Modélisation de transistors à effet de champ pour les applications térahertz

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Modélisation de transistors à effet de champ pour les

applications térahertz

Abdelhamid Mahi

To cite this version:

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Délivré par l’UNIVERSITÉ DE MONTPELLIER 2

Préparée au sein de l’école doctorale

I2S

Unité de recherche

Institut Électronique et des Systèmes

Spécialité:

Électronique

Thèse en cotutelle entre l’université de Béchar en Algérie

et l’université de Montpellier 2 en France intitulé :

Présentée par

Abdelhamid MAHI

mido.mahi@gmail.com

MODÉLISATION DE

TRANSISTORS À EFFET DE

CHAMP POUR DES

APPLICATIONS TÉRAHERTZ

Soutenue le 16 Décembre 2014 devant le jury composé de

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— À mes très chers parents qui n’ont cessé de m’aider et d’assister le long parcours de ma vie, tout en leur souhaitant une longue vie pleine de bonheur et la prospérité. — À mes chers frères et mes sœurs.

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Remerciements

Je tiens tout d’abord à remercier mon directeur de thèse, Luca VARANI, de m’avoir permis de réaliser cette thèse en m’accueillant dans le laboratoire IES, pour sa disponibilité et la qualité de son encadrement ainsi que pour le soutien et la patience dont il a fait preuve tout au long de ces années. Son aide et son soutien m’ont été tout aussi utiles, notamment dans le domaine de la simulation. Je considère comme une réelle opportunité d’avoir été encadré par un tel chercheur.

Je tiens à remercier vivement Christophe PALERMO, maître de conférences, qui a assuré la co-direction de cette thèse. L’aboutissement de ces travaux à été possible grâce à sa disponibilité, son dévouement et la pédagogie avec laquelle il m’a encadrée.

Je remercie Hugues MARINCHIO pour sa gentillesse et son talent de physicien, pour les nombreuses discussions de physique que nous avons eues.

Je remercie particulièrement mon directeur de thèse à mon université d’origine Abder-rahemane BELGHACHI pour sa large participation à ces travaux.

J’adresse également mes remerciements à Monsieur Jean-Luc THOBEL, chargé de re-cherche à Institut d’Electronique, de Microélectronique et de Nanotechnologie (CNRS) et à Monsieur Nicolas CAVASSILAS, maître de conférences à Institut Matériaux Microélec-tronique Nanosciences (IMMN), qui ont bien voulu me faire l’honneur de juger ce travail en acceptant d’être rapporteurs.

Je tiens à exprimer mes plus vifs remerciements aux membres du jury pour l’honneur qu’ils m’ont fait de participer à mon jury de thèse.

Je remercie tous les membres de l’équipe de recherche de l’Institut Electronique et des Structures (IES), pour leur aide et leur compétence technique. Je tiens également à témoi-gner ma reconnaissance aux personnels administratifs et aux enseignants de l’Université de Montpellier 2, et plus particulièrement ceux de l’école doctorale pour leur gentillesse et leur soutien.

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Table des matières

1 Introduction générale 11

2 Géneralités sur les ondes THz 15

2.1 Introduction . . . 15

2.2 Intérêts de la radiation Terahertz . . . 16

2.3 Térahertz et applications . . . 18 2.3.1 Astronomie . . . 18 2.3.2 Médecine et biologie . . . 18 2.3.3 Télécommunications . . . 19 2.3.4 Spectroscopie . . . 20 2.3.5 Sécurité . . . 21

2.4 Détecteur THz à l’état solide. . . 22

2.4.1 Détecteur hétérodyne . . . 22

2.4.2 Détection par échantillonnage électro-optique . . . 22

2.4.3 Détection directe . . . 23

2.5 Instabilité de plasma . . . 24

2.5.1 Plasma tridimentionnel (3D) . . . 24

2.5.2 Plasma bidimensionnel (2D) sous grille : cas du HEMT . . . 25

2.5.3 Plasma 2D sans grille . . . 32

2.6 Conclusion . . . 35

3 Modèle hydrodynamique pseudo-2D 37 3.1 Introduction . . . 37

3.2 Phénomène de transport électronique . . . 38

3.2.1 Equation de Boltzmann . . . 38

3.2.2 Equations des moments . . . 40

3.2.3 Équation de Poisson . . . 43

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TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES

3.3.1 Modèle dérive-diﬀusion . . . 44

3.3.2 Méthode Monte Carlo . . . 45

3.3.3 Modèle hydrodynamique . . . 47

3.4 Modèle HD pseudo-2D . . . 49

3.4.1 Equations de transport 1D . . . 49

3.4.2 Equation de Poisson pseudo-2D . . . 50

3.5 Algorithme numérique . . . 57

3.5.1 Conditions aux limites . . . 58

3.5.2 Description de l’algorithme. . . 58

4 Etude de l’InGaAs massif 63 4.1 Introduction . . . 63

4.2 Les matériaux III-V . . . 64

4.3 Le transistor HEMT . . . 65

4.4 Paramètres cinétiques du matériau . . . 67

4.4.1 Diagramme de bandes . . . 68

4.4.2 Masse eﬀective moyenne . . . 68

4.4.3 Taux de relaxation . . . 70

4.5 Réponse à un champ électrique . . . 71

4.5.1 Étude transitoire . . . 71 4.5.2 Étude fréquentielle . . . 73 4.6 Conclusion . . . 74 5 Detection THz 77 5.1 Introduction . . . 77 5.2 Modes de détection . . . 78

5.2.1 Excitation THz détectée par le drain . . . 79

5.2.2 Excitation THz détectée par la grille . . . 81

5.2.3 Excitation THz simultanée . . . 84

5.2.4 Excitation THz simultanée avec déphasage . . . 87

5.3 Optimisation . . . 91

5.3.1 Inﬂuence de la longueur grille . . . 91

5.3.2 Inﬂuence de la tension grille . . . 93

5.3.3 Inﬂuence de la distance grille-canal . . . 94

5.3.4 Inﬂuence de la concentration N+ _{. . . .} ₉₆

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5.4 Photo-réponse de la tension du drain . . . 98

6 Caractéristiques petit-signal 105 6.1 Introduction . . . 105

6.2 Modèle analytique . . . 106

6.3 Réponse temporelle du courant . . . 108

6.4 Admittance . . . 110

6.4.1 Inﬂuence de la tension . . . 111

6.4.2 Inﬂuence de la concentration . . . 113

6.4.3 Inﬂuence de la longueur des zones sans grille . . . 114

6.5 Impédance . . . 116

6.6 Circuit équivalent petit-signal (SSEC). . . 116

6.7 Éléments de circuit SSEC . . . 119

7 Etude des fluctuations et du bruit 123 7.1 Introduction . . . 123

7.2 transfert du champ d’impédance . . . 124

7.2.1 Echantillonnage . . . 124

7.2.2 Perturbations . . . 125

7.2.3 Fonction de Green et champ d’impédance . . . 127

7.2.4 Densité spectrale locale . . . 130

7.3 Densité spectrale des ﬂuctuations . . . 133

7.3.1 Densité spectrale calculée par la méthode de Re[Y22] . . . 134

7.3.2 Densité spectrale calculée par la méthode du TIF . . . 135

7.4 Densité spectrale et réponse de la détection THz . . . 137

8 Conclusion générale et perspectives 141 Bibliographie 144 A Modèle de Dyakonov-Shur pour un gaz 2D sans grille 157 A.1 Relations de dispersion . . . 158

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B Résolution de systèmes tridiagonaux par la méthode du double-balayage

de Choleski 161

B.1 Balayage de haut en bas . . . 161

B.2 Balayage de bas en haut . . . 162

Abstract 163

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Chapitre 1

Introduction générale

Le domaine Terahertz (THz), région du spectre électromagnétique comprise entre 300 GHz et 30 THz, présente un grand intérêt pour la communauté scientifique et l’industrie. Les radiations THz constituent en effet un moyen d’investigation efficace et non destructif de nombreux éléments et composés minéraux ou organiques, exploitable dans des domaines aussi divers que la médecine, la sécurité, la physique des matériaux, l’astrophysique, etc. Des applications en télécommunications sont également envisagées.

Malheureusement, le manque de sources et de détecteurs intégrables et fonctionnant à température ambiante empêche un usage à grande échelle des techniques THz. Aux fré-quences THz, les composants, électroniques (diodes, transistors HF) d’un coté, et optiques (lasers interbandes) de l’autre, atteignent leurs limites. Pour combler ce que l’on peut appe-ler le gap Terahertz, il faut donc changer de stratégie et envisager la mise à contribution de phénomènes physiques nouveaux : par voie optique, l’exploitation de transitions optiques courtes (transitions intrabandes des lasers à cascade quantique, des lasers Si-Ge etc.) ; par voie électronique, celle de phénomènes oscillatoires ou résonants à très hautes fréquences.

