CONTRIBUTION À L'ÉTUDE DES ONDES LONGUES IRROTATIONNELLES

JUILLET-AOÛT 1956 - № 3 L A H O U I L L E B L A N C H E 375

Contribution à l'étude

des ondes longues irrotationnelles

C o n t r i b u t i o n to the study of long irrotational waves

P A R F . S E R B E

I N G É N I E U R D O C T E U R

I N G É N I E U R A L'OMNIUM F R A N Ç A I S D ' É T U D E S ET D E R E C H E R C H E S

Parallèle entre la théorie des ondes longues irrotationnelles en canal horizontal de faible profondeur et les écoulements permanents au voisinage de la hauteur critique. Exposé d'une méthode générale de calcul des ondes longues.

Onde solitaire d'amplitude finie. Calcul du nombre de Froude correspondant à l'onde soli- taire limite. Comparaison avec la théorie clas- sique de Boussinesq et avec les résultats publiés par J.N. Hunt (La H o u i l l e B l a n c h e , n ° 2, 1 9 5 5 ) .

Parallel between the theory of long irrotational ivaves in shallow horizontal channels and per- manent flows near the critical depth. Des- cription of a general method of calculating long waves. Solitary wave of finite amplitude.

Method of calculating the Froude number cor- responding to the limiting solitary wave. Com- parison with Boussinesq's standard theory and with results published by J. N . H U N T ( H o u i l l e B l a n c h e , n° 2, 1 9 5 5 ) .

L a t h é o r i e d e s o n d e s l o n g u e s i r r o t a t i o n n e l l e s , d a n s u n c a n a l h o r i z o n t a l de faible p r o f o n d e u r , c o n s t i t u e u n c h a p i t r e p a r t i c u l i è r e m e n t i n t é r e s - s a n t d e l ' h y d r o d y n a m i q u e à c a u s e de sa r e l a t i o n a v e c les é c o u l e m e n t s p e r m a n e n t s a u v o i s i n a g e de la h a u t e u r c r i t i q u e . O n sait, e n effet, q u ' u n e o n d e de c é l é r i t é c o n s t a n t e V p e u t ê t r e c o n s i d é r é e c o m m e s t a t i o n n a i r e , e n lui s u p e r p o s a n t u n é c o u - l e m e n t de v i t e s s e c o n s t a n t e et é g a l e à — V.

C o n s i d é r o n s d o n c u n é c o u l e m e n t u n i f o r m e de v i t e s s e V, c o r r e s p o n d a n t à u n e h a u t e u r d ' e a u y⁰. E x i s t e - t - i l d e s s o l u t i o n s s t a b l e s i n f i n i m e n t voisi- n e s d e c e t t e s o l u t i o n d o n n é e ?

L a r é p o n s e e s t p o s i t i v e si le n o m b r e de F r o u d e d e l ' é c o u l e m e n t F = V/Vg y⁰ est i n f é r i e u r à 1.

L a l o n g u e u r d ' o n d e L de l ' o n d e o b t e n u e est d o n - n é e p a r l ' é q u a t i o n (e) :

H ! L = F 2 O Ù

a L

Il n ' e n e s t p l u s d e m ê m e l o r s q u e F e s t s u p é - r i e u r à 1, l ' é q u a t i o n (e) n ' a y a n t p l u s de r a c i n e r é e l l e .

Si m a i n t e n a n t o n e n v i s a g e d e s o n d e s p é r i o d i - q u e s d ' a m p l i t u d e finie, o n e s t c o n d u i t à la s o l u - t i o n o b t e n u e p a r S T R U I C K , le p o t e n t i e l de l'écou-

l e m e n t é t a n t d o n n é e n f o n c t i o n d e l ' a m p l i t u d e r e l a t i v e p a r u n d é v e l o p p e m e n t e n s é r i e .

L o r s q u e F e s t p e t i t , le r a y o n d e c o n v e r g e n c e de c e t t e s é r i e c o r r e s p o n d à la h o u l e l i m i t e ( a p p a - r i t i o n d ' u n p o i n t a n g u l e u x à l a c r ê t e ) . Il n ' e n e s t p l u s de m ê m e l o r s q u e le n o m b r e d e F r o u d e se r a p p r o c h e de l ' u n i t é t o u t e n r e s t a n t i n f é r i e u r à 1.

L a t h é o r i e d e S T R U I C K n e p e u t d o n c ê t r e d ' a u - c u n e u t i l i t é d a n s l ' é t u d e d e s o n d e s de t r a n s l a t i o n a u v o i s i n a g e de la h a u t e u r c r i t i q u e .

N o u s n o u s p r o p o s o n s ici d e d é v e l o p p e r u n e m é t h o d e g é n é r a l e de c a l c u l d e s o n d e s l o n g u e s e n c o m m e n ç a n t p a r l ' é t u d e d e l ' o n d e s o l i t a i r e , ce v o c a b l e d é s i g n a n t c o m m u n é m e n t u n e i n t u m e s - c e n c e se r a c c o r d a n t a ve c le n i v e a u p r i m i t i f à l'infini a m o n t et a v a l .

T H É O R I E D E L ' O N D E S O L I T A I R E

C o n s i d é r o n s l ' é c o u l e m e n t u n i f o r m e t o r r e n t i e l d ' u n fluide p a r f a i t s u r u n c a n a l de f o n d h o r i - z o n t a l , é c o u l e m e n t défini p a r sa p r o f o n d e u r y^ti et s o n n o m b r e de F r o u d e F = V/V<7 »/o > 1 •

L ' o n d e s o l i t a i r e d e m ê m e s c a r a c t é r i s t i q u e s

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1956033

376 L A H O U I L L E B L A N C H E № 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 6

( j /^{0 >} F ) p e u t ê t r e c o n s i d é r é e c o m m e u n é c o u l e - m e n t i r r o t a t i o n n e l p e r m a n e n t , se r a c c o r d a n t avec le p r é c é d e n t à l'infini a m o n t et a v a l . Ces d e u x s o l u t i o n s n e s o n t p a s i n f i n i m e n t v o i s i n e s ( l ' a m - p l i t u d e d e l ' o n d e a u n e v a l e u r finie liée à l a v a - l e u r d u n o m b r e d e F r o n d e ) , s a u f si F — 1 e s t u n i n f i n i m e n t p e t i t .

