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Distribution des vitesses moyennes pour l'écoulement turbulent
dans les conduites cylindriques
Distribution of mean velocities
w i t h turbulent flow in cylindrical pipes
PAR E. LEG-END RE
I N G É N I E l ' H E X C H E F D C G É N I E M A R I T I M E
Une nouvelle relation différentielle entre la tur- bulence el la force moyenne de viscosité, ins- pirée des résultats de R E I C H A R D T , sert de base à l'intégration de la loi de distribution des vitesses dans toute la section, ainsi qu'au calcul du débit et du coefficient de frottement. L'en- semble des résultats relatifs à l'écoulement tur-
bulent dans les conduites cylindriques est ainsi rattaché à une loi simple qui, sans difficulté d'intégration insurmontable, définit l'influence du nombre de Reynolds pour la totalité de la courbe de distribution des vitesses, sauf peut- être dans le domaine de transition.
A new differential relation, inspired by R E I -
C H A B D T ' S results, between turbulence and the mean force of viscosity, serves as a basis for integration of the velocity distribution law throughout the section, as welt as for cal- culation of the discharge and of the friction coefficient. All the results relating to turbulent flow in cylindrical pipes are thus linked to a simple law which, without involving great dif- ficulties of integration, defines the. influence of the Reynold's number for the entire velocity distribution curve, except perhaps in the tran- sition field.
INTRODUCTION
Par une élude antérieure (1), nous avons tenté de représenter l'écoulement turbulent dans le
( 1 ) N o t e s u r la d i s t r i b u t i o n d e s v i t e s s e s m o y e n n e s p o u r l ' é c o u l e m e n t t u r b u l e n t d a n s l e s c o n d u i t e s c y l i n - d r i q u e s . La Houille Blanche, n ' A, 1 0 4 8 (Mém. et Trav.
S.U.F., n» L 1 9 4 8 ) .
( 2 ) J. N I K C H A D S E . — G e s e t z m ä s s i g k e i t e n d e s t u r b u l e n t e S t r ö m u n g e n in g l a t t e n R o h r e n . /•''orschunqscbe.fi, 3 5 0 ,
1 9 3 2 .
( 3 1 F i l m t u r b u l e n t d a n s l e s c o n d u i t e s . La Houille Blanche, n i a i 1 9 5 0 .
( 4 ) H . R E I C H A I U I T . — D e r K i n d u s s d e r w a n d n a h e n S t r ö m u n g a u f d e r t u r b u l e n t e W ä r m e ü b e r g a n g . Mitteil- ungen aus dem Max Planck Institut, 1 9 5 0 .
(51 H . R K I C H A U D T . — V o l l s t ä n d i g e D a r s t e l l u n g d e r t u r - b u l e n t e n G e s c h w i n d i g k c i i s V e r t e i l u n g i n g l a t t e n L e i t - u n g e n . Z.A.M.M., j u i l l e t 1 9 5 1 .
noyau central d'une conduite cylindrique à par- tir des résultats anciens de N I K U R A D S E (2).
Nous avons, d'autre part, recherché une rela- tion déterminant la turbulence dans le film au voisinage de la paroi ( 3 ) et assurant un raccor- dement continu de la loi de distribution des vi- tesses dans le noyau â la loi de distribution des vitesses dans le film.
Simultanément, R E I C H A R D T publiait ( 4 - 5 ) de nouveaux résultats sur la distribution des vi- tesses et présentait une interpolation empirique très voisine de celle que nous avions proposée.
L'objet de la présente, étude est une retouche de la relation déterminant la turbulence, faite en vue d'une extrapolation dans le noyau central
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1953012
№ S P É C I A L B / 1 9 5 3 L A H O U I L L E B L A N C H E 793
avec représentation correcte des résultats de
R E I C H A R D T .
LOI RÉDUITE D U FROTTEMENT La loi réduite de frottement peut être repré- sentée sous la forme simple :
y = 9 ou :
y est le rapport du rayon local au rayon R de la conduite;
g est le rapport de la pente locale de la courbe de distribution des vitesses moyennes du/dy à la pente de cette courbe à la paroi du/dg„;
h est le rapport u v/utr de la valeur moyenne du produit des composantes axiale et ra- diale de la vitesse au carré de la vitesse de frottement :
«*-' = -r/p R dp
2 p dx
où T est la tension de frottement à la paroi, ? la masse spécifique et dp/dx le gradient de pression.
Il doit être noté que, la turbulence étant négli- geable au voisinage immédiat de la paroi, la pente
de la courbe de distribution des vitesses est dé- terminée p a r la viscosité seule.
