I N T E R V E N T I O N D E M . J A C Q U E S B E R N I E R
S U R L ' A P P L I C A T I O N D E S D I V E R S E S L O I S L I M I T E S D E S V A L E U R S E X T R Ê M E S A U P R O B L È M E D E S D É B I T S D E C R U E
I n t r o d u c t i o n
L ' é t u d e d e s v a l e u r s e x t r ê m e s d ' u n é c h a n t i l l o n d e n v a r i a b l e s a l é a t o i r e s n ' e s t a p p a r u e q u ' a s s e z t a r d i v e m e n t d a n s l e s t r a v a u x d e s s t a t i s t i c i e n s ; p e n d a n t l o n g t e m p s , la n a t u r e a l é a t o i r e m ê m e
de c e s v a r i a b l e s a é t é m i s e e n c a u s e e t c e n ' e s t q u e v e r s l e s a n n é e s 1925 à 1 9 3 0 q u e d e s i d é e s p r é c i s e s o n t p u ê t r e d é g a g é e s s u r c e s u j e t ; le m é r i t e e n r e v i e n t à d ' é m i n e n t s m a t h é m a t i - c i e n s c o m m e M M . F R É C H E T , F I S H E R e t T I F F E T T et s u r t o u t GUMBEL q u i , p a r l ' é t u d e a p p r o f o n d i e d e l a loi e x p o n e n t i e l l e q u i p o r t e s o n n o m et p a r les n o m b r e u s e s a p p l i c a t i o n s f a i t e s p r i n c i p a l e - m e n t e n h y d r o l o g i e s t a t i s t i q u e , a c o n t r i b u é le p l u s à l a g é n é r a l i s a t i o n d e c e t t e t h é o r i e .
D a n s l a s u i t e d e c e t t e n o t e , n o u s a l l o n s f a i r e
q u e l q u e s r e m a r q u e s s u r la c o n v e r g e n c e v e r s l e s lois l i m i t e s d e s v a l e u r s e x t r ê m e s ; c e t t e q u e s t i o n a s o u l e v é , à m a i n t e s r e p r i s e s , d e n o m b r e u s e s d i s - c u s s i o n s .
N o u s m e t t r o n s e n s u i t e e n é v i d e n c e le l i e n q u i e x i s t e e n t r e l a m é t h o d e d ' e s t i m a t i o n d e s c r u e s b a s é e s s u r l a t h é o r i e d e s v a l e u r s e x t r ê m e s e t la m é t h o d e d e M. GIBRAT b a s é e s u r l a loi d e G a l t o n . N o u s é t u d i e r o n s enfin u n e d e s t r o i s lois d e s v a l e u r s e x t r ê m e s , d i t e loi d e F r é c h e t , q u i n e s e m - b l e p a s a v o i r é t é u t i l i s é e j u s q u ' à p r é s e n t , m a i s
d o n t c e r t a i n e s p r o p r i é t é s r e m a r q u a b l e s f o n t q u ' e l l e p e u t ê t r e a p p l i q u é e a v e c s u c c è s d a n s c e r t a i n s c a s , c o m m e le m o n t r e r o n t q u e l q u e s e x e m p l e s .
H . — F o r m e s l i m i t e s g é n é r a l e s d e l a l o i d e l a p l u s g r a n d e v a l e u r d ' u n é c h a n t i l l o n d e n v a r i a b l e s a l é a t o i r e s i n d é p e n d a n t e s
T o u t e s les f o r m e s l i m i t e s p o s s i b l e s d e l a f o n c - t i o n d e r é p a r t i t i o n d e l a p l u s g r a n d e v a l e u r p e u - v e n t ê t r e o b t e n u e s (cf. F I S H E R e t T I P P E T T ) p a r la r é s o l u t i o n d e l ' é q u a t i o n f o n c t i o n n e l l e s u i - v a n t e :
F " (x) = F (a.n x + b„) (II, 1) L e s s o l u t i o n s d e (II, 1) s o n t d e t r o i s t y p e s dif- f é r e n t s :
—• T Y P E I (loi d e G u m b e l ) : F (.x) d e l a f o r m e e-°"; le c h a m p d e v a r i a t i o n d e l a v a r i a b l e e s t
— oo, + oo. L a loi d e l a p l u s g r a n d e v a l e u r d ' u n é c h a n t i l l o n d e g r a n d e u r n t i r é d e c e t t e loi e s t d e m ê m e f o r m e q u e l a loi i n i t i a l e ; celle-ci s u b i t s i m p l e m e n t u n e t r a n s l a t i o n d e m o d u l e l o g n : ceci r é s u l t e d e (II, 1) o ù an = 1, bn = log n.
— T Y P E I I (loi d e F r é c h e t ) : F (x) d e l a f o r m e e-t»-" p o s i t i f ) ; le c h a m p d e v a r i a t i o n e s t 0, + 0 0 .
P o u r c e t t e l o i : an = n-l/lc, bn = 0; l ' é c h e l l e
d e la loi e s t seule modifiée l o r s q u e l ' o n p r e n d la p l u s g r a n d e v a l e u r : elle e s t m u l t i p l i é e p a r
( f a c t e u r c r o i s s a n t avec n).
- - T Y P E I I I : F (x) d e la f o r m e e - ( k p o - sitif) : le c h a m p d e v a r i a t i o n e s t : — oo, 0.
