Université Paris 13, Institut Galilée CCS – Probabilités & Statistiques Année universitaire 2015–2016
Fiche 4 – Statistiques descriptives, Estimateurs
Exercice 1. Chaque jour, on relève le nombre de clients entrés dans une boutique entre 9h et 9h30.
Sur une période de 100 jours, on obtient les données suivantes :
4, 6, 6, 0, 6, 6, 3, 6, 2, 5, 5, 7, 9, 5, 4, 8, 5, 7, 3, 1, 6, 7, 3, 7, 5, 9, 6, 4, 8, 4, 9, 5, 5, 3, 3, 6, 3, 3, 3, 7, 7, 11, 3, 4, 7, 4, 3, 1, 8, 3, 4, 8, 3, 7, 3, 9, 6, 7, 5, 11, 4, 2, 7, 7, 5, 5, 3, 6, 8, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 5, 4, 3, 5, 5,
2, 4, 2, 4, 5, 5, 7, 4, 9, 9, 3, 3, 5, 4, 5, 4, 1, 6, 4, 4.
1.Calculer les effectifs de chaque valeur, et leurs fréquences.
2.Calculer le nombre moyen de clients, et sa variance.
3.Calculer minimum, maximum, médiane, premier et troisième quartiles de cette série statistique.
4.Représenter les données par un diagramme en bâtons et un diagramme circulaire.
Exercice 2. On a relevé la température chaque jour du mois de mars à la même heure : en °C, 4,1 ; 3,6 ; 5,5 ; 9,8 ; 9,1 ; 3,9 ; 6,1 ; 5,3 ; 10,4 ; 4,6 ; 6,5 ; 2,3 ; 9,0 ; 5,5 ; 8,1 ; 7,0 ; 8,5 ; 5,9 ; 4,4 ; 9,1 ; 5,0 ;
2,3 ; 5,9 ; 6,4 ; 4,6 ; 4,3 ; 6,7 ; 6,4 ; 4,3 ; 5,7 ; 4,5.
1.Calculer la température moyenne, et sa variance.
2.Calculer minimum, maximum, médiane, premier et troisième quartiles de cette série statistique.
3.Représenter les températures par un histogramme, en les regroupant par classes de largeur 1°C.
Exercice 3. On cherche à retrouver la 3eloi de Kepler, qui relie le demi-grand axeRde l’orbite d’une planète (distance maximale au soleil) à sa période de révolution T (durée d’une rotation autour du soleil), en sachant que cette relation est de la forme T = CRα où C,α ∈ R. On dispose des données approximatives suivantes (1 UA = 149 600 000 km) :
Planète Demi-grand axe (en UA) Période (en années)
Mercure 0,39 0,24
Vénus 0,72 0,61
Terre 1 1
Mars 1,5 1,9
Jupiter 5,2 12
Saturne 9,5 29
Uranus 19 84
Neptune 30 165
On noter1, . . . ,r8 les demi-grand axes et t1, . . . ,t8 les périodes ci-dessus.
1.Comment déduire de l’équation T =CRα une relation de la forme Y =aX+b?
2.Calculer dans un tableau les logarithmes xi = lnri et yi = lnti, et représenter graphiquement les points (xi,yi).
3.Effectuer une régression linéaire entrexi etyi et conjecturer alors une relation entre la périodeT et le demi-grand axeR d’une planète du système solaire. Calculer la corrélation ρx,y et commenter.
4.La période de Pluton est de 248 ans. Que peut-on prédire de son demi-grand axe ?
1
Exercice 4. Soit Tn un estimateur d’un paramètreθ. Montrer que si Tn est asymptotiquement sans biais et que sa variance tend vers 0, alors Tn est convergent. Utiliser l’inégalité de Markov.
Exercice 5. SoitXune variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètreλ >0. On considère un échantillon (X1,X2, . . . ,Xn)de X.
1.Rappeler E[X]etVar(X). En déduire deux estimateurs deλpar la méthode des moments.
2.On cherche un estimateur de λpar la méthode du maximum de vraisemblance.
2.a)Écrire la vraisemblanceL(k1,k2,· · · ,kn;λ) de l’échantillon(X1,X2,· · ·,Xn).
2.b)En déduire que l’estimateurTn deλpar maximum de vraisemblance est égal à Xn. Exercice 6. Soit X une variable aléatoire admettant pour densité
f(x) =θxθ−11]0,1](x), où θ >0est un paramètre.
1.CalculerE[X]etVar(X). En déduire un estimateur deθ par la méthode des moments.
2.Soit Y = lnX.
2.a)Quel est l’ensemble des valeurs possibles deY ? Déterminer sa fonction de répartition et sa densité.
2.b)CalculerE[Y].
3.Soit (X1,X2,· · · ,Xn) un échantillon de la variable aléatoire X. On poseα= 1θ. 3.a)Écrire la vraisemblanceL(x1,x2,· · · ,xn;α) de l’échantillon pourα.
3.b)En déduire un estimateur αbde α par la méthode du maximum de vraisemblance, et montrer que cet estimateur est sans biais.
Exercice 7. On dispose d’un échantillon (X1, . . . ,Xn) d’une variable aléatoire X admettant pour densité
f(x) = (3x2
θ3 si0< x < θ 0 ailleurs.
1.CalculerE[X], en déduire un estimateur T1 de θpar la méthode des moments. Quel est son biais ? 2.On définit W = max(X1, . . . ,Xn). Calculer la fonction de répartition deW, puis sa densité et son espérance. En déduire un estimateurT2 sans biais deθsous la formeT2 =cW, oùcest une constante.
3.ComparerT2 à T1, au sens du risque quadratique.
Exercice 8. SoitX une variable aléatoire de loi uniforme sur[0,θ], où θ >0 est un paramètre. Soit (X1,X2,· · ·,Xn)un échantillon de X. Vérifier que :
1.la méthode des moments fournit l’estimateurT1= 2Xnde θ, et queT1 est un estimateur sans biais et convergent ;
2.la méthode du maximum de vraisemblance fournit l’estimateur T2 = max(X1,X2,· · · ,Xn) de θ, et queT2 est un estimateur asymptotiquement sans biais et convergent.
Exercice 9. Soit X une variable aléatoire dont la loi dépend de deux paramètres p1 etp2 par : P(X= 0) = 1−p1−p2, P(X= 1) =p1 et P(X = 2) =p2.
1.Trouver les conditions à vérifier par p1 etp2 pour que le support de la loi deX soit égal à{0,1,2}. 2.CalculerE[X],E[X2],Var(X).
3.Soit (X1,X2, . . . ,Xn) un échantillon de X. Déterminer des estimateurs L1 etL2 de p1 etp2 par la méthode des moments. Montrer qu’ils sont sans biais.
4.Pourj= 0,1,2, on désigne parNjle nombre deXkégaux àj. Écrire la vraisemblanceL(x1, . . . ,xn;p1,p2) de l’échantillon en fonction dep1,p2,n0,n1,n2 (oùnj est le nombre dexk égaux à j). Déterminer les estimateursZ1 etZ2 de p1 etp2 par la méthode du maximum de vraisemblance.
5.Montrer que L1 =Z1 etL2=Z2.
6.Un échantillon de taille n= 100de X a donné les observations suivantes : n0= 20, n1= 50, n2= 30.
À quelles estimations dep1 etp2 conduisent les estimateursL1 etL2? 2
