2 La conjecture abc

UNIVERSIT ´E DE PARIS 7 Ann´ee 2000-2001, DEUG 2`eme ann´ee

Groupes et arithm´etique (MT282)

Devoir n

3 1 Pr´ eliminaire

Pour tout entiernstrictement positif, on d´efinit l’entier r(n) suivant, appel´eradicalden: r(1) = 1 et sin≥2, r(n) = Y

p|n, ppremier

p

1. Calculerr(15),r(18),r(256).

2. Quels sont les entiers de radical 10 ? 3. Montrer quer(n)≤n(n∈N^∗).

4. Montrer quer

N

Y

i=1

n^α_iⁱ

!

=r

N

Y

i=1

ni

!

o`u N, lesni et lesαisont des entiers strictement positifs.

2 La conjecture abc

Il existe en th´eorie des nombres , une conjecture (c’est-`a-dire un r´esultat que l’on croit vrai mais qui n’est pas d´emontr´e) appel´ee conjectureabc, formul´ee de la mani`ere suivante :

Conjecture abc

Soitε >0. Alors il existe une constante K(ε)>0 telle que pour tout triplet d’entiers positifs v´erifiant a+b=cet pgcd(a, b) = 1on ait :

c≤K(ε) (r(abc))^1+ε .

1. Le but de cette question est de montrer par l’absurde que la conjecture n’est pas vraie avec ε= 0.

On suppose donc qu’il existe une constante K > 0 telle que pour tout triplet d’entiers positifs v´erifianta+b=cet pgcd(a, b) = 1 on ait : c≤Kr(abc) .

On consid`ere l’ensemble Z[√ 2] =

u+v√

2/ u∈Z, v∈Z . On admettra que Z[√

2] est un sous- anneau de R. On d´efinit l’applicationN :Z[√

2]−→ZparN(u+v√

2) =u²−2v². (a) Montrer queN est multiplicative, c’est-`a-dire que N(ww⁰) = N(w)N(w⁰) (w ∈ Z[√

2], w⁰ ∈ Z[√

2]) et queN(w) = 0 si et seulement siw= 0.

On d´efinit les entiersu_n etv_n par la relation (3 + 2√

2)ⁿ =u_n+v_n√ 2.

(b) Montrer que 1 + 2v²_n=u²_n et que 0≤v_n ≤u_n. (c) Montrer quev2n = 2unvn.

(d) En d´eduire que pour tout entierm≥1, 2^m+1 divisev2^m.

(e) En appliquant l’hypoth`ese au triplet (1,2v_n², u²_n) pourn= 2^mmontrer que pour toutm∈N^∗: K≥2^m.

(f) Conclure.

1

2. On veut maintenant montrer le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme

Si la conjecture abc est vraie alors il n’y a qu’un nombre fini de triplets(x^l, y^m, zⁿ)∈N^∗×N^∗×N^∗ v´erifiant l’´equation

x^l+y^m=zⁿ avec ¹_l +_m¹ +_n¹ <1 etpgcd(x, y, z) = 1.

Remarques :

- En particulier sil =m=non trouve que l’´equation de Fermat xⁿ+yⁿ =zⁿ n’a qu’un nombre fini de solutions.

- A ce jour, seules dix solutions sont connues. Voici les cinq plus simples : 1 + 2³= 3², 13²+ 7³= 2⁹, 17³+ 2⁷= 71², 2⁵+ 7²= 3⁴, 3⁵+ 11⁴= 122² .

(a) Soit (x, y, z, l, m, n) v´erifiant les hypoth`eses du th´eor`eme. Montrer que zⁿ≤K(ε)(zⁿ)^{(1+ε)(1l+m1+1n)}.

(b) En d´eduire quezⁿ est born´e, puis qu’il n’y a qu’un nombre fini de solutions.

3. Dans cette question, on suppose que la conjecture abc est vraie.

Montrer que l’ensembleL=

logc

logr(abc) / (a, b, c)∈N^∗×N^∗×N^∗, a+b=c, pgcd(a, b) = 1

est major´e.

(a) Donner explicitement la plus grande valeur de L que vous trouvez (on ´ecrira les premiers chiffres de l’´ecriture d´ecimale).

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