L a f o r m u l e ( I I , 1) e s t telle q u e an= n + Al,c bn = 0 : l ' é c h e l l e e s t m u l t i p l i é e p a r n- i/ f c ( f a c t e u r d é c r o i s s a n t a v e c n).
L e s c o n d i t i o n s q u i p e r m e t t e n t a l o r s d e c h o i s i r e n t r e ces d i v e r s e s f o r m e s r e p o s e n t s u r le c o m - p o r t e m e n t a s y m p t o t i q u e d e la loi d e l ' é c h a n - tillon i n i t i a l .
Soit F j (x) l a f o n c t i o n d e r é p a r t i t i o n d e c e t é c h a n t i l l o n e t fx (x) s a d e n s i t é . L o r s q u e F j t e n d v e r s 1 :
Si f, d é c r o î t d e f a ç o n e x p o n e n t i e l l e : l a l i m i t e e s t le t y p e I.
Si x t e n d a n t v e r s l'infini, fl d é c r o î t c o m m e x~k, l a l i m i t e e s t le t y p e I I .
Si x t e n d a n t v e r s z é r o p a r v a l e u r s n é g a t i v e s , f i d é c r o î t c o m m e \x\jc; la l i m i t e e s t le t y p e I I I .
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1956049
NOVEMBRE 1 9 5 6 - № 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 7 1 9
III. — R e m a r q u e s s u r l a r a p i d i t é d e c o n v e r g e n c e d e s l o i s e x p o n e n t i e l l e s v e r s l a l o i d e G u m b e l
F I S H E R e t T I P P E T T o n t é t u d i é la c o n v e r g e n c e de l a p l u s g r a n d e v a l e u r d e n v a r i a b l e s n o r m a - les p a r l ' i n t e r m é d i a i r e d e s coefficients p\ et p2 de P e a r s o n d o n t l e s e x p r e s s i o n s e n f o n c t i o n d e s m o m e n t s c e n t r é s u.{ s o n t :
Pi = = ( n i , 1 )
L a c o n v e r g e n c e d e c e s p a r a m è t r e s v e r s les v a l e u r s c o r r e s p o n d a n t e s d e la loi d e G u m b e l e s t e x t r ê m e m e n t l e n t e , c o m m e le m o n t r e n t les chif- fres d u t a b l e a u ( I I I , 2 ) .
T A B L E A U ( I I I , 2 )
n Pi ß2
2 0 , 0 1 9 3 , 0 6 2
5 0 , 0 9 2 3 , 2 0 2
1 0 0 , 1 6 8 3 , 3 3 1
1 0 0 0 , 4 2 9 3 , 7 6 5
5 0 0 0 , 5 7 0 4 , 0 0 3
1 0 0 0 0 , 6 1 8 4 , 0 8 8
L o i d e G u m b e l . . . 1 , 2 9 9 5 , 4 0 0
Il n o u s s e m b l e c e p e n d a n t h a s a r d e u x d e c o n - c l u r e , c o m m e l ' o n t fait F I S H E R et T I P P E T T , à la l e n t e u r d e c o n v e r g e n c e d e s lois de p r o b a b i l i t é s e l l e s - m ê m e s . E n effet, il a r r i v e s o u v e n t e n s t a -
t i s t i q u e m a t h é m a t i q u e q u e la r a p i d i t é d e c o n v e r - gence d e s f o n c t i o n s d e r é p a r t i t i o n ou d e s d e n - sités d e p r o b a b i l i t é et la r a p i d i t é d e c o n v e r g e n c e de p a r a m è t r e s a t t a c h é s à ces f o n c t i o n s s o i e n t e x t r ê m e m e n t d i f f é r e n t e s .
T e l e s t le c a s d e la m é d i a n e d ' u n e loi n o r - m a l e : la d e n s i t é d e la m é d i a n e c o n v e r g e r a p i d e - m e n t v e r s la d e n s i t é n o r m a l e , a l o r s q u e la v a - r i a n c e a s y m p t o t i q u e % <s2/2 n e s t a t t e i n t e t r è s l e n t e m e n t , c o m m e l ' a m o n t r é H O J O ( 1 9 3 1 ) . Ceci p e u t e x p l i q u e r d a n s u n e c e r t a i n e m e s u r e la c o n - t r a d i c t i o n a p p a r e n t e q u i e x i s t e e n t r e les c o n c l u - s i o n s d e F I S H E R e t T I P P E T T et celles d e M. GUM- BEL q u i s ' a p p u i e n t s u r les p r o p r i é t é s d e la m é d i a n e et d e s d e n s i t é s d e p r o b a b i l i t é s . Mais il s e m b l e p l u s p l a u s i b l e d ' e x p l i q u e r ces différen- ces p a r le fait q u e l ' é t u d e d e M. GUMBEL p o r t e s u r la p a r t i e c e n t r a l e d e s d i s t r i b u t i o n s a l o r s q u e les coefficients p\ et p2, f a i s a n t i n t e r v e n i r d e s m o m e n t s d ' o r d r e élevés, s o n t f o r t e m e n t i n f l u e n - cés p a r les g r a n d e s v a l e u r s et c a r a c t é r i s e n t a i n s i la c o n v e r g e n c e d e s « q u e u e s d e d i s t r i b u t i o n ».
