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Prévisions de la température de curie pour différents types de réseaux
G. Fournet
To cite this version:
G. Fournet. Prévisions de la température de curie pour différents types de réseaux. J. Phys. Radium,
1957, 18 (12), pp.663-671. �10.1051/jphysrad:019570018012066300�. �jpa-00235731�
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PRÉVISIONS DE LA TEMPÉRATURE DE CURIE POUR DIFFÉRENTS TYPES DE RÉSEAUX
Par G. FOURNET,
École Supérieure de Physique et Chimie.
PHYSIQUU TOME 18, DÉCEMBRE 1957,
1. Introduction.
-Il existe’ un très grand
nombre de travaux consacrés à la théorie des
phénomènes coopératifs, ces phénoynènes régissant
aussi bien les propriétés ferromagnétiques des corps que les modifications ordre-désordre des alliages.
Nous avons déjà signalé [3] que la théorie d’Yvon [22] fournit, sous forme d’un dévelop- pement illimité, une solution complète et exacte’ de
ces phénomènes pour le modèle communément admis (modèle d’Ising). Nous rappelons selon Yvon
les principales définitions de ce modèle : 1° La structure électronique du milieu n’est pas envi-
sagée d’une manière explicite. 2° Le réseau est
considéré comme rigide, indépendant de la tempé- rature ; les vibrations thermiques sont négligées.
3° Le seul phénomène d’agitation thermique dont
il est tenu compte est la possibilité pour les ions
d’échanger leur position ou leur état (spin parallèle
ou antiparallèle). 4° Les différentes probabilités
que l’on peut avoir à calculer pour estimer l’état du réseau sont régies par la thermodynamique statis- tique classique. 5° Une seule donnée importe alors :
c’est l’énergie potentielle qui est assocfée à une
distribution microscopique quelconque. 6° On
admet que l’énergie potentielle totale est la somme
des énergies éventuelles des ions pris deux à deux.
Nous avons déjà obtenu à partir de la théorie d’Yvon des prévisions théoriques en bon accord
avec les observations expérimentales relatives aux
modifications ordre-désordre des alliages Cu-Zn [3]
AuCu3 [5, 6] et CuPt [9] aussi bien pour l’ordre
à grande distance en fonction de la température
que pour les anomalies de chaleur spécifique ou la
diffusion des rayons X en dehors des directions,de
diffraction sélective. Nous nous sommes également
servis de la théorie d’Yvon au cours d’études sur
la loi de Vegard [7] et sur l’ordre à petite distance
dans les solutions solides de substitution [4, 8].
Nous voulons .dans le présent article pro.céder à
un autre test de la théorie d’Yvon : le calcul de la
température de Curie T. relative à chaque type
de réseau cristallin. De très nombreux travaux ont été consacrés à cette question ; ils concernent le modèle déjà décrit et supposent en outre que seule
intervient l’énergie potentielle mutuelle W, des premiers voisins ; tous les résultats obtenus (expri-
més à partir de la valeur du rapport WI jkTc) sont
des résultats approchés sauf pour les réseaux plans
à bases carré [13, 16] triangulaire [15, 18] et hexa
gonale [15, 18] ; on pourra consulter ’à ce sujet l’exposé d’ensemble de Rushbrooke’ [17]. L’intérêt
de notre travail sera donc de pouvoir connaître la
valeur logique et la précision des résultats de la théorie d’Yvon sans faire intervenir la véracité du modèle d’Ising.
Rappel de la théorie d’Yvon. --- Pour sim-
plifier nous désignons par l’indice A les ions qui
sont aimantés parallèlement au champ et par l’indice B ceux qui sont aimantés antiparallèlement.
Il suffit de déterminer les noeuds du réseau occupés
par les ions A pour connaître, par différence, les
sites occupés par les ions B. C’est cette idée que Yvon a exploitée théoriquement ; le problème posé
se ramène au calcul de la répartition d’une seule espèce d’ions à condition de choisir [22] pour énergie potentielle mutuelle Wu d’un couple d’ions situés l’un sur le noeud i l’autre sur le noeud j
(où WAe par exemple désigne l’énergie potentielle .
ij j
mutuelle de deux ions : un ion A sur le noeud i et un ion B sur le noeud j) et pour énergie provenant
du champ de forcés extérieures
UA étant le potentiel des forces extérieures agissant
sur l’ion A situé au noeud i. L’intçrprétation phy- sique des énergies Wu réside dans les interactions
d’échange; nous savons que dans le cas des phéno-
mènes ferromagnétiques les quantités Wu sont négatives, les interactions facilitant les états
« parallèles n.
