Une ribambelle de points
Problème G270 de Diophante
On trace cinq points du plan tels que les droites qui les relient ne sont ni parallèles ni perpendiculaires entre elles. A partir de chacun de ces points, on construit les perpendiculaires aux droites reliant les quatre autres points.
Quel est le nombre maximum de points d’intersection de toutes ces perpendiculaires ?
Solution
Classons toutes les perpendiculaires en dix classes de droites parallèles trois par trois. Deux de ces classes se coupent en neuf points et il y a 10*9/2 paires de classes. D'où un ensemble de 9*45 (soit 405) points d'intersections.
Là nous n'avons pas tenu compte du fait que ces droites se coupent six par six aux cinq points initialement choisis. Chacun de ces cinq points est multiple d'ordre quinze (6*5/2) mais ne doit compter que pour un. Ainsi nous devons enlever 5*14 du nombre 405, pour énoncer : le nombre cherché est ramené à 335.
Par ailleurs, pour chacun des dix triangles possibles l'orthocentre est un point de concours de trois des trente droites. Nous devons encore enlever 2*10 à 335.
Le nombre cherché est 315 dont les 5 points d'origine A,B,C,D et E et 310 nouveaux points d.intersection.
Remarque
Le nombre 335 pouvait aussi s'obtenir de la manière suivante :
Désignons par ABC (ou ACB) la droite menée de A perpendiculairement à BC et ainsi de suite, pour cinq points A, B, C, D et E, de trente manières.
Pour compter les intersections des XPQ et YRS, distinguons deux cas : X=Y - alors le point obtenu est l'un des cinq points initialement choisis ;
X Y≠ - alors il y a 36 possibilités pour les couples (PQ,RS) dont trois ne sont pas recevables quand PQ et RS désignent la même paire. Ainsi il y a dans ce cas 10*33 (330) points possibles. Nous retrouvons bien le nombre 335.