Ceci n o u s a a m e n é s à p e n s e r q u e les é c a r t s r e l a -
tifs e n t r e les lois e x a c t e s e t lois l i m i t e s é t a i e n t p l u s c o n s i d é r a b l e s p o u r les g r a n d e s v a l e u r s d e l a v a r i a b l e .
P o u r é t u d i e r d ' u n e f a ç o n g é n é r a l e c e t t e c o n v e r - g e n c e d e s p a r t i e s e x t r ê m e s d e s d i s t r i b u t i o n s , n o u s a v o n s u t i l i s é l a d u r é e d e r e t o u r T = l / [ 1 — / (x)]
q u i fait p l u s n e t t e m e n t a p p a r a î t r e l e s é c a r t s e t q u i a le m é r i t e d ' a v o i r u n e s i g n i f i c a t i o n c o n c r è t e i m p o r t a n t e e n h y d r o l o g i e .
R a p p e l o n s ici le c o m p o r t e m e n t a s y m p t o t i q u e de d i f f é r e n t e s lois. N o u s e m p r u n t o n s l e s f o r m u - les q u i l i e n t a s y m p t o t i q u e m e n t la v a r i a b l e a l é a - t o i r e Q et la d u r é e d e r e t o u r T à u n e é t u d e d e M. L E CAM.
L o i d e G a u s s Q ~ V l o g T Loi d e G a l t o n - G i b r a t Q ~ e x p V l o g T L o i I I I d e P e a r s o n . . Q ~ l o g T
Loi d e L a p l a c e Q ~ log T ( I 1 1' 3) L o i d e G u m b e l Q ~ l o g T
L o i d e F r é c h e t Q ~ T1/1'
D ' a p r è s c e s f o r m u l e s , il s e m b l e q u e les lois d e G a u s s e t d e G a l t o n , q u i o n t d e s c o m p o r t e m e n t s a s y m p t o t i q u e s t r è s d i f f é r e n t s d e la l o i d e G u m - bel, d o i v e n t t e n d r e l e n t e m e n t v e r s c e t t e loi. E n r e v a n c h e , l e s lois I I I d e P e a r s o n , c o m m e t o u t e s les lois à d é c r o i s s a n c e s i m p l e m e n t e x p o n e n - tielle, a t t e i n d r o n t b e a u c o u p p l u s r a p i d e m e n t l a l i m i t e . P o u r vérifier ceci, n o u s a v o n s c o n s t r u i t q u e l q u e s g r a p h i q u e s .
a) CAS D E LA LOI NORMALE : f i g u r e 1 .
N o u s a v o n s p l a c é e n a b s c i s s e , s u r u n e é c h e l l e l o g a r i t h m i q u e , les d u r é e s d e r e t o u r T , et e n o r - d o n n é e s les v a l e u r s p r i s e s p a r la v a r i a b l e a l é a - t o i r e (ce q u i p e r m e t d e r e p r é s e n t e r , p o u r les f o r - tes v a l e u r s , la loi d e G u m b e l p a r u n e d r o i t e ) .
L e s c o u r b e s d e s lois e x a c t e s d e la p l u s g r a n d e de 1 0 0 et m ê m e d e 1 0 0 0 v a r i a b l e s n o r m a l e s s ' é c a r t e n t t r è s n e t t e m e n t d e s d r o i t e s r e p r é s e n - t a n t la loi l i m i t e d e G u m b e l . L a c o n v e r g e n c e e s t d o n c ici t r è s l e n t e et les r é s u l t a t s n u m é r i q u e s s u r les p\ et p2 n e s o n t p l u s s u r p r e n a n t s .
P o u r a p p r o c h e r d e f a ç o n p l u s p r é c i s e la loi e x a c t e , F I S H E R et T I P P E T T o n t i n t r o d u i t u n e
« p e n u l t i m a t e f o r m » q u e l ' o n p e u t t r a d u i r e p a r f o r m e p r é - a s y m p t o t i q u e : c'est u n e loi d e p r o - b a b i l i t é q u i , p o u r d e s v a l e u r s d e n m o d é r é e s , p e r - m e t u n e m e i l l e u r e a p p r o x i m a t i o n q u e l a loi l i m i t e . Ils o n t a l o r s m o n t r é q u e la loi I I I c i t é e p l u s h a u t é t a i t u n e telle f o r m e p r é - a s y m p t o t i q u e p o u r la loi d e la p l u s g r a n d e d e n v a r i a b l e s n o r m a l e s .
p2= 3 +
1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
F i a . 1
Loi d e l a p l u s g r a n d e d e n = 1 0 0 e t n = 1 0 0 0 v a r i a b l e s n o r m a l e s .
6) CAS D E LA LOI D E LAPLACE, f i g u r e 2.
