Les lois de la filtration à travers des colonnes de sable, et les lois de Ohm

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Submitted on 1 Jan 1907

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Les lois de la filtration à travers des colonnes de sable, et les lois de Ohm

Bernard Brunhes

To cite this version:

Bernard Brunhes. Les lois de la filtration à travers des colonnes de sable, et les lois de Ohm. J. Phys.

Theor. Appl., 1907, 6 (1), pp.194-201. �10.1051/jphystap:019070060019401�. �jpa-00241198�

194

Soit C la concentration en H2 ^{et c en} H,.

La loi d’action de masse nous donne l’équation :

d’où :

Comme la dissociation est faible, ^le rapport des concentrations

qu’on peut considérer comme caractérisant la proportion de gaz dis- socié est :

Or C est proportionnel ^{à la} pression. ^{Donc la} dissociation sera

d’autant plus grande que ^la pression ^sera plus petite.

Dans un tube de Geissler, le gaz ^{est à} la fois sous faible pression

et à une haute température. Le gaz doit donc y être assez fortement dissocié.

,

L’hypothèse de la dissociation prend ^{donc une} importance ^toute

nouvelle par suite de l’interprétation plus ^exacte des résultats des

expériences de Richardson. Pour assurer la vérité de cette hypo-

thèse, ^{il est} nécessaire de faire des expériences ^{de mesure de densité}

par ^{une autre} méthode.

Si nous nous contentons, pour l’instant, des résultats de Richardson,

nous voyons que, parallèlement ^avec la théorie des ions, celle de la dissociation explique ^les phénomènes présentés par les tubes ^à dé-

charge remplis d’hydrogène. Elle conduit même à émettre l’idée que, dans les étoiles et le soleil qui ^{ne montrent} que le premier spectre, l’hydrogène ^est entièrement dissocié à l’état d’atomes.

LES LOIS DE LA FILTRATION A TRAVERS DES COLONNES DE SABLE, ^{ET LES LOIS DE} OHM ;

Par M. BERNARD BRUNHES.

La filtration à travers les parois ^{poreuses a donné lieu à un} grand ^nombre de recherches expérimentales. ^D’une façon générale,

on a étendu au passage ^{à travers} les substances perméables ^les

lois de Poiseuille sur l’écoulement à travers les tubes capillaires.

Article published online by EDP Sciences and available at

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019070060019401

195 Le passage ^{à travers} les couches filtrantes de sable, ^telles qu’on ^les emploie ^{dans la}

filtration naturelle » des rivières, ^{a été moins}

étudié par les physiciens. ^Des ingénieurs ^ont publié de nomhreux travaux sur ce sujet ; ^{mais ce sont des travaux effectués dans des}

conditions complexes, ^et n’aboutissant le plus ^souvent qu’à ^{des for-}

mules empiriques encombrées de termes correctifs sans signification physique. ^{Il ne sera} pas ^sans intérêtde rappeler les conclusions prin- cipales d’un travail déjà ^{ancien sur ce} sujet, qui ^{est à la fois un tra-}

vail de laboratoire que domine la préoccupation ^{de se} placer ^{dans des}

conditions bien définies, ^{et un travail où l’on a fait} varier les condi- tions déterminantes des phénomènes ^{dans de} larges ^{limites. Si l’on}

tient à la comparaison ^{du courant} électrique ^{avec un courant} liquide,

il faut se garder de comparer ^{un fil} conducteur à un tube capillaire,

comme on le fait trop ^souvent; mais c’est à une colonne de sable que lue fil conducteur est comparable ; il n’est donc pas indifférent de con-

naître les expériences par lesquelles ^les

lois de Ohm » ont été vé-

’

rifiées dans le cas de l’écoulement des liquides ^{à travers} des colonnes de sable. Cette vérification résulte, ^{d’une manière} particulièrement simple, ^{des mesures} effectuées par Julien Brunhes, ^{dans son clé-}

moire intitulé : l-lecherches expéri»ae>atales ^sur le passage des liquides

fd travers les substances perméables ^et les couches

1. Proportionnalité du débit à la pression.

^{Nous ne voulons} citer ici _que quelques expériences caractéristiques, ^{sans insister sur}

les remarques ^très nombreuses qui remplissent ^le mémoire cité.

