Les donn´ ees d’une sous-cat´ egorie

Sous-cat´ egories

D´edou

Janvier 2010

Plan du chapitre

1 Sous-cat´egories

Les donn´ ees d’une sous-cat´ egorie

Une sous-cat´egorieC⁰ d’une cat´egorieC est constitu´ee par un sous-ensemble not´e obC⁰⊂obC d’objets deC

pour chaque couple (A,B) d’objets de C⁰ un sous-ensemble Hom⁰(A,B) deHom(A,B).

v´erifiant des conditions qu’on verra plus loin.

Exemple 1

On noteEns_U la cat´egorie des ensembles (de notre univers U). On en d´efinit une sous-cat´egorie en prenant :

comme sous-ensembleobC⁰ ⊂obC : l’ensemble des ensembles finis (de U) ;

pour chaque couple (A,B) de tels ensembles finis : Hom⁰(A,B) :=Hom(A,B).

Exemple 2

On noteEns_U la cat´egorie des ensembles (de notre univers U). On en d´efinit une sous-cat´egorie en prenant :

comme sous-ensembleobC⁰ ⊂obC :obC⁰ :=obC (on prend tout le monde)

pour chaque couple (A,B) d’ensembles :

Hom⁰(A,B)⊂Hom(A,B) est le sous-ensemble des applications injectives.

Exemple 3

On noteEns_U la cat´egorie des ensembles (de notre univers U). On en d´efinit une sous-cat´egorie en prenant :

comme sous-ensembleobC⁰ ⊂obC : l’ensemble des ensembles finis (de U) ;

pour chaque couple (A,B) de tels ensembles finis : Hom⁰(A,B)⊂Hom(A,B) est le sous-ensemble des applications surjectives.

Les axiomes d’une sous-cat´ egorie

Les donn´ees d’une sous-cat´egorieC⁰ v´erifient les conditions suivantes

identit´es ...

associativit´e ...

Exemple

Traˆıter nos trois exemples.

La cat´ egorie d’une sous-cat´ egorie

Th´eor`eme

Une sous-cat´egorie “est” une cat´egorie.