PRODUITS DE SAMELSON ET WHITEHEAD

(1)

1. Cat´egorie d’un espace

En 1934 Lusternik et Schnirelmann ont introduit un très joli invariant homotopique d’un espaceX ∈Top, sa catégorie (terminologie malheureuse ...) CAT(X) : le plus petit cardinal d’un recouvrement deXpar des fermés contractiles. Dans cette section on étudie un invariant très semblable (voir lemme 2) à la définition plus évidemment ’homotopique’.

Rappelons qu’on note Top^nd_∗ la catégorie des espaces topologiques pointés (X,∗) pour lesquels l’inclusion du point-base i:{∗} −→X est une cofibration. Soit X∈Top^nd_∗ . Définition. On noteraX_kⁿ⊂Xⁿ le sous-espace fermé formé desn-uplets(x₁,· · · , xn) où au moinsn−kdesxico¨ıncident avec le point base∗. AinsiX₀ⁿ={∗},X₁ⁿ=X∨X∨· · ·∨X, ..., X_nⁿ=Xⁿ.

Définition. On dira que X est de catégorie inférieure à n(noté cat(X)< n ou catX ≤ n−1) si la n-diagonale

∆n: (X,∗)−→(Xⁿ, X_n−1ⁿ )

est compressible (c’est-à-dire homotope relativement à {∗} à une application de X dans X_n−1ⁿ ).

Lemme 1. Si cat(X)< n alors cat(X) < n+ 1.

Preuve : Cel`a ressort aussitˆot du diagramme commutatif (X,∗) ^∆ⁿ⁺¹^//

∆ⁿ×Id

((Q

QQ QQ QQ QQ QQ

QQ (Xⁿ⁺¹, X_nⁿ⁺¹) (Xⁿ×X, X^? _n−1ⁿ ×X)

OO

2 Exemples : cat(X)<1 si et seulement si X est contractile ; cat(X)<2 si et seulement si X est unH-coespace.

Preuve :Dire que cat(X) <2, c’est dire que la diagonale ∆2 :X−→X×Xest homotope (relativement à {∗}) à une application µ :X −→ X∨X, qui définit alors un coproduit surX.

2 Lemme 2. cat(X)< n si et seulement si X=∪ⁿ_i=1X_i avec chacun des X_i ⊂X ferm´e et tel qu’il existe une d´eformation de X contractant Xi en un point.

1

(2)

Preuve : Supposons cat(X) < n. Notons F : I ×X −→ Xⁿ avec f₀ = F(0,·) = ∆_n et f1 : X −→ X_n−1ⁿ . Notons pi : Xⁿ −→ X la i-ème projection et hi = pi◦f1. Posons X_i=h⁻¹_i ({∗}). Commeh_i est continueX_i est un fermé deX. On a bien-sûrX=∪ⁿ_i=1X_i. Enfinp_i◦F est une déformation de X qui écrase X_i au point∗.

Réciproquement, supposons X = ∪ⁿ_i=1Xi, avec Xi fermé contractile de X via une déformation globale H_i : I ×X −→ X. Les H_i définissent les composantes d’une homotopie H : I ×X −→ Xⁿ reliant ∆n : X −→ Xⁿ à une application h : X −→ Xⁿ d’image h(X)⊂X_n−1ⁿ car lesX_i recouvrent X.

2 Lemme 3. Si X est homotopiquement ´equivalent `a Y, alors cat(X)< n si et seulement si cat(Y)< n.

Preuve : Soit FY : I ×Y −→ Yⁿ une homotopie reliant f0 = ∆n : Y −→ Yⁿ `a f₁ :Y −→Y_n−1ⁿ . Soitf :X−→Y d’inverse d’homotopieg:Y −→X. Commeg◦f ∼IdX, on obtient que la compos´ee

FX :I×X^Id×f−→ I×Y −→^F^Y Yⁿ ^g

n

−→Xⁿ

est une homotopie reliant ∆_n :X −→ Xⁿ à une application à valeur dans X_n−1ⁿ . Donc catX≤catY. D’où le résultat par symmétrie.

