HAL Id: tel-01081475
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01081475
Submitted on 8 Nov 2014HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
dynamic analysis
Hugo Festjens
To cite this version:
Présentée par Hugo FESTJENS
pour l’obtention du
GRADE DE DOCTEUR
Spécialité : Science pour l’ingénieur
Laboratoire d’accueil : LISMMA-SUPMECA, EA-2336
Contribution à la caractérisation et à la
modélisation du comportement dynamique des
structures assemblées
Soutenue le : lundi 10 mars 2014 Devant un jury composé de :
Étienne BALMÈS Président de jury
Jean-Jacques SINOU Rapporteur
Gaëtan KERSCHEN Rapporteur
Claude BLANZÉ Examinateur
Imad TAWFIQ Directeur de thèse
Gaël CHEVALLIER Co-directeur de thèse
Jean-Luc DION Co-directeur de thèse
Cyrille STEPHAN Invité
Les liaisons boulonnées ou rivetées sont, en apparence, l’un des systèmes méca-niques parmi les plus simples qui soient. La fonction première de ces éléments est d’assurer un encastrement rigide entre les composants qu’elles assemblent. Le dimensionnement de ces pièces aux efforts statiques nominaux est un pro-blème assez largement résolu. Néanmoins, ces composants suscitent l’intérêt des ingénieurs et chercheurs depuis plus de 50 ans. Ce paradoxe s’explique en partie par l’amortissement important que ces liaisons produisent au sein des structures. Les efforts subis par les liaisons d’assemblages provoquent le glissement partiel des interfaces de contact. Il résulte de ce glissement, une dissipation par frottement qui est une source majeure d’amortissement des structures aéronautiques. Le niveau vibratoire d’un système est directement lié à son amortissement, c’est à dire à sa capacité à dissiper ou à accumuler de l’énergie. Dans le domaine du transport, entre autres, les vibrations sont néfastes car elles nuisent au confort des usagers ou à l’intégrité des structures. Le bon dimensionnement des assemblages est donc de nature à améliorer le comportement vibratoire des systèmes mécaniques. Actuellement, les outils de calcul numériques permettent d’estimer assez précisément les modes et fréquences propres d’une structure à priori mais l’amortissement, c’est à dire le niveau vibratoire, reste une donnée mesurée, à postériori au travers d’essais coûteux. Ceci s’explique par le caractère multi-échelle et la complexité des problèmes de contact. Ainsi, le comportement dynamique des assemblages reste un sujet d’étude très privilégié. Les travaux de cette thèse cherchent à répondre de manière pratique au besoin de produire des modèles réduits de structures assemblées pour la dynamique.
communications
Articles de revues :
[1] H. Festjens, G. Chevallier, F. Renaud, J.L. Dion, and R. Lemaire. Ef-fectiveness of multilayer viscoelastic insulators to prevent occurrences of brake squeal : A numerical study. Applied Acoustics, 73(11) :1121–1128, November 2012.
[2] J.L. Dion, C. Stephan, G. Chevallier, and H. Festjens. Tracking and remo-ving modulated sinusoidal components : A solution based on the kurtosis and the extended kalman filter. Mechanical Systems and Signal
Proces-sing, 2013.
[3] H. Festjens, G. Chevallier, and J.L. Dion. A numerical tool for the design of assembled structures under dynamic loads. International Journal of
Mechanical Sciences, 2013.
[4] H. Festjens, G. Chevallier, and J. L. Dion. Nonlinear model order reduction of jointed structures for dynamic analysis. Journal of Sound and Vibration, 333(7) :2100–2113, March 2014.
Colloques internationaux :
[1] JL Dion, G Chevallier, N Peyret, F Renaud, and H Festjens. Optimiza-tion of the spectral kurtosis for harmonic component detecOptimiza-tion. In
Inter-national Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference (IDETC/CIE). ASME, 2011.
[2] H. Festjens, G. Chevallier, and J.L. Dion. A numerical quasi-static me-thod for the identification of frictional dissipation in bolted joints. In
International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference (IDETC/CIE), pages 353–
358. ASME, August 2012.
[3] H. Festjens, G. Chevallier, and J.L. Dion. Numerical investigations on mo-dal microsliding dissipations in built-up structures. In INTER-NOISE and
NOISE-CON Congress and Conference Proceedings, volume 2012, pages
4769–4777. Institute of Noise Control Engineering, 2012.
[4] G. Chevallier, H. Festjens, F. Renaud, and J.-L. Dion. Pressure measure-ment sensor for jointed structures. In Special Topics in Structural
Dyna-mics, Volume 6, Conference Proceedings of the Society for Experimental
Mechanics Series, pages 383–388. Springer New York, January 2013. [5] H. Festjens, G. Chevallier, and J.L. Dion. Model order reduction of
as-sembled structures for dynamic analysis-detc2013-12971. In International
Ce travail de thèse n’aurait évidement pas été possible sans la compétence et l’énergie de mes encadrants. Je souhaite les remercier tout particulièrement. Merci à Gaël Chevallier qui m’a initié au monde de la recherche, guidé tout au long de la thèse et a su révéler mes qualités de scientifique.
Merci à Jean-luc Dion pour sa pédagogie, pour avoir guidé mes travaux et pour son envie de toujours apporter la contradiction enrichissante.
Pour ces raisons, pour leur disponibilité et leur compréhension, je veux leur faire part de toute mon estime et de mon admiration.
Je souhaite aussi remercier :
Mon jury de thèse d’avoir accepté de lire et de juger mon travail,
La direction du LISMMA de m’avoir accueilli dans les locaux de Supmeca, Les membres académiques et industriels du projet MAIAS,
Imad Tawfic pour avoir accepté la direction de ma thèse, Cyrille Stephan de m’avoir permis de comprendre Kalman,
Franck Renaud pour les compétences qu’il m’a transmis naturellement, Nicolas Peyret et son microslip,
Fatma Abid de m’avoir supporté si gentiment, Rémi Binois pour son amitié,
Véronique Da Silva et Christelle Compagnon pour leur travail, Abdelghani Larbi et Salem Toumi pour avoir fabriqué mes manips,
Christophe Ben Brahim et Arkadiusz Kosecki pour leur aide indispensable, Les acousticiens de travailler sur des problèmes linéaires,
L’équipe de tribologie pour leur café, leur profilomètre et leurs mots croisés.
Les liaisons boulonnées ou rivetées sont, en apparence, l’un des systèmes méca-niques parmi les plus simples qui soient. La fonction première de ces éléments est d’assurer un encastrement rigide entre les composants qu’ils assemblent. Le dimensionnement de ces pièces aux efforts statiques nominaux est un pro-blème assez largement résolu. Néanmoins, ces composants suscitent l’intérêt des ingénieurs et chercheurs depuis plus de 50 ans. Ce paradoxe s’explique en partie par l’amortissement important que ces liaisons produisent au sein des structures.
Les efforts subis par les liaisons d’assemblages provoquent le glissement par-tiel des interfaces de contact. Il résulte de ce glissement, une dissipation par frottement qui est une source majeure d’amortissement des structures aéro-nautiques, voir [Ung73]1, [Gro85], [GN01]. Le niveau vibratoire d’un système
est directement lié à son amortissement, c’est à dire à sa capacité à dissiper ou à accumuler de l’énergie. Dans le domaine du transport, entre autres, les vibra-tions sont néfastes car elles nuisent au confort des usagers ou à l’intégrité des structures et des composants qu’elles embarquent. Le bon dimensionnement des assemblages est donc de nature à améliorer le comportement vibratoire des systèmes mécaniques. Actuellement, les outils de calcul numériques per-mettent d’estimer assez précisément les modes et fréquences propres d’une structure a priori mais l’amortissement, c’est à dire le niveau vibratoire, reste une donnée identifiée, à postériori au travers d’essais coûteux. Ceci s’explique par le caractère multi-échelle du phénomène de glissement partiel. Ainsi le comportement dynamique des liaisons rivetées et vissées reste un sujet d’étude très privilégié. Les travaux de cette thèse cherchent à répondre de manière pra-tique au besoin de produire des modèles réduits de structures assemblées pour la dynamique.
