Etude des guides et cavités à base de cristaux photoniques bidimensionnels dans les diélectriques et les semi-conducteurs.

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1 1 1

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Remerciements

Nos remerciements vont en particulier à notrie encadreur, Dr. Beghoul Mahmoud Riad, enseignant à lUniversité de ]ijel, pour avoir dirigé notre travail. Nous tenons à lui adresser notre sincère reconnaissance pour sa disponibilité et son aide et lui témoigner notre profonde considération pour 1'intérêt qu'il a porté à notre projet.

Un grand merci à Melle. Amel Amirouche doctorante à l'université de jijel, pour sa présence, ses discussions enrichissantes et ses

éclaircissements sur notre sujet

Nos remerciements vont aux membres du jury qui nous font l'honneur de juger notre travail.

Nous exprimons aussi toute notre gratitude à toute personne qui a apporté un plus à ce travail.

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Jedéûœcemo&stetrœmoM:co"meprîewme&mespect,&gfiq;titu&,ti&

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Jedédücetmmai[atoaL;berimfi:miühs,ai'msmeimBmsamjsimtimftetwafi;a,st à ii!æs ca;iimmqdès pou;r ba« œiÆè, Gi« tcm;ps, biu:s eruoimagemen±.

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I

Sommaire

l ntroduction générale

Chapitne 1. Etat de l'art sur lœ cristaux photoniques

1.1 Introduction

11. Définition d'un cristal photonique (CP) 111. Généralité sur les cristaux photoniques 111.1. Différents types des cristaux photoniques

111.1.1. Cristal photonique unidimensionnel : le miroir de Bragg 111.1.2. Cristal photonique bidimensionnel

111.1.3 Cristal photonique tridimensionnel

lv. Rappels sur le réseau réciproque et la zone de Brillouin V. lntérêt des structures bidimensionnelles

Vl. Diagrammes de bandes VI.1. Cristal photonk]ue 2D

Vll. Appliœtions des cristaux photoniques Vll.1. Les différents types de défauts Vll.2. Guides d'ondes

Vl l.3.Cavftés photoniques Vlll. Conclusion

Chapitre 11. Outils d® modélisatiom numériquœ des cristaux Pho€oniques

1. lntroduction

11, Méthodes de modélisation des cristaux photoniques

11.1. La méthode des matriœs de transfert Œhe transfèr matrix method TMM) 11.2. Méthode des réseaux de diffraction

11.3. Méthode de décomposition des ondes planes

3 3 4 5 5 6 9 9 12 12 13 14 14 15 17 18

19 20 20 21 21

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1 1

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1 1

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11.4, Méthode de décomposition des ondes planes 11.5. Méthode des différenœs finies temporelles (FDTD) 11.5.1. Cristaux photoniques bi-périodiques

11.5.2. Développement limité de Taylor

11.5.3. Discrétisation des équations et algorithme de Yee 11.5.4. Conditions de stabilité de l'algorithme de Yee

lv. Bandes du cristal photonique avec défaut : Méthode de la super cellule lv.1. Méthode de la super œllule appliquée aux défauts étendus

V. Simulateur§ pour l'étude des cristaux photoniques V.1. Simulateur F2P

V. 2. Simulateur Lumerical

V. 2.1. Applications du simulateur V.3. lMMWAVE-FIMMPROP

V.4. Simulateur MIT Photonic Bands Vl. Conclusion

Chapitre 111 Modélisation des sductures à bandes inœrdites photoniques dans l'oxyd® d® zinc (Zno) et 1® phosphore d'indiüm {lnp)

1. Introduction

ll.Oxyde de Zinc (Zno)

11.1. Propriétés structurales du Zno 11.2. Propriétés optiques et luminescence 11.3. lndice de réfraction

111. Etude des structures à base de cristaux photoniques dans I'Oxyde de Zinc

21 22 23 25 26 28 28 29 30 30 31 31 31 32 33

34 34 35 35 36 37 111.1. Diagramme de bandes en mode transverse électrique ŒE) et transverse 37 magnétique (TM)

111.1 .1 . Structure carrée lll.1.2.Structuretriangulaire

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I

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lv. Phosphore d'indium (Inp) lv.1 , Propriétés structurelles

lv.2. Propriétés optiques et applications du Phosphure d'indium lv.3. lndiœ de réfraction

45 45 45 46 V. Etude des Structures à bandes interdites photoniques dans le Phosphore d'indium 47 (inp)

V.1. Diagramme des bandes en mode transverse ék=ctrique qE) et transverse 47

magnétique ù)

V.1.1. Structure camée 47 V.1.2. Structure triangulaire 49 Vl. Modélisation des cavités et guides photoniques dans l'oxyde de zinc (Zno) et le 52 Phosphore d'indium (inp)

Vl.1. Cavités photoniques

Vl.1.1. Simulation des cavités photoniques dans l'oxyde de zinc VI .1 .1 .1 Cavfté carrée

Vl .1.1.2 Cavités hexagonal VI.2. Guides photoniques

Vl.2.1.Simulation des guides photoniques Wl dans le phosphore d'indium Vl.2.1.1 Structure carrée

Vl.2.1.2. Structure triangulaire VII. Spectre d'émission des cavités

Vll.1. Cavité linéaire L3 Vlll. Conclusion

Chapjtre lv Modélisation d®s structures à bandes interdiœs photoniques dans le niobaœ de lithiüm (LiNb03) et 1® tantalaœ de lithium (LiTa03)

1. lntroduction

11. Le Niobate de lithium 11.1. Propriétés optiques

52 52 52 54 55 55 55 56 56 57 58

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1

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1 1 1

I

1 1 1

I

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1 1

I I

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11.2. lndice de réfraction 60

111. Etude des Structures à bandes interdites photoniques dans le Niobate de lithium 6i

(LiNb03) 111.1. Diagramme de bandes en mode transverse électrique ŒE) et transverse 6i

magnétique ŒM) lll.1.1. Structure carrée 62

lll.1.2. Structure triangulaire 65

lv. Tantalate de lithium (LiTa03) 67

lv.1. indice de réfraction 68

V. Etude des structures à bandes interdites photoniques dans le Tantalate de lithium 69

(LiTa03) V.1. Diagramme des bandes en mode transverse électrique qE) et transverse 69

magnétique (TM) V.1.1.La structure carrée 69

V.1.2. Structure triangulaire 71

Vl. Modélisation des cavités et guides à cristaux photoniques pour le niobate de lithium 74 (LiNb03) et le tantalate de lithium (LiTa03)