2 Th´eor`eme 1. Soit f :X−→Y de cofibre C_f. Alors cat(C_f)≤1 + cat(Y).

Preuve : D’après le lemme précédent on peut supposer quitte à remplacer Y par son

´equivalent d’homotopie ’cylindre de f’ quef est une inclusion. On a alorsC_f =Y ∪CX.

CommeY ֒→C_f on a le diagramme Y_{_}

//(Cⁿ_f)^I

Cf

g^t

=={

{ { {

∆ⁿ //C_fⁿ .

De plus comme CX est contractile on dispose d’une compressionCf ft

−→(Cf)Î reliant l’identité de C_f à une application f₁ :C_f −→Y. L’application

h_t= (g_t, f_t) :C_f −→(C_fⁿ⁺¹)^I

est alors une homotopie reliant ∆n+1:Cf −→C_fⁿ⁺¹ `a une application Cf −→(Cf)ⁿ⁺¹_n . 2 D´efinition . Soit X ∈ CW_∗. On appelle stratification de X de hauteur k une suite de sous-complexes

{∗}=P₀ ⊂P₁⊂ · · · ⊂P_k=X

telle que chaque Pi s’obtient à partir de P_i−1 par recollement de cellules (de dimensions possiblement différentes !). Autrement dit P_i est la cofibre d’une application Λ −→ P_i−1, où Λ est un coproduit de sphères de dimension possiblement différentes.

(3)

Exemple :SiXest un CW-complexeconnexe, sa filtration squelettale est une stratification.

Corollaire 1. Si X∈CW_∗ admet une stratification de hauteur k alors cat(X)≤k.

Lemme 4. Si

{∗}=P₀ ⊂P₁⊂ · · · ⊂P_k=X {∗}=Q₀ ⊂Q₁ ⊂ · · · ⊂Ql=Y sont des stratifications de X et Y alors les

Rj =∪^j_i=0(Pi×Rj−i) forment une stratification de X×Y.

Corollaire 2. cat(S^p¹ × · · · ×S^p^k)≤k.

Preuve :Appliquer le lemme en utilisant la stratification squelettale deSⁱ standard (une cellule de dimension 0 et une cellule de dimension i).

2 2. Quelques ph´enom`enes de nilpotence

Dans cette section G désigne un H-groupe muni pour simplifer d’une unité stricte : si x∈G alorsx·1 = 1·x=x (et pas seulement à homotopie près).

SiX ∈Top^nd_∗ alors [X, G]_∗ est un groupe. Si de plus X est un H-cogroupe comme la sphèreSⁱ (c’est-à-dire un espace de catégorie cat(X)≤1), on a montré dans le cours que [X, G]_∗est un groupe abélien. Dans cette section on étudie plus généralement les propriétés du groupe [X, G]∗ en fonction de la catégorie cat(X).

Définition. – Si Γ désigne un groupe et x, y ∈ Γ, on note [x, y] le commutateur xyx⁻¹y⁻¹ de x et y. Plus généralement on définit par récurrence [x₁, x₂,· · · , xk] = [x₁,[x₂,· · ·x_k]].

– Si A et B sont des sous-ensembles de Γ on note[A, B] le sous-groupe de Γ engendr´e par les commutateurs [x, y], x∈A, y∈B.

– On d´efinit Z₁(Γ) = Γ et Z_i+1(Γ) = [Γ, Z_i(Γ)] pour i ≥ 1. C’est la suite centrale descendante deΓ.

– Le groupe Γ est dit nilpotent s’il existe un entier c avec Z_c+1(Γ) ={1}. Le plus petit tel entier c est appelé la classe de nilpotence de Γ. Ainsi il y a équivalence entre la notion de groupe nilpotent de classe 1 et la notion de groupe abélien.

Lemme 5. (a) Le groupe Γ est nilpotent de classe c si et seulement si [x₁, x₂,· · · , x_c] = 1

pour tousx₁,· · · , xc ∈Γ.