Un état de l’art est proposé dans le premier chapitre. Il y est notamment présenté le principe de mode linéarisé équivalent sous les hypothèses simpli-ficatrices de faible non-linéarité et de découplage modal. Ce cadre est celui sous lequel se place les thèses de Heller [Hel05], Caignot [Cai09] et Peyret [Pey12]. La première partie de la thèse repose sur cette approche. Le chapitre 2 est une illustration, appliquée à un cas élémentaire, des principes fonda-mentaux présentés dans le premier chapitre. Les chapitres 3 et 4 présentent respectivement deux méthodes d’identification des structures au travers de
l’estimation des paramètres modaux équivalents ; l’une est une formulation de filtre de Kalman qui est appliquée aux études expérimentales, l’autre est une méthode de simulation à faible coût basée sur une écriture quasi-statique qui est appliqué au calcul éléments finis. Le chapitre suivant est une analyse de l’influence de divers paramètres physiques sur le comportement dynamique des assemblages. Cette étude expérimentale est basée sur la caractérisation de bancs d’essais élémentaires.
La seconde partie traite le problème de couplage modal. Une méthode de réduction basée sur le principe original de "sollicitations principales" constitue une alternative pragmatique à l’approche modale. Cette technique, développée au chapitre 6, permet notamment l’identification des liaisons à une échelle locale tout en conservant les principales propriétés dynamiques de la structure complète. Les mouvements principaux sont associés à des macro-modèles qui sont utilisés pour représenter le comportement global d’une liaison sous un chargement donné. Dans le dernier chapitre, une formule analytique reliant la dépendance à l’amplitude de la fréquence et de l’amortissement permet de vérifier si le modèle de Iwan peut être employé pour un cas donné. Une étude expérimentale, permettant d’évaluer l’importance du couplage modal, est finalement présentée.
Les travaux développés aux chapitres 4, 6 et 7 ont fait, ou sont en cours de faire l’objet de publications dans différentes revues scientifiques. La forme des articles est conservée ici, ce qui signifie notamment que ces chapitres sont rédigés en anglais, intègrent une courte bibliographie et peuvent être, très ponctuellement, redondants avec ce qui est présenté par ailleurs.
Résumé 3 Abstract 5 Publications et conférences 7 Remerciements 9 Introduction 11 1 État de l’art 17 1.1 Introduction . . . 18
1.2 Les différentes approches de modélisation . . . 22
1.2.1 Modélisation du phénomène de glissement partiel . . . . 23
1.2.2 Modèles de liaison phénoménologiques . . . 27
1.3 Études expérimentales . . . 34
1.3.1 Comportement faiblement non-linéaire des structures . . 35
1.3.2 Hypothèse de découplage modal . . . 41
1.3.3 Cas de Metherell et Diller . . . 42
1.3.4 Problème de Goodman et Klumpp et autres cas . . . 44
1.3.5 Techniques de traitement du signal . . . 44
1.4 Positionnement des travaux de la thèse . . . 47
Bibliographie du chapitre 1 . . . 48
2 Dynamique modale 55 2.1 Rhéologie associée à un mode d’une structure assemblée . . . . 56
2.2 Paramètres modaux équivalents . . . 57
2.2.1 Balance harmonique . . . 59
2.2.2 Calcul des paramètres équivalents . . . 63
2.2.3 Calcul de la réponse harmonique à partir du modèle équivalent . . . 65
Bibliographie du chapitre 2 . . . 69
3 Filtrage de Kalman 71 3.1 Estimation des paramètres modaux . . . 72
3.2 Filtrage de Kalman . . . 74
3.2.1 Principe . . . 74
3.2.3 Extension du filtrage de Kalman aux systèmes
non-linéaires . . . 76
3.2.4 Filtrage de Kalman étendu et unscented . . . 78
3.2.5 Plusieurs capteurs - plusieurs modes (MIMO) . . . 82
3.2.6 Initialisation du filtre de Kalman . . . 84
3.3 Mise en œuvre et vérification de la méthode . . . 86
3.3.1 Systèmes à un degré de liberté - mesure de déplacement 86 3.3.2 Systèmes à plusieurs degrés de libertés - mesures d’ac-célération bruitées . . . 90 3.4 Conclusion . . . 94 Bibliographie du chapitre 3 . . . 95 4 Simulations locales 97 4.1 Préambule . . . 98 4.2 Introduction . . . 100 4.3 Governing equations . . . 101
4.3.1 Computation of the linear mode basis . . . 101
4.3.2 Model reduction . . . 102
4.4 Amplitude-dependant mode shape . . . 104
4.4.1 Open loop algorithm . . . 104
4.4.2 Closed loop algorithm . . . 105
4.5 Computation of the dynamic parameters . . . 107
4.5.1 Computation of the dissipated energy with the use of the Masing rules . . . 107
4.5.2 FEP and DEP . . . 108
4.5.3 Dynamic behavior of the structure . . . 109
4.6 Example: the lap-joint benchmark . . . 109
4.6.1 The model . . . 110
4.6.2 The dynamic simulation . . . 112
4.6.3 Results . . . 113
4.6.4 Discussion . . . 114
4.7 Conclusion . . . 117
Bibliographie du chapitre 4 . . . 118
5 Essais de caractérisation 121 5.1 Bancs d’essais de caractérisation . . . 122
5.2 Montage lap-joint encastré-libre . . . 123
5.2.1 Géométrie - conditions et moyens d’essais . . . 123
5.2.2 Résultats d’essais . . . 125
5.2.3 Couplage modal . . . 129
5.2.4 Répétabilité . . . 130
5.2.5 Corrélation essais-calculs . . . 131
5.3 Liaison SSS du SYLDA5 . . . 134
5.4 Banc d’essai lap-joint en H . . . 136
5.4.1 Géométrie - conditions et moyens d’essais . . . 136
5.4.2 Répétabilité . . . 138
5.4.3 Résultats d’essais . . . 140
5.5 Conclusion et perspectives . . . 147
Bibliographie du chapitre 5 . . . 148
6 Sollicitations principales 149 6.1 Préambule . . . 150
6.2 Introduction . . . 152
6.3 Reduced order formulation . . . 153
6.4 Identification of the joint rheology . . . 155
6.4.1 The test bench structure . . . 155
6.4.2 The joint mode basis . . . 156
6.4.3 Reduction on macro-models . . . 157
6.4.4 Identification of the macro-models . . . 158
6.4.5 Alteration of the mode shape . . . 159
6.4.6 Inclusion of the macro-models in the whole model . . . 160
6.5 Example: clamped-free jointed beams . . . 161
6.5.1 The whole structure . . . 161
6.5.2 Identification of the bolted-joint . . . 162
6.6 Results and discussion . . . 167
6.6.1 ROMs versus FULL order model . . . 167
6.6.2 Validity of the PJSB . . . 171 6.7 Conclusion . . . 173 Bibliographie du chapitre 6 . . . 174 7 Modèles de Iwan 177 7.1 Préambule . . . 178 7.2 Introduction . . . 179
7.3 Definition of a generic macro-model for joints . . . 180
7.3.1 Test bench . . . 180
7.3.2 Low amplitude linearization . . . 181
7.3.3 Weak non-linear assumption . . . 182
7.3.4 The generic form of macro-model . . . 183
7.4 Identification of the joint dynamic . . . 184
7.4.1 Identification of the equivalent parameters with Kalman filters . . . 184
7.4.2 Equivalent frequency and damping properties of the Iwan oscillator . . . 184
7.5 Experimental investigations . . . 189
7.5.1 Experimental setup . . . 189
7.5.2 Estimation of the equivalent parameters . . . 192
7.5.3 Iwan oscillator versus experiments . . . 196
7.6 Modal de-coupling assumption . . . 200
7.6.1 Modal coupling . . . 200
7.6.2 Experimental investigations . . . 200
7.7 Conclusion . . . 205
Bibliographie du chapitre 7 . . . 206
Annexe 215
État de l’art
Sommaire1.1 Introduction . . . . 18 1.2 Les différentes approches de modélisation . . . . . 22 1.2.1 Modélisation du phénomène de glissement partiel . . 23 1.2.2 Modèles de liaison phénoménologiques . . . 27 1.3 Études expérimentales . . . . 34 1.3.1 Comportement faiblement non-linéaire des structures 35 1.3.2 Hypothèse de découplage modal . . . 41 1.3.3 Cas de Metherell et Diller . . . 42 1.3.4 Problème de Goodman et Klumpp et autres cas . . . 44 1.3.5 Techniques de traitement du signal . . . 44 1.4 Positionnement des travaux de la thèse . . . . 47 Bibliographie du chapitre 1 . . . . 48 −1 −0.5 0 0.5 1 −2 −1 0 1 2 σ=1, α=0.1, β=0.9, n=1 −1 −0.5 0 0.5 1 −2 −1 0 1 2 σ=1, α=0.1, β=0.9, n=2 −1 −0.5 0 0.5 1 −2 −1 0 1 2 σ=1, α=0.9, β=0.1, n=1 −1 −0.5 0 0.5 1 −2 −1 0 1 2 σ=0.2, α=0.4, β=−0.8, n=1 Résumé
1.1 Introduction
Les liaisons d’assemblage ont pour fonction d’assembler rigidement plusieurs éléments d’une structure mécanique. Les efforts entre les pièces de liaison sont transmis au travers d’un certain nombre d’interfaces. Ces pièces sont main-tenues en contact à l’aide de systèmes de vis-écrous ou de rivets. À l’échelle macroscopique, les efforts de contact entre deux surfaces nominalement planes résultent d’une part de la condition de non-interpénétration dans la direction normale et d’autre part de la force de frottement dans le plan tangentiel qui ne peut pas excéder une fraction de la force normale. Cette valeur maximale n’est atteinte qu’à l’état de glissement total des interfaces entre elles. Les pièces d’assemblages sont dimensionnées de façon à ce que les efforts qu’elles subissent n’engendrent pas le glissement total des interfaces. Ainsi la dissi-pation par friction dans les assemblages est due au glissement partiel d’une faible portion des interfaces tandis que la majeure partie du contact reste en adhérence.