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Chapitre 1 : Introduction générale

théorique de ces oscillations collectives a été quasi-exclusivement faite dans les cas limites d’un gaz électronique bidimensionnel (2DEG), soumis ou non à un eﬀet de champ (2DEG gated et ungated) ou d’un gaz tridimensionnel (plasma 3D). D’autre part, le candidat au-jourd’hui privilégié en vue de la conception de détecteurs ou sources THz reste le HEMT, ce qui est probablement dû à la prédominance dans la littérature des 2DEG sous grille. Or, s’il semble parfaitement approprié pour les applications de détection, force est de constater que ses faibles dimensions rendent improbable l’émission d’un signal THz d’une puissance raisonnable (la zone active, i.e. le canal, est un 2DEG de quelques centaines de nanomètres de longueur). Il semble donc que nous devions dépasser d’un point de vue théorique le modèle du plasma 2D (et 3D) et d’un point de vue technologique le HEMT.

Dans ce contexte, notre travail de thèse propose, du point de vue de la simulation, de développer une approche théorique basée sur le modèle hydrodynamique permettant l’étude des oscillations collectives dans un canal semi-conducteur d’un transistor HEMT et de décrire le comportement aux fréquences THz d’un gaz électronique et d’étudier l’influence de différents paramètres physiques et technologiques sur les résonances de plasma (structure générale du dispositif, choix du matériau actif et polarisation). Les champs électriques longitudinal (axe drain-source) et transversal (axe grille-source) seront pris en compte. Le modèle hydrodynamique se présente comme un bon compromis entre le modèle dérive-diffusion qui présente beaucoup d’approximations et la méthode Monte Carlo qui nécessite d’importants temps de calcul. Il présente à la fois l’avantage de requérir des temps de calcul très acceptables, tout en permettant l’analyse des phénomènes transitoires rapides dans des structures sub-microniques complexes, c’est pourquoi c’est vers ce modèle que se porte notre choix.

Dans ce même contexte et avant d’aborder la simulation de transistors HEMT, d’un point de vue technologique, la mise en place du modèle analytique nous mène tout droit au choix du matériau semi-conducteur utilisé comme un canal de transistor HEMT. Dans ce but, nous représenterons les propriétés physiques du InGaAs et son utilité dans le domaine THz comme matériau semi-conducteur de haute mobilité électronique, dans lequel une onde de plasma peut être excitée par un signal THz détecté par une antenne soudée sur la grille ou le drain du HEMT.

D’une part, nous élaborerons un modèle analytique permettant une étude des ondes de plasma excitées par une radiation THz. Nous résultats s’appuient sur les calculs de la valeur moyenne et de l’amplitude du courant au drain, pour des excitations THz sur la grille, sur le drain et simultanées en fonction de la fréquence de signal THz, cette dernière peut être ajustée sur l’ensemble du domaine THz en jouant sur la dimension du canal, type d’excitation ou les conditions de polarisation.

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Chapitre 1 : Introduction générale

à l’aide de notre modèle analytique tout en utilisant la méthode du circuit équivalent petit-signal et la méthode du transfert de champ d’impédance. Les comparaisons entre les résultats des deux méthodes permettront de vériﬁer et de valider notre étude. Nous essayerons de relier théoriquement la détection des radiations THz aux ﬂuctuations du courant de drain du transistor HEMT.

Le travail de cette thèse sera présenté de la manière suivante :

— Le premier chapitre de ce manuscrit sera dédié à un état de l’art de la radiation térahertz. Nous exposerons en particulier l’intérêt et les diverses applications de cette radiation, ainsi que les principales techniques de détection d’ondes Terahertz. Les phénomènes physiques d’oscillation de plasma dans les canaux à semi-conducteur seront décrits.

— Dans le deuxième chapitre, nous présenterons le modèle hydrodynamique couplé avec l’équation de Poisson ainsi que la modélisation de la détection THz par les diﬀérentes électrodes du transistor HEMT.

— Le troisième chapitre sera consacré à la présentation des propriétés physiques de l’InGaAs.

— Dans le quatrième chapitre, nous étudierons l’excitation des ondes de plasma dans un canal transistor HEMT par un signal électrique THz ainsi que l’inﬂuence des diﬀérentes paramètres des transistors HEMT sur l’excitation du plasma sera mise en évidence.

— L’étude du circuit équivalent petit signal du HEMT sera abordé dans le cinquième chapitre.

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Chapitre 2

Géneralités sur les ondes THz

Sommaire

2.2 Intérêts de la radiation Terahertz . . . 16

2.3 Térahertz et applications . . . 18 2.3.1 Astronomie . . . 18 2.3.2 Médecine et biologie . . . 18 2.3.3 Télécommunications . . . 19 2.3.4 Spectroscopie. . . 20 2.3.5 Sécurité . . . 21

2.4 Détecteur THz à l’état solide . . . 22

2.4.1 Détecteur hétérodyne . . . 22

2.4.2 Détection par échantillonnage électro-optique . . . 22

2.4.3 Détection directe . . . 23

2.5 Instabilité de plasma . . . 24

2.5.1 Plasma tridimentionnel (3D) . . . 24

2.5.2 Plasma bidimensionnel (2D) sous grille : cas du HEMT. . . 25

2.5.3 Plasma 2D sans grille . . . 32

2.6 Conclusion. . . 35

2.1 Introduction

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Chapitre 2 : Géneralités sur les ondes THz 2.2 Intérêts de la radiation Terahertz

— Le domaine sub-millimétrique dont les longueurs d’onde inférieures au millimètre et qui est l’extension vers les courtes longueurs d’onde du domaine micro-onde (centi-métrique).

— Le domaine infrarouge lointain qui est l’extension vers les grandes longueurs d’ondes de l’infrarouge.

C’est une plage de fréquences qui s’étend environ de 300 GHz à 30 THz, soit des longueurs d’ondes comprises entre 1 mm 10 µm [1]. Cette bande de fréquence est montrée sur la ﬁgure2.1.

T

erahertz

Low frequency

Long wavelength

Low quantum energy

High frequency

Short wavelength

High quantum energy

10

5

A

M

r

a

d

io

V

is

ib

le

F

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Hz

UV

S

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r

gamma rays

X-rays,

M

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y

10

6

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7

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Figure2.1 – Représentation de la bande spectrale Terahertz [2].

Elle apparaît donc comme la frontière entre deux domaines de la physique tout à fait dif-férents : l’optique (infrarouge) et l’électronique (micro-ondes). Ceci présente de nombreux intérêts et applications pour la communauté scientiﬁque, comme nous le verrons dans les deux sections suivantes et dans la troisième partie de ce chapitre où les détecteurs de rayon-nement THz à l’état solide sont passés en revue. Par la suite, c’est autour de l’instabilité de plasma que sera centrée la quatrième partie de ce chapitre, les trois types d’instabilité de plasma dans les dispositifs électroniques y étant étudiés. De plus, quelques expériences sur la détection des radiations THz seront évoquées et, comme l’onde de plasma représente le mécanisme de la détection THz, nous allons lui consacrer la grande partie de ce chapitre.

2.2 Intérêts de la radiation Terahertz

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2.2 Intérêts de la radiation Terahertz Chapitre 2 : Géneralités sur les ondes THz

ce qui rend ce domaine de fréquences si intéressant. Nous pouvons résumer en plusieurs points les principes caractéristiques des ondes THz :

— Tous les corps solides à basse température et à température ambiante émettent des ondes aux fréquences THz [3] ;

— L’énergie du photon (entre 1,2 meV et 12 meV) reste faible devant l’énergie ther-mique à température ambiante (caractéristique intéressante pour la spectroscopie et l’imagerie) ;

— Les électrons dans les états atomiques excités occupent des orbites aux fréquences de l’ordre du THz [3] ;

— Un grand nombre de molécules organiques et inorganiques ont des fréquences de vibration et de rotation de l’ordre du THz [4] ;

— les collisions entre les molécules de gaz à température ambiante ont une durée ty-pique de l’ordre de la picoseconde, ce qui correspond à une fréquence dans le domaine THz [4] ;

— Une énergie de quelques meV n’est pas en mesure d’ioniser les atomes, ce qui rend le THz intéressant pour les applications médicales et biologiques ;

— D’importants modes d’oscillations de molécules biologiques (protéines, ADN) sont aux fréquences THz [5] ;

— Des modes de rotation ainsi que des modes d’oscillation collectifs amènent des li-quides polaires comme l’eau à absorber les radiations aux fréquences THz [6] ; — Les électrons dans les semi-conducteurs répondent aux fréquences THz et les temps

typiques d’interaction avec les phonons et les impuretés sont de l’ordre de la pico-seconde [7] ;

— Le temps de transit des électrons sous la grille d’un transistor de dernière génération et de l’ordre de la picoseconde [7] ;

— Les gaps d’énergie de certains supraconducteurs correspondent à des quanta d’éner-gie aux fréquences THz [8] ;

— Les plasmas gazeux ainsi que ceux à l’état solide peuvent osciller aux fréquences THz [9] .

