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A50147. Deux sommes, une factorisation

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Academic year: 2022

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A50147. Deux sommes, une factorisation

Si un nombre premier admet une d´ecomposition en somme de deux carr´es, cette d´ecomposition est unique. V´erifiez que 104856401513 n’est pas premier en en trouvant une factorisation `a partir de ses deux d´ecompositions : 3234832+ 146682= 3068722+ 1033732.

Solution

Quitte `a ´echanger c etd, ou (a, b) et (c, d), je peux toujours ´ecrire les deux d´ecompositionsa2+b2=c2+d2 de fa¸con queaetdsoient de mˆeme parit´e, avec a > d.

Soitm le PGCD de (a+d)/2 et (b+c)/2. On a a+d= 2mp, b+c= 2mq, p et q premiers entre eux. Comme (a+d)(a−d)/4 = (b +c)(c −b)/4, p(a−d)/2 =q(c−b)/2, d’o`uc−b= 2np, a−d= 2nq, a=mp+nq, b=mq−np et finalementa2+b2 = (mp+nq)2+ (mq−np)2 = (m2+n2)(p2+q2).

Ici a = 323483, b = 14668, c = 306872, d = 103373, puis (a+d)/2 = 213428, (b+c)/2 = 160770, m = 466, p = 458, q = 345, (a−d)/2 = 110055, n= 319.

Le nombre donn´e 104856401513 est le produit des facteursm2+n2= 318917 etp2+q2 = 328789.

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