La figure 1.1 présente l’usure de l’interface de contact d’une liaison d’assem-blage. Cette détérioration est caractéristique de la dissipation d’énergie par frottement.
Figure 1.1 – Usure caractéristique d’une interface de contact signifiant la dissipation d’énergie par frottement.
La figure 1.2 est un zoom sur l’encadré blanc de la figure précédente. On y voit l’usure caractéristique d’une interface de contact autour d’un trou de vis.
Ce profil d’usure permet de présenter quelques caractéristiques élémentaires de ce phénomène de glissement partiel. Tout d’abord, rappelons que les efforts de friction ne peuvent exister que dans les zones où la force normale est non-nulle. Lorsque deux pièces sont serrées entre elles, le contact ne s’établit pas de manière uniforme mais est localisé sous les têtes de vis comme on peut le voir sur la figure 1.1. La répartition de pression de contact à l’interface peut être calculée analytiquement dans l’hypothèse de matériaux élastiques et de surfaces idéalement planes, voir [Gui97]1, [CM77]. Ces études montrent
que la pression de contact est maximale au bord du trou et qu’elle s’annule à
Figure 1.2 – Usure caractéristique d’une interface de contact autour d’un trou de vis.
partir d’un certain rayon à partir duquel il y a décollement des interfaces. En réalité, les surfaces de contact des pièces métalliques possèdent des défauts. On voit nettement ici que l’usure ne s’est pas produite uniformément à rayon identique mais est localisée sur les stries d’usinage.
Les efforts de contact entre deux pièces métalliques s’exercent au travers de micro-irrégularités, appelées aspérités qui sont dues à la matière elle même, aux procédés d’obtention ainsi qu’aux outils d’usinage. On distingue classi-quement six différents ordres de défauts de surface, de la plus petite échelle à la plus grande :
– Ordre 6 - Les défauts du réseau cristallin : Dislocation - Échelle 1e-9m. – Ordre 5 - Les défauts de structure cristalline : Terrasse, crête ou
Décroche-ment - Échelle : de 1e-9 à 1e-7m.
– Ordre 4 - Les défauts localisés : marque d’outil, arrachement, fente, piqûre - Échelle : de 1e-6 à 1e-5m
– Ordre 3 Les stries et sillons : défauts périodiques ou pseudopériodiques -Échelle : l’écart entre les crêtes est compris entre 0,02 et 0,5 mm
– Ordre 2 - L’ondulation : idem - Échelle : l’écart entre les crêtes est compris entre 0,5 et 2,5 mm
– Ordre 1 - Les écarts de forme : défauts de planéité, de rectitude, de circu-larité, etc. - Échelle : macroscopique
fraction de la surface nominale et ceci indépendamment de la force de serrage. Les forces de frottement héritent elles aussi de cette propriété et le glissement partiel se produit à différentes échelles au sein des interfaces de contact. Afin de mettre en évidence le principe de glissement partiel, nous considé-rons désormais un essai de frottement élémentaire. La figure 1.3 présente un moyen de d’essai appelé "tribomètre de fretting" qui permet de carac-tériser plusieurs aspects du contact frottant notamment l’usure et la fatigue par micro-glissement. Il s’agit ici d’un contact élémentaire plan entre un pion cylindrique et une piste. L’effort normal est constant. La piste est reliée rigide-ment au bâti et le pion est soumis à un effort transverse appliqué à l’aide d’un pot vibrant. La figure 1.4 montre trois courbes d’hystéresis caractéristiques.
(a)
(b)
(c)
Etats de glissement de l’interface:
Cycles stabilisés dans le plan Effort-Déplacement:
: zone d’adhérence : zone de glissement
Figure 1.4 – Les différents régime du contact frottant.
Le régime de glissement partiel est visible pour des amplitudes de chargement d’amplitude supérieures. Pour ce second cas, on observe un assouplissement lié au glissement des interfaces. Cependant la perte de charge n’est que par-tielle puisque la raideur instantanée ne s’annule pas au cours d’un cycle. Le régime de glissement partiel se traduit physiquement par la perte d’adhérence d’une partie de l’interface. Il est courant de distinguer un régime intermédiaire appelé "micro-glissement" correspondant au glissement des micro-aspérités de la surface rugueuse sans perte d’adhérence à l’échelle macroscopique. Cet état peut être vu comme l’amorce du cas de glissement partiel. Notons cependant qu’il n’existe pas dans la littérature de frontière clairement définie entre ces deux états qui sont souvent confondus. Lorsque toutes les aspérités d’une portion de contact glissent, alors la sous partie est elle-même en état de glis-sement.
gran-deur géométriques qui déterminent le comportement des interfaces de contact (compris entre 1e-9m et 1e-3m) sont immensément moindres que celle de la structure complète (de l’ordre du mètre). Il en est de même pour les temps caractéristiques. Les grandes structures peuvent de surcroit être composées d’une grande quantité de liaisons et donc d’un nombre immense d’interfaces de contact. On mesure ainsi pourquoi il est si difficile d’intégrer le comporte-ment des liaisons dans le calcul des vibrations de grande structures.
1.2 Les différentes approches de
modélisa-tion
Nous distinguons ici deux familles de travaux traitant du comportement dy-namique des liaisons :
– La première est l’étude des efforts régissant la physique du contact. Cette approche nécessite la mesure des propriétés fondamentales des matériaux ainsi que celle des états microscopiques des surfaces en contact. Cette branche de la mécanique appelée tribologie vise à fournir des modèles in-dépendants de la géométrie nominale des pièces. Les modèles obtenus sont très réalistes par rapport à la physique fondamentale mais possèdent gé-néralement un grand nombre de paramètres. On parle de modèle a priori,
physics-based ou encore de modèle white box.
– La seconde approche consiste à construire des modèles globaux ou "macro-modèles" afin de réduire la liaison à son mouvement d’ensemble sous un chargement donné. Ces modèles ne sont généralement pas dérivés de lois fondamentales mais sont simplement basés sur l’observation empirique du comportement dynamique des liaisons. L’objectif final de ces modèles est donc de fournir une approximation acceptable des liaisons permettant le calcul à moindre coût. Les paramètres de ces modèles sont recalés à partir d’essais expérimentaux ou numériques. Les mesures de caractérisation sont le plus communément réalisées sur un banc d’essai élémentaire contenant la liaison isolée de la structure qu’elle assemble. Il est aussi possible simuler ces essais à l’aide d’un modèle white box. Ces modèles empiriques sont cou-ramment appelés modèles phénoménologiques, "macro-modèles" ou encore modèles grey box.
1.2.1 Modélisation du phénomène de glissement
par-tiel par la physique du contact
Travaux analytiques fondateurs et autres études analytiques
Les premiers travaux cherchant à modéliser le phénomène de glissement partiel dans les assemblages remonte aux années 50 et sont dus à Goodman et Klumpp [GK56].
