2008-2009 TS 1/ 3
DM complexes corrigé
Devoir maison n
◦6
Exercice 1 : ( d’après Nouvelle Calédonie 2004 )
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct(O;~u, ~v), on considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout pointM d’affixez, associe le pointM′ d’affixez′ telle que :
z′ =z2−4z 1. Soient A et B les points d’affixeszA= 1−ietzB= 3 +i.
a. Calculer les affixes des points A′ et B′ images des pointsAet B parf.
Solution :
zA′ =zA2 −4zA= (1−i)2−4(1−i) =−4 + 2iet zB′ =zB2 −4zB= (3 +i)2−4(3 +i) =−4 + 2i.
A′ etB′ sont donc confondus.
b. On suppose que deux points d’affixe respective z1 et z2 ont la même image par f; c’est à dire que f(z1) =f(z2). Démontrer que ces points sont confondus ou que l’un est l’image de l’autre par une symétrie centrale que l’on précisera.
Solution :
f(z1) =f(z2)ssiz12−4z1=z22−4z2ssiz12−z22−4(z1−z2) = 0ssi(z1−z2)(z1+z2)−4(z1−z2) = 0 ssi(z1−z2)(z1+z2−4) = 0ssiz1=z2 ouz1+z2−4.
Ceci équivaut à z1 =z2 ou z1+z2
2 = 2, c’est à dire que M1 et M2 sont confondus ou bien que le segment[M1M2]a pour milieu le même point de coordonnées(2; 0).
Ainsi, f(z1) =f(z2) ssi les points sont confondus ou que l’un est l’image de l’autre par la symétrie centrale de centre le point de coordonnées (2; 0).
2. SoitI le point d’affixe−3.
a. Démontrer queOM IM′ est un parallélogramme si et seulement siz2−3z+ 3 = 0.
Solution :
OM IM′est un parallélogramme ssi−−→
OM =−−→
M′I ssiz=zI−z′ssiz=−3−(z2−4z)ssiz2−3z+3 = 0.
b. Résoudre l’équation z2−3z+ 3 = 0.
Solution :
z2−3z+ 3 = 0est une équation de degré 2 dont le discriminant est∆ =−3 = i√ 32
. Il y a donc deux solutions complexes : z= 3 +i√
3
2 ouz=3−i√ 3 2 .
3. a. Exprimer (z′+ 4)en fonction de(z−2). En déduire une relation entre|z′+ 4| et|z−2|puis entre arg(z′+ 4)et arg(z−2).
Solution :
z′+ 4 =z2−4z+ 4 = (z−2)2. On en déduit que|z′+ 4|=
(z−2)2
=|z−2|2 et que arg (z′+ 4) = arg (z−2)2
= 2 arg (z−2) [2π].
|z′+ 4|=|z−2|2 et arg (z′+ 4) = 2 arg (z−2) [2π]
b. On considère les points J et Kd’affixes respectives zJ= 2et zK=−4.
Démontrer que tous les pointsM du cercle (C) de centreJ et de rayon2 ont leur imageM′ sur un même cercle que l’on déterminera.
Solution :
Si M est un point du cercle (C) de centre J et de rayon 2 alors |z−2| = 2. D’après la question précédente on a alors |z′+ 4|=|z−2|2= 4.
Si M est un point du cercle (C) de centreJ et de rayon 2 alors|z′+ 4| est constant égal à 4. Donc M′ est un point du cercle (C) de centreK et de rayon 4.
c. SoitE le point d’affixezE =−4−3i.
Donner la forme trigonométrique de(zE+ 4) et à l’aide du3. a.démontrer qu’il existe deux points dont l’image parf est le pointE.
Préciser sous forme algébrique l’affixe de ces deux points.
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2008-2009 TS 2/ 3
DM complexes corrigé
Solution :
zE=−4−3idonczE+ 4 =−3i= 3e−iπ2.
Si f(z) =zE alors d’après la question3. a, on a|zE+ 4|= 3 =|z−2|2 et arg (z′+ 4) =−π
2 = 2 arg (z−2) [2π].
Doncz−2a pour module √
3 et pour argument−π
4 moduloπ.
