Techniques de traitement du signal

Les techniques de traitement du signal sont très nombreuses et nous nous contentons ici comme ailleurs de mentionner les travaux appliqués aux cas de structures assemblées. La forme des solutions oscillantes supposés à l’équation 1.16 suppose que les paramètres évoluent avec le temps. Il est donc nécessaire de recourir à des méthodes de traitement du signal en temps-fréquence. Hartwigsen et al. [HSM+04] mesurent la réponse au choc d’une structure élémentaire de poutre et d’un cadre assemblé par une liaison de type

lap-joint. Les premiers modes observés sont des modes de flexion. Les paramètres

modaux de chaque mode sont obtenus à l’aide d’un filtre de Butterworth passe-bande centré autour de la fréquence de résonance. La transformée de Hilbert est appliquée au signal ainsi obtenu afin d’en obtenir le signal analy-tique duquel peut être extrait l’évolution de la fréquence et de l’amortissement avec le temps. Elle est encore utilisée actuellement, voir [DCP13], [SSAD13]. Cette méthode ne permet d’extraire que des variations d’amplitude (et donc d’amortissement) et de fréquence relativement lente ce qui peut dans certaines conditions poser quelques problèmes pour l’identification. Les variations les plus rapides sont de périodes égales à l’inverse de la largeur du filtre divisé par 2. Dans le cas de l’identification d’un banc d’essai élémentaire, cette méthode

est généralement suffisante.

Heller [HFP09] utilise la transformée en ondelettes pour obtenir l’identifica-tion non-paramétrique des modes d’une poutre similaire. La transformée en ondelette ne nécessite pas de phase de filtrage préliminaire. Il est cependant nécessaire de supposer que la contribution des modes voisins du mode sélec-tionné est nulle pour l’identification. Cette approximation est généralement satisfaite dans le cas d’une structure d’essais élémentaire.

La méthode de décomposition modale empirique (en anglais : Empirical Mode

Decomposition ou EMD) a été utilisée par Eriten et al. [EKL+13] pour l’iden-tification des modes de flexion d’une liaison lap-joint élémentaire. Le principe de l’EMD est de décomposer le signal en une somme de signaux élémentaires appelés modes intrinsèques à l’aide d’une technique d’interpolation. Dans le cas d’une réponse libre, les modes intrinsèques sont confondus avec les modes de la structure à identifier. Cette méthode est algorithmique : Le premier mode intrinsèque identifié correspond à la période la plus courte. Celui ci est ensuite soustrait du signal et ainsi de suite jusqu’aux modes de plus basses fréquences. L’algorithme est arrêté à l’aide d’un critère en énergie. Cette technique de dé-composition relativement récente est généralement associée à la transformée de Hilbert pour la partie identification, elle porte alors le nom de transformée de Hilbert-Huang, voir [HS05].

Toutes ces méthodes ont la même faiblesse : elles présentent toutes des défauts de bord. L’effet de bord se caractérise par des variations rapides du signal ana-lytique estimé au début et à la fin de la mesure. Dans le cas de vibrations libres amorties, ce problème est très important car les amplitudes les plus importantes sont obtenues au début de la mesure. Ce défaut est accru par le fait que les amplitudes les plus importantes sont parcourues en un nombre as-sez faible de cycles (la décroissance de l’enveloppe étant quasi-exponentielle). Pour contourner ce problème, Heller [Hel05] propose de prolonger le signal en lui ajoutant une portion de signal supplémentaire au début de la fenêtre temporelle. Ce signal est une harmonique de phase et d’amplitude égales à celles du signal à l’origine, afin de le prolonger de manière continue. Cette mé-thode nécessite néanmoins la connaissance de ces deux états à l’origine ce qui est l’objectif de l’identification. Par itération successive il semble néanmoins possible d’appliquer une telle méthode.

L’approche d’identification non-paramétrique offerte par le concept de fré-quence et d’amortissement équivalents permet d’analyser le comportement dy-namique d’une structure. Dans une optique de modélisation, l’identification non-paramétrique en fréquence et amortissement n’est pas suffi-sante. Cette approche n’est par ailleurs applicable que pour trouver les solutions du régime stabilisé sous excitation mono-fréquentielle. Ainsi, elle ne permet pas de rendre compte de manière suffisante d’une ex-citation aléatoire ou plus généralement d’un régime transitoire quelconque. Ce point est argumenté dans la dernière partie de la thèse. Il est donc géné-ralement nécessaire de caractériser la fonction de force r dans l’équation de dynamique 1.5.

Une fois la forme de la force choisie, l’approche la plus commune pour recaler les paramètres θ du modèle consiste à minimiser, au sens des moindres carrés, l’écart entre la mesure et le modèle.

min

θ kpmesure(θ) − p_modelek (1.17)

Cette approche optimale peut se faire dans le domaine fréquentiel, voir [BL04], [IA12], comme dans le domaine temporel.

La somme de la force r et de la force élastique ω2p est usuellement appelée restoring force. Dans le cas de formes simples, les paramètres de la force

peuvent être identifiés en utilisant une méthode de lissage appelée force state

mapping. Le principe consiste à retirer les efforts d’inertie à la mesure et de

tracer la dépendance de la restoring force dans le plan vitesse-déplacement. Jalali et al. [JAM07] utilisent cette méthode associée aux moindres carrés ordinaires en se donnant une forme de type polynomiale.

Hanss et al. [HOG02] caractérisent la rigidité normale et l’amortissement d’une interface à l’aide d’une méthode inverse basée sur l’arithmétique floue. Il est aussi possible d’utiliser les fonctions de fréquence et d’amortissement équivalents préalablement identifiées. Cette approche est proposée dans la thèse de Nguyen [Ngu07]. Nguyen calcule analytiquement les solutions appro-chées pour des non-linéarités simple de type cubique ou linéaires par morceaux à l’aide de la méthode de perturbation de Krylov-Bogoliubov [Nay08]. La dis-tance aux courbes de fréquence et d’amortissement équivalents en fonction de l’amplitude identifiées à l’aide de la transformée en ondelettes est ensuite minimisée afin d’obtenir les paramètres optimaux. Cependant dans le cas des assemblages, l’hypothèse de force non-linéaires cubiques reste très éloignée de la physique du contact. Il est attendu que les forces réduites de la liaison pro-duisent des cycles d’hystérésis. Pour cette raison, il est souhaitable de chercher à recaler des forces de la forme des macro-modèles présentés au chapitre 1.2.2. Segalman [Seg02] utilise les courbes de dissipation par cycle en fonction de l’effort appliqué pour recaler son modèle. La relation entre dissipation et effort

D = υF^3+χ trouvée expérimentalement par Smallwood [SGC00] produit des droites de pente 3 + χ en adoptant une échelle logarithmique, voir figure 1.20 Notons que cette relation est basée sur une hypothèse de non dépendance de la déformée modale à l’amplitude. Dans ce cas, la relation entre dissipation et taux d’amortissement est directe. Ainsi Segalman recale son modèle à quatre paramètres en trouvant la droite qui minimise l’écart aux points mesurés. Nouira et al. [NFAB+08a] utilisent un algorithme génétique couplé à un réseau de neurone artificiel afin de recaler les paramètres de glissement et de raideur des frotteurs de Jenkins d’un modèle éléments finis à l’aide des paramètres modaux équivalents.

Figure 1.20 – Relation de puissance entre dissipation et effort appliqué -Source [SGC00]