VI.1. Cavités photoniques

Vl.1.1. Simulation des cavités photoniques dans k5 niobate de lithium Vl .1 .1 .1 . Cavité camée

Vl .1.1.2. Cavités hexagonal

Vl.1.2.Simulation des cavités photoniques dans le tantalate de lithium Vl.1.2.1. Cavité carrée

VI.1.2.2. Cavité hexagonale

VI.2. Etude des Guides d'ondes dans le niobate de lithium VI.2.1. Structure carrée

Vl.2.2. Structure triangulaire

VI.3.Etude des guides d'ondes dans le Tantalate de lithium Vl.3.1. Structure carrée

lv

74 74 74 76 77 77 79 80 80 81 82 82

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1 1

I

1 1

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1 1 1 1 1 1

I

1 1 1 1 1 1

I

VI.3.2. Structure triangulaire VII. Spectre d'émission des cavités Vll.1. Cavité L3 dans le niobate de lfthium Vll.2. Cavité L3 dans le tantalate de lithium Vlll. Conclusion

Conclusion général

Référenc® bibliog raphiqu®s Résumé

83 83 84 84 85 86 88 91

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I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

lntpoduction générale

lntroduction générale

Les cristaux photoniques sont des structures dont I'indice de réfraction varie périodiquement dans une, deux ou trois dimensions, le premier cristal photonique a été réalisé en 1991 [1]. Ce milieu périodique produit sur la lumiére qui se propage dans le cn.stal photonique un effet analogue à œlui du potentiel périodique sur les électrons dans un cristal. (Les bandes photoniques d'états permises et intendites pour les photons). Les structures à bandes intendites photoniques (BIP) offrent la possibilité de contrôler et manipuler la propagation de la lumiènesur des dimensions de l'ordre de grandeur de b longueur d'onde dans le ma{én.au. Cette propriété unique qui kÈs rend intéressants pour de nombfieuses applications dans différentes disciplines : la médecine, l'énergie, la défense, l`optoélectronique et les télécommunications optiques, on peut dterpami les applications des cristaux photoniques, le stockage, Ie filtrage, I'extraction et le guidage de la lumière.

L'introduction de défauts dans un cristal photonique pemet l'apparition de nouveaux états pemis dans la bande interdjte photonique. La lumière peut être confinéedans plusieurs dimensions selon la nature et la dimension du défaut dans la structure photonique. La création d'un défaut unidimensionnel dans un cristal photonique bidimensionnel, pemet de confiner la lumière en deux dimensions dans la structure, une cavfté bidimensionnelle est alois créée. Si on introduit un défaut linéaire dans un cristal photonique bidimensionnel, la lumière est confinée dans une dimensicm et elle se propage dans l'autre dimension, ce qui constitue un guide d'onde.

La recherche actuelle S'oriente vers la conœption de dispositifs pour l'optique intégrée avec les cristaux photoniquescomme les cavftés et les guides d'onde. L'introduction d'éléments à base de œs structures photoniques permettrait de traiter toute l'information soLis la forme lumineuse, de miniaturiser les circuits actuels et de limiter les coûts.

Le développement de œ nouveau type de matériau a ouvert la voie à un nouveau champ de recherche et des applications très diverses. Cependant le développement de ces structuresest confronté à des dfficultés technologiques pour la réalisation de ces composants.

La modélisation théorique et numérique descomposants à base de cristaux photoniques pemet d'orienœr la fàbrication vers des st"ctures peribmantes, c'est dans œ contexte que se place notiie travail qui consiste à modéliserdes cavités et des guides dans des matériaux diélectriques et

(11)

l ntroduction générale

Semiœonducteurs et de tmuver les mei»eures paramètres des structures à base des matériaux à bandes interdites photoniques.

Ce manuscrit est onganisé en quatre chapitres, une introduction générale et une conclusion

Le premier chapitre comprend les principes de base des cristaux photoniques, I'analogie entre l'équation de Schrëdinger et les équations de Max\^ell est exposée afin d'explk]uer le phénomène de bandes interdites photoniques. Nous trafterons ainsi les concepts de bases conœmant les cristaux photoniques, et leuns pnopriétés et plus particuliènement le cas des cristaüx bidimensionnels, nous terminerons par un état de l'art des cavités et guides à BIP et leurs applications.

Dans k= second chapftre nous présenterons quelques méthodes numériques adaptées à l'étude et la modélisation des disposws à base des cristaux photoniques, et quelques simulateursutiliséspour traiter ce genre destructunes. Ainsi nous expliquerons les notions de base des mé«iodes utilisées dans notœ travail, à savoir la méthode des ondes planes (P\^/M) et la méthode des différenœs finies dans le domaine temporel (FDTD).

Les chapitres bois et quatre compnendrons respectivement les résunats de nos simulations sur le§

différentes structures photoniques modêlisées dans les semi-conducteurs et les diélectriques.

L'étuæ est basée sur la van.ation des paramètres physiques et leurs effets sur l'étude de la propagation des ondes électromagnétiques et l'extraction de la lumière dans les disposftifs étudiés (cavité et guide d'ondes) en utilisant Mamab.

Nous terminerons ce manuscrit par une conclusion générale et les perspectives liées à ce travail.

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I I I I

I I I

1 1

I I I I I I

Chapitre 1 Etat de I'art sur les cristaux photoniques

Chapitre I

Etat de I'art sur les cristaux photoniques

1. lndoduction

Pendant la demière déœnnie, Ies cristaux photoniques (CPs), également connus sous le nom de structures à bandes interdites photoniques avec I'abréviation (BIPs), ont été sujets à plusieurs travaux de recherches. Les CPs sont des systèmes très prometteurs pour des applications dans le domaine des ondes électromagnétiques pour de réelles réalisations dans le domaine des micro- ondes, I'optoélectronique et les télécommunications optiques. Plusieurs travaux ont été réalisés sur les semi-conducteurs et diélectriques profitant des avancées technologiques en microélectronique.

Nous traiterons dans œ chapftre des concepts de bases concemant les cristaux photonques, de leurs propriétés et puis plus particulièrement du cas des cristaux bidimensionnels. Nous teminerons par un état de l'art de leurs applicat-ions.