N o u s a v o n s t r a c é l a loi l i m i t e e t la l o i e x a c t e d e l a p l u s g r a n d e d e 10 v a r i a b l e s l a p l a c i e n n e s . L e s c o u r b e s s o n t t r è s p r o c h e s l ' u n e d e l ' a u t r e . P o u r c e t t e loi, les coefficients ^ et p2 s ' e x p r i - m e n t d ' a i l l e u r s d ' u n e f a ç o n r e l a t i v e m e n t s i m p l e a u m o y e n d e s p r e m i è r e s d é r i v é e s d e l a f o n c t i o n :
« KY ) = 4 - [ i o g r (T) ]
d y
\V(n+ 1)
[Y
(1) — < | / (n + l ) ]a (III, 4)10 100 1O0O 10000 100 FlG. 2
Loi d e l a p l u s g r a n d e d e 10 v a r i a b l e s c a p l a c i e n n e s . I. L o i e x a c t e II. L o i l i m i t e
(III, 5) Il e s t b i e n c o n n u q u e l e s d é r i v é e s d e l a f o n c - t i o n <!• t e n d e n t r a p i d e m e n t v e r s z é r o l o r s q u e y a u g m e n t e , ce q u i p e r m e t d e v o i r q u e fJt et (52 c o n v e r g e n t r a p i d e m e n t v e r s :
V ( D2 e t 3 + ( D
q u i s o n t les p a r a m è t r e s d e m ê m e n o m d e la loi d e G u m b e l . L e c a l c u l n u m é r i q u e effectué p o u r n = 10 d o n n e Pi = 1,569, p2 = 5,735, a l o r s q u e
les v a l e u r s l i m i t e s s o n t , n o u s le r a p p e l o n s , 1,299 et 5,400.
A i n s i l a p l u s g r a n d e v a l e u r d ' u n é c h a n t i l l o n t i r é d ' u n e loi d e L a p l a c e ( c a s p a r t i c u l i e r d ' u n e loi d e P e a r s o n ) c o n v e r g e t r è s r a p i d e m e n t v e r s la loi d e G u m b e l .
c) CAS D E LA LOI D E GALTON-GIRRAT : f i g u r e 3 . L e c a s d e c e t t e loi e s t t r è s i n t é r e s s a n t c a r , c o m m e l'a m o n t r é M. GIBRAT, la f o n c t i o n d e G a i -
FIG. 3
Loi d e l a p l u s g r a n d e d e 1 0 0 0 v a r i a b l e s g a l t o n i e n n e s . L o i I : F = e—e-*, L o i I I : F = e—®-K
t o n f o u r n i t e n g é n é r a l u n b o n a j u s t e m e n t d e l a c o u r b e d e s d é b i t s j o u r n a l i e r s c l a s s é s p a r o r d r e d e g r a n d e u r . L ' h y p o t h è s e d e d é c r o i s s a n c e g a l t o - n i e n n e s e m b l e d o n c t o u t à f a i t p l a u s i b l e p o u r la
« loi » d e s d é b i t s j o u r n a l i e r s . O n p e u t d é m o n t r e r q u e , d a n s ce c a s , la loi l i m i t e d e la p l u s g r a n d e v a l e u r e s t e n c o r e l a loi d e G a m b e l . Ceci m e t e n é v i d e n c e le lien m a t h é m a t i q u e e x i s t a n t e n t r e la m é t h o d e d ' e s t i m a t i o n d e s f o r t e s c r u e s a u m o y e n
NOVEMBRE 1 9 5 6 - № 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 7 2 1
de la c o u r b e d e G a l l o n a j u s t é e a u x d é b i t s c l a s s é s e t l a m é t h o d e s t a t i s t i q u e u t i l i s a n t la loi de G u m b e l .
T o u t e f o i s , il c o n v i e n t d e r e m a r q u e r q u e l a p l u s g r a n d e v a l e u r d e l a loi d e G a l t o n c o n v e r g e v e r s la loi d e G u m b e l e n c o r e p l u s l e n t e m e n t q u e l a p l u s g r a n d e v a l e u r n o r m a l e , c o m m e lé m o n t r e n t les c o u r b e s t r a c é e s s u r le g r a p h i q u e p o u r n =- 1 000. L a loi d e G a l t o n t r a c é e ici e s t telle q u e l ' e s p é r a n c e m a t h é m a t i q u e e t la v a - r i a n c e d u l o g a r i t h m e d e la v a r i a b l e s o n t r e s p e c - t i v e m e n t 0 e t 1. I l f a u t d o n c t e n i r c o m p t e d u fait q u e c e t t e loi d e G a l t o n p o s s è d e u n t r è s f o r t coefficient d e v a r i a t i o n .
D e p l u s , l a loi I s o u s - e s t i m e f o r t e m e n t l a v a -
l e u r c o r r e s p o n d a n t à u n e d u r é e d e r e t o u r d o n n é e s u r t o u t p o u r les t r è s g r a n d e s v a l e u r s ; ceci p e u t p r é s e n t e r u n g r a n d d a n g e r p o u r l ' e s t i m a t i o n d e s d é b i t s de c r u e . O n p e u t a l o r s r e c h e r c h e r , c o m m e l ' o n t f a i t F i s h e r e t T i p p e t t p o u r l a loi n o r m a l e , u n e f o r m e p r é - a s y m p t o t i q u e q u i s ' a d a p t e m i e u x p o u r d e s v a l e u r s m o d é r é e s d e n à la loi e x a c t e . D e s c a l c u l s a n a l o g u e s à c e u x d e F i s h e r m o n - t r e n t q u e l a loi d e F r é c h e t e s t u n e t e l l e f o r m e . N o u s a v o n s p l a c e s u r le g r a p h i q u e c e t t e loi (loi II) e t l a différence d u c o m p o r t e m e n t d e s t r o i s lois e s t t r è s s i g n i f i c a t i v e . II f a u t s i g n a l e r q u e l a loi d e F r é c h e t é t a n t à d é c r o i s s a n c e a l g é - b r i q u e p a s s e , p o u r les f o r t e s v a l e u r s , a u - d e s s u s d e l a c o u r b e e x a c t e .
