B 133. Dürer a de la classe.
Proposé par Pierre Renfer.
Le carré magique du tableau « La Mélancholie » de Dürer est : En plus d’être magique de somme 34, il possède la propriété suivante :
La somme de deux nombres symétriques par rapport au centre du carré est toujours 17.
Appelons carrés magiques de Dürer ceux qui possèdent cette propriété.
Cette propriété est conservée par les huit isométries du carré et par les six transformations involutives R, S, T, R’, S’, T’ définies ainsi :
S échange les lignes 1 et 4 en conservant globalement les colonnes.
T échange les lignes 2 et 3 en conservant globalement les colonnes.
R échange les lignes 1 et 2 ainsi que les lignes 3 et 4 en conservant globalement les colonnes.
S’ échange les colonnes 1 et 4 en conservant globalement les lignes.
T’ échange les colonnes 2 et 3 en conservant globalement les lignes.
R’ échange les colonnes 1 et 2 ainsi que les colonnes 3 et 4 en conservant globalement les lignes.
Question 1. Montrer que le groupe de transformations G engendré par les huit isométries du carré et les six transformations R, S, T, R’, S’, T’ est d’ordre 128.
Question 2. On fait opérer le groupe G sur l’ensemble E des carrés magiques de Dürer qui contiennent tous les entiers de 1 à 16.
Combien existe-t-il de classes d’équivalence (ou d’orbites) ? Donner un carré représentant pour chaque classe.
Solution proposée par Michel Lafond
Un programme (MAPLE) liste 384 carrés magiques de Dürer.
Dans le programme, les carrés sont notés comme ci-dessous, avec la contrainte de Dürer x + x’ = 17.
On dit que deux carrés de Dürer sont équivalents si un élément du groupe G permet le passage de l’un à l’autre.
Si on ne garde que les carrés non équivalents par isométrie [Par exemple en imposant MIN (a, a’, d, d’) = a pour les rotations et d < d’ pour la symétrie centrale], on n’obtient plus que carrés puisque le groupe des isométries du carré est d’ordre 8.
Si, en plus, on ne garde que les carrés non équivalents par les permutations T ou T’ (permutant les deux lignes ou les deux colonnes intermédiaires) [Par exemple en imposant e < h’ et b < c] on n’obtient plus que les carrés ci-dessous :
a b c d
e f g h
h’ g’ f’ e ‘
d’ c’ b’ a’
Mais le groupe G opère aussi avec les transformations R et R’ ; S et S’.
Examinons par exemple D4.
On a R (D4) =
Puis par symétrie verticale (ou S’T’)
S’ T’ R (D4) = D1 =
Ce qui prouve que D4 est équivalent à D1.
On vérifie de même que D5, D6, D7, D8, D9, D10, D11, D12 sont respectivement équivalents à D2, D3, D2, D1, D2, D1, D3, D3.
Il ne reste donc que les trois représentants D1, D2, D3 dont on vérifie qu’ils ne sont pas équivalents.
Le groupe G est bien d’ordre . D1 =
1 12 14 7 8 13 11 2 15 6 4 9 10 3 5 16
D2 =
1 12 15 6 8 13 10 3 14 7 4 9 11 2 5 16
D3 =
1 14 15 4 8 11 10 5 12 7 6 9 13 2 3 16
D4 =
2 11 13 8 7 14 12 1 16 5 3 10
9 4 6 15
D5 =
2 11 16 5 7 14 9 4 13 8 3 10 12 1 6 15
D6 =
2 13 16 3 7 12 9 6 11 8 5 10 14 1 4 15
D7 =
3 10 13 8 6 15 12 1 16 5 2 11
9 4 7 14
D8 =
3 10 16 5 6 15 9 4 13 8 2 11 12 1 7 14
D9 =
4 9 14 7 5 16 11 2 15 6 1 12 10 3 8 13
D10 =
4 9 15 6 5 16 10 3 14 7 1 12 11 2 8 13
D11 =
5 10 11 8 4 15 14 1 16 3 2 13
9 6 7 12
D12 =
6 9 12 7 3 16 13 2 15 4 1 14 10 5 8 11
7 14 12 1 2 11 13 8 9 4 6 15 16 5 3 10
1 12 14 7 8 13 11 2 15 6 4 9 10 3 5 16
