Pr´eparation `a l’agr´egation externe Universit´e de Grenoble
Option calcul scientifique 2008/2009
TP n
o7 : le spectre du Laplacien
Soit V ∈ C0([0,1]) un potentiel positif et h > 0. On veut trouver les valeurs propres de l’op´erateur
−h∂xx2 +V(x) :
{u∈ C2([0,1]) , u(0) =u(1) = 0} −→ C0([0,1]) u 7−→ −hu00+V(x)u
Autrement dit, on cherche les λ >0 tels que
−hu00+V(x)u−λu= 0
u(0) = 0, u(1) = 0 ait une solution non nulle.
M´ethode de tir : on note que l’on peut se restreindre `a chercher les fonctions propres v´erifiant u0(0) = 1. On consid`ere la fonction
λ7−→uλ(1) o`u uλ est solution de
hu00λ−V(x)uλ+λuλ = 0 uλ(0) = 0, u0λ(0) = 1 On cherche les z´eros de cette fonction par une m´ethode de Newton.
M´ethode matricielle : on discr´etise l’intervalle [0,1]. Quelles sont les matrices repr´esentant les op´erateurs
∂xx2 :
{u∈ C2([0,1]) , u(0) =u(1) = 0} −→ C0([0,1])
u 7−→ u00
et
∂xx2 :
{u∈ C2([0,1]) , u0(0) =u0(1) = 0} −→ C0([0,1])
u 7−→ u00
?
Utiliser la commande spec de Scilab pour obtenir le spectre de −h∂2xx +V(x). On con- sid`erera un potentiel V sous la forme d’un puit, puis d’un double puits. On tracera pour h assez petit les valeurs absolues des premi`eres fonctions propres, les valeurs propres cor- respondantes ainsi que le potentiel V.