11. Définition d'un cristal photonique {CP)

Les cristaux photoniques (CPs) sont I'analogue des semi¢onducteurs (SCs) pour le contrôle des photons. En effet, les photons et les électrons ont des caractéristiques communes (duamé onde- corpuscule). 11 existe une analogie formelle entre l'équation de Schrôdinger pour l'électron et l'équation d'Helmhoftz pour kÈ photon. Le tableau (1.1) rappelLe ces deux types d'équations. Une comparaison entre les deux équations montre que la pemiftivité diélectrique relative €(r) joue un rôle analogue au potentiel électrique V(r). La variation périodique de €(r) pourra ainsi conduire à l'apparition des bandes interdites pour les photons appelées «Bandes lnterdites Photoniques (BIPs)». Ces bandes interdisent la propagation du photon (l'onde ék}ctromagnétique) dans le cristal photonique, raisonnement déjà connu pour kÈs bandes interdites électroniques dans les semi-conducteurs, L'énergie de l`éLectron ne peut pas être incluse dans ces bandes d'énergie

interdites [1].

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I I I I I I I I

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Chapitre 1 Etat de l'art sur les cristaux photoniques

Tableau 1. 1. Récapitulatff Analogje élec{ror+photon [2].

Electron (Schrôdinger) Photon (Maxwell)

périodicité

Puits de potentiel électrique carré Constant diélectrique përiodique':lïl périodique

' ,.''1.

{,J---.},

\', ,ir,1_î,

J'[1'

..t 1!

.-t

.' ,, +.h t

'

Champ y(r' t)= y(r)e-i®t Ë(r't)--Ëtr)e-tœt

Grarideurcaractéristique

V(r) E(r)

OpérateurHemftien

H=-#+V(r, ®--Sxçà)Sx,

Equation auxvaleurspropres

H, = ET oH=%H

Par cette analogie, les concepts de la physique du solide, tels que les notions de réseau réciproque, zone de Brillouin et le théorème de Bloch sont applicables pour la résolution de I'équation d'onde, de oette manière nous pouvons obtenjr des bandes interdites photonjques (par analogie aux bandes interdftes électroniques) [1]. Des lois d'échelles permettent de simplifier l'étude des cristaux photoniques qui rendent les propriétés optiques non dépendantes de la taille des structures à BIP. Ainsi lors de l'étude des cristaux photoniques l'énergie des bandes est généralement exprimée en fonction d'un facteur sans djmension nomalisé `H' défini par :

p -Î-Î::: (,.1,

Avec `a' grandeur caractéristique du cristal photonique (paramètre de maille du cristal), '^' la longueur d'onde.

111. Généralité sur les cristaux photoniques

Les cristaux photoniques sont donc des milieux transparents dans lequel l'indiœ réfraction varie de manière périodique. Comme l'illustre la figure (1.1), cette variation périodique peut être réalisée dans une, deux ou trois directions de l'espace. Si la van-ation de l'indice de réfraction est suffisante, et si cette structuration est de même oiidre de grandeur que la longueur d'onde de la

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lumiège utilisée, alors il peut exister des directions dans lequel les photons d'une certaine énergie n'ont pas la possibilité de se pgopager[3].

b)c) Figme 1.1. Représentation des cn-staux photonique a)1 Dimension b) 2Dimensions et c) 3Dimensions.

111.1. DifFépenœ t¥pes des cristatix phoœrtiques

111.1.1, Cristal photonique unidimensionnel : le miroir de Bragg

Les cristaux photoniques unidimensionnels sont courammem utilisés sous le nom de réseau de Bragg {Figure 1.2). lb sont tmdftionnellement obtenus par un empilement de couches d'indices diélectriques d-ffiérent§. Les réseaux de Bragg sont utilisés dans plusieur§ applications, on peut citer : les filtres de longueur d'onde séleclifs, les multiplexeurs etc ....

Figure 1.2. Schéma d'un empilement périodique.

Les miroirs de Bragg sont des successions de couches d'indices de réfraction dffiérents, empilées, de manière péri®dique. Le comportement du réflec[eur de Bragg est expliqué à partir de processus d'interiérenœs m"iples. Comme le montiie la (figme 1.3), une onde qui se propage dans la succession de couches, sum une néflexion à dhaque intefface. Si l'onde passe d'un milieu faible

5

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1 1

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indiœ vers un milieu de fort indice la réflexion s'accompagne d'un changement de phase Tr, dans le cas contïaire, la géflexion reste en phase.

Dans le cas particulier où l'épajsseur optique totale des altemances est de W2, les ondes réfléchies par les interfaces d'ordre impair rœtent en phase pour fomer des interfénences constmctives et aboutir â une réflexion totale, œ qui revient à dire que l'onde ne peut se propager et que l'on est en présence d'une bande interdite photonique. Un autre œs particulier où les deux couches de chaque a)temance ont même épaiss"r optique W4, on obseme que tes ondes réfléchies par toutes les interfaces sont en phase. 11 est alors facile d'imaginer que ce cas comespondra à la bande inœndfte la plus farge !4].

12345

Figwe 1.3. Reppésentation schématique de l'interLénenœ des ondes réfléchies par chaque dioptre.

111.1.2. Cristal photûmiqu® bidimensi®nnel

Un eristal photonique bidimensionnel est une structure qui présente une modulation périodique de la permiftivité d.électriqLie suivant deux directions de I'espace, et homogène dans la troisième. Les propriétés optiques des structures bidimensionnelles sont fortement dépendantes de la polarisation de I'onde électromagnétique [q. 11 existe plusiew§ façons de néaliser ces structures bidimensionnelles. Par exemple, on peut placer des tiges diélectriques dans l'air ou encore dans un autne diéfedrique. Afin d'®Lwri-r des bandes intefidites larges, il faut un contraste d'indice (différenœ enùe les indices du milieu et des tiges) sufFisamment grand [3]. Une BIP bidimensionnel peut aussi êtœ constitL[é d'un ensemble de trous pep¢és dan§ un diélestrique. Les réponses optiques de ces structures dépendent de la polarisation st peuvent ne pas posséder une bande intëqditiÈ cûmptiÈte, On parie d'une bande interdite compfète lonsque la structuœ intendit la propagation pour toutes les diiiections dans le plan de la périodicité, quelle que soit la polarisation 11 existe deux types de structunËs périodiquûs diélectriques :