1 du R dij„
où u. = p v est la viscosité absolue et v la visco- sité cinématique :
1 du u* dyv
u* R 1
2
et e est l'inverse du nombre de R E Y N O L D S formé avec la vitesse de frottement.
RELATION
D É T E R M I N A N T LA TURBULENCE Pour notre étude antérieure du film, nous avions introduit une relation complémentaire :
d dg
7i'/; i 9
kh
2 e
où k est la constante de K A R M A N .
Nous avions signalé que cette relation ne peut pas être extrapolée dans le noyau.
La présente étude est l'ondée sur la relation : d
dy
IL(JL)
.9 \y I
1 / 3 kh 4 ; /a — 1
2 e ' 3
L'introduction de g dans le premier membre a essentiellement pour objet de conserver un sens à la relation pour les valeurs négatives de y.
Elle n'altère pratiquement pas la loi des vitesses dans le film, où g est très voisin de 1, et s i m p l e fie l'extrapolation dans le noyau, où h/g est très voisin de 1.
L'introduction dans le second nombre de la l'onction J , qui est égale à 1 à la paroi, est destinée à la représentation des résultats de
R E I C H A R D Ï .
PENTE DE LA COURBE DE DISTRIBUTION DES VITESSES
La relation ci-dessus peut être facilement inté- grée et définit la pente de la courbe de distribu- tion des vitesses en fonction du rayon réduit ;/.
Posons en effet :
y &
Alors la relation prend la forme d'une équa- tion différentielle à variables séparées :
4 — S: ! _ k 4 y*
(1 — S: i)2 " — 2 s :i .'/ <>!/
Pour les conditions limites à la paroi S — et ;/ = !, elle s'intègre immédiatement par :
U S ) = S
V F A r c l g ^ l
12
1 + S + s -
1 (1 — S ) *
(1 — ?/2) H + 2tf)
Lorsque y décroît de 1 à 0, la valeur commune des deux membres croît de 0 à 3 / 3 2 k/e pour y — 1 / 2 , puis décroit j u s q u ' à k/12 g pour y = 0.
Parallèlement, S croit de 0 à une valeur S , (k/e) pour y = 1 / 2 , puis décroît j u s q u ' à une valeur S0 (k/e) pour y — 0. Ces valeurs sont détermi- nées par :
Jl
£
La variable S reste toujours inférieure à 1, mais s'en approche d'autant plus que e est plus petit, c'est-à-dire que le nombre de R E Y N O L D S
est plus grand.
La variation de S avec ;/ étant ainsi détermi-
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née, la pente réduite de la courbe de distribution de vitesse 1/f/* du/dij est définie p a r :
• du/dij — du/dij,, JL
DISTRIBUTION DES VITESSES DÉBIT ET COEFFICIENT
DE FROTTEMENT
Des intégrations supplémentaires sont néces- saires pour le calcul de la vitesse locale, du débit cl du coefficient de frottement.
La distribution des vitesses est définie par : n 1
/ 1 *
' / (1 S•)//</;/
Si la détermination négative du radical est re- tenue pour le calcul de ;/ < 0,5, il convient de procéder aux intégrations d'abord de 0 à S, pour la détermination positive du radical, puis de S, à S ou à S„ pour la valeur négative du radical.
La formule d'intégration montre que pour // < 0,5 :
/; {) = 2 n ¡1/4) — n (1/2—-//-)
La solution exacte peut présenter de l'intérêt pour l'étude précise des faibles nombres de R E Y -
N O L D S dans le domaine de raccordement du ré-
gime turbulent au régime laminaire. Elle ne sera pas exploitée par la suite.
DISTRIBUTION A P P R O X I M A T I V E DES VITESSES
La vitesse déficitaire, différence de la vitesse maximum u,„ sur l'axe et de la vitesse locale n, est déterminée par :
— ' j _ _ _ — i ( J — $..•) (/ „
« * 2 s Jo •' •'
Le débit est le produit de la section par la masse spécifique et par la vitesse moyenne A' dans la section définie par :
V
M*
1 / " v
y , I, 1 1 s:!,-"':''"
Enfin, le coefficient de frottement (f/ est donné, sans intégration nouvelle, par :
V-
II n'est fonction, comme V/»*, (pie de s, c'est- à-dire du nombre de R E Y N O L D S .