(b) Si a, b, c∈Γ, alors

[a, bc] = [a, b]·[a, c] modZ₃(Γ) . (c) Si a, b, c∈Γ alors

[a,[b, c]]·[b,[c, a]]·[c,[a, b]] = 1 mod Z₄(Γ) .

(4)

Lemme 6. Soit Φ : G×G −→ G d´efinie par Φ(x, y) = (xy)(x⁻¹y⁻¹). Alors Φ_|G∨G est homotopiquement triviale.

Plus généralememt on pose Φ₁ : G −→ G l’identité et on définit par récurrence les commutateurs itérés Φ_n:Gⁿ−→Gpar Φ_n+1 = Φ◦(Id×Φ_n) (en particulier Φ₂= Φ). Le lemme précédent se généralise en :

Th´eor`eme 2. L’application Φn|Gⁿn−1 est homotopiquement nulle.

Preuve : Par récurrence sur n (on le sait déjà pour n= 1 et pour n= 2 par le lemme).

Supposons que Φ_n|Gⁿ_n

−1 est homotopiquement nulle. Comme Gⁿ_n−1 ֒→ Gⁿ on a le diagramme

Gⁿ_n−1

_

//G^I

Gⁿ

gt y<<

yy yy

//G

.

L’application h : G×Gⁿ −→ (G×G)Î définie par h_t(x, y) = (x, g_t(y)) est alors une homotopie reliantId×Φnàf :Gⁿ⁺¹ −→G×Gvérifiantf(G×Gⁿ_n−1)⊂G× {1}. Comme f({1} ×Gⁿ)⊂ {1} ×G, on obtient

f(Gⁿ⁺¹_n ) =f({1} ×Gⁿ∪G×Gⁿ_n−1)⊂G∨G .

Mais Φn+1 = Φ ◦(Id ×Φn) est homotope à Φ ◦f. Ainsi Φn+1|Gⁿ⁺¹n est homotope à Φ_|G∨G◦f_|Gⁿ⁺¹_n et est donc homotopiquement nulle d’après le lemme précédent.

2 Théorème 3. SoitX ∈Top^nd_∗ de catégorie< cet GunH-groupe connexe. Alors[X, G]_∗ est un groupe nilpotent de classe < c.

Preuve :Il suffit de montrer que tous les commutateurs [x₁,· · · , x_c] = 1, oùx_i ∈[X, G]_∗. Soit fi :X −→ G repr´sentant xi et notons f le produitf1× · · ·fc. Alors [x1,· · ·xc] est représenté par la composée

X−→^∆^c X^c −→^f G^c −→^Φ^c G .

Par hypothèse ∆c est compressible dans X_c−1^c . On a donc un diagramme commutatif à homotopie près :

X ^∆^c ^//

gDDDDD""

DD

D X^c ^f ^//G^c ^Φ^c ^//G

X_c−1^c

i

OO

f //G^c_c−1

i^′

OO

où ieti^′ sont des inclusions. Donc la composée supérieure est homotope à Φc◦i^′◦f ◦g.

Mais Φc◦i^′ est homotopiquement nulle par le théorème précédent.

2 Corollaire 3. Si X est un produit de k sph`eres, alors [X, G]est nilpotent de classe ≤k.

(5)

3. Produit de Samelson

Soient X₁, X₂ ∈Top^nd_∗ etX =X₁×X₂. Notons p_i :X −→X_i, i= 1,2 et p₁₂:X−→

X₁∧X₂ =X/(X₁∨X₂) les projections naturelles.

Lemme 7. (a) Les morphismes p^∗_i : [Xi, G]_∗ −→[X, G]_∗ sont des monomorphismes.

(b) Le morphisme p^∗₁₂ est un isomorphisme de [X₁ ∧X₂, G]_∗ sur le sous-groupe Γ₁ de [X, G]_∗ des applications homotopiquement nulles en restriction `a X₁∨X₂.