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Chapitre 1 Etat de l'art sur les cristaux photoniques Cyllndre

(a)

Indice (nl)

:.,-J

F_-_____I

(b)

lndice (n2}

Figure 1.4. Exemple de structure 2D, a) trous d'air dans un Matériau, b) réseaux de tiges dans l'air

Les Féseaux périodiques à deux dimensions se regroupent principalement suivant trois fami»es :

• Réseaucari

Les nœuds du réseau sont situés sur un carré de côté "a" (figure 1.5). 11 a été mon"é que ce type de réseau est très sensible à l'angle d'incidence et à la polarisation de l'onde électromagnétique. 11 est ainsi difflciœ dJobtenir une bande interdite totale, c'est-àdire une bande interdite qui empêche la Pmpagation quelle qœ soit la polarisation [6].

Figwe 1.5. Réseau carré.

• Résœu triangulaire

Chaque nœud du réseau est espacé de son proche voisin d'une même distance "a" (figure 1.6).

CetLë structure est moins sensible à I'angle d'incidence que k5 réseau œmé P].

7

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1 1 1

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I I I I I I

Chapitre l Etat de l'art sur les cristaux photoniques

\` `\`- `\ `\` `\` `

---_---f:----::_-:_:_S-:::::::S:-_:_-_-_-::_-_Æ_Æ#

Figure 1.6. Réseau triangulaire.

• réseatJ hemgonal

• structure grapme

Figwe 1.7. Structurie grapme.

Sur un réseau hexagonal, si tous les nœuds sont identiques et espacés de "a", alors on appelle cette structure "graphite" car elle est similaire à la structure cristalline du grapme (figure 1.8).

• La structure nftrure de Bore

\```.\`'--:.`,i`::

Figure 1.8. StFudiœ Nitrupe de Bone.

Si un nœud diffèœ de son suivant par sa natme ou sa dimension, on obtient ainsi la structure cristalline du Nft"re de Bore [8] (figure 1.8).

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I

1 1

I I I

1 1

I

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Chapitre l Etat de l'art sur les cristau« photoniques

111.1.3 Crisül ph®bnique ffidimensionnel

Les cristaux photoniques tridimensionnels sont des structures dont la pemiftivité diélectrique est structurée périodiquement dans les trois diqections. Elles ont été les deuxièmes à être réalisées par Yablonovitch [9] apnès les réseaux de Bragg. Son objectff était d'obtenir une bande interdite compŒ5œ pour touœs fes diæctions de f'espace afin d'inhiber f'émission spontanée de ta lumière

Figme 1&9& La ppemière structure BIP 3D: Ia Yablonovfte [10].

IV. Rappels Stir le néseau nécippoque et la zone de Brill®uirt

La représentation des diagrammes de bandes se fait pour des composantes du vecteur d'onde Æ variant é long des diqections de hautes symétries. Ces points de haute symétrie se trouvent dans la première zone de Brillouin qui fait partie du réseau récipnoque. Dans la suite de ce paragraphe, nous allons rappe]eT ces deux notions à savoir le néseau réciproque et la zone de Brillouin [2].

• Réseau récippoque

Considérons une st"Œuiie périodique à deLJx dimensions repré§entée sur Ja figure (1.10) :

Figure 1.10. Réseau direct

9

(19)

I I I I

1 1

I

1 1 1 1

I I

1 1

I I I I I I

Sur la figure (1.10) apparaissent quatre mailles élémentaires, l'ensemble de œs mailles constitue un réseau dit direct. Nous pouvons aussi obtenir une maille élémentaire de même surface en traçant les lignes qui relient un nœud donné à tous ses voisins [11], puis on traœ les médiatrices de ces segments. Le plus petit volume enclos de cette façon, est la maille élémentaire de Wigner - Seitz comme le montre la figure (1.11).

Figure 1.11. Maille élémentaire Wiignerseitz du réseau direct.

De cette manière nous pouvons obtenir k} réseau réciproque de chaque structure et à tout le réseau direct on peut fairie correspondre un réseau réciproque.

• Zon® de Brillouin

Des études thêoriques sur des ondes planes se propageant dans un milieu à deux dimensions ont pu montrer que la fréquence de ces ondes fome une fonction périodique du vecteurà, qui définit la direction de pmpagation, dans le réseau réciproque. La plus petfte aire issue de œs vecteursüest une zone fondamentale qui s'appelle "la première zone de Brillouin". Pour illustrer cette zone, nous tracerons d'abord le réseau réciproque pour une maille d'un réseau direct par la procédure pïésentée préoédemment, puis, nous nous plaçons au centre de la celluLe d'origine r du réseau réciproque pour tracer un nombre suffisant de vecteurs joignant I'origine aux nœuds voisins de ce même réseau. Nous construisons ensuite les médiatrices de ces vc€teurs. La pluB pet.fte aire interceptée par ces médiatriœs est la première zone de Brillouin (voir la figune 1.12).11 est prouvé que parœuri.r ceŒe zone par les points de haute symétn.e équivaut à se déplaœr dans toute la struc(une périodique et dans toutes les directions [2].

Espaœ néel Espace réciproque

Figure 1.12. Réseau direct et néseau réciproque. Les points de hautes symétries de la première zone de Brillouin (r, M, K).

10

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I I I

1 1

I I I I I I I I I I I I I I I I

En utilisant les points de haute symétrie pour œ calcul des valeurs propres pour chaque valeur de k. 11 n'est pas néœssaire de calculer ces grandeurs pour tout I'espaœ néciproque, et non plus pour toute la zone de Brillouin. Comme dans la théorie des §emi-conducteurs, on peut limiter œ calcul à une petite partie de la zone comme indiqué sur la figme (1.13).

laï±:#ÆQp

Figure i.13. Représentation des pius petites zones iméductibles des rêseaux carrés (a), tiangulaire (b) et hexagonal (c).

Les zones en noir sont suffiisantes pour représenter toutes les possibilftés de déplacement de l'onde [2]. En effet, d'apnès le théorème de Bloch, toutes les solutions à I'intérieur de la zone sont équivalentes à toutes les autiies solutions à un vecteur de translation près.