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Chapitre 2 : Géneralités sur les ondes THz 2.3 Térahertz et applications

2.3 Térahertz et applications

Longtemps restée l’exclusivité des astrophysiciens pour détecter des objets trop froids pour rayonner dans le visible, la radiation THz intéresse grandement des secteurs aussi va-riés que la médecine, la biologie, la sécurité et les télécommunications. Nous allons voir d’un peu plus près les diﬀérentes sources THz qui peuvent exister et surtout leurs applications dans diﬀérents domaines.

2.3.1 Astronomie

La technologie THz intéresse depuis longtemps les astronomes et ils possèdent de ce fait une certaine avance. Les moyens mis en oeuvre par de grands organismes tel que la National Aeronautics and Space Administration (NASA) ont permis de mettre en place des systèmes THz pour certains cas spéciﬁques. Les quelques systèmes mis au point sont des structures uniques très lourdes tant au point technologique que ﬁnancier.

Au pôle sud, l’Antarctic Submillimeter Telescope and Remote Observatory dispose d’un système à base d’un laser THz pompé optiquement pour l’étude de l’azote ionisé, du mo-noxyde de carbone et de l’H2D+ dans les nuages interstellaires. L’étude sur l’abondance et

la température de ces molécules permet, par exemple, une meilleure compréhension de la formation des étoiles [10].

Un laser émettant à 2,5 THz, installé sur le satellite AURA, a été lancé par la NASA en 2004. Il va permettre de mesurer la concentration et la distribution du radical hy-droxyl (OH-), composant critique dans le cycle de l’ozone. Ces mesures vont permettre de comprendre l’importance des espèces chimiques dans la destruction de l’ozone dans la stratosphère [11].

On estime que la moitié de la luminosité totale dans l’espace ainsi que 98 % des pho-tons émis par le Big Bang se situent dans les régions sub-millimétriques et lointain infra-rouge [11]. Le développement de la technologie THz est donc d’une importance cruciale pour ce domaine d’applications qui fait l’objet d’un colloque régulier, intitulé International Symposium on Space Terahertz Technology.

2.3.2 Médecine et biologie

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2.3 Térahertz et applications Chapitre 2 : Géneralités sur les ondes THz

Radio µwave mm THz Far IR Near IR Vis UV

1.E+08 00.000 00.001 00.010 00.100 01.000 10.000 100.000 1000.000 10000.000 100000.00 1000000.000

1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12 1.E+13 1.E+14 1.E+15 1.E+16

Frequency (Hz) C o e ff. A b s (c m -1)

Figure 2.2 – Coeﬃcient d’absorption de l’eau dé-ionisée à 292 K entre 100 MHz et l’ul-traviolet (UV) [12].

Elle commence à être exploitée par de nombreux groupes autour du monde sur diverses applications spécifiques tel que le diagnostique de maladies [13], l’identification d’état struc-turel des protéines [14] et les effets des radiations sur des échantillons et des procédés bio-logiques [15]. Sa forte absorption par l’eau (Fig. 2.2) la rend aussi très intéressante pour la spectroscopie et élargit ses applications par exemple à une meilleure distinction des cellules cancéreuses sur un organe ou plus généralement à l’étude des tissus vivants.

La ﬁgure 2.3 propose une image THz d’un carcinome présent sur un tissu mammaire excisé. Ce type d’imagerie THz permettrait donc d’estimer l’extension de la masse tumorale et ses caractéristiques sans besoin d’une coupe histologique [16,17]

2.3.3 Télécommunications

On pourrait penser que le Terahertz permettrait d’augmenter considérablement le trans-fert d’information, puisque le taux de transtrans-fert peut excéder le Tbit/s, mais sa très forte absorption par l’atmosphère rend son eﬃcacité amoindrie [18]. En fait, cet inconvénient n’en est pas un, si on considère la communication entre satellites, par exemple. La large bande de fréquences et le fort taux de transmission, comparés aux communications micro-ondes (16 Gbit/s), est ici considéré comme un avantage du moment que le chemin entre deux satellites n’eﬄeure pas l’atmosphère terrestre.

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Chapitre 2 : Géneralités sur les ondes THz 2.3 Térahertz et applications

Figure2.3 – Photographie et image THz d’un carcinome (cerclé) sur un tissu mammaire retiré [16].

application aux communications tactiques à courte portée. Cela limiterait l’interception des transmissions militaires par l’ennemi. On peut aussi parler des systèmes sans ﬁls tel que le bluetooth ou le wiﬁ. L’utilisation du THz pourrait décupler les taux de transfert existants tout en répondant parfaitement au besoin d’un système individuel à courte portée.

Une autre application, par exemple, est la détection de modèles d’avion jusqu’à main-tenant indétectables par les moyens existants. Une etude réalisée sur diﬀérents aéronefs ont montré que le célèbre F-117, l’avion furtif américain, laissait une trace visible sur les détecteurs [19].

2.3.4 Spectroscopie

La spectroscopie THz à domaine temporel, ou time-domain THz spectroscopy, est de-venue une méthode puissante pour l’étude des propriétés de nombreux matériaux comme les diélectriques, les semiconducteurs ou les supraconducteurs. Cette technique fonctionne grâce à des impulsions plus petites que la picoseconde de radiation électromagnétique, travaillant ainsi dans la large bande de fréquences que représente le domaine THz. Typi-quement, les systèmes spectroscopiques travaillent dans une gamme de fréquences entre 2 et 5 THz, ont une résolution spectrale de 50 GHz et peuvent faire des acquisitions pendant une bonne minute [20].

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2.3 Térahertz et applications Chapitre 2 : Géneralités sur les ondes THz

sur son développement. Ce comportement pourrait devenir un catalyseur dans l’élaboration d’une ingénierie génétique [21].

2.3.5 Sécurité

Les différentes propriétés de la radiation THz lui offrent la possibilité de constituer une technique potentiellement puissante pour les applications de sécurité. En effet, d’une part, ces ondes traversent les vêtements et les emballages avec une atténuation relativement faible et sont partiellement réfléchies par les interfaces entre les matériaux avec différents indices de réfraction, permettant ainsi de distinguer les objets cachés en plastique, en céramique ou en métal. D’autre part, la faible longueur d’onde du THz, couplée à une utilisation par pulsations extrêmement rapides, ouvre la voie à une imagerie 3D qui permet d’obtenir un contraste plus important qu’avec des techniques d’imagerie 2D. De plus, de nombreux solides possèdent une absorption spectrale caractéristique dans la région 0,5 − 3 THz. Cela permet à différentes substances chimiques d’être détectées, même si elles sont isolées dans un paquet ou cachées dans un vêtement. Enfin, la radiation THz est non-ionisante et peut être utilisée à des niveaux de puissance très faibles (de l’ordre du µW ), grâce à la disponibilité de détecteurs à haute sensibilité.

Bien que des systèmes utilisant les Rayons-X soient communément employés pour scan-ner des bagages (ou autre), ils ne sont pas utilisés sur les êtres vivants. Les passagers ou visiteurs sont alors scannés par un simple détecteur de métaux. Le THz apporte ici une solution très attractive pour scanner des personnes et permet d’étendre le champ de dé-tection aux armes contenant une faible quantité de métal, aux lames en céramiques, aux matériaux explosifs et aux substances chimiques et biologiques.

En eﬀet, des expériences ont montré que la détection d’objets cachés est possible [22–

24]. Des recherches en spectroscopie THz ont montré que les vibrations moléculaires de nombreux explosifs, comme le TNT, étaient présentes dans la gamme 1-20 THz [25]. Cette gamme de fréquences regroupe aussi les empreintes de nombreux composés organiques, permettant la détection de drogues, d’agents chimiques ou biologiques.

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Chapitre 2 : Géneralités sur les ondes THz 2.4 Détecteur THz à l’état solide

Figure2.4 – L’image optique et THz d’une personne qui porte une arme et un couteau.

2.4 Détecteur THz à l’état solide

2.4.1 Détecteur hétérodyne

La détecteur hétérodyne consiste à transposer le signal THz à détecter en basses fré-quences par multiplication avec un signal de fréquence proche généré par un oscillateur local. Toutes les techniques de détection (mis à part les diodes Schottky qui ne permettent une détection que dans le bas du régime THz) impliquent un refroidissement à l’hélium, et les fréquences de détection plafonnent autour de 2 THz [26].