Le problème de Goodman et Klumpp consiste en l’étude de deux poutres encastrées-libres serrées l’une contre l’autre sous un char-gement uniforme et soumises à un effort tranchant appliqué de ma-nière quasi-statique, voir figure 1.5 (a). Metherell et Diller [MD68] résolvent avec une approche similaire le cas de deux poutres che-vauchées pré-chargées uniformément et soumises à un effort latéral, voir 1.5 (b). En anglais, ce cas d’étude est communément appelé shear
lap-joint, voir figure 1.5. Earles [Ear66] étudie aussi le régime de macro-glissement
pour lequel les rivets subissent du cisaillement.
(a)
(b)
Figure 1.5 – (a) Modèle de Goodman et Klumpp (GK)- Modèle de Metherell et Diller (MD) - Source [PDCA10].
Ces études analytiques supposent l’interface de contact idéalement plane et le frottement est localement supposé suivre la loi de frottement de Coulomb. Sous l’action de l’effort (tranchant dans le premier cas (a), de traction dans le second (b)), une contrainte de cisaillement se produit le long de l’interface. Le cisaillement n’est pas uniforme et le glissement apparait dans la zone où la contrainte tangentielle atteint la limite d’adhérence égale à la pression p multipliée par le coefficient de frottement µ. L’interface se divise donc en une zone d’adhérence au centre de la liaison et une zone de glissement aux extrémités comme on peut le voir sur la figure 1.6.
Figure 1.6 – Glissement partiel dans une interface de contact - Source [SM05].
traduit le processus de dissipation par friction. Goodman et Klumppp puis Metherell et Diller ont par ailleurs établi une relation identique liant la force appliquée et la dissipation par cycle D. Celle ci évolue théoriquement comme le cube de la force de chargement D ∝ F3. Ces deux cas d’études ont fait date
dans la communauté des chercheurs travaillant sur le problème de liaisons d’assemblage. L’approche analytique est encore explorée aujourd’hui, notam-ment avec des hypothèses plus réalistes, voir [Nan06], [DOOO08], [PDCA10]. Notons par exemple que Song [SM05] traite le problème de Metherell et Diller dans le cas d’une répartition gaussienne de pression sous tête de vis, voir fi-gure 1.6. La dissipation par cycle apparait dans ce cas comme une série de puissance de la force d’ordre supérieur ou égal à 3.
Le calcul analytique a l’avantage de proposer une relation directe entre ef-fort et dissipation. Cependant cette approche est hélas restreinte à l’étude de géométries simplistes puisqu’elle consiste à modéliser la liaison comme un espace à une seule dimension. Cette approche n’est donc pas applicable dans le cas de structures industrielles qui possèdent généralement une géométrie complexe avec un grand nombre de singularités tels que des trous ou des arêtes. L’approche numérique par éléments finis permet de régler le problème géométrique.
L’approche éléments finis
[CD05] compare les résultats des deux travaux analytiques précédents, figure 1.5, à un calcul éléments finis afin de montrer les limites de l’approche ana-lytique. Quasiment en même temps et certainement indépendamment, une étude très similaire est proposée dans la thèse de Heller [Hel05]. Un certain nombre de travaux basés sur le calcul quasi-statique et l’hypothèse de frot-tement Coulomb ont montré la force du calcul par éléments finis pour la prédiction de la dissipation d’une liaison sous un chargement donné, voir par exemple [CWRU06], [OOM05]. Les limitations de cette approche sont prin-cipalement liées au caractère multi-échelles de la physique du contact. Tout d’abord, l’approche directe par calcul éléments finis est très coûteuse en temps de calcul. La résolution des problèmes non-linéaires nécessite classiquement une étape de recherche de solution à l’aide d’algorithmes itératifs de type Newton-Raphson. Le problème de contact demande en plus un maillage ex-trêmement fin des interfaces de contact, ce qui pose par ailleurs des problèmes de stabilité numérique [BRS+11]. D’autres algorithmes de résolutions
multi-échelles peuvent être employés afin de répondre à ce problème, voir [Cai09]. Malgré la progression exponentielle des capacités de calcul, il n’est pas envi-sageable, au moins dans une phase de conception, de résoudre les problèmes de dynamique en intégrant la rhéologie locale tant les modèles seraient lourds et difficile à construire. Notons néanmoins que Mayer et Gaul proposent une formulation d’éléments finis de contact sans épaisseur appelé zero-thickness
elements limités au cas de faible glissement [MG07]. Ces éléments intègrent
un modèle phénoménologique de contact permettant de mailler les interfaces assez grossièrement. Ces éléments ont pour vocation de réduire le temps de calcul et donc d’être directement utilisables pour la dynamique des struc-tures. Une revue des différentes approches de modélisation des interfaces et des liaisons notamment par éléments finis peut être trouvée dans [BRS+11].
La seconde grande difficulté de la modélisation est l’incertitude sur l’estima-tion des paramètres physiques [IP05]. Par exemple, il est communément admis qu’une donnée aussi simple que l’effort de serrage imposé par une vis est esti-mée (à partir du couple de serrage) avec une marge d’erreur de 20%. L’erreur la plus importante est certainement celle de l’hypothèse de frottement de Cou-lomb. Le frottement de Coulomb est la modélisation la plus simple de la force de frottement. Ce problème peut être en partie contourné par une analyse paramétrique, voir [Hel05] ou [RCB11]. Ce type d’étude permet généralement de borner l’espace des solutions mais reste relativement coûteuse en temps de calcul.
Le prochain chapitre propose quelques éléments de tribologies et les avancées récentes appliquées au cas de liaisons d’assemblage.
Éléments de tribologie
entre deux sphères élastiques soumises à un chargement normal. Sous l’hy-pothèse de non-interpénétration, la force normale suit une loi proportionnelle à l’enfoncement à la puissance 3/2. Les travaux de Mindlin [Min49] élar-gissent cette théorie au cas du contact frottant sous l’hypothèse de glissement de Coulomb. Sous un chargement normal constant et une force tangentielle croissante, un anneau de glissement se produit dans la bordure extérieure du cercle de contact comme présenté à la figure 1.4. Ainsi le phénomène de glis-sement partiel apparait au sein même des aspérités en contact. La théorie de Mindlin à été mise en œuvre dans la thèse de Peyret [Pey12] pour estimer la dissipation d’une interface contenant un nombre finis d’aspérités. Peyret dis-tingue notamment deux classes d’aspérités : celles dont les ordres de défauts sont les plus bas se comportent comme les points d’adhérence de la surface ; celles d’ordre plus élevés sont principalement responsables de la dissipation. La modélisation des surfaces rugueuses nominalement planes (i.e. celles pour lesquelles les principaux défauts sont d’ordre 3 et 4) introduite par Green-wood et Williamson en 1966 [GW66] est largement admise [BDPH13]. Cette approche consiste à décrire les surfaces nominalement planes comme une col-lection N d’aspérités arrondies de même rayon de courbure R et de hauteur variable. La hauteur des aspérités est déterminée par une densité de probabi-lité assumée suivre une loi normale centrée d’écart type σ. Il existe d’autres modèles de ce type basés sur différentes normes de rugosité ou d’ondulation, voir [RV]. L’approche statistique permet de calculer la résultante de la force normale de contact sous un chargement uniforme à l’aide d’un nombre limité de paramètres d’états de surface en plus des paramètres matériaux. Par la suite, plusieurs études ont permis d’étendre cette approche statistique au cas du contact frottant, voir par exemple [Bjo97].
Cette extension permet récemment à Argatov et Butcher [AB11] de résoudre analytiquement le problème de Metherell et Diller, voir figure 1.5(b), dans le cas du contact rugueux. Farhang et al. [FSS11] proposent des formulations par éléments finis qui intègrent ces considérations tribologiques. L’index de plas-ticité permet de prendre en compte simultanément la dissipation par glisse-ment partiel des aspérités ainsi que leur déformation plastique, voir [CEB87], [EPB11]. L’approche classique de l’étude du fretting vise à caractériser l’en-dommagement des surfaces. L’objectif des travaux de Eriten [Eri12] est de construire des modèles de surfaces recalés à partir d’essais de fretting élé-mentaires afin d’estimer la dissipation par micro-glissement au sein de liaison complètes.
statis-tique est en outre basée sur une hypothèse de pression de contact uniforme. Il est clair sur cette image que l’éloignement entre deux aspérités est d’un ordre de grandeur non-négligeable devant les gradients de contrainte sous la tête de vis. Une approche statistique peut donc être limitée par le faible nombre d’aspérités en contact pour les ordres de défauts les plus petits. Notons fina-lement que d’autres phénomènes complexes, de micro-impacts [JAP11] et de plasticité localisés au lieu des arrêtes de liaisons [WO08], peuvent eux aussi jouer un rôle important dans la dissipation des liaisons.