00 Û

ÛD0

al

ÛOÛO

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2D QQOO

"NgNbüNm°¥ o °

00

Û _ .1_æ_•.-

Réseau Réciproque

00

_0

iko c;

O Q O O O O

00

Zone de

Brillouin iméductible

Figure 1.14.Réseaux dinect et néciproque pour deux cristaux photoniques 2D de maille camée et de maille triangulaine. La première zone de Brillouin est représentée en gris clair. La zone de Brillouin

iméductible est nepnésentée en bleu clair avec un vecteur d'onde arbftraine k en rouge.

11

(21)

I I I I I I I I I I I I I I I

1 1

I I I I

Ainsi pour obtenir les fréquenœs autorisées à se propager dans le cristal photonique, nous faisons balayer au vecteur d'onde (kx, Ay) Ie contour défini par les points de haute symétrie de la première zone de Brillouin pour chaque type de réseau (figune 1.14). Le tableau (1.2) présente les valeurs des vecteurs directs et réciproques de chaque type du réseau.

Tableau 1.2 : Propriétés ék5mentaiœs des réseaux carrés et triangulaire [2].

Réseau carré1 Réseau triangulaiœ

Vecteurs directs al =a(1,0) ; al=a(1,0) ;

a2=(:,É,

a2 = a(0,1)

Vecteurs réciproq ues

bl = ¥,, ,O, ., bl = ¥,, ,i/3, .,

b2=¥(1,0,; b2 = ¥(0,3/3,

V. lntérêt des structLireo bidimensionnelles

Un grand nombre d'applications des cristaux photoniques se situe dans le domaine de I'optique dont Les longueurs d'ondes voisines du micron. Pour un contrôle omnidiœctionnel de la lumière la réalisation des cristaux photoniques tridimensionnels est particulièrement ardue à cette échelle.

Certes les progrès de fabrications ont permis la conféction de ce geme de structure même pour des longueurs d'onde infrarouge [12]. En revanche, Ies cristaux photoniques bidimensionnels sont plus facjfes à Ïéaliser dans le domaine des longueurs d'ondes du proche infrarouge même du visible. Les outils de fabrication déjà bien rodée issus de la microélectronique nous permettent de réaliser des cristaux photoniques sur différents matériaux (diélectriques et semi¢onducteur). Nous allons voir les opportunités offertes par les cristaux photoniques bidimensionnels pemettent de réali.ser de nombreuse fonction opti-ques.

Les cristaux photoniques bidimensionnels à bande interdite photonique objet de notre étude, pour la modélisation des guides et cavités.

Vl. Diagrammœ d® bandes

Pour œlcLiler kæ diagiammes de bandes il faut considéner pour chaque cristal, toutes les directions de propagation possibles. Comme en physique du solide [13], on montre que pour certaines symétries du cristal, on peut limiter l'étude aux vecteups d'ondes k situé§ à l'intérieur d'une zone restreinte appelée zone de Brillouin irréductible. Le vecteur k varie le long des directions de fiautes symétries de œtte zone qui faft partie du réseau réciproque [5].

12

(22)

Vl.1. Crista] photonique 2D

Un cristal BIP bidimensionnel [14,15] est une structure périodique, par exemple composée de trous d'air dans la matière. Elles présentent une relative simplicité géométrique qui faciJite les modélisations théoriques et les études expérimentales.

Pour étudier le comportement d'une onde électromagnétique incidente sur une telle structure deux polarisations sont possibles :

La polarisation électrique TE correspond au cas où le champ magnétque Ë est pafallèLe à l'axe de trous. Alors que celle magnétique TM correspond au cas où le champ électrique Ë est parallèle à l'axe des trous.

a) Polarisation TM

tb)

b) polarisation TE Figure 1.15.Orientation du champ dans un cristal photonique.

Dans les cristaux 2D, les ondes électromagnétiques se propagent dans le plan perpendiculaire à I'axe des trous et peuvent être séparées en deux polarisations TE ou TM. Les bandes interdites qui apparaissent dans chaque cas dojvent se superposer pour former une bande intend-fte totale.

Elle empêche ainsi la propagation de l'onde incidente quelle que soit sa polarisation. Nous pféœntons sur la figure (1.16) I'exempk5 d'un diagramme de bande d'un cristal photonüue 2D en polarisation TE et TM [16].

Le diagramme de la figure(l.16) représente :

• en abscisse, Ie parcours fait par le vecteur d'onde lorsqu'il décrit le contour formé par les points de haute symétrie r, M, K de la première zone de Brillouin.

i en ordonnée, les fréquenœs des modes calculés.

13

(23)

1

I I I I I

1 1

I I I I I I

1 1

I I I I I

MK

Vèçmd'Orti

Figure 1.16. Diagramme des bandes d'un BIP ZD en polarisation " et TE.

Vll.App«eations des ¢ris¢aux ph®1ÛniqLies

Les applications des matériaux à bande interdite photonique repose sur l'insertion contrôlée de défauts au sein du cristal lors de sa fabrication. Le§ défauts pûssibles peuvent aller de la modification de la taille ou de l'indice d'un seul motif du cristal à des défauts plus étendus comme le retraft de rangées entëres de motifs.Dans fe cas d'un fiéseau de trous, Ie défaut peut consister en l'absenœ d'un ou plusieurs trous [17].

Soit la structures neprésenter en figure (1.17)

®®®®*®-]Ir 1 ,~ lr ® ® d®

® ,1 ® - ïl ® a,----,---® 1, ,® ® 1, ,~ ~

Figüfe 1.17. Structufe à deux dimensions d'un cristal photom]ue sans défaut.

Vll.1. Les différents types de défaüts

Dans une structuce périodique à deux dimensions, il est possible de créer des ruptures sur la périodicité diélectrique selon deux types [17]

• Les mom défauts (défauts ponctuels) : consistent à créer un défaut dans un seul et même endroit

14

(24)

1 1

I I

1 1 1

I

1 1 1

I I I I

I I

1 1

I I

• Lœ multj défauts (défauts ljnéaires) : œnsistent à répéter dans plusieurs et différents endrofts à l'intérieur de la structure

*®®®®,®I

®, ,,*

®,®,,,,

®®®,®®

a) Défàut ponctuel par omission d'un motif élémentaire.