Pour pouvoir comparer nos déterminations avec
celles déjà obtenues (cf. paragraphe I) nous sup- posons que les énergies Wu sont toutes nulles sauf quand i et j sont en position de premiers voisins ;
nous désignons la valeur correspondante par Wz
et nous posons pour simplifier des expressions
ultérieures
Dans ces conditions Yvon a montré que l’ordre
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019570018012066300
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à grande distance dans un réseau cristallin était défini par une équation du type suivant
où les Ai, Au, Aijk’ etc... sont des paramètres que l’on peut calculer par ailleurs. Les indices i, j, k...
servent à repérer les différents noeuds du réseau ;
nous mettons un indice i à la quantité f puisque
la sommation du membre de gauche de (I) est
effectuée autour du noeud i.
Les résultats déjà obtenus par Yvon ou par rous-mêmes [3] ainsi que la méthode de calcul des 4y ... développée dans le paragraphe (4) du présent article vont nous permettre de faire quelques remarques sur le calcul de l’expression. (1).
.
Le terme log A;j concerne deux n0153uds : le noeud i considéré et, un noeud j quelconque différent du ,
r0153ud i ; la valeur de log Aij est nulle [22] quand l’énergie d’interaction Wu entre les ions placés en i et j est nulle. Avec nos hypothèses nous ne devons
donc prendre en compte que les premiers voisins
de l’atome i pour effectuer la somme par rapport à l’indice j. Le début de l’expression (1) est donc :
c ù zi est le nombre de premiers voisins du noeud i.
De même log Aak (où les noeuds i, j, k doivent être
tous différents) ne présente de valeurs différentes de zéro que lorsque les énergies Wu, Wjg et Wki
sont toutes différentes de zéro ; les n0153uds j et k qu’il faut considérer dans le troisième terme de (1)
doivent donc être à la fois premiers voisins entre
eux et premiers voisins du ncçud i. Les différents
calculs que nous avons effectués dans ce domaine
nous ont montré que les noeuds i j k 1..., etc... d’un
terme log Ayw ... non nul doivent être reliés entre
eux par une chaîne continue de noeuds premiers voisins, cette chaîne partant et aboutissant au
r. oeud i autour duquel on effectue la statistique.
Nous voyons ainsi comment est limité le ’nombres de termes qu’il convient de prendre en compte
dans l’expression (1) ; nous appliquerons ces consi-
dérations dans le paragraphe 4.
3. Détermination de la température de Curie.
-Yvon obtient l’équation de l’aimantation spon- tanée en remarquant qu’en absence de champ exté-
rieur la probabilité pour observer une aimantation dans un sens (état I) est la même que celle corres-
pondant à l’aimentation de sens contraire (état II).
Si nous désignons par nl la probabilité de trouver
sur un noeud quelconque du réseau un ion dont le moment magnétique est parallèle à la direction générale d’aimantation, nous pouvons poser pour
l’état I, en définissant ainsi un paramètre s,
nous devons alors pour l’état II écrire
Les valeurs des différents log Au dépendent
de ni et donc de s ; l’équation de l’aimantation
spontanée
peut donc se noter par
Dans ces conditions la température de Curie est
définie par
.En remarquant que = 0 correspond à n, =1 /2 l’équation (5) devient
en tenant compte de la définition de fi nous pou-
vons mettre (6) sous la forme
Pour simplifier notre exposé nous conviendrons de noter plus simplement
le,point remplaçant l’indication de la dérivée par
rapport à s et la considération des valeurs pour s
égal à zéro étant sous-entendue.
De même nous poserons également
ce qui permet d’écrire (7) sous la forme
Nous venons de voir ainsi comment la structure
de Fexpression (1) est liée au calcul des tempé-
ratures de Curie ; nous allons donc.dans le prochain paragraphe examiner la forme de fi pour différents
types de réseau.
665 4. Équation de la température de Curie pour
différents types de réseau.
-Ces équations con-
cernent uniquement des termes Aijk ...’ ; pour sim-
plifier nos notations nous notons A 4 par exemple
tous les termes Aijki concernant 4 noeuds ; s’il
existe plusieurs types de termes à 4 noeuds nous
écrivons pour les différencier A 4,1 A 4, 2, etc...
Une représentation commode d’un terme An
s
consiste dans une figure à n noeuds dans laquelle chaque couple de noeuds premiers voisins entre eux
est lié par un segment de droite. Au moyen d’un tel graphique nous pouvons représenter la situation de 4 noeuds, situés au sommet d’un tétraèdre régulier et tous premiers voisins entre eux par la
FIG. 1.
ip 2.
figure 1. La, figure 2 signifie que i j k sont tous premiers voisins entre eux, mais que 1, premier
voisin de j et k, n’est pas premier voisin de i.