La méthode la plus envisagée pour la détection hétérodyne est celle qui consiste en l’utilisation de l’onde de plasma dans un transistor à haute mobilité électronique (HEMT), le canal du transistor illuminé par un battement optique jouant à la fois le rôle d’oscillateur local et de cavité mélangeuse (pour plus de détails, voir les publications [27–29]).

2.4.2 Détection par échantillonnage électro-optique

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2.4 Détecteur THz à l’état solide Chapitre 2 : Géneralités sur les ondes THz

laser [30,31]. Si le signal THz est périodique, un eﬀet stroboscope peut être réalisé en jouant sur la fréquence d’émission des impulsions lasers. La même impulsion laser est utilisée pour la génération et la détection. La synchronisation de l’échantillonnage est facilement réalisée en appliquant un retard optique réglable à l’onde laser utilisée en détection.

L’échantillonnage électro-optique met en jeu l’un des mécanismes d’interaction entre le champ électrique et les propriétés optiques suivantes :

— Eﬀet Franz-Keldysh : l’application d’un champ électrique peut permettre une ab-sorption optique assistée par eﬀet tunnel dans un semi-conducteur non absorbant à l’équilibre à la fréquence laser. Cette absorption est d’autant plus forte que le champ électrique est important.

— Effet Pockels dans les matériaux anisotropes et l’effet Kerr dans les matériaux iso-tropes : un milieu diélectrique polaire peut devenir biréfringent quand un champ électrique règne. La biréfringence est proportionnelle à ce champ (dans le cas de l’effet Kerr) ou à son carré (dans le cas de l’effet Pockels).

2.4.3 Détection directe

Dans ce cadre et au vu de la production scientiﬁque récente, les transistors à ondes de plasma sont de loin les plus étudiés actuellement, ces transistors sont parmi les seuls détecteurs compacts et fonctionnant à 300 K que l’on puisse concevoir.

Aujourd’hui, les transistors les plus rapides sont les transistors à haute mobilité élec-tronique (High Electron Mobility Transistors, HEMT) et les Transistors Bipolaires à Hété-rojonction (TBH).

Dans les transistors à effet de champ comme les MESFET, la diffusion sur les impuretés ionisées localisées dans le canal limite fortement la mobilité des porteurs de charge. L’idée à la base du HEMT est de séparer les atomes donneurs des porteurs contribuant au courant drain-source afin de profiter d’une très bonne mobilité. Ce type de transistor est réalisé sur substrat semi-isolant de matériau III-V (GaAs, InP). La grille d’un HEMT est en contact Schottky avec une couche de semi-conducteur III-V à grand gap non-dopé, sous laquelle on a réalisé un film mince très dopé en donneurs, on parle de plan de dopage ou de δ-dopage. Celui-ci fournit les électrons à un canal constitué d’un matériau à petit gap, dans lequel sont confinés les porteurs. Un espaceur, qui est une couche non-dopée, est inséré entre le plan de dopage et le canal afin de réduire la diffusion à distance et de diminuer l’interaction colombienne entre les porteurs de charges et les ions de dopage. L’étude du HEMT entre pleinement dans le cadre de ce travail de thèse et nous l’aborderons plus en détail dans les chapitres suivants.

(25)

Chapitre 2 : Géneralités sur les ondes THz 2.5 Instabilité de plasma

qui lui autorise un dopage plus important sans pénaliser l’eﬃcacité d’injection, la résistance de base est donc plus faible et les fréquences de fonctionnement plus hautes.

2.5 Instabilité de plasma

Dans la suite nous représenterons les diﬀérentes types d’instabilités de plasma dans les dispositifs à semi-conducteurs.

2.5.1 Plasma tridimentionnel (3D)

Le terme plasma désigne un gaz constitué de particules chargées, électriquement neutre. Considérons tout d’abord la réponse diélectrique d’un gaz d’électrons libres (tridimen-sionnel) à un champ électrique. En absence de collisions, l’équation du mouvement d’un électron libre dans un champ électrique est :

md

2_x

dt2 = −eE (2.1)

Si le déplacement x et le champ électrique E dépendent du temps suivant une loi exponentielle exp(−iωt), l’équation (2.1) peut être simpliﬁée et devient

x = eE/mω2 (2.2)

La fonction diélectrique pour une fréquence ω est déﬁnie par l’expression :

ε(ω) = 1 + P (ω)

εE(ω) (2.3)

où P (ω) est la polarisation, déﬁnie comme le moment dipolaire par unité de volume selon

P (ω) = −nsex (2.4)

avec ns la densité d’électrons dans le gaz et ε la permittivité diélectrique du milieu dans

lequel le plasma évolue. Nous pouvons écrire la fonction diélectrique d’un gaz d’électrons libres par ε(ω) = 1 − nse 2 εmω2 (2.5) La fréquence de plasma est alors déﬁnie par la relation [32] :

f3D = 1 2π

r nse2

(26)

2.5 Instabilité de plasma Chapitre 2 : Géneralités sur les ondes THz

Les oscillations des charges électriques peuvent être comprises grâce au raisonnement suivant : si les électrons d’une zone du plasma sont déplacés, alors les ions de cette zone, n’ayant que peu bougé du fait de leur masse importante, vont exercer sur ces électrons une force de Coulomb attractive. Ceux-ci vont donc revenir vers leur position initiale, et ainsi de suite. Ces oscillations se produisent, à la fréquence de plasma qui est une fonction de la densité d’électron ns dans le gaz 3D.

La ﬁgure 2.5 représente la fréquence f3D _{en fonction de la densité de porteurs dans}

l’InGaAs à l’équilibre thermique (avec m = 0,042 m0 et ε = 13,4ε0, ε0 étant la permittivité

du vide). Récemment, ces résonances de plasma 3D ont été mises en évidence

expérimen-1

10

100 Pl

a

sma

f

re

q

u

e

n

cy

(T

H

z)

0.01

0.1

1

10

100 Electron density (10 cm )

+18 -3

Figure2.5 – Fréquence de plasma 3D en fonction de la densité de porteurs dans l’InGaAs à l’équilibre thermique.

talement dans du GaAs massif peu dopé [33]. Une utilisation comme détecteur térahertz d’un MESFET GaAs couplé à une antenne est proposée.

2.5.2 Plasma bidimensionnel (2D) sous grille : cas du HEMT

(27)

de charge et la longueur du canal du FET. Avant de présenter la théorie de Dyakonov et Shur, nous devons mettre en lumière les hypothèses qu’elle implique, qui nous permettront de connaitre les limites du modèle et de nous orienter pour la conception d’un modèle plus réaliste.

Les hypothèses suivantes sont faites par Dyakonov et Shur (DS) dans le cadre de leur théorie [34], constituant l’approximation du canal graduel (Gradual Channel Approxima-tion, GCA) :

— les paramètres physiques tels que la concentration des porteurs, la masse eﬀective, l’énergie des porteurs et la vitesse sont uniformes tout au long du canal du HEMT ; — la tension drain-source est faible devant la tension de grille, de sorte que le HEMT

est utilisé dans la zone ohmique ;

— la densité des porteurs dans le canal est parfaitement contrôlée par la grille

Les hypothèses proposées par DS ont rendu le système unidimensionnel et soluble ana-lytiquement. Le comportement du mouvement balistique des électrons dans le canal a été comparé au mouvement des particules de l’eau peu profonde. Par analogie, le ﬂux des élec-trons, relativement lent par rapport à la vitesse de l’onde, doit devenir instable à cause de l’ampliﬁcation de l’onde de plasma.

Ce mouvement des électrons est décrit par des équations hydrodynamiques. La densité électronique est donnée par la relation :

ns(x) =

CU (x)

e (2.7)

où C est la capacité grille-canal par unité de surface (avec C = ε/d, d étant l’épaisseur du canal) et avec

U (x) = VG− V (x) − Vth (2.8)

VG étant la tension de la grille, Vth la tension de seuil, V (x,t) le potentiel déﬁni en un

point x du canal et e la charge élémentaire. De plus, l’équation d’Euler régissant la vitesse moyenne des électrons se ramène à :

∂v ∂t + v ∂v ∂x = − e m ∂U ∂x − νvv (2.9)

où v est la vitesse locale des électrons, m leur masse eﬀective et νv le taux de relaxation de

(28)

en électrons s’écrit alors comme [34,35] : ∂U

∂t +

∂(U v)

∂x = 0 (2.10)

Il est à noter que les équations (2.9) et (2.10) coïncident avec les équations hydrodyna-miques des fluides : v correspond alors à la vitesse d’écoulement du fluide et eU/m au produit gh (où h est profondeur du fluide considéré et g l’accélération de la pesanteur). Les relations de dispersion des ondes de plasma et des ondes en eau peu profondes sont en effet assimilables, puisque leurs relations de dispersion respectives sont

  

ω = kpeU/m = ks pour les ondes de plasma

ω = k√hg pour les ondes en eau peu profonde

(2.11)

où k est le vecteur d’onde de l’oscillation plasma et s = peU/m est la vitesse cette onde. Pour ﬁxer les idées, un exemple des ondes de surface auxquelles sont assimilées les ondes de plasma est proposé sur la photo de la ﬁgure 2.6 : il s’agit du phénomène de mascaret.