(c) Pour tout x_i ∈[X_i, G]_∗,i= 1,2, le commutateur [p^∗₁(x₁), p^∗₂(x₂)] appartient `a Γ₁. Preuve :

Pour (a) : Notons i1 = Id× {∗} : X1 −→ X l’injection naturelle. Alors p1 ◦i1 = IdX1

donci^∗₁◦p^∗₁ est l’identité de [X₁, G]_∗. Donc p^∗₁ est injective. De même pour p^∗₂. Pour (b) :Considérons la suite co-exacteX1∨X2

֒→i X−→^p¹² X1∧X2 −→Σ(X1∨X2)−→

Σ(X₁×X₂). On en d´eduit la suite exacte

[Σ(X1×X2), G]∗ −→[Σ(X1∨X2), G]∗ −→[X1∧X2, G]∗ p^∗₁₂

−→[X, G]∗ i^∗

−→[X1∨X2, G]∗ . Le terme de gauche est [X1 ×X2,ΩG]∗ −→ [X1∨X2,ΩG]∗ qui est clairement surjectif.

On en d´eduit imm´ediatement quep^∗₁₂est un isomorphisme sur Γ₁.

Pour (c) : choisissonsf_i :X_i −→Gdes repr´esentants dex_i. Le commutateur [p^∗₁(x₁), p^∗₂(x₂)]

est la classe d’homotopie de l’application

X₁×X₂^f−→¹^×f² G×G−→^Φ G , qui en restriction `aX₁∨X₂ vaut

X₁∨X₂ −→G∨G−→^Φ G .

Comme Φ_|G∨G est homotopiquement nulle, on en d´eduit [p^∗₁(x₁), p^∗₂(x₂)]∈Γ₁.

2

D´efinition. On d´efinit le produit de Samelson par [X₁, G]_∗×[X₂, G]_∗ −→ [X₁∧X₂, G]_∗

(α, β) −→ < α, β >= (p^∗₁₂)⁻¹[p^∗₁(α), p^∗₂(β)] .

On suppose dor´enavantX=S^p,Y =S^q. Le smash-produit X∧Y s’identifie avec S^p+q. On obtient ainsi un produit de Samelson

<·,·>:πp(G)×πq(G)−→π_p+q(G) .

Théorème 4. Le produit < α, β >est bilinéaire. De plus < β, α >= (−1)^pq+1 < α, β >.

(6)

Preuve : Prouvons la linéarité à droite. Soitα∈π_p(G), β, γ∈π_q(G). Alors

< α, β+γ >=p^∗₁₂⁻¹[p^∗₁(α), p^∗₂(β+γ)]

=p^∗₁₂⁻¹[p^∗₁(α), p^∗₂(β)p^∗₂(γ)]

=p^∗₁₂⁻¹([p^∗₁(α), p^∗₂(β)]·[p^∗₁(α), p^∗₂(γ)] mod Z3([S^p×S^q, G]∗)) . Mais S^p×S^q est de cat´egorie ≥2, doncZ₃([S^p×S^q, G]_∗) ={1}, et le r´esultat.

On démontre de même la linéarité à gauche.

Pour la r´egle de commutation, notons t : S^p ×S^q −→ S^q ×S^p la permutation des facteurs. On a t(S^p∨S^q) =S^q∨S^p donct induit encoret:S^p+q−→S^p+q. Alors

< β, α >=p^∗₁₂⁻¹[p^∗₁(β), p^∗₂(α)] = (t⁻¹pt)^∗[p^∗₁(β), p^∗₂(α)]

=t^∗p^∗₁₂⁻¹[(tp₁)^∗(β),(tp₂)^∗(α)]

=t^∗p^∗₁₂⁻¹[p^∗₂(β), p^∗₁(α)]

=−t^∗ < α, β > .

On déduit le résultat du fait quet est de degré (−1)^pq.

2 Notonsπ_p,q,r(G) le groupe [S^p×S^q×S^r, G]_∗. On a alors les morphismesp^∗₁ :π_p(G)−→

πp,q,r(G), p^∗₂ : πq(G) −→ πp,q,r(G), p^∗₃ : πr(G) −→ πp,q,r(G), p^∗₁₂ :π_p+q(G) −→ πp,q,r(G),

· · ·,p^∗₁₂₃:π_p+q+r(G)−→π_p,q,r(G).

