E639. Un milliard de triangles acutangles
On donne dans le plan 2008 points qui pris 3 à 3 ne sont jamais colinéaires.
Est-il possible que parmi tous les triangles formés avec ces points, un milliard d’entre eux soient acutangles, c’est à dire avec des angles tous aigus ( 90°) ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Notons le nombre maximum de triangles acutangles que l’on puisse former avec points du plan (ne présentant aucune colinéarité).
Considérons 4 points formant 4 triangles. Supposons que tous les 4 soient acutangles. On distingue deux cas : Configuration 1
2 3 2
Configuration 2
2 4 Dans les deux cas, nous avons une contradiction, donc 3. 2
Considérons un ensemble de points. Il contient ensembles de 1 points, chacun ayant au plus triangles acutangles. Un triangle donné appartient à 3 ensembles de 1 points. Chaque triangle acutangle est donc compté 3 fois. Il vient finalement :
3
En particulier, 5 2 . C’est à dire 7, puisqu’il s’agit d’un nombre entier. On a également : 2008 2007 2006
5 4 3 943167439,2 10"
Il est donc impossible de former un milliard de triangles acutangles.
b a
c
d b
a
c