Le contact est un phénomène très complexe faisant intervenir différentes échelles de description et plusieurs phénomènes de dissipation. Ainsi la tri-bologie est une science fortement liée à l’expérimentation. La caractérisation des paramètres du contact nécessitent par ailleurs des moyens d’essais difficiles à mettre en œuvre et une expertise spécifique. La prédiction de la dissipation d’une liaison à partir des efforts de contact recalés à partir d’essais de fretting est une approche possible qui cependant n’est pas le sujet de cette thèse. Une approche alternative est celle des modèles phénoménologiques.
1.2.2 Modèles de liaison phénoménologiques
Revue des modèles courants
Il existe un certain nombre de macro-modèles permettant d’approcher de ma-nière globale les problèmes de contact frottant et plus généralement les pro-blèmes d’élasto-plasticité. La plupart de ces modèles ne sont pas dérivés de lois physiques fondamentales mais sont simplement basés sur l’observation empirique de la relation entre déplacements et efforts. Le modèle de Dahl [Dah68] a été introduit en 1968 afin de décrire de manière compacte le com-portement des roulements à billes. Sous sa forme classique, c’est un modèle à deux paramètres : rmax est la valeur de force en glissement total et σ la
raideur à l’origine. Un paramètre de pondération 0 < γ ≤ 1 permet aussi d’ajuster la forme de la courbe d’hystérésis. Ce modèle s’écrit sous la forme d’une équation différentielle :
dr dp = σ 1 − r rmax sign( ˙p) γ (1.1) Notons que la force r n’est pas dépendante de l’amplitude de la vitesse mais seulement de son signe. Ainsi la force de frottement ne dépend que de l’am-plitude de déplacement. La figure 1.7 présente la forme des cycles de force-déplacement produit par le modèle de Dahl. On peut notamment y voir la dépendance du modèle au paramètre γ. Trois cycles d’hystéresis sont calculés à partir de l’état initial nul.
−1 −0.5 0 0.5 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 σ=1, r max=1, γ=1 −1 −0.5 0 0.5 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 σ=1, rmax=1, γ=1/2
Figure 1.7 – Cycles d’hystérésis produits par le modèle de Dahl. est particulièrement adapté pour la modélisation des problèmes de contact lubrifiés.
Le modèle de Bouc-Wen à quatre paramètres σ α, β, n permet de produire une très large variété de forme d’hystérésis dépassant le cas des problèmes de type élasto-plastiques, voir figure 1.8. Il est notamment possible de simuler des comportements rigidifiants comme présenté dans le cadre en bas à droite. Cette grande variété de forme vaut à ce modèle d’être utilisé pour des appli-cations très diverses (e.g. amortisseurs à fluide électrorhéologique ou métaux à mémoire de forme [KHN+07]). Dans sa formulation originale, la dérivée
par rapport au temps de la force de retour hystérétique satisfait à l’équation suivante :
˙r = σ ˙p − α| ˙p||r|n−1r − β ˙p|r|n (1.2)
Notons que les paramètres du modèles de Bouc-Wen n’ont pas de sens phy-sique évident, ce qui peut être perçu comme un défaut important. Une revue détaillée, de ces modèles peut être trouvée dans la publication, écrite en Fran-çais, de Borsotto [BB06].
−1 −0.5 0 0.5 1 −2 −1 0 1 2 σ=1, α=0.1, β=0.9, n=1 −1 −0.5 0 0.5 1 −2 −1 0 1 2 σ=1, α=0.1, β=0.9, n=2 −1 −0.5 0 0.5 1 −2 −1 0 1 2 σ=1, α=0.9, β=0.1, n=1 −1 −0.5 0 0.5 1 −2 −1 0 1 2 σ=0.2, α=0.4, β=−0.8, n=1
Figure 1.8 – Cycles d’hystéresis générés par le modèle de Bouc-Wen. Ces modèles peuvent être intégrés très simplement dans un système d’équa-tions du second ordre. Considérons par exemple la dynamique d’un oscillateur à un degré de liberté (SDOF) de masse unitaire et de raideur ω2
∞+σ. En
rem-plaçant la raideur σ par le modèle de Dahl, on obtient le système d’équations différentielles gouvernant la dynamique de l’oscillateur de Dahl à un degré de liberté : ( ¨ p + ω2∞p + r = fe(t) ˙r = σ1 − r rmaxsign( ˙p) γ ˙p (1.3)
Notons que la raideur ω2
∞+ σ est la raideur à l’origine correspondant à l’état
d’adhérence.
Règles phénoménologiques de Masing
leur écriture semblent en faire de très bons candidats pour la modélisation des liaisons. Cependant les courbes d’hystéresis générées par ces modèles ne respectent pas une propriété fondamentale à priori vraie dans les problèmes de type élasto-plastiques. Cette loi initialement conçue pour décrire le comporte-ment plastique des matériaux porte le nom de Masing [Mas26]. Elle prévoit qu’un cycle d’hystéresis dans le plan de contrainte-déformation peut être extrapolé à partir de la charge initiale (dite courbe backbone). Le chemin de l’hystérésis obtenu lors d’un chargement cyclique est une homothétie de facteur 2 de la courbe backbone (avec l’origine décalée au point d’inversion de charge). Cette règle est identique pour le cas de la force de frottement dans le plan de force-déplacement comme sché-matisé sur la figure 1.9. La règle de Masing est calquée sur le comportement
Force Chargement initial
courbe backbone Extrapolation des régimes stabilisés avec les règles de Masing
Amplitude
Figure 1.9 – Principe des règles de Masing.
de l’élément de Coulomb (aussi appelé élément de Masing ou élément de Jen-kins). Celui-ci est composé de l’association en série du frotteur de Coulomb de coefficient de frottement µ et de la raideur σ. Comme les modèles précé-dents, cet élément possède une variable interne, ici pj qui traduit la position
du frotteur de Coulomb. La relation entre la force de serrage (force normale
Fn), la force de frottement r, le déplacement imposé et pj est la suivante : (
si σ|p − pj| < µFn, alors r = σ|p − pj| et p˙j = 0
sinon, r = µFnsign(p − pj) et σpj = σp − µFnsign(p − pj)
Modèle physique:
Cycle d’hystérésis: Modèle rhéologique:
Courbe « backbone »:
Figure 1.10 – Élément ressort-frotteur de Coulomb - source : [Hel05]. cours d’un cycle de glissement total, la raideur instantanée au point d’inver-sion est égale à la raideur d’adhérence totale. En effet, lorsque la dérivée de la force tangentielle change de signe, la surface reprend toute son adhérence. Le glissement total est obtenu de nouveau lorsque la force de friction atteint son seuil d’adhérence. La règle de Masing n’est rien de plus que ce principe élémentaire généralisé pour des cycles admettant le glissement partiel. Nous venons par ailleurs d’indiquer un corollaire de cette loi : les cycles ob-tenus à différentes amplitudes sont superposables au point d’inversion. C’est cette propriété importante que ne vérifient pas les modèles de Dahl, de LuGre et de Bouc-Wen. En effet la rigidité instantanée au point d’inversion n’est pas la même que celle à l’origine. Dans le cas du modèle de Dahl par exemple, la rigidité instantanée au moment du retournement est plus importante qu’à l’origine, voir figure 1.7. Un tel comportement ne peut pas être attribué à un phénomène physiquement explicable et doit être considéré comme un défaut du modèle. L’oscillateur de Dahl n’est donc pas en mesure d’engendrer en même temps une dissipation par cycle et une fréquence de résonance cohé-rentes avec la physique. Ce point est explicité dans la dernière partie de cette thèse. Ce type de défaut est inhérent aux modèles empiriques qui ne sont pas formulés à partir de principes fondamentaux.