On _{a, par} exemple, pris ^{un tube de verre de 1 mètre de} long, ^de 29mm,5 ^de diamètre intérieur aux deux bouts. On ^a appliqué, ^{sur les}

bords bien rodés, ^{une rondelle} de caoutchouc de forme annulaire, puis

un disque ^{de cuivre} également annulaire. Les deux disques ^{de cuivre}

des deux bouts, qui débordent, présentent ^{chacun, aux deux extré-}

mités d’un même diamètre, ^{deux trous où} s’engageront ^deux tiges

filetées qu’on ^{serrera par des écrous et} qui maintiendront serrées les deux couronnes de cuivre contre le tube de verre. La couronne

supérieure ^est percée ^{en son centre d’une ouverture} cylindrique

filetée intérieurement, ^où l’on pourra visser différents tubes terminés par des viroles identiques. ^{Entre la couronne} inférieure de cuivre et (1) Toulouse, Douladoure-Privat, ^1881.

^La plupart ^des expériences ^relatées

dans ce mémoire datent de 1818, ^{et aucun résumé de} ces mesures ne fut donné

aux C01nptes ^{ni au} Journal de Physique, ^ce qui explique qu’elles ^ne

soient pas plus ^connues.

196

le tube, ^{on a} introduit une feuille de parchemin ^{et une} soie résis- tante comme celles qui ^{servent à} faire les tamis. Toute la partie

inférieure du tube vertical est plongée ^{dans un vase} large plein d’eau, ^{dont le niveau est maintenu} invariable par ^un trop-plein.

Au-dessus du tube de 1 mètre est vissé à la partie supérieure,

comme il a été indiqué, ^{un tube} gradué soigneusement calibré, ^{et l’on}

étudiera la vitesse d’abaissement du niveau de l’eau dans ce tube.

(Dans ^{une série} d’expériences, ^{la distance entre deux dimensions}

limitant dans ce tube la capacité ^{de 1} centimètre cube est de à 25°. )

Le grand tube vertical de 29mm,5 de diamètre est rempli ^{de sable-}

On a pris ^du sable siliceux qu’on ^a fait passer ^{à travers une} série de tamis de plus ^en plus ^{fins et, à} chaque expérience, ^{on n’a utilisé} que.

la partie ^{du sable} qu’un ^nouveau tamisage venait de séparer ^du

reste de la masse; ainsi, ^{si l’on} emploie ^{des tamis} qui, ^au compte-fil, présentent respectivement 4, 6, 8, 10, ^{14 et 18} fils ^au dixième de pouce, ^on désignera par la notation 8-10 le sable dont les grains ^ont

tous traversé le tamis à 8 fils et sont restés au-dessus du tamis à 10 fils. Nous n’insisterons _pas sur les minutieuses précautions ^indis- pensables pour qu’aux grains ^{ne restent} pas adhérentes des pous- sières plus ^ténues.

Dans le _cas, réalisé ici, où la pression varie par l’écoulement même, ^le débit étant à chaque ^instant proportionnel ^{à la} pression, ^on

.a, à ^un instant 0, ^une pression Il donnée par :

Ho ^{étant la} pression ^{initiale et m un} coefficient qui doit caractériser

un tube donné. On chercllera les temps ^{écoulés entre} le passage du niveau de l’eau dans le tube gradué ^à la division 80 et à la division 70, par exemple, puis ^entre le passage ^{à la} division 70 et à la division 60 ;

chaque ^{fois on} calcule le temps 0 par la formule :

et l’on vérifie ainsi que la formule représente ^très exactement l’ex-

périence. ^{Voici la} reproduction partielle d’un tableau VIII (p. 56) :

197

Les pressions ^et les vitesses ont varié de ’1 à 10. On a pris pour valeur de rn

0,002072. La concordance entre les résultats du cal- cul et ceux de l’expérience autorise à dire _{que la} vitesse de débit à travers une colonne de sable est proportionnelle ^{à la} pression ^sous laquelle ^{se fait} l’écoulement.

