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D20309. Lieu centenaire Soient

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Academic year: 2022

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D20309. Lieu centenaire

Soient B et C deux points fixes du plan et P un point variable sur la m´ediatrice de BC. Lieu du point A intersection de P B et de la perpen- diculaire ´elev´ee en C `a CP.

Solution

SoientM le milieu deBC,Hla projection deAsurBC; les trianglesBM P etBHA sont semblables, de mˆeme que les triangles CM P et AHC, d’o`u BH/AH =BM/M P,CH/AH =P M/CM, et

M H2−M C2 =BH.CH =AH2.

Cette relation est l’´equation d’une conique (en prenant par exemple pour axes de coordonn´ees BC et sa m´ediatrice), plus pr´ecis´ement l’hyperbole

´equilat`ere d’axe r´eel BC.

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