®~,,*,*

®,,®,

®,*,,,,*,1

d) Défàut de distÊnœ entre les lignes des motifs élêmentaines.

®*,,,

®1®®®®®

I,æ,,,

®®®**®®,,,

b) Défàut poncùiel par variation de dimension oÙ de la constante diélectrique d'un motif élémentaire.

*1*®1®®

®,,,1,

®®®,®®®

®*1,*®

e) Défàut par b variation de la constante diélectrique d'une ligne des motifÉ élémentaires.

Fjgure 1.18. Djfférents types de défauts

®,,®,

111,1,

®®*®,,®,,,

A1®t,,,,

c} Défàut de dimension d'une ligne des motifs élémentaire.

®,,,,®®

*,,,*,®

®*ee,,®

®,,1,,,

Û Défaut par omission d'une ligne des motifs ëlémentarires.

Dans cette partie, nous allons décrire les différentes appliœtions possibles des matériaux à bandes interdites photoniques. Nous limiterons au cas des cristaux photoniques bidimensionnels qui sont ceux qui offrent, pour l'instant plusiems applications.

Vll.2.Guides d'ondes

On peut utiliser des défauts pour piéger la lumière dans des cristaux photoniques mais on peut également guider la lumière.

Des défauts sont alignés dans un cristal photonique (figurel.19. a). La lumière qui se propage dans le « couloir» de défauts[18], avec une fréquenœ appartenant à la bande interdite photonique du cristal est confinée et peut être acheminée le long de ce couloir de défauts.

On poum ainsi insérer des courbures dans le guide d'ondes sans introduire des pertes

importantes (figure 1.19. b).

15

(25)

1

I I I

1 1

I I

1 1 1 1

I I

1 1

I I I

1 1

0 Û t) Û C)

ûÛÛÏ#

Gëûûû

Û Cj G æ C ÛÛÛÛû

() ü ü û Û

Q G' æ æ C.

(a)

t) fJ L` 0 Û Û Û Ï} û S ÛÛGÛÛ ÛÛÛÛÛ Û Û C: Û Û (') Û £ Û Û

ëûûûû

(b)

Figure 1.19. Guide d'onde a) Guide d'onde dpoit, b) Guide d'onde à courbupes extrêmes.

Lës cristaux photoniques sont exœllents pour créer des guides d'ondes dans lesquels la lumière peut se pïiopager et êtfie dirigée plus effiœcement que le long de guides d'ondes classiques fonctionnant par réflexion totale inteme (RT)). Ën pariiculier, le§ guides foncti®nnant par RTl ne pewent pas être courbés au-delà d'une certaine limite pour laquelle une grande partie de la lumiège ''ft]it". Ce prûbfènne n'ëxi.ste pas avec les guidœ d'ondes fabriqués dans fe§ ffl.sîaux phot®niquæ puisque le principe de guidage ne repose pas sur la RTl mais sur l'utilisation de la bande interdiSe[19].

11 y a une désünation qui laisse déterminer le nombpe de rangées enlevées de la structune. La dé§ignation Wn indique que n fangées ont été enlevées pour former le guide d'onde. Par exemple la désignation W1, W2, W3 indique que 1,2, ou 3 rangées sont enlevées [20].

ooooÛÛÛÛoÛÛo

OOÛÛÛQOÛÛÛO ÛÛÛÛÛÛÛÛÛooÛ

ÛôOÛÛQôÛOOO

ÛOOÛ0 ÛoooooÛ

ooÛoooÛÛoooÛ ÛÛÛÛüoÛÛÛÛo

oooo oÛoÛoooo

OOÛQÛOÛOÛOÛÛ OÛÛOQÛÛÛÛÛÛ

oÛooooÛûoooo

ooooÛÛoooooo ÛooooÛooooo

ÛOOOÛÛÛOQOO

ooo©ÛÛooÛooo

Figure l.20.Guides d'ondœ à cristaux photoniques : a)guide W1, b) guide W2 et c)guide W3.

Ces défauts génèrent des modes dans la bande interdfte du cristal pariait et contrôlent la pr®pagation de la lumièœ au sein du cristal et à l'échelle de la k>ngueur d'onde. Ces modes foment des suppor(s pour le champ électromagnétique propagatff. L'utilisation de ces structures rend possible la miniaturisation des composants d'opt`que intêgpée et amëliope leurs perfomances.

16

(26)

I I I I I I I I

1 1 1

I I

1 1

I I I I I I

Vll.3.€a¥üés ph®t®niqües

Les cristaux photoniques sont d'excellents œndidats pour la fabrication de cavités optiques féænantes perfomantes. En général, les cavftés optft}u©s sont céer en réfléchissant une partie de la lumière de façon cyclique entre deux miroirs ou deux dioptres pmches l'un de l'autre, Dans un ælaf phûtmique, une caÀmé opŒique est ¢néée en introduisant un défàut ponüuel dans œ maillage du €ristal. Ce défaut peut êtne un groupe linéaire de n trous absents appelé "Ln". On peut égalementfomgrdescavjté§âpartird.undéfauthexagonaldentpûusderayonappelê"Hn"[19].

Û Û C) æ Ï} # ÛGÛŒÛ

® æ æ S C} Û Ç'æ æQ æ æ c± Û æ û

æ Û G G C)

ooææûæ

(a)

æœææSS QQÛQæ ûÛQOÛÛ

GO

Œ Œ æ æ æ CÏ C3 æ æ Œ Û

ŒÛüæûŒ

tb)

Figure 1.21.a) Schéma d'une cavité Hl b) schéma d'une cavité L3.

• Fa¢t"rsde qualité

Lors de la création d'une cavité dans un oristal photonique, Ie défaut inséré dans la maille va auttiær l'existenœ d'un certain nombrie de modes loca«eés. Les œvités opüues sont caractérisées par leur longueur d'onde de résonance Ào ainsi que par leur facteur de qual.fté Q. Le fàctëur de qua)ité étant un moyen de mesutier I'efficac.fté avec laquelle une cav.më est œpabb de garder la lumière confinée [21]. En principe, Ie facteur de qualité se défim de la façon suivante :

Û -Ë tJ.2,

Avec AÀ la largeur à mmauteur de la pésonanœ de la cavité.

Le facteur de qualité est tnès sensible aux pertes qui peuvent avoir lieu dans le cristal photonique.