Mettant en évidence l'allure de variation de la vitesse au voisinage de la paroi, on peut écrire :
k -— = J (S) + A fi/-', s)
avec :
I , C , C I 1 I 1 - f S - j - S2 , , - T . - , . \ / 3 S
-R y '» N' . : " S , T - + ^ AL T L8 2 + - S
En dérivant et tenant compte de la relation entre ;/ et s, il est possible d'obtenir :
(/ A
~dif = 4 1 S; : 1 + 2 tf I (S)
Le produit ( I — S::,) I ( S s est nul pour S 0, mais tend vers 1 lorsque S s'approche de 1 et, pour une correction, il peut suffire de le confon- dre avec 1 (*). Alors :
SOLUTION EXACTE
Le rayon réduit peut être exprimé explici- tement en fonction du paramètre s et la solu- tion exacte peut être calculée numériquement par les formules :
4
"*, ' ™ \
1 J12__£_ :Î A- I (S)-s 4 . - S: !
1 S:
(/S
11* .'n
I - S' dS
V 1 H ' ' S I L
A - 2 lu
y-
En définitive, la distribution des vitesses est définie paramélriquement, en première approxi- mation, par :
I iff I
V
1 F I ^k - " - - ,I(S)
»*
2 lu
( ' ) U n e i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s p o u r r a i t f o u r n i r u n e a p p r o x i m a t i o n p l u s s e r r é e :
A - 2 ( 1 ~ S3) ( (s) In + . . . 1 -,- 2 i/l
N" S P É C I A L B/1053 LA H O U I L L E BLANCHE
En parlici!lier, la vitesse m a x i m u m sur l'axe um peut être calculée par :
Jt — .1 <s„.) + 2 In 3 u*
La valeur correspondante de s, c'est-à-dire du nombre de R E Y N O L D S , est donnée par :
= A"
£ ~ 1 2 US,,)
CALCUL DE LA DISTRIBUTION DES VITESSES
Les points expérimentaux de N U U ' K A D S E et de
R K I C H A H D T ont été reportés sur la figure sans indication du nombre de R E Y N O L D S OU de la va-
leur de s car ils correspondent tous à des nom- bres de R E Y N O L D S assez élevés et il est déjà sa- tisfaisant de constater qu'ils sont voisins de la courbe limite et plutôt au-dessous dans la région 1 0 < ; /+< 1 0 0 où 'o s courbes théoriques mon- trent précisément que la vitesse doit diminuer pour une valeur donnée de j /+ lorsque s croit.
La représentation des résultats expérimentaux dans le domaine des grandes valeurs de y., est un peu moins satisfaisante.
Les résultats du calcul sont représentés sul- la figure, 1.
F m. 1
La courbe en trait plein correspond à la limite pour £ = 0 de la distribution des vitesses »/ei*
portée en fonction de y+ = ( 1 — ; / ) / 2 s sur une échelle logarithmique.
La courbe en trait discontinu correspond à la vitesse maximum réduite nm/u en fonction de
// , = ^ pour y = 0. Elle cesse d'être signifi-
2 s '
calive pour les petites valeurs de y, en raison des approximations faites.
La courbe en trait ponctué représente la dis- tribution des vitesses pour £ — 0.01. Elle n'est pas connue avec précision, puisque les approxi- mations supposent s très petit, mais donne une
'influence du nombre de R E Y N O L D S .
Les courbes correspondant à des valeurs de a plus faibles, du domaine des nombres de R E Y - N O L D S usuels, n'ont pas été tracées car elles sont pratiquement confondues avec la courbe limite pour £ = 0 lorsque ; /+ est modéré et s'élèvent ensuite légèrement au-dessus de cette courbe pour franchir même la courbe des vitesses máxima avant d'y aboutir.
image de
COEFFICIENT
DE FROTTEMENT A P P R O X I M A T I F Le procédé d'approximation, utilisé pour le calcul de la distribution des vitesses, peul aussi être exploité pour la détermination de la vitesse moyenne dans la section, mais l'erreur introduite dans chacun des calculs ne garantit pas leur parfaite correspondance.
La vitesse moyenne est la limite pour //
de V(y) : 0
V (y)
Posons :
-t.-/. I L S':) //" tly
V (y)
J ( SS -J- LÌ <{/-, s)
La dérivation et l'élimination partielle de y donne :
B
I S: ; A
(S)
i r
i <ly: 3
et, en passant à la limite :
A- V
h* .1 <S„) -I- In 3
ou encore, en rapprochant de la loi de vitesse maxima et en adoptant A* — 0,4 :
H*
3
2 A- In 3 1 . 15 In 3 ~ 4 , 1 2
valeur très voisine de celle déduite par P R A N D T L
des résultats expérimentaux, soit 1,07.