Figure 2.6 – Propagation d’une onde de surface en eau peu profonde : phénomène de mascaret.

(29)

équilibre peut être uniforme, v0 étant U0 étant alors pris constants sur tout l’espace, ou

non-uniforme en choisissant v0 = v0(x), U0= U0(x). Quand l’état d’équilibre est légèrement

perturbé, on peut écrire la vitesse et la tension sous la forme    v(x,t) = v0+ v1exp[−i(ωt − kx)] U (x,t) = U0 + U1exp[−i(ωt − kx)] (2.12)

avec v1 < v0 et U1 < U0. Les termes du second ordre (v1U1, U1U1, v1v1) sont alors

négli-geables.

Le calcul se développe alors pour le cas simple d’un ﬂuide uniforme. Le contact de source (en x = 0) est supposé connecté à la masse, et le contact de drain (en x = L) est supposé ouvert et connecté à une source de courant. Dans ces conditions,

   (ω − kv0)v1−_mekU1 = 0 −kU0v1+ (ω − kv0)U1 = 0 (2.13)

Pour obtenir des solutions v1 et U1 non nulles, le déterminant du système (2.13) doit être

nul. On établit ainsi la relation de dispersion :      k1 = ω v0+ s k2 = ω v0− s (2.14)

Ou ; v0 est la vitesse des électrons et s la vitesse de l’onde de plasma. Le milieu est

non-dispersif, mais l’onde est portée ou freinée par le courant et se propage à la vitesse relative s par rapport à celui-ci. On retrouve ici encore une relation de dispersion analogue à celle des ondes de gravitation en eau peu profonde [36], prenant cette fois-ci en compte la vitesse de dérive électronique.

Les termes v1 et U1 se réécrivent par la suite sous la forme suivante :

   v1 = A exp(ik1x) + B exp(ik2x) U1 = C exp(ik1x) + D exp(ik2x) (2.15)

(30)

On obtient dans ces conditions _     A = s U0 C B = − s U0D (2.16)

Nous allons déterminer les deux termes de ω par la condition de bord en x = L. Nous supposons que le courant drain-source est constant IDS = CU v et, par suite, que △IDS = 0.

La condition de bord s’écrit alors U0v1(L) + v0U1(L) = 0. Cette deuxième condition donne

alors : s + v0 s − v0 = e−iω 2Ls s2−v20 (2.17)

Cette dernière relation nous mène à considérer une pulsation complexe ω = ω′

+ iω”_.

On détermine la pseudo-pulsation ω′

et l’incrément d’onde ω” _{en séparant partie réelle et}

imaginaire, ce qui permet d’établir que        ω′ = 2πn s 4L 1 − M2 ω′′ = s 2L(1 − M 2_{) ln} 1 + M 1 − M (2.18)

où n est un entier, pair si | v0 |< s et impair si | v0 |> s, et où M est le nombre de Mach

donné par M = v0/s. La partie réelle de ω correspond physiquement à un ralentissement

de la vitesse de phase. La partie imaginaire représente l’atténuation de l’onde de plasma. Une valeur positive de la partie imaginaire correspond donc à un système instable et à une ampliﬁcation des ondes de plasma : c’est l’instabilité de Dyakonov-Shur.

Le coeﬃcient d’ampliﬁcation ω′′ est positif pour s > v

0 > 0, des oscillations spontanées

de plasma peuvent alors naître dans le canal. On relève un maximum pour ω′′ à M = 0,65

(voir Figure 2.7). La génération d’ondes THz dans le canal est donc supposée optimale à la vitesse v0 = 0,65s.

À faible nombre de Mach, nous avons des oscillations aux fréquences 2D sous grille [34]

f2D = n 1 4L

r eU

m (2.19)

Par exemple, pour un HEMT GaN/AlGaN avec une longueur de grille L = LG= 0,15 nm,

m∗

= 0,19 · m0 et U = 2 V, la fréquence de plasma 2D est f2D = 1 THz. Pour un HEMT

InAlAs/InGaAs avec L = LG = 0,1 nm, m∗ = 0.042 · m0 et U = 0,3 V la fréquence 2D est

f2D _{= 4,6 THz, ce qui démontre le potentiel prometteur du HEMT pour des applications}

(31)

−0.8

−0.4

0

0.4

0.8 −0.8

−0.4

0

0.4

0.8 (

ω

′′

.2

L

/s

)

Nombre de Mach

Figure2.7 – Parie imaginaire de la pulsation plasma normalisée ω′′

2Lπ/s en fonction du nombre de Mach M.

2.5.2.1 Expériences de détection THz

Le canal d’un transistor HEMT peut agir comme une cavité résonante : la fréquence de résonance de l’onde de plasma est alors directement liée aux dimensions géométriques du transistor HEMT. La fréquence de l’onde de plasma peut atteindre le spectre sub-térahertz ou même le térahertz pour des longueurs de grilles nanométriques (Dyakonov-Shur [34,37]). Le travail théorique mené sur les HEMT a été complété des expérimentations sur des HEMT nanométriques à base d’InGaAs et de GaN. Celles-ci ont permis de vériﬁer que les propriétés non-linéaires de l’onde de plasma 2D sous grille dans le canal du transistor HEMT peut être utilisée pour la détection des radiations térahertz [38–40].

La détection des radiations THz est assurée par la rectiﬁcation du courant alternatif induit par le rayonnement incident : la photo-réponse du transistor apparaît sous la forme d’une tension drain-source continue proportionnelle à la fréquence du signal incident [40]. À titre d’exemple, nous présentons sur la ﬁgure2.8les résultats expérimentaux obtenus par Knap et al. dans des HEMT à base d’InGaAs [40]. On y observe la photo-réponse de la tension drain-source en fonction de la tension grille VG. Les résultats sont obtenus

pour des tensions de grille proches de la tension de swing Vth, où les artefacts liés au

(32)

d’instabilité de Dyakonov et Shur est alors atteinte. Le volet (a) de la ﬁgure2.8 montre un

Figure 2.8 – (a) Tension drain-source (photo-réponse) du HEMT pour des résonances à 1,8 THz, 2,5 THz et 3,1 THz. (b) Fréquence de résonance en fonction de la tension de la grille à 10 K (la ligne est calculée selon la théorie DS [34]).

exemple de détection pour diﬀérentes valeurs de la tension de grille aux fréquences 1,8 THz, 2,5 THz et 3,1 THz. La correspondance entre la fréquence de résonance et la tension de grille optimale est donnée dans le volet (b) de la ﬁgure : une croissance de f2D _{de 1,8 THz}

à 3,1 THz est possible dans un même transistor en modiﬁant la tension de grille. De plus, un bon accord est observé entre les résultats expérimentaux et la théorie de DS permettant de tracer la courbe représentée dans ce volet [40].

À ce jour, l’élargissement important des pics de résonance de plasma observés sur la ﬁgure 2.8(a) semble être l’un des principaux problèmes non résolus de la détection THz. Dans ce contexte, trois principales hypothèses sont actuellement à l’étude : (i) l’existence de modes obliques plasmatiques [41] ; (ii) un amortissement supplémentaire en raison de la fuite des oscillations de plasma sous grille et aux parties à accès libre sans grille [42] et (iii) la détection des radiations THz en introduisant une déphasage entre les électrodes de grille et de drain [43]. Cette dernière piste est explorée dans le chapitre 5.

(33)

Chapitre 2 : Géneralités sur les ondes THz 2.5 Instabilité de plasma -5 -4 -3 -2 -1 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 v/s ~ 0.1 E mi ssion in tensity, u.a

Gate Voltage, Volt v/s~1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 F ré q u e n ce p la sm a , T Hz Vg, Volt GaN/AlGaN

300 K

(a) (b)

Figure2.9 – Caractéristiques de l’émission d’un HEMT GaN de longueur de grille 150 nm à 300 K : (a) Fréquence du pic du spectre d’émission et (b) intensité de l’émission en fonction de la tension de grille en fonction de la tension de grille.

la théorie de DS pour des HEMT à canal GaN [44]. Les fréquences et les amplitudes des pics d’émission sont présentés dans la Figure 2.9 en fonction de la tension de grille. Ces résultats intéressants soulèvent de nouvelles interrogations : pourquoi a-t-on à 300 K des oscillations spontanées dans un canal GaN de 150 nm et pas dans un canal d’InGaAs de 50 nm, alors que le matériau constituant ce dernier est plus performant d’un point de vue mobilité électronique ? D’autre part, pourquoi ces oscillations se produisent-elles en régime ohmique pour de faibles vitesses de dérive (Figure 2.9 (b)) alors que toutes les autres oscillations et résonances de plasma sont relevées pour de fortes tensions de drain ?

