Exercices de mécanique 4 Torseur, gradient, divergent, rotationel, barycentre

Exercices de mécanique 4

Torseur, gradient, divergent, rotationel, barycentre

Exercice 1

On donne 3 forces

         

1

;

,

30 ,

40 ,

20

1 ;

1 ,

1

: 0, 2, 4 : 3, 2, 0 : 0, 2, 2 : 2, 0, 2 : 5, 2, 4

AB CD EF

F F F F N F N F N F F F F F F

A B C E F

     

On demande la résultante du système (Torseur) : R et C Solution

A (0,2,4)

B (3,2,0) E (2,0,2)

D (0,2,2)

F (5,2,4) C (2,0,4)

x

y z

F

=30 N F

30 N

F

=20 N

Calculons les vecteurs

       

     

     

3 4

0, 2, 4 3, 2, 0 3, 0, 4 5 1 , 0,

5 5

1 1 1

2, 0, 4 0, 2, 2 2, 2, 2 2 3 1 , ,

3 3 3

3 2 2

2, 0, 2 5, 2, 4 3, 2, 2 17 1 , ,

17 17 17

AB

CD

CD

A B AB AB

C D CD CD

E F FE FE

  

 

      

 

 

    

Calculons les composantes des forces.

1

2

3

1 1 1

3 4

30 18 0 30 24

5 5

40 40 40

3 3 3

60 40 40

17 17 17

9, 46 32,80 37, 39 9, 46 1 32,80 1 37.39 1 50.63

x y z

i

i x y z

F F F F

R F

R N

   

 



    

 





Calculons les moments :

On peut se lancer dans les grands calculs du style

 

O

F OA F OC F OE F



     

 ^M

ce qui implique le calcul d’une sér ie de produits vectoriels. En fait, il est plus facile et rapide de faire le raisonnement suivant :

E C

x F

A

²

x x

x

y z z

z

z

F

F

y=0

Calcul de la composante M

de C :

Faisons le raisonnement détaillé pour cette composante. Ensuite, on peut accélérer les calculs en travaillant avec des tableaux.

Soit F

:

La composante x est parallèle à l’axe des x. Les vecteurs sont parallèles. Le moment est nul.

La composante y est nulle. Le moment est nulle.

La composante z coupe l’axe des y en y = 2. (Ne pas oublier qu’une force est un vecteur glissant). Le moment est donc ^{2  }  ²⁴  ^{  48 Nm} (Signe moins car sens horlogique).

Soit F

:

La composante x est parallè le à l’axe des x. Les vecteurs sont parallèles. Le moment est nul.

La composante y est appliqué en C qui se trouve à une distance 4 l’axe des x. Le moment est donc : 40

4 92.3760

3 Nm

   (Signe moins car sens horlogique) La composante z coupe l’axe des x . le moment est donc nul. (Vecteurs sécants) Soit F

:

La composante x est parallèle à l’axe des x. Les vecteurs sont parallèles. Le moment est nul.

La composante y est appliqué en E qui se trouve à une distance 2 l’axe des x. Le moment est donc : 40

2 19.4029

17 Nm

   (Signe moins car sens horlogique) La composante z coupe l’axe des x . le moment est donc nul. (Vecteurs sécants) Le moment total est donc : M

   48 92.3760 19.4029    159.7789 Nm

Calcul de la composante M

de C :

Travaillons avec un tableau pour simplifier le calcul.

1

2

3

composante distance force moment commentaire

x 4 18 72

z 0 Vecteurs sécants

x 4 40 92.3760

3

z 2 40 46.1880

3

x 2 60 29.1043

17

z 2 40 19.4029

17

35.8134 Conclusion : 35.8134

i

y

F F

F

F

M Nm

 

 





On aura noté que l’on ne s’occupe pas des composantes y (vecteurs parallèles)

Calcul de la composante M

de C :

1

2

3

composante distance force moment commentaire

x 2 18 36

y 0 Vecteur nul

x 0 Vecteurs sécants

y 2 40 46.1880

3

x 0 Vecteurs sécants

y 2 40 19.4029

17

29.5909 Conclusion : 29.5909

i

z

F F F

F

M Nm

 





On aura noté que l’on ne s’occupe pas de la composante z

Finalement C   159.7789 1

 35.8134 1

 29.5909 1

 C  166.40 Nm Note : Avec un peu d’habitude, cette méthode est de loin la plus simple et la plus rapide. Un peu d’entraînement et il est possible de se passer même des tableaux.