I V . — P r o p r i é t é s e t a j u s t e m e n t d e l a l o i d e F r é c h e t
Ce q u e n o u s v e n o n s d e v o i r a u p a r a g r a p h e p r é - c é d e n t m o n t r e l ' i n t é r ê t q u ' i l y a à c o n s i d é r e r la loi d e F r é c h e t . N o u s a v o n s d é j à d i t q u ' e l l e n ' a v a i t p a s é t é u t i l i s é e j u s q u ' à p r é s e n t e n h y d r o l o g i e s t a t i s t i q u e ; c e r t a i n s l ' o n t e n effet r e j e t é e p a r c e q u ' e l l e n e p o s s è d e p a s d e s m o m e n t s d ' o r d r e s u - p é r i e u r à k, é t a n t d o n n é s a d é c r o i s s a n c e algé- b r i q u e . N o u s a l l o n s c e p e n d a n t v o i r q u e c e t t e p r o p r i é t é , e n t r e a u t r e s , e s t p a r t i c u l i è r e m e n t i n t é - r e s s a n t e p o u r l e s a p p l i c a t i o n s à l ' h y d r o l o g i e s t a t i s t i q u e .
R e v e n o n s d o n c s u r les p r i n c i p a l e s p r o p r i é t é s de la loi d e F r é c h e t :
a) Soit Cf c l a c l a s s e d e s f o n c t i o n s d e r é p a r t i - t i o n s F{ t e l l e s q u e x" (1 — F¡) t e n d v e r s u n e c o n s t a n t e kait
L a loi d e F r é c h e t e s t l a loi l i m i t e d e la p l u s g r a n d e d e n v a r i a b l e s a l é a t o i r e s a y a n t c h a c u n e l ' u n e q u e l c o n q u e d e s f o n c t i o n s d e r é p a r t i t i o n s F{. Elle f a i t e l l e - m ê m e p a r t i e d e l a c l a s s e Cf c, ce q u i signifie q u e s a d e n s i t é d e p r o b a b i l i t é d é c r o î t c o m m e l/xk l o r s q u e x t e n d v e r s + °o; elle d é - croît d o n c p l u s l e n t e m e n t q u e t o u t e f o n c t i o n e x p o n e n t i e l l e . Ceci e s t i n t é r e s s a n t , c a r o n a r e - p r o c h é s o u v e n t à l a loi d e G u m b e l s a d é c r o i s - s a n c e t r o p r a p i d e q u i p e u t affecter d e s p r o b a b i l i - tés t r o p p e t i t e s a u x f o r t s d é b i t s .
E n effet, p o u r les g r a n d e s v a l e u r s d e la v a r i a - ble, n o u s p o u r r o n s é c r i r e :
l o g x = - f l o g T (IV, 1) r e l a t i o n q u i e s t à r a p p r o c h e r de la f o r m u l e a n a - logue p o u r l a loi d e G u m b e l :
x — l o g T
L ' h y p o t h è s e d e d é c r o i s s a n c e a l g é b r i q u e d e s débits j o u r n a l i e r s n ' e s t p a s d a n s c e r t a i n s c a s à r e j e t e r , m a i s elle n ' e s t p a s n é c e s s a i r e p o u r l ' a p - p l i c a t i o n d e la loi d e F r é c h e t p u i s q u e n o u s a v o n s
vu a u p a r a g r a p h e p r é c é d e n t q u ' e l l e se p r é s e n t e c o m m e f o r m e p r é - a s y m p t o t i q u e p o u r l a p l u s g r a n d e d e n v a r i a b l e s g a l t o n i e n n e s . L ' h y p o t h è s e d e d é c r o i s s a n c e g a l t o n i e n n e p e u t d o n c suffire à j u s t i f i e r t h é o r i q u e m e n t c e t t e loi.
b) L a loi d e F r é c h e t e s t s t a b l e : la p l u s g r a n d e v a l e u r d ' u n é c h a n t i l l o n d e n v a r i a b l e s t i r é e s de c e t t e loi à u n e loi d e m ê m e f o r m e : s e u l e l ' é c h e l l e e s t m u l t i p l i é e p a r n1'1', c o m m e le m o n - t r e n t les r e l a t i o n s s u i v a n t e s :
Fn — (e-J1~t)n= e-te'/»1/*)-* ( i v , 2) c) L a loi d e F r é c h e t c o n v e r g e v e r s l a loi d e G u m b e l l o r s q u e k t e n d v e r s l'infini.
P o u r é t u d i e r c e t t e c o n v e r g e n c e , n o u s a v o n s p o r t é s u r u n g r a p h i q u e (fig. 4) e n o r d o n n é e s l a v a r i a b l e r é d u i t e y d e la loi d e G u m b e l e t e n a b s c i s s e s la v a r i a b l e u = k (x — .x) où x e s t le m o d e ( v a l e u r d o m i n a n t e ) d e la loi d e F r é c h e t ; la l i m i t e e s t r e p r é s e n t é e p a r la d r o i t e y — u.