Lemme 8. Pour tout α∈π_p(G), β∈π_q(G), γ ∈π_r(G), on a

< α, < β, γ >>=p^∗₁₂₃⁻¹[p^∗₁(α), p^∗₂(β), p^∗₃(γ)] .

Preuve : Remarquons que les applications p₁₂◦(1×p₁₂) :S^p×S^q×S^r −→S^p+q+r et p123 :S^p×S^q×S^r−→S^p+q+r sont naturellement homotopes. Notonsh:S^p×S^q×S^r−→

S^q×S^r la projection naturelle, remarquons quep₁₂◦h=p₂₃. Donc p^∗₁₂₃< α, < β, γ >>= (1×p₁₂)^∗p^∗₁₂(< α, < β, γ >>)

= (1×p12)^∗p^∗₁₂p^∗₁₂⁻¹[p^∗₁α, p^∗₂p^∗₁₂⁻¹[p^∗₁β, p^∗₂γ]]

= [(1×p₁₂)^∗p^∗₁α,(1×p^∗₁₂p^∗₂p^∗₁₂⁻¹[p^∗₁β, p^∗₂γ]]

= [p^∗₁α, p^∗₂₃p^∗₁₂⁻¹[p^∗₁β, p^∗₂γ]]

= [p^∗₁α, h^∗[p^∗₁β, p^∗₂γ]]

= [p^∗₁α,[h^∗p^∗₁β, h^∗p^∗₂γ]]

= [p^∗₁α,[p^∗₂β, p^∗₁γ]]

.

2 Lemme 9. Pour tout α∈πp(G), β∈πq(G), γ ∈πr(G), on a

(a) p^∗₁₂₃⁻¹[p^∗₂(β), p^∗₃(γ), p^∗₁(α)] = (−1)^p(q+r)< β, < γ, α >>

(b) p^∗₁₂₃⁻¹[p^∗₃(γ), p^∗₁(α), p^∗₃(β)] = (−1)^r(p+q)< γ, < α, β >>

(7)

Preuve :Montrons (a), (b) se démontre de la même manière. Notonsτ :S^p×S^q×S^r−→

S^q×S^r×S^p l’application τ(x, y, z) = (y, z, x). L’application τ induit τ^′ : S^p+q+r −→

S^p+q+r et τ etτ^′ sont toutes deux de degr´e (−1)^p(q+r). On obtient : p^∗₁₂₃((−1)^p(q+r)< β, < γ, α >>) = (τ^′◦p₁₂₃)^∗ < β, < γ, α >>

= (p₁₂₃◦τ)^∗ < β, < γ, α >>

=τ^∗[p^∗₁(β), p^∗₂(γ), p^∗₃(α)]

= [(p₁◦τ)^∗β,(p₂◦τ)^∗γ,(p₃◦τ)^∗α]

= [p^∗₂β, p^∗₃γ, p^∗₁α]

2 Théorème 5 (Identité de Jacobi). Pour tout α∈π_p(G), β ∈π_q(G), γ ∈π_r(G), on a

(−1)^pr < α, < β, γ >>+(−1)^pq < β, < γ, α >>+(−1)^qr< γ, < β, α >>= 0 Preuve :

Posonsα^′ =p^∗₁α,β^′ =p^∗₂β,γ^′ =p^∗₃γ. On sait que

[α^′, β^′, γ^′]·[β^′, γ^′, α^′]·[γ^′, α^′, β^′] = 1 mod Z₄(πp,q,r(G)) .

maisZ₄= 1 carS^p×S^q×S^r est de capacité≥3. D’où le résultat en appliquant p^∗₁₂₃⁻¹. 2 SoitXun espace simplement connexe. Alors ΩXest unH-groupe connexe et le produit de Samelson fournit un produitπ_p+1(X)×π_q+1(X)−→π_p+q+1(X). Ce produit peut être défini alternativement pourX non nécessairement simplement connexe. C’est ce qu’a fait Whitehead et ce que nous étudions à la section suivante.