II. clu débit avec la longueur ^{de la} colonne de sable.

En opérant ^{sur des colonnes de sable} identique ^{et de même section,}

mais de longueurs différentes, ^{on a reconnu} que, pour la _{même pres-} sion, la vitesse de filtration est ^en raison inverse de l’épaisseur ^{de la}

couche de sable. L’expérience consistait à remplir ^{de sable le} large

tube vertical jusqu’à ^{des hauteurs} différentes, la hauteur de la colonnes de sable homogène ^étant toujours grande par rapport ^{à son} diamètre, condition essentielle _pour que la loi soit vérifiée. On notait le temps ^{écoulé entre} le passage ^du niveau de l’eau d’une division

.

donnée à une autre, ^{de la division 87 à} la division 84, je suppose, dans le tube gradué qui ^{surmonte le} tube-filtre ; ^{et l’on} comparait

le rapport ^{de ces} temps ^écoulés pour deux liauteurs différentes de la colonnes de sable au rapport des hauteurs elles-mêmes.

Citons, ^{à titre} d’exemple, ^un tableau XXVII (p. 113).

Les colonnes de sable sont des colonnes ayant respectivement 56~,84 ; 31~,24. ^{Ce sont} des divisions calibrées une à une,

qui ^{valent chacune, en} moyenne, Ocm, 971 :

198

On voit qu’au degré d’approximation que comportent ^{les mesures}

de temps, ^le rapport des durées d’écoulement entre deux divisions du tube gradué ^est égal ^au rapport ^des longueurs des colonnes. C’est l’extension de la loi de Poiseuille.

III. Variation du débit avec la section d’une colonne filti?anle ^{et avec}

la grosseur du sable.

Si l’on remplit le tube de _verre, de section constante, successivement de sables de diverses grosseurs, les durées d’écoulement sous la même pression ^{sont d’autant} plus grandes que le sable est plus fin. Pour deux colonnes de sable 4-6 et 10-14, par

exemple, ^le rapport des durées d’écoulement entre les traits 97 et 94 est 3,249 ; ^le rapport des durées d’écoulement entre deux autres

traits, ^{77 et 74} par exemple, ^{est encore 3,249.}

On peut, ^dit l’auteur, ^{calculer la} « longueur ^réduite

^{d’une colonne}

de sable donnée, par ^la formule suivante :

E étant l’épaisseur ^{de la} colonne, ^{S sa} section, ^{et C son} coefficients

de perméabilité, c’est-à-dire le débit que comporterait, pour l’unité de pression, ^une colonne de même matière ayant l’unité de section et l’unité de longueur.

Pour deux colonnes de même longueur ^{et de même} section,

et ce rapport ^des perméabilités ^{doit se montrer} indépendant ^{de la}

pression ; ^{c’est bien ce} que l’expérience ^vérifie.

’

On admet comme évident que, pour les colonnes de ^même sable, ^le débit, ^{toutes choses} égales d’ailleurs, ^sera proportionnel ^à la section.

On en a obtenu une vérification expérimentale ^{indirecte en se fon-}

dant sur la loi de Poiseuille, ^{relative aux} quatrièmes puissances ^des

diamètres des interstices capillaires.

Soit n le nombre des interstices qu’on ^{trouve dans une} section droite du tube-filtre, ^{D leur dimension} moyenne :

Q ^{étant la} dépense, d’après ^{la formule de} Poiseuille ; ^{dans une autre}

colonne,

199 Si R est le rayon du tube-filtre,

Si l’on choisit des temps ^{0 et 0’ tels} que la dépense ^{soit la même,} C~ - ~’, ^{il en résulte :}

d’oû :

Les durées doivent être inversement proportionnelles ^{aux carrés}

des dimensions _moyennes des interstices ou, ^ce qui ^{revient au même,}

des dimensions moyennes ^des grains.

C’est bien ce que l’expérience ^{a vérifié} suffisamment, ^{si l’on com-} pare les durées d’écoulement ^{à travers du} sable 4-6 et du sable 6-8.

Par une méthode dont je ^{ne retrouve} pas le détail dans le mémoire

indiqué, ^{l’auteur donne comme} dimensions moyennes des grains,

pour le sable ^{4-6 et} le sable 6-8, respectivement les nombres et Om’~,3~~, ^{dont le} rapport ^{des carrés est ~.,8~~.}

Le rapport inverse des durées d’écoulement, ^{entre un} repère ^{et un}

autre également fixe, ^{à travers deux colonnes} identiques ^{de ces deux} sables, ^{est :}

On ^a donc bien :

Pour les sables plus ^{fins, dont les arêtes sont} beaucoup ^1no£ns émoussées, quand ^{on les examine au} microscope, ^cette relation s’est montrée moins bien vérifiée. Sur ce point, il y aurait une étude expé-

rimentale à reprendre, qui serait certainement intéressante.