Calcul des angles directeurs.

De la résultante

cos 9.46 0.1857

50.63 32.80

cos 0.6478

50.63 37.39

cos 0.7385

50.63

x x x

y y y

z z z

R F

R R

R F

R R

R F

R R

    

    

    







Du moment

159.78

cos 0.9602

166.40 35.81

cos 0.2152

166.40 29.59

cos 0.1778

166.40

x x x

y y y

z z z

C M

C M

C M

C M

C M

C M

      

    

    







x

y z

C u r

R u r

Exercice 2

Soit une trajectoire C référée par r  ^{3cos 2 1} t

 ^{3sin 2 1} t

  ⁸ t  ^{4 1} 

Donner un vecteur unitaire à la courbe.

Trouver la courbure, le rayon de courbure.

Donne le vecteur unitaire 1

. Calculer la torsion.

Solution

PREMIERE METHODE (pour la courbure et la torsion)

 

3cos 2 1 3sin 2 1 8 4 1

' 6 sin 2 1 6 cos 2 1 8 1 ' 36 64 10 '' 12 cos 2 1 12sin 2 1

''' 24sin 2 1 24 cos 2 1

1 1 1

' '' 6 sin 2 6 cos 2 8 96sin 2 1 12 cos 2 12sin 2

x y z

x y z

x y

x y

x y z

x

r t t y

r t t r

r t t

r t t

r r t t t

t t

   

       

  

 

   

 

 

 

2 2 2 2 2 2 2

3 3

2

2

96sin 2 1 72 1

' '' 96 sin 2 96 cos 2 72 96 72 120

' 10 25

Rayon de courbure :

120 3

' '' ' '' ''' 24 96 2304

' '' 120

Rayon de torsion : 6, 25

' '' ''' 2304

y z

t

r r t t

r r r r r r

r r r r r

 

      

 



   

  



DEUXIEME METHODE

1 ' 0, 6 sin 2 1 0, 6 cos 2 1 0,8 1 '

1 1

or ' 10

1, 2 sin 2 1 1, 2 cos 2 1

1 3 3

cos 2 1 sin 2 1

10 25 25

1 3 1 1 25

Rayon de courbure :

25 3

1 ''

t x y z

t t

x y

t

x y

t t

n

r t t

r

d d dt ds r

ds dt

ds dt

t t

d t t

ds

d d

ds ds

r

    

  

 

    

      



 cos 2 1 sin 2 1 ''

1 1 1

1 1 1 0, 6 sin 2 0, 6 cos 2 0,8 0,8sin 2 1 0,8 cos 2 1 0, 6 1

cos 2 sin 2 0

x y

x y z

b t n x y z

t t

r

t t t t

t t

  

      

 

1 1

or ' 10

1, 6 cos 2 1 1, 6sin 2 1 1

10

1 1, 6 1 1

Rayon de torsion : 6, 25

10

b b

x y

b

b b

d d dt ds r

ds dt

ds dt

t t

d ds

d d

ds ds

  

  

      



Exercice 3

On donne   x yz

et A  xz 1

 y

1

 2 x y

1

Trouver : ^{  , . , A  A , div}   ^{ . A}

Solution

     

 

3 2 3 2 2

2 2

2

2 2

Gradient

grad . 1 1 1 2 1 1 1

Divergence

div . 2 2

Rotationel

1 1 1

rot 2 1 4 1

2

x y z x y z

x y z

x

xyz x z x yz

x y y

A xy y x z y

x y x

A A x xy x

x y z

xz y x y

  

         

  

  

        

  

  

     

  



     

 

 

   

3 4 2 3 3 4 2 3

2 4 2 2 3 4 2 2 2 2 2

3 4 2 3 3 4 3 3

4 3 2 3 2 3 3 3 3

Divergence

div . . . 1 1 2 1

3 3 6 3 2

Rotationel

1 1 1

rot

2

4 3 1 8 4 1

y

x y z

x y z

x

A A x yz x y z x y z

x yz x y z x yz x yz z yz x

A x y z

x yz x y z x y z

x yz x y z x yz x yz

       

     

  

 

  



   

^  ^{2 xy z}

^{ x z}

 ¹

Exercice 4

 ²

  ¹

²   ¹

³

^{2 1} 

A  xy  z  x  y  xz  Montrer que   A 0 .