4. Produit de Whitehead Soitn, m ≥1 fix´es.

Lemme 10. Le groupe d’homotopie relativeπ_q(Sⁿ×S^m, Sⁿ∨S^m)est nul pour q < n+m, isomorphe `a Z pour q =n+m

Preuve :

Comme Sⁿ∨ S^m est le n+m −1-squelette de Sⁿ× S^m, la paire est n+m −1- connexe. D’o`u le r´esultat pourq < n+m. Pour q =n+m on applique Hurewicz relatif : πn+m(Sⁿ×S^m, Sⁿ∨S^m) =Hn+m(Sⁿ×S^m, Sⁿ∨S^m). MaisSⁿ×S^ma une uniquen+m- cellule, donc ce dernier groupe est Z.

2 Lemme 11. On a un isomorphisme naturel

π_p(Sⁿ∨S^m)≃π_p(Sⁿ)⊕π_p(S^m)⊕π_p+1(Sⁿ×S^m, Sⁿ∨S^m) . Preuve : On ´ecrit la suite longue de la paire (Sⁿ×S^m, Sⁿ∨S^m) :

· · · −→π_p+1(Sⁿ×S^m, Sⁿ∨S^m)−→πp(Sⁿ∨S^m)−→πp(Sⁿ×S^m)

−→π_p(Sⁿ×S^m, Sⁿ∨S^m)−→ · · · .

(8)

On aπ_p(Sⁿ×S^m)≃π_p(Sⁿ)⊕π_p(S^m). De plus le morphismeπ_p(Sⁿ∨S^m)−→π_p(Sⁿ×S^m) est scind´epar les inclusions in:Sⁿ−→Sⁿ×S^m etim :S^m−→Sⁿ×S^m.

2 D´efinition (Produit de Whitehead). On note{in, im}=d(in×im)∈π_n+m−1(Sn∨Sm).

Pour tout espace X∈Top^nd_∗ , on d´efinit

[·,·] : πn(X)×πm(X) −→ πn+m−1(X)

(α, γ) −→ [α, β] = (α∨β)({in, im} .

Lemme 12. Soit X ∈ Top^nd_∗ . Soit α ∈ πp(X) défini par a : (D^p, ∂D^p) −→ (X,∗) et β ∈ πq(X) défini par b : (D^q, ∂D^q) −→ (X,∗). Alors[α, β] ∈ π_p+q−1(X) est la classe d’homotopie de l’application c:∂(D^p×D^q) =∂D^p×D^q∪D^p×∂D^p −→X définie par

h(x, y) =

a(x) six∈D^p, y∈∂D^q b(y) six∈∂D^p, y∈D^q

Preuve :

Découle de la définition de l’opérateur bord

d:π_n+m(Sⁿ×S^m, Sⁿ∨S^m)−→π_n+m−1(Sⁿ∨S^m) .

2 Lemme 13(Consistence des notations). Sip=q = 1, alors[α, β] =αβα⁻¹β⁻¹ ∈π1(X) . Preuve : Evident.

2 Th´eor`eme 6 (Comparaison Whitehead/Samelson). Soit τp :πp+1(X) −→πp(ΩX) l’isomorphisme naturel pour p ≥ 0. Pour tout α ∈ π_p+1(X), β ∈ π_q+1(X), alors τ[α, β] = (−1)^p < τ α, τ β >∈π_p+q(ΩX).

Preuve :

Laiss´ee en exercice.

2 Regraduons les groupes d’homotopie Lk =π_k+1(X). Pour xi ∈Li,yj ∈Lj etzk ∈Lk

on obtient ainsi

[xi, yj] = (−1)^ij[yj, xi] .

(−1)îj[[xi, yj], z_k] + (−1)^jk[[yj, z_k], xi] + (−1)^ki[[z_k, xi], yj] = 0 Autrement dit (L_.,[·,·]) est une quasi algèbre de Lie graduée.

