique, et la meilleure solution de la méthode simplex remplace alors le plus mauvais individu de la population génétique.

j

Création de la

'1 1

population initiale

1 ' 'j'

Opérateurs génétiques : 1

i1

'

1.

2. Sélection

Evaluation

[

1

(13.

Croisement

1 i

4. Mutation

1 1

1

Recherch~

simplex

1

1 1

Condition de

convergence

Non

satisfaite ?

FIGURE 1.24 - Schéma simplifié de la méthode proposée par Yang et al. [30]