Ce§ pedes peL]¥ent p(io¥emir de processus intrinsèqües à la cavité telle§ les peTtës par émission hop§ du pLan. D'autiies pertes ne dépendant pas de la cavfté doivent êtpe considérées : Ies pertes extrinsèquœ qui proviement de plu§iew§ phënQmènes. La tailkÈ finie du cristaEl photæniqüs autorise une petite pariie de la lumière à se coupler aux modes existant en dehor§ du cri§tal [19].L'abæTpü.®n du matériaü vEa également ent(ainer des pertæs de lumièæ, t®ut oomme 4es pertës par les imperfestions qui introduisent des pertes par émission hons du plan.

17

(27)

1

I I I

1 1

I I

1 1 1 1

I I [ I

1 1

I ] I

• Taillede œviü§

L'influence de la taille de cavité sur les caractéristiques optiques et spectrales des structures à CP 2D a été étudjéç, permettant de confirmer expérimentalement plusieup5 intumonç. Premièïiement, Ia densité spectrale de modes augmente considérablement avec la taille de cavfté (Figure 1.22) puiüue é nûmbæ {:]e conrsgi]raù-ons du stamp électromagnéüüe admissibles est plu§ important dans une gmnde cavité. La densité de modes est approximativement proportionnelle à l'aire de la cavité. En fiéaliæ, la densité de modes dans une cËv.fté H5 e§t vraisemblaEblement sÛusœstimée.

Les modes sont tellement proches spectralement qu'ils ne sotit pa§ résolus individuëllement. Les laïiges pics dë ævfté vésibles §ur le spectfië, qésulœflt d®nc T"uvæment de modës tgès pmches

(Figure 1.22. (c)) [21].

ÆïŒH

flEÆ EÆ

"dù*m

t`a)

L"dritnm!

#! "ti"m

ÏtE!

Figure 1.22. SignamrÉæ spectrafes de cavités hexagonalfæ obLenues par photoluminesœnœE22].

Vll. Conclusi®n

Dans ce chapitre nous avons présentê les notions de base associées aux cristaux photoniques, ainsi que la po8Sibilité de contrôer la lumièœ dans les tfois directions de l'espaœ.

Grâœ à l'étroite ressemblanœ entre l'équation de Schrëdinger et l'équation de propagation des ondes éJectr®magnétiques dans L]n espaae à uræ ou deux dimensions, ncu§ aM¢ns montné qu'un

matériau diélectrique périodique peut posséder des bande§ de friÈquences qui intepdisent la propagation des ondes éœctromagnétiqties.

Nous avons aussi présentédans œ chapme un état de l'art des cristaux photoniques, et montré les différents défautë qui rendent ces stmctmë§ iméfesæntë§ p®ur de n®mbrëuses 3pplications dan§

Ie domaine de l'optique imégré (gL]ides et cavité).

18

(28)

LI

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

Tl

ChaDiùm 11 Outils de imodé!isations numériau®s des cristaux Bnstoniaües

Chapitre 11

0utils de modélisations numériques des cristaux Photoniques

1. lntroduction

L'étude des matériaux et dispositffs à bandes interdftes photoniques a commencé au laboratoire en 1997 i23], avec fobjectri de travaiiier sur ia modéiisation et sur la caractérisation des propriétés optiques de ces structures aux longueurs d'ondes des télécommunications optiques.

La compk5xité de la fabrication et de la carao[érisation de structunes à cristaux photoniques aLix fréquences optiques rendent coûteuse en temps et angent les études expérimentales systémaüuæ sur des disposftif§ des cristaLix photoniques. Le déveioppement de méthodes de modélisation optkiues précises et rapides reste donc primordial pour l'étude de ces structures. 11 y à ëncore qüelqües aFtnëes, ta rhéthodè EDTD nè Powaft êtfe envisagée pour Fa môdêlisation optique des cristaux photoniques qu'ave€ de puissants calculateurs. Vue l'intérêt croissant des strLich+nes périodiqœs, les méthodes numériques pour leur modélisation ne œssent de se développer. Elles sont nombreuse§ et variées et peuvent être classées suivant le domaine dans lequel elle§ ®pèrent, fréquentiel Qu temporel [21]. Pour la première œtégorie, on peut citer comme exemples :

r Mëfflôæ üë§ fflatiï.eës üe fiaflsfèft.

/ Méthode de réseaux de diffraction.

/ Méthode de développement sur des modes propres.

/ La méthode des ondes planes (PWM).

/ LÉ méthode des différenoes finis dans le domaine temporel.

Dans cette partie seront décrites k3s méthodes (tableau 11.1) [2] Ies plus utilisées pour étudier les cristaux à `bande intemdfte photonique à une, deux et trois d`imensions (i D, 2D et 3D).

Sachant que dans notre étude la modélisation des cristaux photoniques est fondée sur les deux demeiies mé¢hodes, fa mémode des ondes planes (PWM) el la mémode de diffërenœ finis dans le domaine temporelle (FDTD).

19

(29)

I I

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

ChaDitm 11 ils de modélisations_ numériati®s des cri

Tableau 11.1. Quelques méthodes les plus utilisées pour la simulation des cristaux photoniqœs [2].

11. Méthoclœ d® modétisation des cristaLix photoniques

11.1. La méthode des maitrices de transfert (The transfer matrix method TI\"}

La méthode des matriœs de transiert de Pendry et MCKinnon représente un domaine de ffiéquence de différence finie (FDTD) approche qui est basée sur la discrétisation des équations de Maxv\/ell pour les champs électromagnétiques dans le temps hamoniqLies. Dans la TMM, le calcul commence par la répartition du champ d'une onde plane dans une couche de CP (une ligne pour CP à deux dimension-s et m pLan pour un CP en trois dimension-s). Où fa structure est divis`ée en

une suooession des couches, une matrice de transfert permet de relier les champs dans une couche à ceux de la couche précédente [24].

La fréquence pour la TMM étant variable et cette méthode pemet de remonter à la structure de bandes puisque `te calcu] des éventuels vedbeurs d'onde de propagation se Îaft en ïond`ion de ]a fiéquenœ, avec une prise en compte de la dépendance en ftéquence de la constante diélectrique.