O n e s t a i n s i c o n d u i t à p e n s e r q u e l ' é c o u l e m e n t est défini p a r u n e é q u a t i o n de la f o r m e :

ih Un ^viJo + i

G ($ - f i MO

V Va (1)

d a n s l a q u e l l e :

x et y s o n t les c o o r d o n n é e s d ' u n p o i n t de l ' é c o u l e m e n t , les a x e s ox, oy é t a n t c e u x de la figure 1 ( l ' o r i g i n e O e s t s i t u é e s u r le f o n d a u d r o i t de la c r ê t e ) ;

F l G . 1

* et M' s o n t la f o n c t i o n p o t e n t i e l l e et la f o n c - t i o n de c o u r a n t , <j est u n p a r a m è t r e s a n s d i m e n - s i o n r e l i é a u c a r r é d u n o m b r e de F r o u d e p a r u n d é v e l o p p e m e n t e n s é r i e de l a f o r m e :

F² = 1 - j - a-, a² - ) - a² <J⁴ ~\-

+ •

⁽²⁾

a b s o l u m e n t c o n v e r g e n t p o u r jo| < <s^it

et G (/, <?) e s t u n e f o n c t i o n de la v a r i a b l e r é e l l e s et d e l a v a r i a b l e c o m p l e x e f = ( o / V y„) ( $ - j - i W) s a t i s f a i s a n t a u x c o n d i t i o n s s u i v a n t e s :

C'est u n e f o n c t i o n h o l o m o r p h e d e / p o u r

|a| < c⁰ e t \W\ < vy⁰.

G (f, a) t e n d u n i f o r m é m e n t v e r s z é r o l o r s q u e

<7 t e n d v e r s z é r o , a u t r e m e n t d i t l ' o n d e s o l i t a i r e se r é d u i t à u n é c o u l e m e n t u n i f o r m e p o u r F = 1.

G (f, a) t e n d u n i f o r m é m e n t v e r s u n e l i m i t e constante réelle l o r s q u e $ a u g m e n t e i n d é f i n i - m e n t , a u t r e m e n t d i t l ' o n d e s o l i t a i r e se r a c c o r d e à l'infini a m o n t e t a v a l a v e c l ' é c o u l e m e n t u n i - f o r m e ( y⁰, F ) .

E n d e h o r s de ces c o n d i t i o n s q u i c a r a c t é r i s e n t l ' o n d e s o l i t a i r e , la f o n c t i o n G (f, a) doit ê t r e t e l l e q u e l ' é c o u l e m e n t p l a n i r r o t a t i o n n e l , défini p a r (1), s a t i s f a s s e a u x c o n d i t i o n s¹ a u x l i m i t e s c l a s s i - q u e s d e s é c o u l e m e n t s à s u r f a c e l i b r e .

L e s f o n c t i o n s h a r m o n i q u e s x = x (<ï>, W, a), y = y ( $ , M", o), d o n n é e s p a r (1), s o n t liées' p a r les r e l a t i o n s (3) :

9;r

9 * 9M- 9 *

dx (3)

q u i p e r m e t t e n t le. p a s s a g e d e l ' u n e à l ' a u t r e p a r d e s q u a d r a t u r e s .

P o r t o n s n o t r e a t t e n t i o n s u r la f o n c t i o n y = y ($, w, o )

s o l u t i o n de l ' é q u a t i o n de L a p l a c e :

, 32?/

a *2

o (4)

p o u r l a q u e l l e les c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s s ' é c r i - v e n t t r è s s i m p l e m e n t :

C o n d i t i o n a u f o n d :

W = 0 y

C o n d i t i o n à la s u r f a c e :

1

0

• V i / o . 2gy +

dW ) ⁿ

dy\2

9 $

( 5 )

2 gu⁰ + V 2 (6)

L a c o n s t a n t e de l ' é q u a t i o n d e B e r n o u l l i a ici u n e v a l e u r d é t e r m i n é e p a r s u i t e de la c o n d i t i o n de r a c c o r d e m e n t à l'infini a v e c l ' é c o u l e m e n t u n i f o r m e .

N o u s a d o p t e r o n s , d a n s la s u i t e d e l ' e x p o s é , d e s d o n n é e s s a n s d i m e n s i o n s , définies p a r les c h a n g e m e n t s de f o n c t i o n et d e v a r i a b l e s u i v a n t s , c h o i s i s d e f a ç o n à m e t t r e e n é v i d e n c e u n e m é - t h o d e d ' a p p r o x i m a t i o n s s u c c e s s i v e s r e l a t i v e a u p a r a m è t r e o.

N o u s p o s e r o n s :

z — V yo

~~ (x + iy)

i/o

<I>

l <3 ï

V ih

' F

>I> -f- iMH i a <]i dz

àf

iu + iv) ^{= v} ( d ^{Î L +}

"² + V 3 V ^ 9<I>

JUILLET-AOUÏ 1 9 5 6 - № 3 L A H O U I L L E B L A N C H E 377

D a n s c e s c o n d i t i o n s , les r e l a t i o n s (3) s'écri- v e n t :

_ 5 L

39

3Ç

d<\>

3Ç

3© ^{(3 a)}

Ç = Ç (cp, U>, a) e s t la s o l u t i o n d e l ' é q u a t i o n :

= o (4 a )

9^ 2 i 9?2

q u i s a t i s f a i t a u x c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s :

•b = 0 Ç = 0 (5 a)

2 (Ç — 1)

4- = 1,- ^{3 c}

3<!/ ^{3=3 1}

= F²,

(6 a ) F² é t a n t d o n n é p a r le d é v e l o p p e m e n t en sé- r i e (2) :

F² = 1 + «]. s² + a² o-⁴ + . . . + a^{t t} rj²" -)- . . . O n v o i t a i n s i q u e Ç = Ç (o, ^, a²) est u n e f o n c - t i o n d e 9, <ï> et d e o-2 q u i , p o u r a = 0, doit se r é - d u i r e à :

ç ( ? , 4,, 0) = k

l ' o n d e s o l i t a i r e se r é d u i s a n t p o u r F = l à l'écou- l e m e n t u n i f o r m e (y⁰,F). Ç est d o n c , p o u r o- suf- fisamment p e t i t , d é v e l o p p a b l e e n s é r i e e n t i è r e de a², e t o n e s t c o n d u i t à r e c h e r c h e r u n e s o l u - t i o n d e (4 a ) d e la f o r m e :

Ç = Ò + s² (⁹, 4 0 + . . . + o²" C (?> 40 + • • (7)

L a i s s a n t d e côté p o u r le m o m e n t l a c o n d i - t i o n (6 a), n o u s n o u s d o n n e r o n s a v e c B o u s s i - NESQ, la r é p a r t i t i o n d e s v i t e s s e s e n t o u s les p o i n t s d u f o n d , e n p o s a n t p o u r d> = 0 :

_ 3 L

3cp ^{(9. 0, a}

2) 3ç

34- ^{(o, 0, a2) == H}

(9,

a² (8) H (9, o-²) é t a n t u n e f o n c t i o n p a i r e d e 9 (la r é - p a r t i t i o n d e s v i t e s s e s d o i t é v i d e m m e n t ê t r e s y m é - t r i q u e p a r r a p p o r t à la c r ê t e 9 = 0) définie et c o n t i n u e , q u e l q u e soit 9, p o u r 0- s u f f i s a m m e n t p e t i t . P o u r s a t i s f a i r e a u x c o n d i t i o n s é c r i t e s p l u s h a u t , c a r a c t é r i s a n t l ' o n d e s o l i t a i r e , il f a u t de p l u s q u e :

H

(9,

0) == 1

et q u e H (9, s²) t e n d e v e r s z é r o l o r s q u e 9 a u g - m e n t e i n d é f i n i m e n t .

