Comportement en compression d'une fibre de carbone dans un composite modèle monofilamentaire : simulation des images observées en photoélasticité

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Submitted on 1 Jan 1996

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Comportement en compression d’une fibre de carbone dans un composite modèle monofilamentaire : simulation

des images observées en photoélasticité

A. Vigouroux, M. Andrieux, P. Sixou

To cite this version:

A. Vigouroux, M. Andrieux, P. Sixou. Comportement en compression d’une fibre de carbone dans un composite modèle monofilamentaire : simulation des images observées en photoélasticité. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1996, 6 (5), pp.543-570. �10.1051/jp3:1996140�. �jpa-00249476�

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J. Phys. III France 6 (1996) 543-570 &~AY 1996, PAGE 543

Comportement en compression d'une fibre de carbone dans un

composite modAle monofilamentaire : simulation des images

observ4es en photo41asticit4

A. Vigouroux (~), M. Andrieux (~) et P. Sixou (~,*) (~) Polymage, I rue Voltaire 06000 Nice, France

(~) Laboratoire de physique de la MatiAre Condens6e, Parc Valrose, 06108 Nice Cedex 02, France

(Re~u le 19 juin 1995, r6vis6 le 30 janvier 1996, accepts le 16 f6vrier 1996)

PACS.81.05.Qk Reinforced polymers and polymer-ba8ed composites PACS.81.40.Np Fatigue, embrittlement and fracture

PACS.81.40.Tv Optical and dielectric properties (related to treatment conditions)

Rdsum4. Nous calculons les images observables en photo61asticit6 pour un composite mono- filamentaire, constitu6 par une fibre de carbone de 7 ou 49 pm de diamAtre dans une matrice

6poxyde, soumis h

un effort de compression. Le modAle de microflambage initialement d6velopp4

par Lee et Harris [21] et repris h l'O.N.E.R.A, par Grandsire-Vin~on [14] est utilis6. II est pos- sible d'obtenir les d4formations principales, leur diff6rence ainsi que les directions principales.

En dehors de la couche qui contient le plan de microflambage de la fibre, il est pris en compte des couches supp16mentaires qui correspondent aux couches de matibres situ4es au-dessus et au~

dessous du plan de microflambage de la fibre. Dans le cas de la fibre T300 (diamAtre 7 ~lm), et pour une ondulation initiale de 0,5 ym, une p6riode d'oscillation de 50 ou 100 pm et une com-

pression globale comprise entre I et 3$l, les calculs rAalisAs

avec ou sans couches supp16mentaires

et avec ou sans lames quart-d'onde montrent des images assez sombres le contraste est faible

et les d6formations sont presque toutes du mime ordre de grandeur pour une image donn6e.

Dans le cas de la fibre C49 (diamAtre 49 pm), le contraste est bien plus important. Les images colorim6triques pr6sentent des modifications notables en fonction des diffArents paramAtres que l'on peut faire varier et sont trAs voisines de l'exp6rience. Une discussion d6tail16e de ce cas a 6t6

r6alis6e. En particulier, la diffArence des d6formations principales diminue sur h-peu-prAs une 6paisseur de fibre autour de cette demiAre on constate de plus une alternance des couleurs

lorsque l'on fait varier l'angle entre polariseur et axe neutre de la fibre, et enfin les d6formations sont plus importantes au niveau des parties concaves de l'ondulation que des parties convexes.

Abstract. Based on a compressed single embedded fiber composite, constituted with a

7 ym or 49 pm fiber in an epoxy matrix, photoelasticity observables images are calculated. The

microbuckling model, first developped by Lee and Harris [21] and then completed by Grandsire-

Vin~on [14] (O.N.E.R.A.) is used. From it, it is possible to obtain the principal deformations,

their difference as ~vell as the principal directions. In addition to the active layer which contains the fiber microbuckling plane, some additional layers, corresponding to those which are situated above and below the fiber microbuckling plane, have also been taken into account. In the case of T300 fiber (7 ym of diameter), and for an initial undulation of 0.5 pm of amplitude, an oscillation

period of 50 or 100 ym, and a global compression taken between I and 3 $l, the results of the simulation, with or without additional layers and with or without quarter wave plates, show

relatively dark images. The contrast is low and the amplitude of the deformations are rather

(*) Auteur auquel doit Atre adress6e la correspondance (Fax: (33) 93 52 98 08)