On obtient donc deux solutions : z= 2 +√
3e−iπ4 et z= 2 +√
3ei(π−π4) = 2 +√ 3ei3π4 . Exercice 2 : ( d’après France Septembre 2008 )
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct(O;~u, ~v).
On réalisera une figure en prenant 2 cm comme unité graphique sur chaque axe.
On considère les pointsA,B etI d’affixes respectiveszA= 1, zB= 5et zI = 3 +i.
On note (C) le cercle de centreOet de rayon1, (∆) la médiatrice de[AB]et(T)la tangente au cercle (C) enA.
À tout pointM d’affixez, différent deA, on associe le point M′ d’affixez′ tel que : z′= z−5
z−1 Le pointM′ est appelé l’image deM.
Partie A
1. Déterminer sous forme algébrique l’affixe du point I′ image deI.
Vérifier que I′ appartient à (C).
Solution : zI′ = zI−5
zI−1 = −2 +i
2 +i = (−2 +i)(2−i)
22+ 12 =−3 + 4i 5 = −3
5 +4 5i.
zI′ = −3 5 +4
5i Et on a |zI′|=
−3 5 +4
5i
= −3
5 2
+
4
5 2
= 1. DoncI′ appartient à (C) 2. a. Justifier que pour tout pointM distinct deA etB, on a : OM′=M B
M A. Solution :
z′= z−5
z−1 = zM−zB
zM−zA
. Donc en passant aux modules, on a :OM′ =|z′|=
zM −zB
zM−zA
= M B M A. OM′=M B
M A
b. Justifier que pour tout pointM distinct deA etB , on a : −−→
OA , −−−→
OM′
=−−→
M A , −−→
M B . Solution :
z′= z−5
z−1 = zM−zB
zM−zA
. Donc en passant aux arguments, modulo2π, on a : −−→
OA , −−−→
OM′
= arg (z′) = arg
zM −zB
zM−zA
=−−→
AM , −−→
BM [2π]
Mais−−→
AM , −−→
BM
=−−→
M A , −−→
M B
[2π]. Donc −−→
OA , −−−→
OM′
=−−→
M A , −−→
M B [2π]
Partie B
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
Dans la suite de l’exercice,M désigne un point quelconque de (∆). On cherche à construire géométriquement son imageM′.
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2008-2009 TS 3/ 3
DM complexes corrigé
1. Démontrer queM′ appartient à (C).
Solution :
M désigne un point quelconque de (∆) donc son affixe est de la formez= 3 +ibavecb∈R.
On a alors z′ =z−5
z−1 = −2 +bi 2 +bi . Et on a : |z′|=
−2 +bi 2 +bi
= |−2 +bi|
|2 +bi| = (−2)2+b2
(2)2+b2 = 1. Donc M′∈(C)
2. On note (d) la droite symétrique de la droite(AM)par rapport à la tangente(T).(d)recoupe (C) enN. a. Justifier que les trianglesAM Bet AON sont isocèles.
Après avoir justifié que −−→
AO , −−→
AN
=−−→
AM , −−→
AB
démontrer que−−→
OA , −−→
ON
=−−→
M A , −−→
M B . Solution :
M appartenant à la médiatrice du segment[AB], le trianglesAM B est isocèle de sommetM. Aet N appartenant au cercle (C) de centreO, le trianglesAON est isocèle de sommetO.
D’après la symétrie par rapport à la droite(∆), on a −−→
AO , −−→
AN
=−−→
AM , −−→
AB [2π].
Les trianglesAM BetAON sont isocèles enM etO; et les angles−−→
AO , −−→
AN
et−−→
AM , −−→
AB sont égaux. Donc les angles aux sommets −−→
OA , −−→
ON
et −−→
M A , −−→
M B
sont égaux aussi.
b. En déduire une construction de M′. Solution :
M′ etN sont sur le cercle (C) et d’après la question précédente et la question 2-b on a : −−→
OA , −−→
ON
=−−→
M A , −−→
M B
=−−→
OA , −−−→
OM′
[2π]. DoncM′ etN sont confondus.
Ainsi, pour tracerM il suffit de tracer le point d’intersection entre le cercle (C) et la droite symétrique de(AM)par rapport à la droite(T).
1 2 3 4 5
−1
1 2
−1
−2
−3
−
→u
−
→v
A B
I
(∆) (T)
M
M′=N
⊕
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