Le modèle d’Iwan
appelé modèle de Masing ou modèle de Maxwell généralisé frottant dans la communauté des automaticiens [ABLS05] (en anglais : generalized
Maxwell-slip model). En héritage de l’élément de Jenkins, le modèle d’Iwan respecte la
Modèle rhéologique: Cycle d’hystérésis:
Figure 1.11 – Modèle d’Iwan - source : Thèse de Heller[Hel05]. règle de Masing. On peut trouver ce modèle sous forme discrète ou continue. Le modèle discret à N éléments, voir figure 1.11, est un modèle à N+1 paramètres distincts. L’unicité de ce modèle est obtenue en fixant la raideur de tous les éléments à une valeur commune σ. Le phénomène de glissement partiel est reproduit en distribuant des valeurs de force de glissement unique à chaque frotteur. Lorsqu’on applique une force croissante, les frotteurs ayant les valeurs les plus basses initient la perte d’adhérence et le glissement total est atteint lorsque tous les frotteurs glissent. Ce modèle est très proche de la physique du contact, chaque élément de Jenkins se comportant comme une aspérité. Dans le cas du modèle d’Iwan continu, une distribution de force de glissement
ϕ est associé à un champ continu de frotteur de Jenkins, voir [Seg01]. Les
paramètres du modèle d’Iwan sont la raideur, commune à tous les éléments, et la distribution de force de glissement. Cette distribution peut être assimilée au champ de pression de contact d’une interface. Le modèle d’Iwan continu est donc une formulation équivalente au problème de Metherell et Diller généralisé (rappel : lap-joint soumis à un chargement transverse et pré-chargé selon une répartition quelconque, voir figure 1.6). Le modèle d’Iwan continu a fait l’objet d’un certain nombre de travaux analytiques visant à relier ses paramètres au cas de Metherell et Diller. Les travaux expérimentaux de Smallwood [SGC00], qui seront explicités par la suite, montrent une relation entre force appliquée F et dissipation par cycle D au sein d’une liaison similaire à celle trouvée analytiquement. Smallwood observe en effet une relation telle que D ∝ Fα
avec cependant α compris entre 2 et 3. Segalman montre que cette même relation de puissance D ∝ F3+χ (avec χ entre -1 et 0), peut être obtenue avec
le modèle d’Iwan en parallèle en prenant une densité de frotteur de la forme
ϕ ∝ φχ [Seg02]. Le modèle de Segalman fait aujourd’hui référence. C’est un
cas particulier du modèle d’Iwan à quatre paramètres (χ, φmax, Fs, , β) : χ
est le paramètre de distribution des frotteurs avant le glissement total, φmax
est une singularité qui définit le déplacement maximal admissible, Fs est la
paramètre d’ajustement. Le modèle de Segalman est, selon son auteur, un modèle suffisant de liaison.
Song [SM05] établit lui aussi une relation d’équivalence entre le modèle d’Iwan en parallèle (en anglais : series-parrallel Iwan model) et le modèle analytique du problème de Metherell et Diller avec une répartition réaliste des contraintes sous tête de vis. De même, Quinn et Segalman [QS05] ont écrit les relations équivalentes entre le modèle d’Iwan en série (en anglais : series-series Iwan
model) et le modèle analytique de lap-joint. Argatov et butcher [AB11] relient
les paramètres statistiques du contact rugueux, à une distribution singulière de frotteur pour le modèle d’Iwan parallèle [AB11].
Retenons qu’il existe des relations équivalentes entre le cas Metherell et Diller généralisé et le modèle d’Iwan. Quinn et Segalman [QS05] ont par ailleurs montré que le modèle d’Iwan en série et en parallèle possèdent elles aussi des relations équivalentes (en quasi-statique). Toutes les dispositions du modèle d’Iwan sont en fait équivalentes. En d’autres termes, il existe une distribu-tion du modèle d’Iwan en parallèle représentant exactement le pro-blème de Metherell et Diller pour des liaisons de n’importe quelle géométrie. Le principe de cette propriété est illustré dans la figure 1.12. Ainsi le modèle continu d’Iwan en parallèle est théoriquement équivalent à toutes les géométries de liaisons soumises à une force normale indépendante de l’am-plitude et un chargement transverse. La simplicité du principe du modèle d’Iwan, sa grande souplesse et sa proximité avec la physique réelle explique l’intérêt grandissant que la communauté des chercheurs porte à son égard, voir notamment [SHM+04], [OOM05], [OOM06] ,[DBBK07] et [AB11].
No-tons que ces études récentes visent à construire des modèles d’Iwan de liaison à partir de la géométrie (i.e. à priori).
Le modèle d’Iwan est donc un choix adapté pour la modélisation du compor-tement des liaisons. Il faut cependant noter que ce modèle repose sur l’hypo-thèse d’une répartition de pression de contact indépendante de l’amplitude :
p(x) = p0(x). En réalité, le champ de pression dépend généralement de
l’am-plitude : p(x, p) = p0(x) + ∆p(x, p). Cette dépendance est plus ou moins
accentuée selon les types de chargements que la liaison subit. Par exemple, cette variation est plus forte dans le cas d’un chargement de flexion plutôt que dans le cas de Metherell et Diller. Rien ne présume donc que le modèle d’Iwan soit bel et bien capable de décrire le comportement dynamique d’une liaison soumise à des chargements qui induisent de fortes variations de la pression de contact ; i.e. ∆p(x, p) non négligeable devant p0(x). Notons qu’il existe des
(...)
(a)
(b)
(c)
Figure 1.12 – Principe d’équivalence des modèles. (a) Modèle physique, (b) Modèle d’Iwan en disposition quelconque proche de la physique , (c) Modèle d’Iwan en disposition parallèle.
1.3 Dynamiques des assemblages et études
expérimentales
fréquence. Ce modèle ne dépend que de l’amplitude de chargement et de son histoire.
Le chapitre présent traite de la dynamique des structures assemblées, de l’ana-lyse vibratoire expérimentale et de l’identification des macro-modèles par les analyses dynamiques. Les méthodes de résolutions des problèmes de dyna-mique non-linéaire ne sont pas traitées dans cette étude, pour cela, se référer par exemple à [Nay08] (méthode de perturbations), [KPGV09] (methode de shooting-continuation), [JSP10] (méthode de balance harmonique adapative).
1.3.1 Comportement faiblement non-linéaire des
struc-tures
La figure 1.13 présente la mesure de la réponse d’une structure assemblée élémentaire à un choc au marteau. Cette structure sera explicitée dans la suite, il s’agit de deux portions de plaques composites assemblées par une liaison boulonnée, appelée liaison SSS, prêtée par le CNES.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -200 0 200 400 600 800 1000 Temps [s] F orce [N] 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -10 -5 0 5 10 15 Temps [s] A ccélér at ion [m/ s²]
101 102 103 10−4 10−2 100 F orce [N] Fréquence [Hz] 101 102 103 10−6 10−4 10−2 100 Fréquence [Hz] A ccélér at ion [m/ s²]
Figure 1.14 – Réponse impultionnelle d’une structure assemblée.
du cadre d’étude de cette thèse.
La dynamique présentée à la figure 1.13 est approximativement assimilable à celle d’un oscillateur libre à un degré de liberté de la forme :
¨
p + ω∞2 p + r(ri, p, θ, t) = 0 (1.5)
La caractérisation de la structure élémentaire et de la liaison SSS consiste en l’estimation de la forme de la force r, c’est à dire sa dépendance à l’amplitude modale de vibration p, éventuellement au temps et à des variables internes pi
ainsi qu’en l’estimation de ses paramètres invariants θ et ω∞. Lorsqu’on se
donne la forme de la force, ou lorsqu’elle est connue, il est possible d’identifier ses paramètres de manière directe en utilisant une approche optimale. Dans le cas des structures linéaires, les paramètres à identifier sont la pulsation et l’amortissement propre. Dans le cas des structures faiblement non-linéaires, le système peut être identifié de manière indirecte en mesurant l’évolution temporelle de la pulsation propre ω(t) et de l’amortissement ξ(t) de la fon-damentale du mode. Les harmoniques d’ordres supérieurs sont négligés. Ces paramètres sont définis comme les paramètres modaux équivalents. Il s’agit de chercher les solutions de l’équation 1.5 sous la forme :
p(t) = p0e−ξ(t)ω(t)tcos
ω(t)q1 − ξ2(t)t + ϕ
= pm(t)cos(Θ(t)) (1.6)
ω et ξ ne sont pas des fonctions oscillantes. L’équation de mouvement est
alors ramenée à celle d’un oscillateur amorti dont les paramètres dépendent explicitement du temps.
