IFT 6575 DEVOIR 2 (`a remettre le vendredi 27 octobre)
1 (20 points)
Soit le programme math´ematique
min x21+ (x2+ 1)2 x1+x2≤1
−x1+x2≤1 x2≥0, x1 libre,
dont la solution se trouve `a l’origine. D´emontrer que l’ordre de convergence de l’algorithme de Frank-Wolfe est sous-lin´eaire si le point initial ne se trouve pas sur l’axe des abscisses, et lin´eaire sinon.
2 (20 points)
Soit le programme math´ematique
minx
1
2xtAx+btx
3
X
i=1
xi= 1 x≥0, o`u la matriceAest donn´ee par
A=
4 −1 0
−1 5 1
0 1 2
.
et
b= (2,1,−2)t.
1. ´ecrire les conditions d’optimalit´e de Kuhn et Tucker et les r´esoudre;
2. r´esoudre le programme `a l’aide de l’algorithme de Frank-Wolfe;
3. r´esoudre le programme `a l’aide de l’algorithme du gradient projet´e (Goldstein-Levitin-Polyak);
3 (20 points)
Soit le programme math´ematique
min x21+x22
x1+x2≥5 x1, x2≥0.
1. ´Ecrire les conditions de Kuhn-Tucker et d´eterminer la solution optimale.
2. D´eterminer le dual lagrangien correspondant `a la dualisation de la premi`ere contrainte.
3. Trouver la solution du probl`eme lagrangien et en d´eduire la solution du probl`eme primal.
4 (20 points) D´eduire de la solution du programme math´ematique
max
n
Y
j=1
xj
n
X
j=1
xj= 1 x≥0 l’in´egalit´e, valide pour tout ensemble de nombres non n´egatifs:
1 n
n
X
j=1
xj≥
n
Y
j=1
xj
1/n
.
5 (20 points)
La d´ecision a ´et´e prise de construire une centrale nucl´eaire dans la circonscription X repr´esent´ee par un d´eput´e du parti au pouvoir. Il reste `a d´eterminer l’emplacement de la centrale.
La population du comt´e est r´epartie dans trois villes de coordonn´ees respectives (a1, a2), (b1, b2) et (c1, c2).
Personne ne souhaite vivre `a proximit´e de la centrale (syndrome “pas dans ma cour”). Plus pr´ecis´ement, d’apr`es des sondages, le pourcentage de votes que le d´eput´e obtiendra dans une ville est proportionnel `a la distance s´eparant la centrale de la ville (voir figure ci-dessous). La centrale doit ˆetre construite `a l’int´erieur du triangle form´e par les trois villes.
- 6
distance d
% votesp(d)
100
SoitPi la population de la ville i. Sugg´erer une forme explicite de la fonction pde la figure et formuler un programme non lin´eaire qui aide le d´eput´e `a gagner ses ´elections.
1. ´ecrire les conditions d’optimalit´e de Kuhn et Tucker et les r´esoudre;
2. r´esoudre le programme `a l’aide de l’algorithme du gradient projet´e (Goldstein-Levitin-Polyak);
6 (10 points)
Soitf une fonction convexe etgune fonction concave positive, toutes deux d´efinies sur un ensemble convexe C. D´emontrer que la fonctionf2/gest convexe surC. En d´eduire des conditions sur la matriceQ, le vecteur cet le scalairedpour que la fonction xtQx/(ctx+d) soit convexe. Ce r´esultat g´en´eralise celui de l’exercice 3.14 du livre de Bazaraa, Sherali et Shetty.