FIG. 4. — C o m p a r a i s o n d e s l o i s I : e — e-' e t I I : e — °>-* o u u = k{x — x)
N o u s a v o n s e n s u i t e t r a c é p o u r q u e l q u e s v a l e u r s d e k l a c o u r b e c o r r e s p o n d a n t e à d i f f é r e n t e s lois d e F r é c h e t . L e g r a p h i q u e m o n t r e c l a i r e m e n t q u e c e t t e loi c o n v e r g e a s s e z r a p i d e m e n t v e r s l a f o r m e d e G u m b e l . P o u r k = 50, les différences s o n t t r è s p e t i t e s ; c e p e n d a n t , p o u r d e s k d e l ' o r d r e d e 5 à 10, b i e n q u e les v a l e u r s c e n t r a l e s s o i e n t t r è s p r o - c h e s , l e s c o u r b e s s ' é l o i g n e n t c o n s i d é r a b l e m e n t p o u r les g r a n d e s v a l e u r s d e K.
d) O n p e u t p a s s e r d e l a l o i d e G u m b e l à l a loi d e F r é c h e t p a r l a m ê m e t r a n s f o r m a t i o n q u i p e r - m e t d e p a s s e r d e l a loi n o r m a l e à l a loi d e G a i - t o n , c ' e s t - à - d i r e p a r u n e t r a n s f o r m a t i o n l o g a - r i t h m i q u e (il s ' a g i t i c i , c o m m e d a n s l a s u i t e , d e l o g a r i t h m e s n a t u r e l s ) . E n effet, o n p e u t é c r i r e :
ou II log X
(IV, 3) Cette i m p o r t a n t e p r o p r i é t é p e r m e t d ' a d a p t e r à l a loi d e F r é c h e t les m é t h o d e s g r a p h i q u e s c o n - ç u e s p a r M. GUMBEL. I l suffit p o u r c e l a d e r e m - p l a c e r l ' é c h e l l e l i n é a i r e v e r t i c a l e d u p a p i e r à p r o - b a b i l i t é p a r u n e é c h e l l e l o g a r i t h m i q u e .
P o u r p e r m e t t r e l ' a j u s t e m e n t d e l a loi a u x o b s e r v a t i o n s , i l f a u t i n t r o d u i r e u n s e c o n d p a r a - m è t r e q u i fixe l ' é c h e l l e d e l a v a r i a b l e ; l a f o n c - t i o n d e r é p a r t i t i o n p e u t a l o r s se p r é s e n t e r s o u s les d e u x f o r m e s s u i v a n t e s :
p _ e — e-fc (iogx-h)
(IV, 4) (IV, 5) a e t A s o n t liés p a r l a r e l a t i o n h — log a.
P o u r a j u s t e r l a loi s o u s s a p r e m i è r e f o r m e , o n
p e u t u t i l i s e r l a m o y e n n e a r i t h m é t i q u e m e t l a m o y e n n e g é o m é t r i q u e g :
S x , m =
log g • n S log Xj
n
(IV, 6)
la m é t h o d e d e s m o m e n t s d o n n e , e n i n t r o d u i s a n t le n o u v e a u p a r a m è t r e l=m/g:
e-y/k r ( 1 — -j-^j = X 1
(IV, 7)
a J
la c o n s t a n t e y q u i s ' i n t r o d u i t d a n s c e s f o r m u l e s e s t l a c o n s t a n t e d ' E u l e r : y = 0,5772157.
P o u r l a s e c o n d e f o r m e , o n u t i l i s e r a l a m o y e n n e et l ' é c a r t - t y p e d e s l o g a r i t h m e s :
M = S 1 ° ^ et S = / E d o g ^ - M ) '
n
V
n — 1k et h seront alors déterminés par les relations :
(IV, 9 ) K
rr2
M =
S2 = 6 K2
C'est c e t t e d e r n i è r e m é t h o d e d ' a j u s t e m e n t q u e n o u s a v o n s e m p l o y é e p o u r l e s a p p l i c a t i o n s q u i v o n t s u i v r e .
V . — A p p l i c a t i o n s n u m é r i q u e s
N o u s a v o n s u t i l i s é les m é t h o d e s p r é s e n t é e s d a n s les p a r a g r a p h e s p r é c é d e n t s p o u r é t u d i e r les c r u e s d e t r o i s r i v i è r e s d i f f é r e n t e s :
— L e R h i n à la s t a t i o n d e R h e i n f e l d e n ;
— L e C o l o r a d o à l a s t a t i o n d e B l a c k C a n o n ;
— L a D u r a n c e à l a s t a t i o n d e l ' A r c h i d i a c r e
( S e r r e - P o n ç o n ) ; p o u r c e t t e d e r n i è r e , la d i s t i n c t i o n e n t r e d é b i t s d e p r i n t e m p s e t d é b i t s d ' a u t o m n e a é t é f a i t e .
L e d é t a i l d e l ' a j u s t e m e n t d e s d i v e r s p a r a m è - t r e s d e s lois d e F r é c h e t e t d e G u m b e l e s t d o n n é d a n s le t a b l e a u (V, 1 ) .