2.5.3 Plasma 2D sans grille

L’instabilité du courant, et par suite l’excitation des ondes de plasma 2D sans grille, se basent sur le même principe des ondes de plasma 2D sous grille. En 2005, Dyakonov et Shur ont développé une approche théorique qui permet de décrire les ondes de plasma 2D sans grille dans un gaz bidimensionnel d’électrons qui n’est soumis à aucun champ électrique mais qui satisfait à des conditions aux limites asymétriques. Le transport est supposé balistique dans le canal, c’est-à-dire que la longueur du canal est considérée comme inférieure au libre parcours moyen des électrons.

(34)

2.5 Instabilité de plasma Chapitre 2 : Géneralités sur les ondes THz v0/s ≪ 1. On obtient alors [45] :      ω′ = π q n0e2 εmL(2l − 1) l = 1, 2 , 3, etc. ω′′ = v0 L (2.20)

Pour nos conditions aux limites, le mode fondamental (l = 1) correspond à λ/4 = L, où λ = 2π/k est la longueur d’onde du plasma.

En présence de collisions, le terme ω′′ s’écrit

ω′′

= v0 L −

1

2τ (2.21)

où τ est le temps de relaxation. Pour satisfaire la condition d’instabilité de DS, la partie imaginaire de la pulsation doit être positive. On doit donc avoir

v0 L > 1 2τ (2.22) contact à la masse InGaAs Diélectrique largeur w Longueur L

Figure2.10 – Structure à deux dimensions pour la modélisation des oscillations de plasma 2D sans grille.

Cette dernière inégalité traduit la condition de balisticité nécessaire à l’obtention d’os-cillations de plasma : le temps moyen entre deux collisions 1/νv = τ doit être supérieur

au temps d’évacuation moyen (un électron quelconque en moyenne une distance de L/2 à parcourir à la vitesse v0 pour sortir du canal). Le temps de transit des porteurs doit être

(35)

Figure 2.11 – Fréquence plasma calculée par Monte-Carlo (symboles) et par la théorie DS (traits) pour un barreau de 1 nm de large en fonction de la longueur de celui-ci et pour des concentrations surfaciques de porteurs de 1010_{, 10}11 _{et 10}12 _cm−₂ (de bas en haut) [46].

Pour une structure de GaN/AlGaN avec une longueur de grille L = LG = 0,15 nm et

avec τ ≈ 10−11 s à T = 77 K, l’incrément v

0/L est supérieur à l’atténuation 1/2τ .

La fréquence de l’onde de plasma 2D sans grille est donnée par l’expression

fsg2D = 1 2 r n0e2 εmL(2l − 1) (2.23)

avec l = 1, 2, 3, etc. Pour un canal de longueur de grille L = LG= 0,1 µm, la fréquence de

plasma 2D sans grille en considérant les paramètres physiques de l’InGaAs atteint près de 20 THz, valeur à comparer avec celles de la fréquence de plasma 2D sous grille, oscillant entre 1 et 5 THz selon la tension de swing.

(36)

2.6 Conclusion Chapitre 2 : Géneralités sur les ondes THz

0.1

1

10

100

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25 ω

τ

Gate voltage (V)

0.05 µm 0.5 µm 0.5 µm 0.05 µm Gated Ungated

Figure2.12 – Facteur de qualité de la fréquence de résonance de plasma 2D sans grille et avec grille, pour deux longueurs du canal (0.5 µ m et 0.05 µ m). La mobilité des porteurs est de l’ordre de 0,8 m2_{/Vs [}₄₅_].

Remarquons enﬁn que les fréquences les plus élevées des ondes de plasma sans grille ont des facteurs de qualité ωτ très importants, comme illustré la ﬁgure 2.12. Ceci fait que les dispositifs sans grille sont très promoteurs pour la détection du rayonnement dans le domaine THz [45].

Des études récentes effectuées par des simulations Monte Carlo (MC) ont mis en évi-dence des résonances de plasma dans des barreaux à base d’InGaAs qui permettent, comme représenté sur la figure2.10, d’obtenir un plasma 2D sans grille. La figure2.11met en évi-dence la fréquence de plasma calculée par la simulation MC [46] et la compare aux valeurs calculées analytiquement via la relation 2.23. Un très bon accord est constaté. Toutefois, pour des structures avec des canaux plus longs (c’est à dire supérieurs à 600 nm), on ob-serve une transition des fréquences de résonance 2D sans grille vers des fréquences 3D. La frontière entre le comportement 2D sans grille et le comportement 3D reste un problème ouvert.

2.6 Conclusion

(37)

Chapitre 2 : Géneralités sur les ondes THz 2.6 Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre les principales caractéristiques de la radiation THz, en mettant en évidence son intérêt et ses applications. Parmi les diﬀérents détecteurs de rayonnement THz disponibles à l’état solide, nous avons constaté que les transistors HEMT sont les seuls à être compacts et à fonctionner à 300 K. Par la suite, nous avons présenté les modèles décrivant les diﬀérentes types d’instabilités d’onde de plasma dans les dispositifs électroniques, puis avons abordé quelques expériences mettent en jeu des oscillations de plasma. Nous avons vu que la fréquence d’onde de plasma (2D) sous grille est accordable et qu’elle peut être ajustée avec la taille de grille : cet aspect renforce l’intérêt de choisir un HEMT comme détecteur THz.

Les ondes de plasma 2D sans grille ont aussi été abordées, et nous avons vu qu’elles présentent des fréquences plus importantes que lorsque la grille est présente. Toutefois, l’accordabilité n’est pas possible dans ce cas.

(38)

Chapitre 3

Modèle hydrodynamique pseudo-2D

Sommaire

3.2 Phénomène de transport électronique . . . 38

3.2.1 Equation de Boltzmann . . . 38

3.2.2 Equations des moments . . . 40

3.2.3 Équation de Poisson . . . 43

3.3 Modélisation du transport électronique . . . 44

3.3.1 Modèle dérive-diffusion. . . 44

3.3.2 Méthode Monte Carlo . . . 45

3.3.3 Modèle hydrodynamique . . . 47

3.4 Modèle HD pseudo-2D . . . 49

3.4.1 Equations de transport 1D. . . 49

3.4.2 Equation de Poisson pseudo-2D . . . 50

3.5 Algorithme numérique . . . 57

3.5.1 Conditions aux limites . . . 58

3.5.2 Description de l’algorithme . . . 58

3.6 Conclusion. . . 59

3.1 Introduction

(39)

Chapitre 3 : Modèle HD pseudo-2D 3.2 Phénomène de transport électronique

de plus en plus poussées. Cette évolution exponentielle de l’électronique est accompagnée par une thématique de recherche indispensable au développement technologique, consti-tuée par les activités de modélisation et de simulation du transport électronique dans les dispositifs.

La modélisation nous permet de prédire le fonctionnement d’un dispositif et valider des résultats d’une expérience, et de comprendre les phénomènes physiques mis en jeu. Elle donne l’accès à une quantité de données et de grandeurs inaccessibles par l’expérience : par exemple, la valeur du potentiel électrique en un point quelconque du dispositif. La modé-lisation permet aussi d’optimiser le fonctionnement des dispositifs microélectroniques. On peut alors jouer sur les paramètres physiques intrinsèques et extrinsèques aﬁn d’imaginer et de proposer des structures potentiellement plus eﬃcaces.

La modélisation des transistors HEMT avec un canal de l’ordre d’une dizaine de nano-mètres fonctionnant à hautes fréquences est inévitable. Dans cette optique, ce chapitre a pour but de justifier et de décrire notre modèle hydrodynamique pseudo-2D qui sera couplé avec les équations du transport électronique 1D dans le but de calculer et de considérer l’effet du champ électrique. Il s’agit d’une équation de Poisson 1D tenant compte de l’effet de la tension transversale (tension de polarisation sur la grille du HEMT).

3.2 Phénomène de transport électronique

Dans cette section, nous rappelons quelques généralités sur les équations microscopiques de type cinétique. Les travaux présentés dans cette thèse ont pour point de départ des équations cinétiques classiques (de type Boltzmann).