L a f o n c t i o n H (9, c²) p e u t a l o r s ê t r e définie p a r la s é r i e :

H

(9,

^{< j2) =} 1 + g -2 f,

(9) +

a* f²

(9) + .

+ a²» /„

(9)

(9) uniformément convergente quel que soit © p o u r 0- s u f f i s a m m e n t p e t i t , j \ (9) . . . /'„ (9) . . . é t a n t d e s f o n c t i o n s p a i r e s d e 9, définies et c o n t i n u e s q u e l q u e s o i t 9 a i n s i q u e l e u r s d é r i v é e s s u c c e s - sives, et t e n d a n t v e r s z é r o l o r s q u e 9 a u g m e n t e i n d é f i n i m e n t .

Ceci p o s é , e n r e c h e r c h a n t s o u s la f o r m e (7) la s o l u t i o n d e l ' é q u a t i o n (4 a) q u i s a t i s f a i t a u x d o n - n é e s d e CAUCHY p o u r = 0 :

34>

Ç

(9,

0, cr) = 0

• (9, 0, o-2) = H (9, a2) = 1 + o-2 /V (9) + o* / 2 (9) + • • • + fn ( ? ) + . . . , (8) on e s t c o n d u i t a u d é v e l o p p e m e n t :

ç = 4, + a2 4, u

(9)

+ »* «1» / 2

(9)

0 2 . 1 + 2

3 ! d o²

+ fn + l (?)

• ' " ^w 3 ! a V ^ 5 ! o y

3 ! t/9² (2 n

•H

1 ) ! do²» (10)

s u p p o s é , p o u r le m o m e n t , u n i f o r m é m e n t c o n v e r g e n t l o r s q u e 0- e s t s u f f i s a m m e n t p e t i t et |4>| s ^ l ; on e n d é d u i t , p a r d é r i v a t i o n :

_3Ç_

dé

= 1 + o-2 jf,

(9) +

/ 2 ( ? ) — 2 ! dts² (?) — 2 ! d⁹-^{; 1} 4 !" "dï

+ . . . + < j2" +2 In + i w 2 ! d 9² ' ¹ ( 2 n ) ! d⁹- ' » _ (11)

378 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 6

3cp tfip

d /²

3 ! d^{9 3}

do

r dcp 3 ! d^{9 s} 3 ! c V ⁺ ' ' ' ⁺

R e m a r q u o n s q u e S e s t d o n n é p a r l a p a r t i e i m a g i n a i r e d e : z = f^S H (/, a²) d /

5 ! de?⁵ J

^ 2 n ~ + 3 T " d⁹2« + i + . . . (12)

(13)

o u

c a r p o u r

Z = ç + i s ç et

S u p p o s o n s q u e

_ d £ d/

4- = 0 _dz 9 j _

df ^— 3 ?

= H (f, 0 « )

9Ç 9J/

9 ç 9 4 /

i a 4/

H (⁹, » 2 )

9 ï

soit d é v e l o p p a b l e e n s é r i e d e T a y l o r a u v o i s i n a g e d e t o u t p o i n t d u f o n d (4/ — 0, f — fo = <p) • Ceci exige q u e l a f o n c t i o n H ( 9 , c²) , q u i r e p r é s e n t e l e p o t e n t i e l d e l ' é c o u l e m e n t , p u i s s e ê t r e p r o l o n g é e a n a l y t i q u e - m e n t a u - d e s s o u s d e l a d r o i t e \ — 0, c ' e s t - à - d i r e q u e 4- = 0 soit u n a r c a n a l y t i q u e r é g u l i e r . L a f o n c - t i o n H (<?, o²) d o i t d o n c , p o u r o s u f f i s a m m e n t p e t i t , être une fonction régulière de la variable réelle 9 .

D a n s c e s c o n d i t i o n s , o n p e u t é c r i r e , a u v o i s i n a g e d e f⁰ — 9 :

H ( f , <r2) = H ( j f0, , 2 ) + ( / _ / „ ) 9 H

( f o , *²)

3 / • • p

s é r i e a b s o l u m e n t c o n v e r g e n t e p o u r , :

| f — f o l = |««J»| < A

O r (14) s'écrit, c o m p t e t e n u d e s r e l a t i o n s :

9 ? H

df» ^{( f o , °2) +} (14)

f — f ⁰ = = 1 n 4/ ^{3 H}

3 / ( f o , *2) 3 H

H( / , ^C2 ⁾⁼ 9 Ç _ = H(cp) a2 . 3 H 2) _ 04/ 0 9 0 9

( 9 . *²) :

(i a <\>)f> dp H

( 9 , s2) + • (15) p ! 9 9 P

r e m p l a ç o n s , d a n s (15), H ( 9 , c²) p a r l a s é r i e (9) :

H ( 9 , <r2) = 1 + « r V i (9) + . . . + „ 2» fw (ç) _|_ . . .

uniformément convergent quel que soit 9 p o u r lo| < cr^{1 ;} e t s é p a r o n s l e s p a r t i e s r é e l l e s e t i m a g i n a i - r e s , o n r e t r o u v e les' d é v e l o p p e m e n t s (11) e t ( 1 2 ) .

E n c o n c l u s i o n , si l a s é r i e (9) e s t u n i f o r m é m e n t c o n v e r g e n t e q u e l q u e soit 9 p o u r |u| < <j^x, o n p e u t d é t e r m i n e r u n n o m b r e p o s i t i f <s⁰ < a-, t e l q u e l e s s é r i e s (10), (11) e t (12) s o i e n t , p o u r J<t| < <s⁰, u n i f o r m é m e n t c o n v e r g e n t e s d a n s t o u t le p l a n d e l ' é c o u l e m e n t , c e d e r n i e r é t a n t défini p a r :

— ^{0 0} < ? < + ^{0 3} 0 < 4 ; < 1 .

L ' é c o u l e m e n t s e r a a l o r s d o n n é p a r l a f o n c t i o n a n a l y t i q u e (13) : f* H (f, «*) df.

J 0

A i n s i s e t r o u v e n t r é u n i s t o u s l e s é l é m e n t s n é c e s s a i r e s à l a d é t e r m i n a t i o n d e l a f o n c t i o n H (/, o²), q u i d o i t ê t r e t e l l e q u e soit s a t i s f a i t e l a c o r ' l i t i o n (6 a) à la s u r f a c e l i b r e ,

JUILLET-AOÛT 1 9 5 6 - № 3 L A H O U I L L E B L A N C H E 3 7 9

D É T E R M I N A T I O N D E H (f, c²)

L e p r o b l è m e se p o s e de la m a n i è r e s u i v a n t e : D é t e r m i n e r les v a l e u r s d u d é v e l o p - p e m e n t (2) d e F² et les f o n c t i o n s f^x ( 9 ) , /² (9) . . . /„ (c?) d u d é v e l o p p e m e n t (9) d e H (9, a²) de f a ç o n à s a t i s f a i r e i d e n t i q u e m e n t , q u e l s q u e s o i e n t o- e t o, à la c o n d i t i o n à la s u r f a c e q u i s'écrit, p o u r

! ? z # M t ) ] : ; :

^{1 +}

; ; ;

+ . . . + a„ c-²" + . . . (6 a) Ç (9, 1, c²) , - ^ 7 - , ~ - s o n t d o n n é s p a r les sé-

o<|> 09

r i e s (10), (11) et (12) d a n s l e s q u e l l e s on fait

<|/ = 1 .