Dans toutes ces figures les noeuds ordinaires sont notés par un point tandis que le noeud autour
duquel on effectue la statistique est noté par une Circonférence.
RÉSEAU PLAN A BASE CARRÉE.
-Nous allons chercher l’expression de fi dans un tel réseau. Nous
savons déjà qu’au terme A, nous devons ajouter quatre termes A 2. Il n’existe pas de terme en A 3.
Les termes A 4,1 (cf. fig. 4) sont au nombre de 4 puisque nous pouvons border un noeud i quelconque
,
du réseau par quatre carrés a, b, c, d (cf. fig. 3).
Les termes à 5 noeuds n’existent pas. Les termes A 6,1 sont au nombre de 8 puisque chaque
carré tel que a peut être bordé par des carrés tel
que a’ et a". Les 4 termes A 6,2 correspondant au groupement ab, bc, cd et da des carrés élémentaires.
FIG. 3.
FIG. 4.
L’équation de la température de Curie dans un
réseau plan à base carrée s’écrit donc (cf. (7))
soit encore
666
RÉSEAU TRIANGULAIRE PLAN.
-Nous donnons maintenant pour chaque réseau l’expression de l’équation fournissant la température de Curie sans détailler, comme pour le réseau précédent, le mode
d’établissement. Nous avons ainsi obtenu pour le réseau triangulaire.
RÉSEAU HEXAGONAL PLAN. -
RÉSEAU CUBIQUE SIMPLE.
-RÉSEAU CUBIQUE CENTRÉ.
-RÉSEAU CUBIQUE A FACES CENTRÉES.
-5. Calcul des an. - Un premier procédé de
calcul consiste à remplacer n, par (1/2) (1 + s)
dans l’expression des Au(s) ; après dérivatio non
obtient An/An soit an. Par exemple Yvon a montré
que
soit encore avec nos notations
Après dérivation nous trouvons
pour s = 0 nous obtenons donc
Nous pourrions, au moyen des expressions de A 2, A 3 et A 4,1 que Yvon a établies, effectuer des calculs analogues mais nous préférons indiquer tout
de suite une méthode de calcul plus directe.
TABLEAU 1
Considérons un réseau réduit à deux noeuds i et j.
Le tableau 1 permet de résumer les propriétés des
différents états possibles de ce réseau ; dans la première colonne se trouve le nombre et la position
des noeuds occupés, dans la deuxième colonne les
énergies correspondantes et dans la troisième
colonne les probabilités à un facteur de norma-
lisation pris égal à (1 + r + t + rtw)-l des
différents états considérés.
Les paramètres r, t, w, sont définis par :
Yvon a montré que ce réseau à deux noeuds était
régi par des lois de même structure et faisant inter- venir les mêmes coefficients qu’un réseau plus
étendu à condition d’identifier les propriétés de ces
deux réseaux ; nous devons par conséquent écrire
que, d’une part, la probabilité d’occupation par un ion A d’un noeud quelconque du réseau réel soit
et que, d’autre part, cette même probabilité pour chacun des noeuds du réseau réduit
-soit pour le noeud i
soit pour le noeud j
sont égales. L’équation de l’ordre à grande dis-
tance appliquée au réseau à deux noeuds
(où C désigne une constante) fait ainsi intervenir les paramètres Al et A2 de (1) si on impose
et
L’équation (17) fournit alors par simple déri-
vation
relation qui nous permettra de déterminer a2.
Nous devons maintenant calculer la valeur du deuxième membre de cette relation (20). Les rela-
tions (18) et (19) montrent que r = t (soit Ui = Uj);
la valeur commune, désignée par r, étant donc définie par
et par conséquent
quand ro, correspondant à la valeur
déterminé par
667 Nous trouvons ainsi
d’où (cf. 20)
est
Le calcul du terme en A 3 s’effectue de la même
façon. Le tableau II résume les informations sur
les différents états du réseau réduit à trois noeud.
La première colonne (1) contient le nombre et la
position des ions dans chaque état considéré et la
deuxième colonne (2), les probabilités corres- pondantes à un facteur de normalisation près.
Dans le tableau. I nous avions noté par r et t les
probabilités d’occupation des sites i et j ; les expressions (18) et (19) nous avaient ensuite
montré qu’il convenait d’écrire r = t ; profitant
de cette remarque nous avons immédiatement,
dans la constitution du tableau II, attribué le même facteur de probabilité r aux noeuds 1, j et k
qui jouent le même rôle.
L’équation de l’ordre à grande distance appliquée
au réseau réduit à trois noeuds f ournit -
la dérivée de (23) par rapport à s, considérée pour la valeur zéro de la variable s, donne
-