5. Op´erations homotopiques

Définition. On appelle opération homotopique à une variable de type(n;p)un morphisme de foncteurs f :π_n−→π_p, c’est-à-dire la donnée pour tout X∈Top_∗ d’un morphisme

fX :πn(X)−→πp(X)

(9)

satisfaisant pour toutφ:X−→Y la contrainte de commutativit´e du diagramme πn(X)

φ_∗

fX

//πp(X)

φ_∗

πx(X) ^f^Y ^//π_p(Y) .

Lemme 14. L’ensemble des op´erations homotopiques `a une variable est en bijection naturelle avec πp(Sⁿ).

Preuve : L’applicationf_Sⁿ :π_n(Sⁿ)≃Z−→π_p(Sⁿ) fournit un ´el´ement deπ_p(Sⁿ).

Réciproquement soit [α] ∈ πp(Sⁿ) correspondant à une application α : S^p −→ Sⁿ. Si [x]∈πn(X) correspond àx:Sⁿ−→X, on posefX([x]) = [x◦α]∈πp(X).

2 Définition. De même une opération homotopique à kvariable, de type (n₁,· · ·n_k;p), est un morphisme de foncteurs

πn1 × · · ·πnk −→πp .

Lemme 15. L’ensemble des op´erations homotopiques `a k variables de type (n1,· · ·nk;p) est en bijection naturelle avec πp(Sⁿ¹ ∨ · · · ∨Sⁿ^k).

Ceci justifie l’intérêt de l’étude des groupes d’homotopie πp(Sⁿ¹ ∨ · · · ∨Sⁿ^k).

6. Le th´eor`eme de Hilton

Le théorème de Hilton exprimeπp(Sⁿ¹∨· · ·∨Sⁿ^k),ni ≥2, comme une somme directe de groupes d’homotopie de sphères πp(S^m). Chaque facteur se trouve plongé par un certain produit de Whitehead multiple.

Définition (Produits basiques). Les produits basiques de poids 1 sont les classes il, 1≤ l ≤k d’homotopie des injections naturelles Sⁿ^l −→ Sⁿ¹ ∨ · · · ∨Sⁿ^k. On les ordonne par la relation d’ordre i1 < · · · < ik. Par récurrence un produit basique de poids w est un produit de Whitehead [a, b], a produit basique de poids u, b produit basique de poids v, avec u+v =w, a < b, et si b = [c, d] on doit avoir c ≤a. Les produits de poids w sont ordonnés arbitrairement entre eux et sont strictements supérieurs aux produits basiques de poids < w.

Exemple :Sik= 2 et on posex=i₁ ety=i₂, les produits basiques sont poids 1 : x,y

poids 2 : [x, y]

poids 3 : [x,[x, y]], [y,[x, y]]

poids 4 : [x,[x,[x, y]]], [y,[x,[x, y]]], [y,[y,[x, y]]]

(10)

Chaque produit basiqueapeut être considéré comme un élément deπ_na(Sⁿ¹∨· · ·∨S_nk), na étant un entier facile à déterminer. L’application β −→ a◦β est donc un homomorphisme f_a:π_p(Sⁿâ)−→π_p(Sⁿ¹ ∨ · · · ∨Sⁿ^k). D’où un homomorphisme

f :⊕_aπ_p(Sⁿ^a)−→π_p(Sⁿ¹ ∨ · · · ∨Sⁿ^k) .

Théorème 7 (Hilton). Pour tout entierp l’homomorphisme f est un isomorphisme f :⊕_aπ_p(Sⁿâ)−→π_p(Sⁿ¹ ∨ · · · ∨Sⁿ^k) .

On v´erifie facilement que les entiers na tendent vers l’infini. Il s’ensuit que la somme directe est finie. Par exemple pourp <4n−3 on obtient

π_p(Sⁿ∨Sⁿ) =π_p(Sⁿ)⊕π_p(Sⁿ)⊕π_p(S²ⁿ⁻¹)⊕π_p(S³ⁿ⁻²)⊕π_p(S³ⁿ⁻²) .