Il est alors facile de calculer le coefficient de
790 LA H O U I L L E BLANCHE N" S P É C I A L B/1953 frottement Cf et le nombre de R E Y N O L D S lR. cor-
respondant en fonction du p a r a m è t r e S0 : k ^/-^ = J ( S0) + _ L I n 3
ol 2 V R _ J__V_ _ 1 2 H Sn) / y
V £ U * A" V ^ /
Les résutats du calcul sont représentés sur la ligure 2, où ils sont comparés avec les résul- tats expérimentaux.
F io. 2
Dans le domaine franchement turbulent, le coefficient de frottement calculé est un peu trop
faible. Ceci doit être rapproché de la valeur trop élevée de la vitesse maxima, déjà mise en évi- dence sur la figure 1, et qui entraine la vitesse moyenne. Il ne serait possible de remédier à cette imperfection qu'en retouchant quelque peu la loi de couche-limite ou la loi d'extrapolation vers le noyau de R E I C H A R D T . Nous avions anté- rieurement étudié la relation :
I ( S ) =
a s
qui correspond à la relation complémentaire simple :
jL-JL(±fa Œ - f ^
et conduit à une valeur plus satisfaisante de la vitesse maxima, de la vitesse moyenne et du coefficient de frottement, mais s'accorde moins bien avec la distribution des vitesses dans le noyau telle qu'elle est présentée par R E I C H A R D T .
Dans le domaine de transition, les résultats expérimentaux m o n t r e n t un raccordement du régime turbulent au régime laminaire beaucoup moins progressif que celui qu'indique le calcul.
II est vraisemblable que ceci subsisterait s'il était renoncé aux facilités des approximations qui sont plus spécialement hasardées dans ce domaine.
CONCLUSION Il semble possible de représenter l'ensemble des
résultats expérimentaux relatifs à l'écoulement dans les conduites cylindriques en p a r t a n t d'une loi élémentaire assez simple qui, sans difficulté d'intégration insurmontable, définit l'influence du nombre de R E Y N O L D S pour la totalité de la courbe de distribution des vitesses, sauf peut- être dans le domaine de transition.
Il est vraisemblablement possible d'améliorer encore la représentation en retouchant quelque peu la loi élémentaire. Celle-ci n'a p o u r t a n t pas de. signification physique profonde car il est vrai- semblable que la turbulence satisfait à une équa- tion intégrale dont les équations différentielles, progressivement compliquées depuis Von K A R -
MAN, ne donnent qu'une image approchée.
D I S C U S S I O N
( P r é s i d e n t : M. B A R I U L L O N )
M. D A N E L s i g n a l e q u e X L B I É S E I . ;I f a i t r é c e m m e n t u n e é l u d e a n a l o g u e b a s é e s u r d e s h y p o t h è s e s s i m p l i f i é e s et d é f i n i s s a n t t h é o r i q u e m e n t l a h a r p e et la c o u r b e d e N i k u - r a d s e , m a i s s ' é c a r t a n t d e l a d r o i t e d e B l a s i u s p o u r r e d e s - c e n d r e v e r s le b a s a p r è s le g e n o u . C e t t e t h é o r i e . e x p l i - q u e r a i t c e r t a i n s r é s u l t a t s d ' e x p é r i e n c e s , n o t a m m e n t c e l l e s de C O M O I . E T , e t t e n d r a i t à r é s o u d r e l e p r o b l è m e d e la s t a b i l i t é d e l ' é c o u l e m e n t l a m i n a i r e .
M. L E O E X D R E r e m a r q u e q u e l e g e n o u e s t b e a u c o u p m o i n s a c c e n t u é si o n r e m p l a c e l ' é c h e l l e d e s c o e f f i c i e n t s
do f r o t t e m e n t p a r c e l l e d e s r é s i s t a n c e s : o r , d a n s l a s t a - b i l i t é , c ' e s t l a r é s i s t a n c e , p r o d u i t d u c o e f f i c i e n t d e f r o t - t e m e n t p a r l e c a r r é d e l a v i t e s s e q u i c o m p t e . M . L E G E N D I U Ï p e n s a i t q u ' i l , p o u v a i t e x i s t e r p o u r d e s v i t e s s e s c r o i s - s a n t e s u n f a u x é q u i l i b r e l a m i n a i r e p r o l o n g é e t q u ' e n r e v a n c h e , s i o n d i m i n u a i t l a v i t e s s e , o n p o u v a i t s e r a c - c o r d e r d ' u n e f a ç o n c o n t i n u e à l a c o u r b e , p a r s u i t e d u r e t o u r d e l a t u r b u l e n c e .
M. l e P r é s i d e n t r e m e r c i e M. L E O E N D U E e t p r o p o s e d e d e m a n d e r à M. B I É S E L d e p r é s e n t e r s o n é t u d e à u n e p r o - c h a i n e r é u n i o n .