¨
p + 2ξ(t)ω(t) ˙p + ω2(t)p = 0 (1.7) L’identification du système consiste alors en l’estimation des fonctions de pa-ramètres modaux équivalents. Ce type d’identification est appelé identification non-paramétrique.
La méthode de filtrage de Kalman, explicitée dans la suite, permet la carac-térisation de ces fonctions de pulsation et d’amortissement. La figure 1.15 montre ces deux fonctions du temps dans le cas de la liaisons SSS.
Le cadre supérieur montre l’évolution temporelle de l’amplitude de vibration ramenée à l’amplitude modale ainsi que son enveloppe pm(t). L’enveloppe est
l’amplitude maximale atteinte au cours d’un cycle, c’est à dire le niveau vibra-toire courant. L’estimation de l’enveloppe permet de donner la dépendance des paramètres modaux équivalent au niveau vibratoire, figure 5.14.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 -4 -2 0 2 4 6xy10 -5 Déplace ment y[ m] Amplitudeyinstantanée Moduleyduysignalyanalytique 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 89 89.5 90 90.5 91 91.5 92 F réqu encey inst ant an néey [Hz] 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0.5 1 1.5 2 Tempsy[s] Rat ioy dT am ort issem ent y[ H] Tempsy[s] Tempsy[s]
néces-0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 xT10-4 89 89.5 90 90.5 91 91.5 92 AmplitudeT[m] F requ enc yT [Hz] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 xT10-4 0 0.5 1 1.5 2 AmplitudeT[m] T auxT d' am ort issem ent T[ %]
Figure 1.16 – Paramètres modaux équivalents en fonction de l’amplitude vibratoire.
saire de mesurer ces grandeurs avec une precision importante étant donné leur impact sur l’amplitude vibratoire des structures.
L’hypothèse de faible non-linéarité peut s’étendre aux systèmes à plusieurs degrés de liberté. Dans ce cas, l’hypothèse simplificatrice de découplage modal est souvent associée afin de se ramener à une somme d’oscillateurs à un degré de liberté.
Soit X le déplacement géométrique discrétisé d’une structure linéaire. L’équa-tion non-amortie de la dynamique de cette structure s’écrit :
M ¨X + KX = Fe (1.8)
Les matrices M et K sont respectivement les matrices de masse et de raideur. Les modes réels φ sont les solutions de l’équation aux valeurs propres du système conservatif associé :
(K − Ω2M)X = 0 (1.9)
Le champ des solutions admissibles X de dimension N peut être identiquement produit par la base des modes propres, soit X =PN
i φiqi = Φq. Les modes
propres φi sont orthogonaux par rapport à M et à K c’est à dire que la
base modale diagonalise ces matrices (i.e. ΦTMΦ et ΦTKΦ diagonales).
En multipliant l’équation 1.12 par la transposée de Φ, le système est ainsi diagonalisé, c’est à dire qu’il peut s’écrire comme une somme d’équations à un degré de liberté découplées. Notons que la déformée d’un mode correspond aussi à un choix de normalisation. Dans le cas où les modes sont normalisés par rapport à la masse (i.e. ΦTMΦ = I), l’énergie de déformation du mode
i est donnée par :
Ep=
1
2ω2iq2i (1.10)
Dans une bande de fréquence finie, le système est réductible à un nombre de degré de liberté généralisé M bien plus faible que le nombre de degré de liberté du système. Les solutions du problème sont approchés par la base dite "réduite" ou "base de Ritz" :
˜ X = M <N X i φiqi = Φrqr (1.11)
Ce concept dépasse le cadre de la dynamique des structures. Typiquement pour des problèmes de statique, la méthode de Guyan [Guy65] permet de produire la synthèse de plusieurs modèles réduits. Dans le cas d’une structure constituée de plusieurs composants, chacun de ces composants est réduit sur une base produite par la déformation statique unitaire de certains degrés de liberté appelés nœuds maitres. Les autres degrés de liberté sont condensés. Dans le cas de la dynamique des structures, il est nécessaire d’enrichir cette base de modes statiques en ajoutant une base de modes propres à interfaces fixes ; c’est la méthode de Craig-Bampton [BC68].
méthodes sont basées sur des approches optimales [Bal96], ou sur le calcul de résidus [Bob02], [VDRBB+10]. Elles permettent d’obtenir des solutions plus
performantes et à moindre coût.
1.3.2 Hypothèse de découplage modal
L’équation amortie de la dynamique d’une structure linéaire s’écrit :
M ¨X + C ˙X + KX = Fe (1.12)
C désigne la matrice d’amortissement du système. En général, la matrice d’amortissement n’est pas diagonalisée par la base des modes réels. L’amor-tissement de Rayleigh consiste à définir la matrice d’amorL’amor-tissement C comme combinaison linéaire de M et K. Cette simplification permet de rendre la base des modes propres orthogonale par rapport à C. La condition d’ortho-gonalisation de l’amortissement est plus généralement donnée par l’équation CM−1K = KM−1C ; c’est hypothèse de Basile. Cette hypothèse correspond
à un amortissement distribué sur toute la structure comme c’est le cas par exemple de l’amortissement des matériaux. Sous cette condition, le système amorti est diagonalisé sur la base des modes réels. En multipliant l’équation 1.12 par la transposée de Φ puis en notant qi l’amplitude modale du mode i,
la ligne correspondante est donnée par :
φTi Mφiq¨i+ φTi Cφi˙qi+ φtiKφiqi= φtiF (1.13)
pu être relevés que pour des amplitudes de vibrations extrêmes pour lesquelles les hypothèses de faible non-linéarité ne tiennent plus vraiment. Ainsi nous supposons les modes réels avec, en première approche l’hypothèse de Basile. Dans ce cas, la réponse d’une structure assemblée peut être supposée comme étant la somme de composantes modale. Dans le cas de vibrations libres amorties d’une structure assemblée, nous cherchons les solutions temporelles sous la forme :
X(t) = M X i p0,ie−ξi(t)ωi(t)tcos ωi(t) q 1 − ξ2 i(t)t + ϕi φi= M X i pm,i(t)cos(Θi(t))φi (1.16)
1.3.3 Cas de Metherell et Diller
Le problème de Metherell et Diller a fait l’objet de plusieurs études expé-rimentales. Ces études sont assez proches de l’essai tribologique élémentaire pion-plan présenté à la figure 1.3 mais dans ce cas, les efforts transverses sont transmis au travers d’une liaison complète. Le chargement transverse peut être appliqué de manière quasi-statique à l’aide d’une poutre céramique pié-zoélectrique par exemple, voir [EPB11], cependant l’approche la plus employée consiste à utiliser la résonance d’un banc d’essai afin de charger fortement la liaison, voir [SGC00], [GIB11], [BRS+11]. Pour les raisons cités dans le
sous-chapitre précédent, la raideur d’une liaison de type lap-joint dans la direction transverse est très importante et un effort important doit être appliqué pour mesurer une dissipation non-négligeable. Les bancs d’essais de résonance sont souvent composés de balourds permettant d’abaisser la fréquence de réso-nance et ainsi d’atteindre des amplitudes de déformation importantes comme on peut le voir sur la figure 1.18.
Le tracé de la différence de déplacement en fonction de la force tangentielle résultante fait apparaitre des courbes d’hystéresis comme présenté dans la figure 1.19.
Cette courbe d’hystéresis traduit le glissement partiel de l’interface de contact. Comme prévu, la partie non-réversible de la force est très faible, comparée à la partie élastique. Dans les limites de sollicitations nominales d’une liaison, la dissipation par cycle est effectivement généralement très faible comparée à l’énergie de déformation de cette même liaison (de l’ordre d’un centième). La mesure de l’effort est effectuée à distance de l’interface de contact et l’élasticité du matériau est incorporée à la mesure. Ainsi il n’est généralement pas possible d’identifier les macro-modèles directement à partir de la forme de l’hystéresis dans le cas des liaisons d’assemblages. C’est pourquoi l’identification des assemblages est couramment réalisée de manière indirecte en mesurant la dépendance de l’amortissement et de la fréquence du système à l’amplitude.
