Etude d’un compresseur à deux étages :
Un compresseur est constitué de deux cylindres dans lesquels peut se mouvoir un piston, mû par un moteur. Chaque cylindre possède une soupape d’admission et une soupape d’échappement.
Le principe de fonctionnement est le suivant :
La soupape d’admission s’ouvre, la soupape d’échappement étant fermée, l’air ambiant est admis dans le cylindre d’un premier étage compresseur à la pression ambiante et à la température ambiante pour un volume .
La soupape d’admission se ferme, la soupape d’échappement restant fermée, l’air contenu dans le cylindre est comprimé jusqu’à un volume . Sa pression est alors et sa température .
La soupape d’échappement s’ouvre, la soupape d’admission restant fermée, l’air comprimé est évacué du cylindre par le piston et transmis à un second étage compresseur, après refroidissement à pression constante .
L’air subit alors des transformations analogues avec une pression d’admission , une température d’admission , une pression d’échappement et une température d’échappement
On définit le taux de compression du compresseur par :
et celui du premier étage par :
Le but du problème est de déterminer le travail fourni par le moteur sur le piston sur un cycle du compresseur et de montrer que l’emploi de deux étages permet d’obtenir un taux de compression avec une dépense énergétique moindre que dans le cas d’un seul étage puis qu’un choix adéquat de à fixé permet d’obtenir un travail minimal donc d’optimiser les performances du compresseur bi-étagé.
Partie I : Etude du premier étage
1) Phase d’admission
L’air pénètre dans le cylindre par la soupape d’admission. On néglige les échanges de chaleur de ce gaz avec le cylindre et le piston, compte tenu de la rapidité de la transformation. L’air subit en amont une pression de l’air avec lequel il est en contact et en aval une pression de la face interne du piston.
a) En notant l’intensité de la force instantanée exercée par le moteur sur le piston selon son axe et la surface interne du piston, exprimer, par un bilan de forces sur le piston (en négligeant l’inertie de ce dernier) la pression en fonction de b) En appliquant le premier principe, montrer que le travail du moteur sur le piston
(travail de ) est nul au cours de l’admission.
2) Phase de compression
Exprimer, en supposant la compression adiabatique, le travail de la force exercée par le moteur sur le piston en fonction de la variation d’énergie interne de l’air entre les états de début et de fin de compression, et des paramètres
3) Phase d’échappement
Exprimer, en supposant que l’air comprimé conserve les mêmes paramètres d’états au cours de l’échappement et qu’il n’échange pas de chaleur, le travail de la force exercée par le moteur sur le piston en fonction des paramètres
4) Travail du moteur au cours d’un cycle admission-compression-échappement du premier étage
a) Montrer que le travail total du moteur au cours d’un cycle du premier étage est égal à la variation d’enthalpie de l’air entre les états début d’admission et fin d’échappement.
b) En considérant l’air comme un gaz parfait de coefficient , en déduire en fonction de . .
c) En considérant la compression comme réversible donc isentropique, exprimer en fonction de et de
d) En déduire en fonction de et faire l’application numérique pour
Donnée :
Partie II : Etude d’un cycle complet- admission premier étage à échappement second étage
L’air comprimé sortant du premier étage est refroidi à pression constante et est admis à cette pression dans le second cylindre d’où il ressort comprimé à la pression et à la température
a) Montrer que la chaleur cédée par l’air comprimé entre sa sortie du premier cylindre et son entrée dans le second cylindre est égale à la variation de son enthalpie
b) Exprimer le travail du moteur sur le piston du second étage au cours d’un cycle en fonction de
c) En déduire le travail total du moteur sur un cycle complet de compression
d) Le taux de compression du compresseur étant fixé, quel doit être le taux de compression du premier étage pour que le travail soit minimal. Calculer alors la valeur minimale de ce travail et faire l’application numérique pour
e) Commentez la valeur obtenue avec celle du travail donnant le même taux de compression avec un seul étage obtenu au d) partie I
f) Calculer la chaleur cédée par l’air lors de sa phase de refroidissement dans le cas où le travail est minimal
Correction :
1) Phase d’admission
a) Si on note l’accélération instantanée du piston et sa masse, la loi de Newton appliquée au piston, donne :
soit en négligeant l’inertie
d’où :
b) Considérons le système formé par l’air admis dans le cylindre entre les deux états, début d’admission de paramètres et fin d’admission de mêmes paramètres. Le premier principe permet d’écrire :
est nulle car le système conserve les mêmes paramètres d’état. La chaleur échangée est nulle (négligée) et le travail échangé se compose de plusieurs termes :
- Travail moteur des forces de pression en amont : - Travail résistant des forces de pression en aval :
On a donc :
Soit :
Le travail du moteur est donc nul dans la phase d’admission.
2 Phase de compression
Considérons le système formé par l’air dans le cylindre entre les deux états, début de compression de paramètres et fin de compression de paramètres . Le premier principe permet d’écrire :
La transformation étant adiabatique, on a
Le travail échangé par le système est celui échangé avec la face interne du piston, et il est positif, donc :
Donc :
3 Phase d’échappement
Considérons le système formé par l’air dans le cylindre entre les deux états, début d’échappement de paramètres et fin d’échappement de mêmes paramètres. Le premier principe permet d’écrire :
Le système conservant ses paramètres d’état : La transformation étant adiabatique :
Le travail échangé par le système se compose de deux termes : - Un travail échangé avec la face interne du piston, positif :
- Un travail résistant en aval – exercé par l’air comprimé en contact avec le système
Donc :
4 Travail du moteur sur un cycle du premier étage
a) Notons l’énergie interne, l’enthalpie de l’air en fin d’échappement et son énergie interne, son enthalpie en début d’admission, alors :
et :
est donc bien égal à la variation d’enthalpie.
b) Pour un gaz parfait nous avons :
Ainsi :
c) Pour une transformation isentropique d’un gaz parfait, nous avons au cours de la transformation :
d’où on déduit :
d) Il en découle :
AN :
Partie II : Etude d’un cycle complet- admission premier étage à échappement second étage
a) Le premier principe appliqué à l’air entre les deux états s’écrit :
Soit :
b) Par une démarche analogue à la première partie, on a :
avec :
Soit :
c) Le travail total par cycle est donc :
d) Le travail sera minimal pour la valeur de rendant minimale la fonction :
en ayant posé :
La dérivée de est :
La valeur pour laquelle le travail sera minimal est donc et le travail vaut alors :
AN :
Ce travail est moindre que celui nécessité par un seul étage qui donnerait le même taux de compression. Il y a donc avantage à employer plusieurs étages dans la conception d’un compresseur de taux de compression donné.
e) La chaleur échangée par l’air pour se refroidir entre les deux étages est :