3.2.1 Equation de Boltzmann

La fonction de distribution f(r,k,t) est une quantité très importante en physique sta-tistique pour la description d’un système de particules quelconque [47]. Elle décrit la pro-babilité qu’une particule du système étudié se trouve à la position r à l’instant t tout en ayant une vitesse v(k). La fonction f(r,k,t) permet une description complète de l’état macroscopique du système, par suite elle permet de calculer toutes les quantités physiques qui nous intéressent.

La fonction de distribution d’une particule donne accès à la densité locale, tout en intégrant f(r,k,t) sur l’espace des vecteurs d’ondes k [48] :

n(r,t) = Z

k

(40)

3.2 Phénomène de transport électronique Chapitre 3 : Modèle HD pseudo-2D

Nous supposons que la fonction χ(r,k,t) décrit une propriété physique d’une particule localisée à la position r à l’instant t et ayant une vitesse v(k), la valeur moyenne de ¯χ(r,k,t) est donnée par [48] :

¯ χ(r,k,t) = R kf (r,k,t)χ(r,k,t)dk R kf (r,k,t)dk (3.2) En remplaçant R_kf (r,k,t)dk par la densité n(r,t) et à titre d’exemple, en supposant que la fonction χ représente la vitesse v, l’équation de la vitesse moyenne locale peut être exprimée de la façon suivante [48] :

¯ v(r,t) =

R

kf (r,k,t)vdk

n(r,t) (3.3)

Commençons par ignorer la possibilité que des collisions aient pu se produire entre t−dt et t, et nous corrigerons cette omission plus tard. Si aucune collision ne s’était produite, la force s’exerçant sur une particule se réduirait à la force extérieure F . Dans le cas d’une particule de charge q en présence de champs extérieurs électrique et magnétique E(r.t) et H(r,t), F est la force de Lorentz. les coordonnées r et k de chaque électron évolueraient alors d’après les équations du mouvement semi-classiques [49] :

˙r = v(k) ~ ˙_{k = q}E(r,t) + v × H(r,t)

c = F (3.4)

Puisque dt est inﬁnitésimal, on peut trouver la solution explicite de ces équations au premier ordre en dt : un électron en (r,k) à l’instant t doit avoir été en (r−v(k)dt,k−F dt/~) à l’instant t − dt. En l’absence de collisions, c’est le seul point d’où les électrons en r, k ont pu provenir, et chaque électron en ce point atteindra le point r, k. Par conséquent [49] :

f (r,k,t) = f_{r − v(k)dt, k − F dt/~, t − dt} (3.5) Pour prendre en compte les collisions, nous devons ajouter deux termes correctifs à l’équation (3.5). Le membre de droite est faux car il suppose que tous les électrons vont de (r − vdt,k − F dt/~) en (r,k) pendant dt, en ignorant le fait que certains électrons sont déviés par des collisions. Il est également faux car il ne compte pas les électrons qui se trouvent en (r,k) à l’instant t non pas à cause de leur mouvement sans entrave depuis l’instant t − dt, mais à cause d’une collision entre t − dt et t. En ajoutant ces corrections, nous développons le membre de gauche (3.5) au premier ordre en dt, l’équation (3.5) se réduit alors, à la limite dt −→ 0, à [49] :

(41)

Chapitre 3 : Modèle HD pseudo-2D 3.2 Phénomène de transport électronique

L’approximation du temps de relaxation consiste à supposer que l’eﬀet des collisions est toujours de rétablir un équilibre local décrit par la fonction de distribution f0(r,k,t).

Nous supposons en plus que, si la particule est perturbée à partir de l’équilibre local, la distribution correspondante f(r,k,t) est diﬀérente de f0(r,k,t). Par conséquent, l’eﬀet

des collisions est simplement de rétablir la fonction de distribution f(r,k,t) à sa valeur d’équilibre f0(r,k,t), exponentiellement avec un temps de relaxation τ , qui est de l’ordre

du temps entre deux collisions consecutives des particules. Cette assertion est décrite par l’expression suivante [50] : ∂f (r,k,t) ∂t coll ≈ − f (r,k,t) − f0(r,k,t) τ (3.7)

Pour que cette approximation soit valable, il faut que τ soit indépendant de la cause de la variation de f et la perturbation qui conduit le système à un état hors d’équilibre est faible. On injecte l’eq. (3.7) dans l’éq. (3.6), et l’on obtient l’équation de Boltzmann des porteurs soumis à un champ électrique, linéarisée dans l’espace de vitesse et dans l’approximation du temps de relaxation [50] :

∂f (r,v,t) ∂t + v ∂f (r,v,t) ∂r + qE m∗ ∂f (r,v,t) ∂v = − f (r,v,t) − f0(r,v,t) τ (3.8)

C’est la célèbre équation de Boltzmann. Les termes du membre de gauche sont souvent appelés termes de dérive, et le terme du membre de droite terme de collision. Cette équation est au coeur de la théorie du transport dans les solides.

3.2.2 Equations des moments

L’approximation du temps de relaxation permet de simplifier l’équation intégro diffé-rentielle de Boltzmann de façon à la transformer sous la forme de l’équation (3.8), qui est une équation simple aux dérivées partielles. Mais même avec cette simplification, l’équa-tion de Boltzmann demeure compliquée et sa résolul’équa-tion non triviale. Or, la simulal’équa-tion des dispositifs microélectroniques a pour but principal d’étudier les principales grandeurs phy-siques qui décrivent leur comportement : la densité de porteurs de charges n, leur vitesse v, leur énergie ǫ, la densité de courant J, ainsi que le champ électrique E. En d’autres termes, pratiquement, le calcul de la fonction de distribution ne nous intéresse pas en soi. Par suite, au lieu de chercher des moyens pour calculer la fonction de distribution, on contourne le problème en trouvant à partir de l’équation de Boltzmann des relations auxquelles satisfont les principales grandeurs physiques n, v, ǫ, J et E. Ces équations s’appellent les équations des moments.

(42)

systéma-3.2 Phénomène de transport électronique Chapitre 3 : Modèle HD pseudo-2D

tique proposée par S. Chapman en 1916 et D. Eriskog en 1917 [50], qui consiste à multiplier l’équation de Boltzmann par la grandeur vm_{, où m est un entier. Nous utiliserons}

succes-sivement deux ordres d’approximation de la solution. L’approximation d’ordre zéro est une distribution d’équilibre local. Les équations des moments sont alors celles d’un fluide parfait, c’est-à-dire d’un fluide dans lequel les processus dissipatifs sont négligés. Dans l’ap-proximation d’ordre un, on obtient les équations des moments d’un fluide visqueux, dans lesquelles interviennent les coefficients de transport.

3.2.2.1 Équations de bilan local

On peut déduire de l’équation de Boltzmann des équations de bilan local pour cha-cun des invariants collisionnels. Il s’agit de la masse, de la composante de la quantité de mouvement et de l’énergie cinétique.

Aﬁn que nous arrivions à l’équation de continuité, nous intégrons les deux membres de l’équation de Boltzmann sur la vitesse :

Z ∂f ∂tdv + ∂ ∂r Z vf dv +q.E m∗ Z ∂ ∂vf dv = R f dv −R f0dv τ (3.9)

La fonction de distribution s’annulant lorsque v −→ +∞, en d’autre termes, Z

∂

∂vf dv = 0 (3.10)

D’après les équations (3.9) et (3.10) nous obtenons ainsi l’équation du moment d’ordre 0 : ∂n ∂t + ∂nv ∂r = n − n0 τn (3.11) Où n0 est la densité d’électrons à l’équilibre thermodynamique et τnle temps de relaxation

de la densité électronique. S’il n’y a pas de génération électronique, alors le terme n − n0 =

0, et dans le cas où des processus de génération-recombinaison sont présents, n−n0 = G−R,

où G et R représentent respectivement les taux de génération et de recombinaison.