R a p p e l o n s q u e f^x ( 9 ) , f2 (<?)••• /» (?) d o i v e n t en o u t r e s a t i s f a i r e a u x c o n d i t i o n s s u i v a n t e s , d é s i - g n é e s d a n s la s u i t e p a r « c o n d i t i o n s C ».

1° E l l e s d o i v e n t ê t r e d e s f o n c t i o n s p a i r e s de 9, définies e t c o n t i n u e s q u e l q u e soit 9, a i n s i q u e l e u r s ' d é r i v é e s s u c c e s s i v e s ;

2" E l l e s d o i v e n t t e n d r e v e r s z é r o l o r s q u e 9 a u g - m e n t e i n d é f i n i m e n t p a r v a l e u r s p o s i t i v e s ou n é - g a t i v e s ;

3° L a s u i t e : uⁿ = \fⁿ (<?)//„_i (?) | d o i t ê t r e b o r n é e s u p é r i e u r e m e n t , q u e l q u e soit 9, p a r u n n o m b r e A [ c o n v e r g e n c e u n i f o r m e d e la s é r i e ( 9 ) ] .

E c r i v o n s , p o u r 4¹ = L l ' i d e n t i t é :

Ç, 3Ç/3t|), dÇ/d® é t a n t r e m p l a c é s r e s p e c t i v e m e n t p a r les s é r i e s (10), (11) e t (12) o ù l ' o n f a i t d ) = 1 .

O n o b t i e n t , p o u r le p r e m i e r m e m b r e d e (16), u n e s é r i e o r d o n n é e s u i v a n t les p u i s s a n c e s d e o-², d o n t t o u s les coefficients d o i v e n t ê t r e i d e n t i q u e - m e n t n u l s .

O n o b s e r v e q u e c e t t e s é r i e c o m m e n c e p a r u n t e r m e e n o-⁴. Cela t i e n t a u c h o i x p a r t i c u l i e r d u p r e m i e r t e r m e d u d é v e l o p p e m e n t d e F², a⁰ = 1 (le coefficient d u t e r m e e n o-² s ' é c r i r a i t , e n p o s a n t F² = a⁰ - f ^{K l} o-2 - f . . ., 2 fj (9) (1 — a⁰) , ce q u i e n - t r a î n e , e n d e h o r s d e la s o l u t i o n b a n a l e f^x (9) = 0, a⁰ = 1 ) . L a p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n n e d é t e r m i n e d o n c p a s /] ( 9 ) , m a i s d o n n e s i m p l e m e n t la v a l e u r d u p r e m i e r t e r m e d u d é v e l o p p e m e n t de F², o .⁰= l . Ce r é s u l t a t , q u i c o n s t i t u e l a f o r m u l e c l a s s i q u e d e LAGRANGE, c a r a c t é r i s e la s i n g u l a r i t é d e s é c o u - l e m e n t s a u v o i s i n a g e d e la h a u t e u r c r i t i q u e .

a⁰ é t a n t a i n s i p r i s égal à l ' u n i t é , o n r e m a r q u e q u e le coefficient d e <r^J e s t i n d é p e n d a n t d e f² (9) et, d ' u n e f a ç o n g é n é r a l e , le coefficient de c²" e s t i n d é p e n d a n t de / » ( 9 ) .

Ce r é s u l t a t c l a s s i q u e , q u e BOUSSINESQ m i t le p r e m i e r e n é v i d e n c e , n é c e s s i t e , p o u r l ' o b t e n t i o n de / „ ( 9 ) , d e r e c o u r i r à l ' a p p r o x i m a t i o n d ' o r d r e n + 1 .

N o u s d é t e r m i n e r o n s s u c c e s s i v e m e n t f^x (9) et / 2 (9) p a r les é q u a t i o n s d e d e u x i è m e e t t r o i s i è m e a p p r o x i m a t i o n . N o u s m o n t r e r o n s e n s u i t e , à l ' a i d e d ' u n r a i s o n n e m e n t p a r r é c u r r e n c e , q u e le c a l c u l d e fⁿ (9) se r a m è n e à l a r é s o l u t i o n d ' u n s y s t è m e l i n é a i r e d ' é q u a t i o n s a l g é b r i q u e s , la c o n d i t i o n d e c o m p a t i b i l i t é d o n n a n t le coefficient a„ d u d é v e l o p - p e m e n t de F².

1 + * i 0 (16)

É Q U A T I O N D E D E U X I È M E A P P R O X I M A T I O N

O n l ' o b t i e n t e n a n n u l a n t le coefficient d u t e r m e en o-⁴ d a n s le d é v e l o p p e m e n t de (16). Il v i e n t :

- f ^ — ' ' - 4 - ' ' " <l7)

é q u a t i o n d u s e c o n d o r d r e , d o n t u n e i n t é g r a l e p r e m i è r e s ' é c r i t :

la c o n s t a n t e d ' i n t é g r a t i o n e s t p r i s e égale à zéro,

f^± (9) d e v a n t s ' a n n u l e r a s y m p t o l i q u e m e n t l o r s - q u e 9 a u g m e n t e i n d é f i n i m e n t .

Si 04 e s t positif [ c e t t e c o n d i t i o n e x p r i m e q u e l ' é c o u l e m e n t e n v i s a g é e s t t o r r e n t i e l [ F² > ce q u e n o u s s u p p o s e r o n s d a n s la s u i t e ] , l ' é q u a - t i o n (18) a d m e t u n e i n t é g r a l e , et u n e s e u l e , cons- tituée par une fonction paire de o définie et continue, quel que soit 9 ; elle s ' é c r i t :

3 8 0 LA H O U I L L E B L A N C H E N " 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 C

i n t é g r a l e q u i s ' e x p r i m e à l ' a i d e d e s f o n c t i o n s élé- m e n t a i r e s s o u s la f o r m e :

A c h² [ ( V 3 a i / 2 ) 9 ]

(19)

L e p a r a m è t r e % p o s i t i f p e u t ê t r e c h o i s i a r b i - t r a i r e m e n t . L ' o n d e s o l i t a i r e d e c a r a c t é r i s t i q u e s ( y⁰, F ) é t a n t m a n i f e s t e m e n t u n i q u e , o n e s t c o n - d u i t à p e n s e r q u e l a s o l u t i o n e n v i s a g é e , f o n c t i o n a priori d e a^t e t <r², n e d é p e n d e n r é a l i t é q u e d ' u n s e u l p a r a m è t r e X == V a i <s. Ceci e s t v r a i p o u r le p r e m i e r o r d r e si o n se r a p p e l l e q u ' o n a p o s é 9 = c ( $ / V y⁰). O n a e n effet, a u p r e m i e r o r d r e :

F² = 1 + ŒA G2 = 1 + l2

o n d e v r a d e m ê m e a v o i r p o u r l ' o r d r e n : aⁿ = K„ V , K^{t t} é t a n t i n d é p e n d a n t d e a^{1 ;}

/„ (?) = *i" <7 (V^T?)