(a)
(b)
(c)
Figure 1.18 – ExpBenchGW - (a) Banc d’essai de Smallwood [SGC00] (b) Banc d’essai de Goyder [GIB11] (b) Banc d’essai de Gaul [BRS+11]
Figure 1.19 – Courbes d’hystéresis traduisant la dissipation - Source [SGC00]
1.3.4 Problème de Goodman et Klumpp et autres
cas
Rappelons que le problème de Goodman et Klumpp consiste en l’étude de deux poutres encastrées-libres serrées l’une contre l’autre sous un chargement uniforme et soumises à un effort tranchant appliqué de manière quasi-statique, voir figure 1.5 (a). Un grand nombre d’études expérimentales traitent le cas de poutres lap-joint en flexion assimilable au problème de Goodman et Klumpp, voir [MBV01], [HSM+04], [SHM+04], [JAM07], [AJ07b], [NFAB+08b], [CB08],
[Cai09], [HFP09], [EKL+13].[SSAD13]. La totalité de ces études utilisent la
résonance d’un banc d’essai afin de charger la liaison selon un mouvement de flexion. Notons que quelques travaux concernent le cas de dissipations dues à la rotation des poutres autour de la liaison, voir [BW77], [OOM06]. La dissipation d’une interface chargée dynamiquement dans la direction normale a aussi été étudiée [HOG02]. Une revue détaillée des différents banc d’essai utilisés peut être trouvée dans [DCP13].
Les hypothèses de faible non-linéarité associées et de découplage modal sont largement acceptées pour l’identification des structures assemblées. Une ap-proche consiste à exciter la structure avec un choc ou par appropriation et de mesurer le décrément libre d’un mode particulier, voir [HSM+04],[HFP09],
[EKL+13], [DCP13], [Cai09], [SSAD13]. Sous ces hypothèses, le lâché
per-met théoriquement d’observer tous les états du système à l’aide d’une seule mesure pour toutes les amplitudes jusqu’à la plus grande (atteinte au début de l’essai).
1.3.5 Techniques de traitement du signal
Les techniques de traitement du signal sont très nombreuses et nous nous contentons ici comme ailleurs de mentionner les travaux appliqués aux cas de structures assemblées. La forme des solutions oscillantes supposés à l’équation 1.16 suppose que les paramètres évoluent avec le temps. Il est donc nécessaire de recourir à des méthodes de traitement du signal en temps-fréquence. Hartwigsen et al. [HSM+04] mesurent la réponse au choc d’une structure
élémentaire de poutre et d’un cadre assemblé par une liaison de type
lap-joint. Les premiers modes observés sont des modes de flexion. Les paramètres
est généralement suffisante.
Heller [HFP09] utilise la transformée en ondelettes pour obtenir l’identifica-tion non-paramétrique des modes d’une poutre similaire. La transformée en ondelette ne nécessite pas de phase de filtrage préliminaire. Il est cependant nécessaire de supposer que la contribution des modes voisins du mode sélec-tionné est nulle pour l’identification. Cette approximation est généralement satisfaite dans le cas d’une structure d’essais élémentaire.
La méthode de décomposition modale empirique (en anglais : Empirical Mode
Decomposition ou EMD) a été utilisée par Eriten et al. [EKL+13] pour
l’iden-tification des modes de flexion d’une liaison lap-joint élémentaire. Le principe de l’EMD est de décomposer le signal en une somme de signaux élémentaires appelés modes intrinsèques à l’aide d’une technique d’interpolation. Dans le cas d’une réponse libre, les modes intrinsèques sont confondus avec les modes de la structure à identifier. Cette méthode est algorithmique : Le premier mode intrinsèque identifié correspond à la période la plus courte. Celui ci est ensuite soustrait du signal et ainsi de suite jusqu’aux modes de plus basses fréquences. L’algorithme est arrêté à l’aide d’un critère en énergie. Cette technique de dé-composition relativement récente est généralement associée à la transformée de Hilbert pour la partie identification, elle porte alors le nom de transformée de Hilbert-Huang, voir [HS05].
Toutes ces méthodes ont la même faiblesse : elles présentent toutes des défauts de bord. L’effet de bord se caractérise par des variations rapides du signal ana-lytique estimé au début et à la fin de la mesure. Dans le cas de vibrations libres amorties, ce problème est très important car les amplitudes les plus importantes sont obtenues au début de la mesure. Ce défaut est accru par le fait que les amplitudes les plus importantes sont parcourues en un nombre as-sez faible de cycles (la décroissance de l’enveloppe étant quasi-exponentielle). Pour contourner ce problème, Heller [Hel05] propose de prolonger le signal en lui ajoutant une portion de signal supplémentaire au début de la fenêtre temporelle. Ce signal est une harmonique de phase et d’amplitude égales à celles du signal à l’origine, afin de le prolonger de manière continue. Cette mé-thode nécessite néanmoins la connaissance de ces deux états à l’origine ce qui est l’objectif de l’identification. Par itération successive il semble néanmoins possible d’appliquer une telle méthode.
Une fois la forme de la force choisie, l’approche la plus commune pour recaler les paramètres θ du modèle consiste à minimiser, au sens des moindres carrés, l’écart entre la mesure et le modèle.
min
θ kpmesure(θ) − pmodelek (1.17)
Cette approche optimale peut se faire dans le domaine fréquentiel, voir [BL04], [IA12], comme dans le domaine temporel.
La somme de la force r et de la force élastique ω2p est usuellement appelée
restoring force. Dans le cas de formes simples, les paramètres de la force
peuvent être identifiés en utilisant une méthode de lissage appelée force state
mapping. Le principe consiste à retirer les efforts d’inertie à la mesure et de
tracer la dépendance de la restoring force dans le plan vitesse-déplacement. Jalali et al. [JAM07] utilisent cette méthode associée aux moindres carrés ordinaires en se donnant une forme de type polynomiale.
Hanss et al. [HOG02] caractérisent la rigidité normale et l’amortissement d’une interface à l’aide d’une méthode inverse basée sur l’arithmétique floue. Il est aussi possible d’utiliser les fonctions de fréquence et d’amortissement équivalents préalablement identifiées. Cette approche est proposée dans la thèse de Nguyen [Ngu07]. Nguyen calcule analytiquement les solutions appro-chées pour des non-linéarités simple de type cubique ou linéaires par morceaux à l’aide de la méthode de perturbation de Krylov-Bogoliubov [Nay08]. La dis-tance aux courbes de fréquence et d’amortissement équivalents en fonction de l’amplitude identifiées à l’aide de la transformée en ondelettes est ensuite minimisée afin d’obtenir les paramètres optimaux. Cependant dans le cas des assemblages, l’hypothèse de force non-linéaires cubiques reste très éloignée de la physique du contact. Il est attendu que les forces réduites de la liaison pro-duisent des cycles d’hystérésis. Pour cette raison, il est souhaitable de chercher à recaler des forces de la forme des macro-modèles présentés au chapitre 1.2.2. Segalman [Seg02] utilise les courbes de dissipation par cycle en fonction de l’effort appliqué pour recaler son modèle. La relation entre dissipation et effort
D = υF3+χ trouvée expérimentalement par Smallwood [SGC00] produit des
droites de pente 3 + χ en adoptant une échelle logarithmique, voir figure 1.20 Notons que cette relation est basée sur une hypothèse de non dépendance de la déformée modale à l’amplitude. Dans ce cas, la relation entre dissipation et taux d’amortissement est directe. Ainsi Segalman recale son modèle à quatre paramètres en trouvant la droite qui minimise l’écart aux points mesurés. Nouira et al. [NFAB+08a] utilisent un algorithme génétique couplé à un réseau
Figure 1.20 – Relation de puissance entre dissipation et effort appliqué -Source [SGC00]
1.4 Positionnement des travaux de la thèse
Le caractère faiblement non-linéaire des structures assemblées incite à étendre les méthodes de réduction des systèmes linéaires au cas présent afin d’en obtenir des modèles compacts.
La thèse se découpe en deux grandes parties.
Dans la première, on utilise une approche modale classique permettant de construire le modèle d’une grande structure. On utilise alors le principe de mode linéarisé équivalent basé sur les hypothèses simplificatrices de faible non-linéarité et de découplage modal. Les travaux développés dans les chapitres 2 à 5 sont à rapprocher des travaux de thèse de Heller [Hel05], de Caignot [Cai09] et de Peyret [Pey12]. Plusieurs outils numériques et expérimentaux originaux sont proposés pour la mesure du comportement des liaisons. Une analyse paramétrique sur une géométrie de liaison dédié à la dissipation est aussi présentée.