T A B L E A U (V, I)
NOM DE LA STATION
LOI DE GUMBEL LOI DE FRÉCHET
NOM DE LA STATION
m II 1
a M S K h
RHEINFELDEN . 7,824 0,2798 4,59 7,698
ARCHIDIACRE (crues de p r i n t e m p s ) 312 259 92,21 5,683 0,3364 3,82 5,532
ARCHIDIACRE (crues d'automne) 202 154 81,94 5,107 0,5547 2,31 4,918
NOVEMBRE 1956 - № 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 723
a) L e R h i n à R h e i n f e l d e n e s t p a r t i c u l i è r e m e n t i n t é r e s s a n t , c a r c e t t e s t a t i o n p o s s è d e u n e d e s p l u s l o n g u e s s é r i e s c o n n u e s d e d é b i t s m a x i m a a n - n u e l s m e s u r é s a v e c u n e b o n n e p r é c i s i o n .
L ' a j u s t e m e n t p a r l a loi d e F r é c h e t (fig. 5) e s t
O.OI 0.1 0,2 0,3 0,50,6 0,7 0,8
0,4 0,9 0,95
FlG. 5
D é b i t s m a x i m a a n n u e l s d u R h i n à R h e i n f e l d e n (Loi de F r é c h e t ) .
e x c e l l e n t a l o r s q u e l a loi d e G u m b e l s ' é c a r t e t r è s n e t t e m e n t d e l a c o u r b e o b s e r v é e p o u r les f o r t e s c r u e s (cf, n o t e d e M. GUMBEL).
b) L e C o l o r a d o à B l a c k C a n o n p r é s e n t e u n e série d ' o b s e r v a t i o n s d e l o n g u e u r m o y e n n e ( 5 2 ) .
N o u s n ' a v o n s f a i t p o u r c e t t e s t a t i o n q u ' u n a j u s - t e m e n t g r a p h i q u e , m a i s l a c o n f r o n t a t i o n d e s d e u x a j u s t e m e n t s (fig. &t e t 62) e s t s i g n i f i c a t i v e . L a loi d e F r é c h e t e s t i c i m a n i f e s t e m e n t s u p é - r i e u r e à l a loi d e G u m b e l .
c) L a D u r a n c e à l ' A r c h i d i a c r e n e p r é s e n t e q u ' u n e c o u r t e s é r i e d ' o b s e r v a t i o n s (40) e t il e s t d o n c t r è s difficile d e t i r e r d e s c o n c l u s i o n s p r é - cises d e l ' a j u s t e m e n t à c e s 4 0 d é b i t s ; q u o i q u ' i l e n soit, il s e m b l e q u e l a loi d e F r é c h e t s o i t p r é - f é r a b l e à l a l o i d e G u m b e l p o u r l e s c r u e s d e p r i n t e m p s (fig. lx e t 72) et l a loi d e G u m b e l p r é - f é r a b l e à l a loi d e F r é c h e t p o u r l e s c r u e s d ' a u - t o m n e (fig. 8X e t 82) .
M a i s , d ' a u t r e p a r t , n o u s c o n n a i s s o n s d e u x c r u e s e x c e p t i o n n e l l e s s u r v e n u e s a u siècle d e r - n i e r , soit :
U n e c r u e d e p r i n t e m p s , 30 m a i 1856 2 000 m3/ s U n e c r u e d ' a u t o m n e , 2 n o v e m b r e 1 8 4 3
1 500 m V s O r , l a loi d e G u m b e l affecte à l a c r u e d e 2 000 m3/ s u n e d u r é e d e r e t o u r d e 1 08 a n n é e s ; ce chiffre n e p e u t é v i d e m m e n t p a s ê t r e p r i s e n c o n s i d é r a t i o n e t le r é s u l t a t d e l a loi d e F r é c h e t ( e n v i r o n 2 000 a n s ) s e m b l e p l u s r a i s o n n a b l e .
D e m ê m e la loi d e G u m b e l affecte à l a c r u e d ' a u t o m n e d e 1 500 m3/ s u n e d u r é e d e r e t o u r d e
10" a n s , a l o r s q u e c e t t e c r u e e s t m i l l é n a i r e a v e c la loi d e F r é c h e t .
Ceci p e r m e t d e s u p p o s e r q u e l a loi d e F r é c h e t doit ê t r e a d m i s e p o u r les c r u e s d e p r i n t e m p s et m ê m e p o u r les c r u e s d ' a u t o m n e .
20 100 200
0,01 0,1 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,99 0,995 0,4
FIG. GI FLG- 6>
D é b i t s m a x i m a a n n u e l s d u C o l o r a d o à B l a c k C a i ï o n ( 1 8 7 8 - 1 9 2 9 )
( L o i d e G u m b e l ) ( 1 8 7 8 - 1 9 2 9 ) ( L o i d e F r é c h e t )
0,99 0,995
0,01 0,1 0 , 2 0 3
^05 0,6 0,7 0.8 03 0 , 9 5 0 , 9 9 0 3 9 5
F l G . 7 I F l G . 7A D u r a n c e à l ' A r c h i d i a c r e . C r u e s d e p r i n t e m p s 1 9 1 6 - 1 9 5 5
(Loi d e G u m b e l ) . (Loi d e F r é c h e t ) .
0 3 9 0 3 9 5
0,01 0,1 0 , 2 0 3 0,5 0,6 0,7 0,6 0,9 0,95 0,99 0,995 0,01 0,1 0,2 0 , 3 0,5 0,6 0,7 Qfl 0 , 9 0 , 9 5
0,4 0,4
FIG. 8i FIG. 82
D u r a n c e à l ' A r c h i d i a c r e . C r u e s d ' a u t o m n e 1 9 1 6 - 1 9 5 5
(Loi d e G u m b e l ) . (Loi de F r é c h e t ) .
