KK-thØorie et produits croisØs par un groupe quantique

KK-théorie et produits croisés par un groupe quantique

Roland Vergnioux vergniou@math.jussieu.fr

6 mars 2002

Notations [Baaj, Skandalis]

V ∈ L(H⊗H) régulier, irréductible (H sép.)

I S_r et Sˆ_r, C^∗-alg. de Hopf bisimplifiables Si V de type compact : projecteur sur la triviale

p = (id⊗h)(V ) ∈ Sˆ_r.

A, B : C^∗-algèbres S_r-équivariantes.

S_r-algèbre : δ_A injective et simplifiable.

E : B-module hilbertien S_r-équivariant δ_E

I X_E ∈ L_B(E⊗_δB(B ⊗S_r), E⊗S_r), δ_K(E) δ_B triviale ^I X_E ∈ L_B(E⊗H) repr. de V :

X₁₂X₁₃V₂₃ = V₂₃X₁₂ ^I Sˆ_X.

Représentation covariante π : A → L_B(E) tq δ_E(π(a)ζ) = (π⊗id)δ_A(a) · δ_E(ζ)

KK-Théorie S-équivariante [Kasparov, Baaj, Skandalis]

Définition (E, π, F) ∈ E_S

r(A, B) :

I E de type dénombrable, Z_/2Z_-gradué

I π : A → L_B(E) covariante de degré 0

I F élément de degré 1 de L_B(E)

I [π(A), F] ⊂ K_B(E)

I π(A)(F² − 1) et π(A)(F − F^∗) ⊂ K_B(E)

I (π(A)⊗S_r)(F ⊗1 −δ_K(E)(F)) ⊂ K_B(E)⊗S_r Homotopie : induite par E_S

r(A, B[0,1]) et les évaluations en 0 et 1 ^I KK_Sr(A, B).

Proposition (stabilisation)

V de type compact, H = `²(N_{). On a} E ⊕ (A⊗H⊗H) ' (A⊗H⊗H).

Produits croisés

Définition δ_B triviale, X repr. sur E, π : A → L_B(E) covariante non dég. :

A o Sˆ_π = Vect{π(a)s | a ∈ A, s ∈ Sˆ_X}.

Exemples

E_r = A⊗H, π_r = δ_A, X_r = 1⊗V ^I A o Sˆ_r. (E_p, π_p, X_p) «universelle» ^I A o Sˆ_p.

On note λ_A : A o _{Sˆp → A} o _{Sˆr, λ = λC.}

Définition Coactions de Sˆ_r et Sˆ_p sur

I A o Sˆ_r : ˆδ_r,r^A , ˆδ_r,p^A injectives, simplifiables.

I A o _{Sˆp :} ˆδ_p,r^A , ˆδ_p,p^A simplifiables.

I et aussi ˆδ⁰ : A o Sˆ_r → M˜((A o Sˆ_p)⊗Sˆ_r).

Applications de descente

Proposition

On pose E o Sˆ_π = E⊗_B(B o Sˆ_π) (π = r ou p).

1. K_BoSˆ

π(E o _{Sˆπ) ' KB(E)} o _Sˆπ. 2. Si (E, π, F) ∈ E_S

r(A, B) alors

(E o Sˆ_π, π o _{id, F} o _{1) ∈} E_(A o Sˆ_π, B o Sˆ_π).

3. ^I morphismes j_r et j_p en KK-théorie.

Points fixes

Définition Soit W = (U ⊗1)V (U ⊗1), on pose δ_E⊗H : ζ⊗ξ 7→ (W(ξ⊗1))₂₃δ_E(ζ)₁₃.

Proposition

1. φ ∈ L_B(E, F) ^I ψ = X_F(φ⊗_δBid)X_E^∗

∈ L_B(E⊗H, F ⊗H) est équivariant.

2. On a A o Sˆ_r ⊂ L_A(A⊗H)^Sr.

Proposition

1. V de type discret ^I (A o Sˆ_r)^Sˆr = π_r(A).

2. V de type compact, A S_r-algèbre

I A o _{Sˆr = KA(A⊗H)}^Sr_.

Définition V de type compact. L’égalité 2.

induit un isomorphisme

Φ : L_A(A⊗H⊗H)^Sr −→^∼ L_AoSˆ

r((A o _Sˆr)⊗H), et le triplet (A⊗H, id, 0) définit un élément

Théorème de Green-Julg Théorème B S_r-algèbre, δ_A triviale, V de type compact.

1. Φ induit un isomorphisme

Φ_∗ : KK_Sr(A, B) → KK(A, B o Sˆ_r).

2. On a Φ_∗ = f^∗ ◦ j_r, avec

f : A → A o Sˆ_r = A⊗S_r, a 7→ a⊗p.

3. On a Φ⁻_∗ ¹(x) = h_∗(x)⊗β, avec h : C _{→ Sr, λ 7→ λ1.}

Proposition δ_B triviale.

On a un morphisme canonique :

Ψ : KK_Sr(A, B) → KK(A o Sˆ_p, B).

V de type discret ^I Ψ isomorphisme.

K-Moyennabilité

Théorème On a iv ⇒ iii ⇒ ii ⇒ i : i. ∃ α ∈ KK( ˆS_r,C_{) λ}^∗_{(α) = [ˆεp].}

ii. [λ] ∈ KK( ˆS_p,Sˆ_r) est inversible.

iii. ∀ A [λ_A] ∈ KK(AoSˆ_p, AoSˆ_r) est inversible.

iv. 11 ∈ KK_Sr(C_,C₎ est représenté par (E,1, F) tq δ_E est faiblement contenue dans δ_r.

Si V est de type discret, iv ⇔ iii ⇔ ii ⇔ i.

Définition On dit que S_r est K-moyennable lorsque iv est vérifiée.

Remarque Dans le cas discret, j_p ◦ τ_A = ˆδ_pp^A∗ ◦ τ_AoSˆ

p ◦ Ψ

[ˆδ⁰]⊗_S α est l’inverse de [λ_A].