Trouver une fonction scalaire  telle que .    A Solution

On calcule

    ^{ }

 

 

 

 

2 2

3 2 2

3

2 3

1

2 2 2

2 3

2 3

1

1 1 1

0 0 1 3 3 1 2 2 1 0

2 2 3 2

2

( , ) 1

2 ( , ) 2

2 ( , ) 3

3 2

Notes : 1 ( , ) est indépenda

x y z

x

z z

x x

x y z

xy z x y xz

xy z

x x y xz F y z

x y x y y F x z

y

xz z F x y z xz

F y z

         

  

  

  

    

  

        

  

     

    

 



 

 

2

3

nt de x. Sa dérivée par rapport à x est nulle 2 ( , ) est indépendant de y. Sa dérivée par rapport à y est nulle 3 ( , ) est indépendant de z. Sa dérivée par rapport à z est nulle On résoud le système pa

F x z F x y

1 2 3

2 1

3 2 3 2

2

2 2

3

r rapport à ( , ) , ( , ) et ( , ).

( , ) 2

( , ) 2 2

( , )

F y z F x z F x y

F y z y z

F x z xz z x y xz y z Cste

F x y x y y

  

           

  



Exercice 5

Trouver le barycentre de dispositif constitué

1) d’une barre de 3 m faisant un angle de 45° avec l’horizontale suivie 2) d’un ½ cercle (barre) de 4 m de diamètre (diamètre horizontal) suivi 3) d’une barre qui fait un angle de 60° avec l’horizontale.

L

L

L

45° 60°

A

O

B

C r

D

Solution

Soit L

la première barre, L

la pièce circulaire et L

la deuxième barre.

Longueur de L

:

sin 45

sin 60

^{sin 45} 2, 4455 sin 60

A B

y  L  y  L  L  L  m

Longueur de L

: L

     r 2 6, 28 m

1

2

3

3 3

3 cos 45 1, 06 3,18 sin 45 1, 06 3,18

2 2

6, 28 3cos 45 2 4,12 25,87 3sin 45 2 3, 39 21, 29

2, 45 2, 45

2, 45 3cos 45 4 cos 60 6, 73 16, 49 sin 60 1, 06 2, 60

2 2

11, 73 45, 54 27, 07

i i i i i i i

L x x L y y L

L m

L m r

L m

m

 

   



   



Notes :

Expliquons le calcul pour L

On sait par symétrie que x

à la même abscisse que le point D. C’est donc la projection de L

+ le rayon.

Pour obtenir y

, il faut additionner l’ordonnée de D, et la distance du centre de masse de L

Voir annexe : Théorèmes de Guldin.

Les coordonnées du barycentre est donc :

45.54 11.73 3.88 27.07 11.73 2.31

i i G

i i i G

i

x L x m

L

y L y m

L

  

  

 

 

Annexe : Théorèmes de Guldin

Premier théorème de Guldin

A

B

x

y dl

L’ aire de la surface latérale d’ un solide de révolution est égale au produit de la longueur de la génératrice d’un côté de l’axe de rotation par la longueur de la trajectoire décrite par le centre de gravité de la courbe génératrice pour une révolution complète.

Ce théorème permet de déterminer les coordonnées du barycentre.

2 2

l Longueur de l'arc AB

Surface obtenue en faisant tourner l'arc plan AB autour de l'axe y Surface obtenue en faisant tourner l'arc plan AB autour de l'axe x

y x

c c

y x

S S

x y

l l

S S

 

 

Exemple

r R

Aire du tore : 2  r . 2    R 4

rR 2) Détermination du barycentre d’un quart de cercle de rayon R.

R C

2

2

2

2

R R

l   S  S   R  x  y 



Deuxième théorème de Guldin

x

y S

Le volume d’un solide de révolution est égal au produit de l’aire de la section plane engendrée d’un côté de l’axe de révolution par la longueur de la trajectoire décrite par le centre de gravité de la courbe génératrice pour une révolution complète.

Ce théorème permet de déterminer les coordonnées du barycentre.

2 2

A Aire de la surface

Volume obtenu en faisant tourner la surface S autour de l'axe y Volume obtenu en faisant tourner la surface S autour de l'axe x

y x

c c

y x

V V

x y

A A

V V

 

 

Exemple

1) Détermination du volume d’un tore.

r R

2 2 2

Volume du tore :  r . 2    R 2 r R 2) Détermination du barycentre d’un quart de cercle de rayon R.

R S y

x

2 2

2 2

4

3

3

R R R

A   V  V    x  y 