La TMM est ufle 'mëtfiode plutôt pôwalentê, elle peut ëmë pfolongæ pour le calcul üeË coefficients de transmission et de réflexion pour lœ matériaux à cristaux photoniquœ ayant des

-di- firis.

11.2. Whéthode des réseaLix de diffraction

Le cristal photonique est considéré comme un ensemble de réseaux de dfflaction sucoesstfs [2].

Cette méthode permet de décomposer les champs dans chaqœ région séparant ces réeœux et appn.que ta méori.e des réseaux pour neljer les coefficients de ceüe décomposftion d'une région à l'autiie. Le système mstriciel obtenu pemet d'établir la matriœ de difflision qui caractérise le

20

(30)

I I I I I I I I I I I I I I I I I

I I I I

ChaBitm 11 Ôuitils de modélisatioms|±i+ Ues de§L_Cri_staL" Bb

mìÌieu. L'intèrèt de cette mèt`hode est qu`'eÌ=le pemet de calcuk2r les modes guidés et leurs pertes intrinsèques.

11.3. Mêthod® d® développement sLir des modes proprœ

Plutôt que de travailler avec une discrétisation spatiale fixée par une grille, Ia structure est ici dècomposée suìvant des p=lans dans `lesquels `l`'ìndìce optìque est constant se`lon une dìscn&ìsation.

Les champs sont ensufte développés sur les modes propres de chaque domaine trouvé. Ceci conduit à des temps de calcul qui peuvent être considénablement nédu.hs, particulièrement pour des structures en couches [25].

11.4. Méfflode de décompositi®n des ondes planes

Dans les cristaux photoniques, la méthode des ondes planes est La méthode de référence pourle ca-lcul des bandes interdites. Êlle est biem adaptée pour des structunes pér-iodiquœ de dimemsions infinies pour la détermination des modes propres et du diagramme de dispersion de la structure F2ï]. TouÏ phénomène é]ecïromagnéù.que est gouvemé par tes équaïions de Maxwe". Ces demiènes amènent à une équation d'onde qui, dans un milieu linéaire, isotrope, non magnétique (perméabil.fté magnétique nëlative égal à 1) et st absence de sources, s'écm (pour les ch@mps électrique et magnétique) de la manière suivante.

S*(±)S*Ë(?,Ï»--üoEo%Ë(r+,t) -VX(Çt5)-V*Ë(?,+»--po€o%Ë(r+,t)

(11.1)

(m2) Limérêt de [a mët`hode des ondes pianes est qu`'eüe fad]fte b résolution des équations d'onde de manièiie rigoweuse pour les structures périodiques supposées infinies. Elle permet le calcul des bande§ dë fféqL]ëricës autorisëës ou imërdftës de§ Ôndæ êleŒïomagnëtiqües susœptibles dë së propager dans la structure considérée.

i`l est pœsib-te de rechercher des soïutions sous `la forme d'ondes p]anes de `la forme :

Ëa+,t)=Ë(F) g`a" et ËZ;+,t)=Ë(F) e{œt (ii.3) Avec la longueur d'onde dans le vide À = 2=Eet dont le vecteur d'onde k est défini de telle sorte0 quek3trièdre(Ë,EË),softdjrectetqueo2=g;;j(cétantlavftessedelalumëredanslevideetn étant défini tel que n=/ff (5

En combinant ces condmons, on peut simplffier les équations (11.1) st (11.2) :

S*tG*Ë(?,,-%Ë(?,."Gi--o

21

(11.4)

(31)

I I I I I I I I I I I

1 1

I I I I

1 1

I I

OutiJs de modélisations nümériau

-vx((SxË{?))-¥É(?).Er(F5--0

(11.5)

Comme a-(Frest périodique ,Ë{r| et Ë(S satisfont le théoréme de Bloch et peuvent être décomposées sous ia fbrme : Ë(F5=ü#(5eé# et Ë(Ï Ü=k(5e!#. , ou les fonctions «Ë(5et ÜË(;rpossèdenttouteslespériodicitésdumilieu.Alors,ilestpossiblededéveloppera.(F},«Ë(F)et Ü=k(S en séries de Fourier :

gr(F5=zgr(5ezE3

Ë(Fi--u=k(FietEî--(Zu*k(ûetôî).etËî=Zu=k(B.ei(=æ.?

Ë(Fi=v=k(F}etËî=(Z"k{Betêî).etËî--Zv=k{B.eufÉ.?

Où é est un vecteur du réseau réciproque et ff (çJ ,üÉ (r| et tpk(5 sont des composantes dans l'espace réciproque (que I'on peut déteminer par une intégrale de Fourier). Alor§, par exemple, pour le champ électrique, `l'équation (`11.5) devient :

+tô+Fx {tô + " x «Ëtü,7 = gz grtë.ô.«Étù t[].9,

L'équation (11.9) représente un système linéaire de dimension infinie car il y a une infinité de vecteurs Edu réseau réciproque.

La diagonalisation, qui doit être effectuée pour chaque valeur de E pemet alors de déterminer les valeurs propres dh(Ë) (TL servant à numéroter les valeurs propres) sont limftées à certainæ directions de symétrie de la pnemière zone de Brillouin. Les courbœ de dispersion du cristal photonüue sont alors obtenues. Êi`ies reprèsentent ies diagrammes de bandes du crista`l. Î}'une manière générakÈ, quand les vecteurs Fdécrivent la première zone de Brillouin, les ftéquencœ ûh(Frecouvrent continûmemt le spectre d'énengie. Cependant, dans certains cas, il existe des domaines d'énergie dans lesquels aucun mode dün(5+n'est accessible ce sont les bandes interd`ftes photon`iques t21 -ï.

La méthode des ondes plane pemet également le calcul de la distribution des champs ébctriquœ et magnétiques de chacun des modes dans la structure ain§i que ia densfté d'état.La structure de calcul est définie par une cellule et par un réseau périodique selon lequel cefte cellule est neproduæ pour couw.r entièremenï ]'espaœ. Cetœ ce«ué peuï être sans défauïs périodique, ave€

défaut ponctuel ou linéaire dans le cas des cavités et des guides d'onde.

11.5. Méthode des difÉérertcee finieæ temporelles (FE»B)

La méthode des différemces finies temporelles [2] repose sur une résolution directe deséquations de Maxv`ell sous leur fiome différentiéile. Dans le cas d'un matériau isotrope, non djspers#, sans

22