Antilles Guyane, 1995, Probabilités

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html

Antilles Guyane, 1995

SUJET

Une épreuve consiste à jeter une fléchette sur une cible partagée en 3 cases notées 1, 2 et 3. Deux concurrents A et B sont en présence. On admet qu’à chaque lancer, chacun d’entre eux atteint une case et une seul et que les lancés sont

indépendants.

Pour le concurrent A, les probabilités d’atteindre les cases 1, 2 et 3 sont dans cet ordre : 1/12, 1/3 ; 7/12.

Pour le concurrent B, les trois éventualités sont équiprobables.

N.B : les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. Le concurrent A lance une fléchette trois fois. Les résultats des trois lancés sont indépendants.

a. Quelle est la probabilité pour qu’il atteigne chaque fois la case 3 ?

b. Quelle est la probabilité pour qu’il atteigne les cases 1, 2 et 3 dans cet ordre ? c. Quelle est la probabilité pour qu’il atteigne les cases 1, 2 et 3 ?

2. On choisit un des deux concurrents. La probabilité de choisir A est égale à deux fois la probabilité de choisir B.

a. Un seul lancer est effectué. Quelle est la probabilité pour que la case 3 soit atteinte ?

b. Un seul lancer a été effectué, et la case 3 a été atteinte. Quelle est la probabilité pour que ce soit le concurrent A qui est lancé la fléchette ?

On notera A1 l’évènement « le concurrent A atteint la case 1 », A2 ....

1.a Soit T l’évènement le candidat A atteint trois fois la case 3 :

( ) (

^{" 3} 1" " 3 2" " 3 3"

)

p T =p A au lancé A au lancé A au lancé . Chaque lancer étant indépendant, ^{p T}^{( )}⁼

(

^{p A}

( )

³

)

³⁼ ₁₂⁷ ³^.

1b.

(

^{" 1} 1" " 2 2" " 3 3"

)

^ind

(

" 1 1") (" 2 2") (" 3 3"

)

p A au lancé A au lancé A au lancé =p A au lancé ×p A au lancé ×p A au lancé donc p=1/12 1/ 3 7 /12× × .

1c. Il y a 6 possibilités de choisir l’ordre des 3 cases atteintes : (1 ;2 ;3), (1 ;3 ;2), (2 ; 3 ;1), (2 ;1 ;3), (3 ;1 ;2) et (3 ;2 ;1).

Chaque lancé étant indépendant ' 6p = × = ×p 6 1/12 1/ 3 7 /12× × .

2. La probabilité de choisir A est le double de celle de choisir B : comme la somme des probabilités vaut 1,

( )

2 1

(" ") " "

3 3

p choisirA = et p choisirB = .

2a. Les évènements « choisir A » et « choisir B » forment une partition donc d’après la formule des probabilités totales,

( ) ( ) ( )

( ) ( )

" 3" " 3" " " " 3" " "

" ") (" 3" | " " " ") (" 3" | " "

2 7 1 1 1

3 12 3 3 2

p case p case joueurA p case joueurB

p joueurA p case joueurA p joueurB p case joueurB

= +

= × + × =

.

2b. Renversons les probabilités :

( )

( ) ( )

( )

" " " 3" " ") (" 3" | " "

(" " | " 3")

" 3" " 3"

7 /12 2 / 3 7

1/ 2 9

p joueurA case p joueurA p case joueurA p joueurA case

p case p case

= =

= × =