Q99 0,995
V I . C o n c l u s i o n
Il e s t é v i d e n t q u e l ' e m p l o i d e s lois d e F r é c h e t et d e G u m b e l p o u r l ' é t u d e s t a t i s t i q u e d e s d é b i t s d e c r u e e s t p r é f é r a b l e à l ' a p p l i c a t i o n d ' a u t r e s lois (telle la loi de G a l t o n - G i b r a t ) d e p a r les j u s t i f i c a t i o n s t h é o r i q u e s q u e l ' o n p e u t d o n n e r . Cer
t a i n s o n t n i é l ' e x i s t e n c e d e t e l l e s j u s t i f i c a t i o n s
s u r t o u t e n se r é f é r a n t à la l e n t e u r d e c o n v e r g e n c e v e r s l a loi d e G u m b e l . N o u s a v o n s d i t ce q u ' i l f a l l a i t e n p e n s e r : c o m p t e t e n u d u f a i t q u e la loi d e F r é c h e t p e u t s ' a p p l i q u e r l o r s q u e l a d é c r o i s s a n c e d e l a loi i n i t i a l e e s t g a l t o n i e n n e , la c o n v e r g e n c e v e r s la loi d e G u m b e l n ' e s t r é e l l e -
NOVEMBRE 1 9 5 6 - № 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 7 2 5
m e n t l e n t e q u e p o u r la loi n o r m a l e et c e t t e d e r n i è r e loi n e p e u t p r é t e n d r e r e p r é s e n t e r c o r r e c t e - m e n t u n e « loi » d e s d é b i t s j o u r n a l i e r s . D ' a u t r e p a r t , l ' o b j e c t i o n n e t i e n t p l u s si o n a p p l i q u e l a loi d e F r é c h e t p u i s q u e la c o n v e r g e n c e e s t a l o r s t r è s r a p i d e .
N o u s «ne p r é t e n d r o n s p a s q u e l a loi de F r é - c h e t e s t t o u j o u r s p r é f é r a b l e à la loi d e G u m b e l ; il e x i s t e d e n o m b r e u x e x e m p l e s où c e t t e d e r n i è r e loi d o n n e d e s r é s u l t a t s r e m a r q u a b l e s , m a i s i]
s e m b l e q u ' à j u s t i f i c a t i o n s t h é o r i q u e s é g a l e s , il y a u r a i n t é r ê t , d a n s c e r t a i n s c a s , à u t i l i s e r la loi
de F r é c h e t s u r t o u t e n r a i s o n d e l a d é c r o i s s a n c e p l u s l e n t e d e c e t t e d e r n i è r e . Ceci p o s e le p r o - b l è m e d u c h o i x a priori à f a i r e e n t r e les d e u x l o i s ; e n effet, i l n ' e x i s t e e n g é n é r a l q u e d e t r è s c o u r t e s s é r i e s d ' o b s e r v a t i o n s d e c r u e e t l a c o m - p a r a i s o n d i r e c t e d e s a j u s t e m e n t s e s t m a l a i s é e . Mais n o u s a v o n s v u q u e l a c o n v e r g e n c e v e r s l ' u n e o u l ' a u t r e d e ces lois l i m i t e s d é p e n d d e p r o - p r i é t é s a s y m p t o t i q u e s d e s d i s t r i b u t i o n s i n i t i a l e s ; o n p e u t d o n c e s p é r e r q u e l ' é t u d e d e s c o u r b e s d e d é b i t s c l a s s é s p a r o r d r e d e g r a n d e u r p e r m e t t r a d e d é g a g e r d e s c r i t è r e s a priori p o u r le c h o i x d e s lois. C e t t e é t u d e e s t a c t u e l l e m e n t e n c o u r s . .
B I B L I O G R A P H I E
Fisher (R. A.) e t Tippett (L. H. C ) . — L i m i t i n g f o r m s o f t h e f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n o f t h e l a r g e s t a n d s m a l l e s t m e m b e r o f a s a m p l e (Contribution to mathematical statistics. W i l e y N . Y., 1 9 5 0 ) .
F r é c h e t (M.). — - S u r l a l o i d e p r o b a b i l i t é d e l'écart m a x i m u m . Annales de la Société polonaise de Mathématique. V o l u m e 6. C r a c o v i e , 1927.
Gumbel (E. J . ) . — S t a t i s t i c a l t h e o r y o f e x t r e m e v a l u e s a n d s o m e p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s . National Bureau of Standards, W a s h i n g t o n , 1 9 5 4 .
H o j o ( T . ) . —- M e d i a n , q u a r t i l e s a n d i n t e r q u a r t i l e d i s - t a n c e o f a s a m p l e f r o m a n o r m a l p o p u l a t i o n . Biometrika, 1 9 3 1 .
Importante société coloniale recherche un INGÉNIEUR H Y D R A U L I C I E N ayant pratiqué hydrographie et topographie, pour diriger
M I S S I O N D ' É T U D E S H Y D R O É L E C T R I Q U E S A U C O N G O B E L G E .
Ecrire aoec curriculurn vitae détaillé, références et prétentions à :
SOGIÉTÉ DES FORGES HYDRO-ÉLECTRIQUES DE L'EST DE LA COLONIE
47, rue d e Trêves — B R U X E L L E S ( B e l g i q u e )