Ce r é s u l t a t diffère d e c e l u i a u q u e l c o n d u i t l a t h é o r i e c l a s s i q u e d e s a p p r o x i m a t i o n s l i n é a i r e s . D a n s celles-ci, e n effet, l a p r e m i è r e a p p r o x i m a - t i o n , d é n o m m é e p a r P O I N C A R É « é q u a t i o n a u x v a r i a t i o n s », e s t u n e é q u a t i o n l i n é a i r e e t h o m o - g è n e , d o n t l a s o l u t i o n e s t u n e f o n c t i o n l i n é a i r e de la c o n s t a n t e d ' i n t é g r a t i o n . I l n e s a u r a i t évi- d e m m e n t e n ê t r e d e m ê m e p o u r le p r o b l è m e e n v i s a g é , o ù « l ' é q u a t i o n a u x v a r i a t i o n s » (18) n ' e s t p a s l i n é a i r e .

D e f a ç o n à vérifier, p o u r l e s a p p r o x i m a t i o n s u l t é r i e u r e s , l ' h y p o t h è s e a v a n c é e p l u s h a u t , n o u s n e d o n n e r o n s p a s d è s m a i n t e n a n t à a^x u n e v a l e u r a r b i t r a i r e s u s c e p t i b l e d e s i m p l i f i e r l ' é q u a t i o n (19) H ( 9 , ^{a 2}) = l + s ²/¹( 9 ) = l +

c h² [ ( V 3 / 2 ) V a ^ D / V j / o ) ! ^{= 1 +} ch'² [ ( V 3 / 2 ) A ( $ / V | /^a) l

É Q U A T I O N D E T R O I S I È M E A P P R O X I M A T I O N

O n l ' o b t i e n t e n a n n u l a n t l e coefficient d e o°

d a n s l e d é v e l o p p e m e n t d e (16). Il v i e n t : 1

T d²f²

do² / 2 ( 3 / : • * i ) = R² _fi, d-h

(Mi

d"9² do (20) où R² e s t u n e f o n c t i o n d é t e r m i n é e d e l ' a p p r o x i - m a t i o n p r é c é d e n t e ; si o n y r e m p l a c e d²f]/do² et (df¹/do)² p a r l e u r s v a l e u r s d é d u i t e s d e (17) et (18), o n voit q u e R² e s t u n p o l y n ô m e d u t r o i - s i è m e d e g r é e n s a n s t e r m e c o n s t a n t et o n o b t i e n t , t o u s c a l c u l s f a i t s :

d²f²

d<?^{2 + / 2} (3 / 1 — « i ) = ( a2 •

9 .

12

10 « i²) / ] ( 9 )

+ - f - ' « i / i² — 4 / i³ ( 2 D f^t ( 9 ) é t a n t d o n n é p a r ( 1 9 ) .

C'est u n e é q u a t i o n l i n é a i r e d u s e c o n d o r d r e ; n o u s n o u s p r o p o s o n s d e d é m o n t r e r q u ' e l l e a d - m e t u n e s o l u t i o n u n i q u e f² ( 9 ) s a t i s f a i s a n t a u x c o n d i t i o n s C d é c r i t e s p l u s h a u t .

R e m a r q u o n s q u e df^x/do e s t u n e s o l u t i o n p a r - t i c u l i è r e d e l ' é q u a t i o n s a n s s e c o n d m e m b r e . E n effet, l a d é r i v a t i o n d e (17) d o n n e :

do² do + - f - [ 3 A -

L ' i n t é g r a t i o n d e (21) se r a m è n e d o n c à d e u x q u a d r a t u r e s e n p o s a n t :

U

(?) = K ( 9 )

Ml

(21) s ' é c r i t , à l ' a i d e d u c h a n g e m e n t d e f o n c - t i o n p r é c é d e n t e t d ' u n f a c t e u r i n t é g r a n t a p p r o - p r i é :

dK do X

3

V

^do

ou, e n i n t é g r a n t : dK_

do X

do

12 10

Ml do

- h - 5 - *ifi³ — fx

L a c o n s t a n t e d ' i n t é g r a t i o n e s t p r i s e é g a l e à z é r o , /² ( 9 ) d e v a n t s ' a n n u l e r a s y m p t o t i q u e m e n t l o r s q u e 9 a u g m e n t e i n d é f i n i m e n t .

K ( 9 ) s ' o b t i e n t a l o r s p a r u n e q u a d r a t u r e , e n r e m p l a ç a n t f^x ( 9 ) e t dfjdo p a r l e u r v a l e u r d é - d u i t e d e (19) e t e n c h o i s i s s a n t c o n v e n a b l e m e n t la c o n s t a n t e d ' i n t é g r a t i o n , d e f a ç o n à o b t e n i r

JUTLLET-AOUT 1 9 5 6 - № 3 L A H O U I L L E B L A N C H E 381

p o u r K (a) u n e f o n c t i o n i m p a i r e f² ( 9 ) = K ( 9 ) ( d i \ / d ⁹) , (i/'j/d 9 d e v a n t ê t r e p a i r e .

Il v i e n t , t o u s c a l c u l s f a i t s :

d ' o ù

,. , , / 1 2 , \ / 1 ^ö s h ß^t o \

2 0 4 -

c h^a Sx 9

7

a i2

^~ c h⁴ 3^X 9 c h² B, ? en p o s a n t p o u r simplifier 3i = ( V 3 a i) / 2 ,

Cette s o l u t i o n s a t i s f a i t m a n i f e s t e m e n t a u x d e u x p r e m i è r e s c o n d i t i o n s C, m a i s n o n à la t r o i - s i è m e . E n effet, le r a p p o r t u² = \f² (<p)/A ( 9 ) | n ' e s t p a s b o r n é s u p é r i e u r e m e n t , q u e l q u e soit 9 , sauf si «² = ( 1 2 / 1 0 ) o^².