IV. Variation du débit avec la température.

^{L’auteur a fait de} nombreuses expériences ^sur la variation de la vitesse d’écoulement de l’eau et de divers liquides ^{avec la} température: ^{il s’est notamment}

attaché à comparer la variation de la vitesse d’écoulement par la

chaleur, quand ^le liquide ^{doit traverser une couche de sable fin et}

quand ^{il doit traverser un tube} capillaire.

200

Voici quelques extraits de deux tableaux :

Ainsi les variations de la vitesse d’écoulement _{par la} température

sont les mêmes, que l’écoulement se fasse à travers des couches de

_

sable ou dans des tubes capillaires. ^{Dans l’un et l’autre cas inter-}

vient uniquement ^{la variation avec la} température du coefficient de viscosité du liquide.

Cette conclusion est d’autant plus dig/ne d’intérêt que Duclaux avait montré que la vitesse d’écoulement ^d’un liquide, rapportée ^à

celle de l’eau, ^n’est pas absolument indépendante ^{de la nature}

des parois du corps solide filtrant : tube capillaire, ^vases poreux ^ou couches de charbon ; ^il paraît y avoir un effet qui ^{tient à} l’épaisseur

variable de la couche de liquide qui ^{reste adhérente à la} paroi ^so-

lide mouillée. Il était intéressant de vérifier que, du moins, ^{si la} température varie, l’influence de la température ^sur la vitesse d’écoulement est, _pour ^un liquide donné, indépendante du corps solide contre lequel ^il frotte, ^{et ne} dépend que du liquide ^lui-même.

V. L’auteur a résumé les lois de la filtration à travers des colonnes de sable dans la formule suivante : -. si l’on appelle Q ^la dépense, c’est-à-dire la quantité ^de liquide écoulé dans l’unité de

temps ^{à travers une} colonne de longueur ^E, de section S, ^{sous une}

pression H, ^{on a :}

201 C étant un coefficient de perméabilité du filtre pour le liquide

donné. C varie quand ^la température ^{varie, et} peut ^{être mis sous la}

forme d’un binôme ou d’un polynôme Co (1-~- ^yt + pt2), ^« et ~ ^étant les coefficients qui caractérisent la variation de la viscosité du liquide

avec la température, ^et qui dépendent ^du liquide ^seul.

S’il y ^a

^en série _», l’un à la suite de l’autre, plusieurs ^tubes-

filtres de

section

ou de

perméabilité » différentes à traverser par le ^même liquide, ^la

dépense

^{devient :}

soi C et S étant les épaisseurs, ^les perméabilités ^et les sections des filtres successifs. S’il _y ^a variation continue des propriétés, ^{de la}

section et de la perméabilité (ce ^{dernier cas} peut ^arriver par suite de variations continues de la température, ^{et l’auteur en fait des} applica-

tions à des cas de filtration naturelle), ^{on écrit :}

C et S étant des fonctions de e (p. 143).

Sous cette forme, l’analogie ^avec les lois de Ohm est évidente. Au contraire, ^il n’y ^a pas analogie ^entre les lois de Ohm et les lois de Poiseuille : dans les premières apparaît ^{la section,} c’est-à-dire, ^{si le fil}

est cylindrique, ^{le cccrré du diamètre du} fil; dans les secondes appa- raît non le carré, ^{mais la} quatrième puissance ^du diamètre du tube.

Ici, ^{dans le cas d’une colonne de} sable, ^la dépense ^est bien propor- tionnelle simplement ^à la section.

La connaissance des lois expérimentales ^{de la} filtration à travers des colonnes de sable devrait donc, ^{en toute} rigueur, prêcher ^l’ex- posé des lois de Ohm, ^{si l’on veut} emprunter ^des exemples ^à l’lydro- dynamique pour ^éclairer dès le début l’étude des phénomènes ^élec- triques. La méthode de comparaison ^a d’ailleurs ses avantages, que

nous ne prétendons pas nier, _{bien que} ^nous pensions qu’on ^{en a par-}

fois abusé. Nous estimons surtout, ^{à vrai} dire, que, l’hydrodynamique

étant plus compliquée ^{et moins connue} que l’électricité, ^{des com-} paraisons hydrodynamiques ^{sont d’un secours} beaucoup ^moins pré-

cieux en électricité que ^{ne le} sont, ^au contraire, ^des comparaisons

électriques ^en hydrodynamique.