De façon plus générale, en multipliant les deux membres de l’équation de Boltzmann par un invariant collisionnel χ(r,v,t) et en intégrant ensuite sur la vitesse, on obtient

Z χ(r,v,t) ∂f (r,v,t) ∂t + v ∂f (r,v,t) ∂r + qE m∗ ∂f (r,v,t) ∂v dv =Z ∂f ∂t collχdv (3.12)

(43)

Chapitre 3 : Modèle HD pseudo-2D 3.2 Phénomène de transport électronique ∂ ∂t Z χf dv − Z f∂χ ∂tdv + ∂ ∂r Z χvf dv− Z vf∂χ ∂rdv+ Z ∂ ∂v(χ q.E m∗f )dv − Z q.E m∗f ∂χ ∂vdv = Z ∂f ∂t collχdv (3.13)

La fonction de distribution f tend vers 0 lorsque la vitesse v tend vers l’infini (comme la vitesse électronique ne peut jamais être infinie, la probabilité d’occupation d’un état par une particule dont ça vitesse tend vers l’infini est nul), le cinquième terme du premier membre de l’équation (3.13) est nul tout en utilisant les notations mentionnées dans les équations (3.1, (3.2), et (3.3). On a donc le théorème général de bilan suivant :

∂ ∂t(nχ) − n ∂χ ∂t + ∂ ∂r(nχv) − nv ∂χ ∂r + n q.E m∗ ∂χ ∂v = ¯ χ − χ0 τχ n (3.14)

On introduit alors l’équation de continuité du courant (3.11) et, en développant correc-tement, on arrive à l’équation du moment χ :

∂χ ∂t + v ∂χ ∂r + 1 n ∂ ∂r h n_{vχ − ¯v¯}χi+ q.E m∗ ∂χ ∂v = ¯ χ − χ0 τχ n (3.15)

Remplaçons à présent le moment générique χ par le moment d’ordre 1, c’est à dire par v. Alors : ∂v ∂t + v ∂v ∂r + 1 n ∂ ∂r h n(v2_{− ¯v}2₎i₊q.E m∗ = ¯ v τv (3.16) où τv est le temps de relaxation de la vitesse. L’équation relative au moment d’ordre 1

(3.16) est appelée équation de conservation du courant. Enﬁn, si l’on pose que

χ = ǫ = 1 2m

∗

v2 (3.17)

la méthode des moments appliquée à l’ordre 2 nous donne : ∂ǫ ∂t+ v ∂ǫ ∂r + 1 n ∂ ∂r h n_{vǫ − ¯v¯ǫ}i+q.E m∗ ∂ǫ ∂v = ¯ǫ − ǫ0 τǫ n (3.18)

L’équation du troisième moment, ou équation de la conservation de l’énergie s’exprime alors comme ∂ǫ ∂t + v ∂ǫ ∂r + 1 n ∂ ∂r h n_{vǫ − ¯v¯ǫ}i+ q.Ev = ¯ǫ − ǫ0 τǫ n (3.19)

où τǫ est le temps de relaxation de l’énergie et ǫ0 l’énergie des électrons à l’équilibre.

(44)

conserva-3.2 Phénomène de transport électronique Chapitre 3 : Modèle HD pseudo-2D

tion de la vitesse et l’équation de la conservation de l’énergie, peuvent être abrégées dans l’ensemble d’équations suivantes :

                   ∂n ∂t + ∂nv ∂r = n − n0 τn ∂v ∂t + v ∂v ∂r + 1 n ∂ ∂r h n(v2_{− ¯v}2₎i₊q.E m∗ = ¯ v τv ∂ǫ ∂t + v ∂ǫ ∂r + 1 n ∂ ∂r h n_{vǫ − ¯v¯ǫ}i+ q.Ev = ¯ǫ−ǫ0 τǫ n (3.20)

3.2.3 Équation de Poisson

Dans le plus simple des cas, les porteurs des charges sont soumis à un champ électrique constant. Mais dans les composants micro-électroniques réels qui constituent le cadre de notre travail, le champs électriques auxquels sont soumises les particules n’est pas constant : il varie dans l’espace (le canal du HEMT) et dans le temps, ce qui engendre des ﬂuctuations, comme nous allons voir dans le chapitre 7, et dépend fortement des conditions aux limites. En même temps, le champ électrique provoque le déplacement des électrons et induit une modiﬁcation de leur distribution spatio-temporelle. Donc, il existe un lien étroit entre les expressions des moments (c’est à dire l’équation de Boltzmann) et le champ électrique dont il faut nécessairement rendre compte lors d’une étude du transport électronique. Cela se fait par le biais de l’équation de Poisson.

Celle-ci découle des équations de Maxwell et plus particulièrement du théorème de Gauss local énoncé par la relation

∇ · E = ρ

ε (3.21)

On peut écrire que la diﬀérence de potentiels électriques V est fonction du champ électrostatique, nous avons alors

E = −∇.V (3.22)

Le champ électrostatique E indique la direction de la plus rapide décroissance du po-tentiel électrostatique V . En remplaçant le champ électrostatique E dans la forme locale du théorème de Gauss, nous obtenons [?] :

∇2.V = −ρ_ε (3.23)

Cette dernière équation est dite de Poisson et elle relie le potentiel à la densité de charges ρ qui est donnée par [?] :

ρ = qh_{n(r,t) − N}D(r)

i

(45)

Chapitre 3 : Modèle HD pseudo-2D 3.3 Modélisation du transport électronique

où n(r,t) est la concentration des porteurs et ND(r) la concentration des atomes de dopage.

La résolution de l’équation de Poisson ou l’équation de Laplace associée aux conditions aux limites nécessite l’utilisation de méthodes de résolutions numériques dont une description assez exhaustive est donnée dans la référence [?].

3.3 Modélisation du transport électronique

Dans la plupart des applications, il est très délicat de mettre en oeuvre des simulations numériques des équations cinétiques à peu de frais. Pour cette raison, dès les années 1950 [53] on a cherché à développer des modèles approchant la réalité physique suﬃsamment pour donner des informations précises sur les systèmes modélisés, et qui soient moins coûteux numériquement que les modèles cinétiques. Par analogie avec la dynamique des gaz, des modèles de type dérive-diﬀusion ou hydrodynamique ont successivement vu le jour pour rendre compte du comportement du gaz d’électrons dans des semi-conducteurs.

Dans la section présente, nous faisons une description non-exhaustive des modèles de simulation du transport électronique dans les dispositifs électroniques.

3.3.1 Modèle dérive-diffusion

Pour mieux comprendre le développement du modèle collisionnel, nous allons dans ce paragraphe détailler la dérivation du modèle dérive-diﬀusion (DD) bien connu [49,54].

Considérons un gaz d’électrons dans un domaine de l’espace Ω (où Ω peut éventuelle-ment être l’espace réel), soumis à un potentiel électrique V supposé donné. Les équations de DD décrivent l’évolution au cours du temps d’une quantité macroscopique : la densité électronique n(r,t) qui est une fonction du temps t et de la position r. Si l’on note j(r,t) le ﬂux de particules en un point r et à l’instant t, la conservation de la masse impose que la variation spatiale de ce ﬂux soit égale à la variation temporelle de la densité, ce qui s’exprime par l’équation de continuité suivante :

∂n(r,t) ∂t +

∂j(r,t)

∂r = 0 (3.25)

(46)

3.3 Modélisation du transport électronique Chapitre 3 : Modèle HD pseudo-2D

sont accélérés par la force électrique, ce qui se traduit à l’échelle macroscopique par un mouvement de dérive du gaz d’électron dirigé dans le sens de cette force. Ceci s’exprime précisément selon loi de Fick [?] :

j(r,t) = −D ∂n(r,t)_∂r − n(r,t)∂V_∂r (3.26) où, d’après les considérations qui précédent, la matrice de diﬀusion D doit être positive. Son expression exacte dépend de la physique du problème considéré (en l’occurrence, du type d’interactions qui entraînent la diﬀusion, collisions, etc.).

Nous pouvons arriver aux équations DD (3.25) et (3.26) à partir de l’ensemble d’équa-tions (3.20) en ne considérant que les moments d’ordre 0 et d’ordre 1. La troisième équation de moment n’est pas prise en considération dans ce modèle et l’on suppose que l’énergie des particules (égale à 3kBTe/2, où kB est la constante de Boltzmann et Te la température

des particules) est constante quelle que soit la valeur du champ électrique local.

La théorie mathématique du modèle de DD dans le cas des semi-conducteurs est traitée dans ses grandes lignes par P. A. Markowich et Siegfried Selberherr dans les ouvrages donnés en références [55,56].

Le modèle de DD s’intéresse uniquement à la valeur moyenne des paramètres physiques : c’est donc un modèle macroscopique. La première approximation supposée, c’est à dire celle qui considère l’énergie électronique comme constante, limite fortement l’application d’un tel modèle dès lors que l’on s’intéresse, comme c’est le cas dans ce travail, à l’étude des phénomènes physiques rapides (de l’ordre de la picoscencond) dans des dispositifs submicroniques dans lesquels on doit considérer le phénomène d’électrons chauds.

3.3.2 Méthode Monte Carlo

La méthode Monte Carlo (MC) a été introduite en physique de la matière condensée par Metropolis et al. en 1953 [57]. Elle est généralement utilisée pour traiter le problème du transport électronique.

Elle porte ce nom parce qu’elle est basée sur l’utilisation d’un nombre aléatoires : ses simulations reposent sur une description en terme de position et de quantité de mouvement d’un ensemble de particules.

La méthode MC appliquée à notre domaine consiste à décomposer la trajectoire d’une particule en un grand nombre de séquences. Chaque séquence comprend un vol libre et une collision [57,58]. Pour cela, on déﬁnit l’état initial (position et vitesse) à t0 de la particule,