On est ainsi conduit à annuler le coefficient de f, dans le second membre de ( 2 1 ) , / 0( 9 ) p r e n d a l o r s l a f o r m e t r è s s i m p l e :

h (<?) = — *i A + 2 A²- ^{( 2 2 )} M o n t r o n s q u e , d a n s ces c o n d i t i o n s , le c a l c u l d e /2 ( 9 ) p e u t se r a m e n e r à la r é s o l u t i o n d ' u n s y s - t è m e l i n é a i r e d ' é q u a t i o n s a l g é b r i q u e s :

E n effet, si o n a n n u l e le coefficient d e f1

d a n s le s e c o n d m e m b r e d e ( 2 1 ) e n p o s a n t ou =-. ( 1 2 / 1 0 ) a ,², ( 2 1 ) s ' é c r i t :

1 d2 f2

4 - - ^ i r + / . ( s h • ai) 3 a >²

= ~ « 1 A² — 4 A³ = A^{2 1} «^x A² + A^{2 2} / , 3 ;

c h e r c h o n s p o u r f² ( 9 ) u n e s o l u t i o n d e l a f o r m e : f2 ( 9 ) = a21 ttl fj + a22 A2,

d é r i v o n s d e u x fois, e t t e n o n s c o m p t e d e s e x p r e s - sions' d e a *²f¹/ c ? 9² e t (d fjd o)² d o n n é e s p a r ( 1 7 ) et ( 1 8 ) ; il v i e n t :

d² f²

3 a22 + - ~ < * 2 i )*i A2' ; a²² A³ le coefficient d u t e r m e e n é t a n t i d e n t i q u e m e n t n u l . E n p o r t a n t c e t t e e x p r e s s i o n d a n s ( 2 1 a) et en i d e n t i f i a n t , o n o b t i e n t :

1

on r e t r o u v e a i n s i t r è s s i m p l e m e n t l ' e x p r e s s i o n ( 2 2 ) .

F O R M E GÉNÉRALE D E / „ ( 9 )

L e s r é s u l t a t s p r é c é d e n t s p e r m e t t e n t d e d é g a - ger u n e m é t h o d e d e r é c u r r e n c e , d o n n a n t l a f o r m e g é n é r a l e d e s a p p r o x i m a t i o n s u l t é r i e u r e s .

M o n t r o n s q u e a„ et /„ ( 9 ) s o n t r e s p e c t i v e m e n t de l a f o r m e :

a» = K» a,"

U

( ? ) = « h i V - 1 A + • • •

+ a* ^v *i ⁿ - ^p fi ^p -

( 2 3 )

a«» A". ( 2 4 ) où K„ et anp s o n t d e s n o m b r e s a l g é b r i q u e s f r a c - t i o n n a i r e s .

Cette f o r m e é t a n t e x a c t e p o u r n = 1 et n = 2 , il suffit d e m o n t r e r q u e si elle e s t v r a i e j u s q u ' à l ' o r d r e n — 1 i n c l u s , elle e s t v r a i e p o u r l ' o r d r e n.

D a n s c e s c o n d i t i o n s , /„ ( 9 ) s ' o b t i e n t e n a n n u - l a n t d a n s le d é v e l o p p e m e n t d e ( 1 6 ) le coefficient C„ d u t e r m e e n o-^{2 , i}+².

Ce coefficient est, n o u s le s a v o n s , i n d é p e n d a n t d e / „⁺i ( ? ) . E n e n i s o l a n t l e s t e r m e s c o n t e n a n t fⁿ ( 9 ) et a,„ il v i e n t :

G»

2

1 d*fⁿ

3 do²

fn(S A — «,) — «„ A — R „ (^?) = 0 R„, ( 9 ) é t a n t u n e f o n c t i o n d e s a p p r o x i m a t i o n s p r é - c é d e n t e s , c ' e s t - à - d i r e d e A> /2 • • • / « - 1 (?) ^et d e l e u r s d é r i v é e s , a i n s i q u e d e aT, a2 . . . <x„_i-

E n se r e p o r t a n t a u d é v e l o p p e m e n t d e ( 1 6 ) à

l'aide d e s s é r i e s ( 1 0 ) , ( 1 1 ) , ( 1 2 ) o ù l ' o n fait

<\>==1,

on m o n t r e s a n s difficulté q u e R„ ( 9 ) e s t l a s o m m e d u p r o d u i t , p a r d e s n o m b r e s a l g é b r i q u e s f r a c - t i o n n a i r e s , d e t e r m e s p o u v a n t p r é s e n t e r les q u a - t r e f o r m e s s u i v a n t e s :

( D tf²"-^2sA⁺¹

X

e n ) - 4

x

d²«-²* f, do²''--¹

d2,1 + 1-21

f ^f

do²

ç[2r+\-!>m. f

^f

J r"ÏTX'\

(¡21,-21

^{f (pr-2m f}

3 8 2 LA H O U I L L E B L A N C H E - № 3 - JUILLET-AOÛT 195G

o ù p, q, r, s, m, t s o n t d e s e n t i e r s q u e l c o n q u e s , s a t i s f a i s a n t t o u t e f o i s a u x c o n d i t i o n s s u i v a n t e s :

p + q + r = n

o ^.s ^ p o ^.t ^.q o ^ m ^ r (25) p — 2 q —• 1 m ^ / i — 1

e t a v e c les s i g n i f i c a t i o n s s y m b o l i q u e s : f o ( ? ) = i .

S u p p o s o n s m a i n t e n a n t q u e , j u s q u ' à l ' o r d r e n — 1 i n c l u s , <x^p e t f.^p (ç) s o i e n t d e l a f o r m e (23) et (24). O n d é m o n t r e f a c i l e m e n t , e n r a i s o n n a n t p a r r é c u r r e n c e et c o m p t e t e n u d e (17) e t (18), q u e d²<i-^2tf^t/d < p 2⁸_ 2 * e s t ; p^0Ur q ^ t, u n p o l y - n ô m e (*) h o m o g è n e et d e d e g r é q des d e u x v a r i a - b l e s (*! et f^u p o l y n ô m e q u e n o u s d é s i g n e r o n s p a r la n o t a t i o n :

Pq.t (.«•!> fl)

a v e c :

P^q,t(*i, 0 ) = 0 ;

il s ' e n s u i t q u e :

cPv + ^'ft ⁼ -àPa.t ^v A L

e s t le p r o d u i t p a r df\/da, d ' u n p o l y n ô m e h o m o - g è n e e t d e d e g r é q — 1.

O n e n d é d u i t , c o m p t e t e n u d e (18), (23) et (25), q u e c h a q u e t e r m e d e R„(<p), e t p a r s u i t e R» ( 9 ) l u i - m ê m e , e s t u n p o l y n ô m e h o m o g è n e e t d e d e - g r é (n + 1), d e s d e u x v a r i a b l e s % et f^lt s ' a n n u - l a n t a v e c f^x e t d o n t t o u s les coefficients s o n t d e s n o m b r e s a l g é b r i q u e s f r a c t i o n n a i r e s .

O n p e u t d o n c é c r i r e : R„ ( 9 ) = A „⁰ «!» f^l +

Kl

a i * "¹ / 1²

+ A^{np ai}— » fj+ï + . . . + Aⁿⁿ f ;

/ „ ( 9 ) est d o n c s o l u t i o n d e l ' é q u a t i o n différen- t i e l l e

T " f ^ ^{+ fn (3 fl} ~ ~^ai) ^ f^{K q ai}* + ° ^ ^fl

+ A „¹a¹« - i f¹2 + . . .

+ A^np f^ + i + . . . + Aⁿⁿ r y » + « (26)

O n d é m o n t r e , c o m m e p o u r (21), q u e c e t t e é q u a t i o n a d m e t u n e solution unique s a t i s f a i s a n t

(*) L e s c o e f f i c i e n t s d e c e p o l y n ô m e s o n t , c o m m e c e u x de ( 2 4 ) , d e s n o m b r e s a l g é b r i q u e s f r a c t i o n n a i r e s .

a u x c o n d i t i o n s C, si t o u t e f o i s le coefficient d e f^x e s t n u l , c ' e s t - à - d i r e si :

*» ~ — A „⁰ ax",

c o n d i t i o n q u i d o n n e le coeficient a„ d u d é v e l o p - p e m e n t d e F² :

<x„ = K„ ax» K„ = - - A „⁰ (23)

Il r e s t e à d é m o n t r e r q u e c e t t e s o l u t i o n e s t b i e n de l a f o r m e (24) a n n o n c é e p l u s h a u t .

E n c h e r c h a n t p o u r /„ ( 9 ) u n e s o l u t i o n d e c e t t e f o r m e , o n o b t i e n t , e n d é r i v a n t d e u x fois e t c o m p t e t e n u d e (17) et (18), l ' e x p r e s s i o n d e la q u a n t i t é :

s o u s l a f o r m e d ' u n p o l y n ô m e h o m o g è n e e t d e d e g r é (n + 1) d e s d e u x v a r i a b l e s ' a^t et /³, d a n s l e q u e l les d e u x p r e m i e r s t e r m e s d u d é v e l o p p e - m e n t o r d o n n é s u i v a n t les p u i s s a n c e s d é c r o i s s a n - t e s d e a^x s o n t i d e n t i q u e m e n t n u l s .

E n i d e n t i f i a n t a v e c (26), o n v o i t q u e , s o u s r é - s e r v e q u e soit s a t i s f a i t e l ' é g a l i t é ( 2 3 ) , aⁿ = K„ 04™, les coefficients a^nl, . . . a^np . .. a^m d e l ' e x p r e s s i o n (24) d o n n a n t /„ ( 9 ) s o n t d o n n é s p a r le s y s t è m e l i n é a i r e :

/ — a^mi (2 n² + n — 6) = 2 A „^B

2 a™ (n — l ) ( T i + l )

— a ^ . ^ [2 (n — l )² + ⁿ — 1 — 6 ] = 2 A » , , . ! )

j 2 a „^{( P + 1 )} X P (P + 2) (27)

- f l ^w [ 2 p ^î + p - 6 ] = 2 A ^w

\ 6 a „² + 3 a„x = 2 A^{B 1}

d ' o ù o n t i r e s u c c e s s i v e m e n t les v a l e u r s d e a„ⁿ, a^B( » - i ) • • • ^ana • • • ^am- C e t t e o p é r a t i o n e s t t o u - j o u r s p o s s i b l e c a r , q u e l q u e s o i t l ' e n t i e r p, la q u a n t i t é (2 p² + p — 6) e s t d i f f é r e n t e d e z é r o .

E n définitive, aⁿ et f„ ( 9 ) o n t b i e n la f o r m e (23) et (24) a n n o n c é e p l u s h a u t .

CALCUL D E K,

N o u s a v o n s vu q u e K„, == — Aⁿ⁰, A„,⁰ é t a n t le coefficient d e ax"/i d a n s le d é v e l o p p e m e n t d e R^{r e} ( 9 ) . L a d é t e r m i n a t i o n d e A „⁰ e s t r e l a t i v e m e n t s i m p l e , c a r il suffit d e c o n s i d é r e r , d a n s le c a l c u l

JUILLET-AOÛT 1 9 5 6 - № 3 L A H O U I L L E B L A N C H E 383

de R^{r e} ( ? ) , l e s t e r m e s q u i d é p e n d e n t l i n é a i r e m e n t de f^L, f²... U-i ^et d e l e u r s d é r i v é e s . O n o b t i e n t

1 (Pf,

2 ! d t p²

+ tt»-2

+ . . .

~ f "Œ2

+ « 1

fi 1 d²f² , 1

2 ! d®² ' 4 ! d tp⁴

fn—1 2 ! d⁹2 1 rf²/»-!

2 ! d( = 2

+ ... + + ... +

, 1 &U_ⁿ 1 d « /^M_²

~^r 4 ! d c?* 6 ! d⁹6

(— l ) " -³ d 2» - 4 ^ -

( 2 n — 4 ) ! d 9²» - * (— l ) ' " -¹ d²" -²/ ! ~ ( 2 / i — 2 ) ! d 9²» ~²

, ( — 1 ) " d²» / \

~^l~ 2 ni , d 9²»

O r , o n a

1 < f t / i _^B , 1 d « / „ „² ( — 1 ) » d^f, 5 ! d o⁴ ^ 7 ! d^?e ' " ( 2/ 1 + 1 ) ! d 9²"

/^J, ( 9 ) = a , I « I » -¹/¹+ . . . ( * )

« N = 1

d²«h-„

d o2s des²«

+

et, c o m p t e t e n u d e ( 1 7 )

d ' o ù

p o s o n s d e m ê m e :

d²"f^p-

d o²« X 3« X O I P - I / ! + . . . ;

= K „ V K î = 1 ;

(28)

e n p o r t a n t c e s d i v e r s e s e x p r e s s i o n s d a n s (28), o n o b t i e n t le p r e m i e r t e r m e d u d é v e l o p p e m e n t d e R„ (9) s o u s l a f o r m e k^a-ff^

Il v i e n t , e n définitive :

A„ o + K ,^T — 0 =

+ a( n - 2 ) l

+ • • • K „ _ i

K² —

K3 —

3

+

2 ! ^ 3² 4 !

3² 5 ! 3 K2 .

2 !

3² 4 !

3⁸ 6 !

+ a^{2 1 q f 1V»—}

2 ( 1 V» - I 3» - 1

(2 n — 4) ! ( 2/ 2— 2 ) !

( — 1 ) " - * 3 " "¹

( 2 / 1 — 1 ) !

, 3 „ , , (— D " '² 3 " -^{2 K} , (— l ) » -¹3 " -¹ ( — 1 ) " 3 " ( — 1 ) " 3 "

+ — y j - V i + • • • - r (2n — 4 ) ! , ^2_t" ( 2 n — 2 ) ! ( 2 n ) ! ( 2 n + l ) !

(*) L e s t e r m e s s u i v a n t s s o n t d'ordre s u p é r i e u r à u n , d o n c s a n s i n t é r ê t p o u r l e c a l c u l d e AI l 0.

3 8 4 LA H O U I L L E B L A N C H E № 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 6

Si, d a n s c e t t e é g a l i t é , o n fait s u c c e s s i v e m e n t n = 2, n = 3 . . . d e f a ç o n à c a l c u l e r K², K³, . . . , o n voit q u e K^№ e s t i n d é p e n d a n t d e s coefficients

A ( „ _ I ) I • . • a²¹, e t d o n n é p a r la s u i t e définie p a r les r e l a t i o n s :

K l== l

K 2 — j j K , 3² 4 !

3² 4 !

3²

= 0

3 1 . 7 !

L ' é t u d e de c e t t e s u i t e m o n t r e q u ' e l l e e s t c r o i s - s a n t e et q u e la s u i t e u^{f t} = ( K „ / K, t _ ! ) e s t é g a l e - m e n t c r o i s s a n t e et t e n d p o u r n — oo v e r s u n e li- m i t e r, q u i e s t la p r e m i è r e r a c i n e p o s i t i v e de l ' é q u a t i o n t r a n s c e n d a n t e :

cos ^{A = 1}

4 ! V /•

O n en d é d u i t

1

1 I

_3_

r

(— D".

( 2 n ) ! 0;

K . —

2 T

^K

" ~

^l

( — 1 ) » -²3 " -² ( _ 1) » - 13» - 1

(2 n — 2) !

( 2/ 1 — 4) ! ( — 1 ) » 3 »

(2 n) !

(__ d^,,

( 2/ 1 4- 1 ) ! = 0

(29)

V L a s é r i e (2) : F² = 1 + Ct! d2

12

K² («! 0 * ) 2 4 - . . . + K „ ( a¹ 0"²)«

est d o n c a b s o l u m e n t c o n v e r g e n t e l o r s q u e : 12 a-, fj²

_2 < 1

DÉTERMINATION DU POTENTIEL DE L'ÉCOULEMENT

L e p o t e n t i e l d e l ' é c o u l e m e n t est d o n n é p a r dz

df H if, o-²) ou :

z

=

^\

4 i * ç

^{(x 4 - iy)}

a v e c

J/o • • • ^Vy „

L e s r é s u l t a t s é t a b l i s p l u s h a u t m o n t r e n t q u e H (/, o-²) e s t d o n n é p a r (9) :

H ( / , o -2) = 1 + < T2/1( / ) + « * £ , < / ) 4 - . . . , - ' « / „ ( / ) + . . .

[<I> 4 - i f ]

c h² [ ( V 3 a^t/ 2 ) /H /2 = «21 * , / 1 + «22

/ a

²

= ~

^«1

A +

²

A

²

/ „ = a

^{B l}

« ! » -

¹

/ , + . . . +

^anp / V 4 - . . . 4 -

a

^{) m}

f

^x

»

le p a r a m è t r e a é t a n t r e l i é a u n o m b r e de F r o u d e de l ' é c o u l e m e n t F p a r la s é r i e ( 2 ) . C o m p t e t e n u de (19) et (24), on voit q u e f„ (/) est de la f o r m e :

U ( / ) = « i ' ? ( V ^ f ) = < J ^{V »1 o-}

V?7o + i

(9) (19)

d e s o r t e q u e H (f, c²) et F² d é p e n d e n t e n fait d u seul p a r a m è t r e 1 = Vâ^a. Il est donc possible de.

donner à 04 une valeur positive arbitraire. N o u s d o n n e r o n s , d a n s l a s u i t e , à 04 la v a l e u r *³ = ( 4 / 3 ) p o u r l a q u e l l e (19) s ' é c r i t :

h (f) 3 c h² / (19

a l

JUILLET-AOÛT 1 9 5 6 - № 3 L A H O U I L L E B L A N C H E 3 8 5

L e p o t e n t i e l d e l ' é c o u l e m e n t e s t a l o r s défini p a r

df V c h² f = 1

4 - IA . f 4 A2

+

3 c h² /

( t - ) '

1

+

²

c h² f ' c h⁴ /' (9 a)

I „1,4 * I

c h² / ¹ c h⁴ / c h²» /

Ce p a r a m è t r e s a n s d i m e n s i o n s a é t a n t r e l i é a u n o m b r e d e F r o u d e de l ' é c o u l e m e n t p a r la s é r i e (2 a) :

F² = 1 + K i ( 4 / 3 ) a² + K„ [ ( 4 / 3 ) s²]² + . . . + K„ [ 4 / 3 ) a²] » + . . . (2 a ) a b s o l u m e n t c o n v e r g e n t e p o u r |<r| < TC/4.

K^t, K o - • • K„ é t a n t d o n n é s p a r la s u i t e (29), si o n p o s e :

K^1S= : 3» U., 1 ^ = 3 ^ = 1 , F² e s t d o n n é p a r :

F² = 1 + v, (4 s²) + v² (4 s²)² + . . . v„ (4 a²)»,

et o n o b s e r v e q u e la s u i t e v^x = 1 / 3 , v². . . v,„ d é d u i t e de (29) p a r la r e l a t i o n K „ — 3" vⁿ, e s t p r é c i s é m e n t celle q u ' o n o b t i e n t e n c h e r c h a n t les coefficients d u d é v e l o p p e m e n t de ( t g d o 0 / 2 c

O n e n d é d u i t :

F'2 t g 2 .

(30) ce q u i p r é c i s e la s i g n i f i c a t i o n de s : vis-à-vis d u n o m b r e de F r o u d e F de l ' é c o u l e m e n t , <x e s t la p l u s p e t i t e r a c i n e r é e l l e p o s i t i v e d e l ' é q u a t i o n t r a n s c e n d a n t e (30) où F e s t s u p p o s é s u p é r i e u r à 1.

Ce r é s u l t a t p e u t ê t r e r e t r o u v é p a r u n e a u t r e m é t h o d e q u i p r é s e n t e u n c e r t a i n i n t é r ê t , c a r elle p e r - m e t d e f o r m e r d e s f o n c t i o n s m a j o r a n t e s , p o u r l a f o n c t i o n H [ ( 1 / c h² f ) , o²] d e l a v a r i a b l e c o m p l e x e / .

C o n s i d é r o n s le p o t e n t i e l c o m p l e x e défini p a r :

dz f 1

Ja

1 J df

df ' - U h²/ ' " ; ~ Jo " V c h²/ ' /

7, étant une fonction holomorphe de /, dans toute la région de l'écoulement : [ o o < ⁹ < + o o 0 < 4 < < 1 ] ,

pour |o| < <T'⁰, supposons de plus que x [ ( 1 / c h² f ) , a²] soit développable en série entière de n² sous une forme analogue à (9 a) :

dz^

df v c W * , ) = 1 + T ~cWf

+

c h² f ' c h

+

⁴f

a'

c h²* ' /

+

cette s é r i e e s t é v i d e m m e n t , p o u r |<j| < </⁰, u n i f o r m é m e n t c o n v e r g e n t e , q u e l q u e soit f = ? - f i a <\f, l o r s q u e — c o < ^? < o o ^{e i}- |4>| < 1.

C a l c u l o n s , c o m m e p l u s h a u t , et p o u r <]/ = 1, la q u a n t i t é : 2 ( î — 1 )

Q (?, O =

^ Y

_i_ " ( ^ ^v

3 C 1

C'est u n e f o n c t i o n de o et de a², d o n n é e p a r le d é v e l o p p e m e n t :

Q (cp, s2 ) = 1 + r² U, (?) + ^{0 *} U² (?) + . . . » 2 « U „ ( ? ) +