© Les (ditions de Physique 1996

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the same all over the images. In the case of the C49 fiber (49 ym of diameter), the contrast is more pronounced and the results of the simulation show significant modifications with the

variations of some parameters and are quite in agreement with experiment. In particular, the difference of the principal deformations decrease over

a distance similar to the fiber diameter around the latter; we obtain a color altemance ~vhen the angle between the polarizer and the fiber axis changes, and finally, the local strain is larger near concave part of the undulation than

near the convex one.

introduction

Parmi les tests microm4caniques utilis4s pour mesurer la tenue des fibres en compression (boucle Alastique [1-4], flexion sun poutre [5,6], test de recul [7-9]), l'essai sur Aprouvette monofilamen-

taire [10,11] est souvent utilisA car il permet d'atteindre la contrainte it rupture ainsi que. en

poursuivant le test au-dell de la premiAre rupture, la cinAtique de fragmentation de la fibre en compression.

Par ailleurs, une observation expArimentale importante dans ce type de test concerne la

prAsence du microflambage de la fibre [12-14]. La flexion de la fibre, si petite soit-elle, modifie

le transfert de charge it l'interface, absorbant une partie de la dAformation ce qui a pour

coiisAquence de retarder le processus de fragmentation.

Au niveau expArimental, les problAmes liAs au comportement en compression d'un composite monofilanientaire et au microflambage de celui-ci ont AtA AtudiAs par des techniques diffArentes et parfois complAmeiitaires Amission acoustique [14-19], observation sous microscope des rup-

tures [10,11,14], spectroscopie Raman pour mesurer la d4formation de la fibre [15,16].

Hawthorne et Teghtsooniaii [10] ont AtudiA des Aprouvettes monofilamentaires (fibre de carbone / rAsine Apoxyde) en compression jusqu'it la rupture afin d'atteindre la dAformation et la contrainte it la rupture. Boll et al. ill] et Ohsawa et al. [24] ont effectuA le mAme type

d'expArience mais ont de plus AtudiA la cin4tique de fragmentation en compression de maniAre

analogue aux travaux en traction mends prAcAdemment sur ce point it l'O.N.E.R.A. (Office

National d'lltudes et de Recherches AArospatiales). llelanitis et Galiotis [17] ont mesurA la dAformation de la fibre de carbone soumise h un effort de compression grlce au dAplacement

de la raie Raman E2g du carbone. Le microflambage observA expArimentalement depuis long-

temps [18] (Coleman 1958) a AtA 4tudiA par Ahlstrom [13] en particulier lors du cycle de cuisson.

Une forte contribution h l'Atude de ces questions est due aux travaux mends par l'O.N.E.R.A.

(Jacques [19], Feillard [20], Grandsire-Vinqon [14], Auvray [16]). L'ensemble des aspects expA-

rimeutaux a 4tA AtudiA et une mod@lisation du flambage, reprenant et comp14tant les travaux de Lee et Harris [21] a AtA proposAe par Grandsire-Vinqon [14].

Dons un prAcAdent article [22], nous avons apport4 une contribution expArimentale au pro- blAme, en particulier nous avons montrA que l'utilisation d'une fibre de gros diamAtre (49~lm)

permettait de rAaliser des observations trAs fines du microflambage et des fractures lors du test

en compression. Nous prAsentons ici une simulation numArique de ces phAnomAnes et en parti-

culier du calcul des images observables en photoAlasticimAtrie afin d'effectuer une comparaison

avec les rAsultats expArimentaux. Le principe consiste h d4couper la surface de l'Achantillon en

un certain nombre de cellules AlAmentaires carrAes reprAsentant chacune un pixel, et h calculer pour chaque pixel l'intensitA de la lumiAre traversant l'Achantillon. Pour ceci, on dAcoupe celui- ci en couches et on calcule les modifications lumineuses compte tenu de la birAfringence locale

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N°5 SIMULATION D'UN COMPOSITE EN COT]PRESSION 545

de chaque couche. Le champ de birAfringence rAsulte de l'anisotropie du champ de dAformation

lequel reflAte le champ de contraintes. Il est possible par ailleurs d'introduire dans le calcul l'effet de polariseurs ou d'AlAments optiques divers tels les quart-d'onde par exemple.

1. Modkle m4canique du microflambage

L'objectif de ce modAle est d'Avaluer par le calcul les ordres de grandeurs des d4formations et des contraintes gAnArAes par le microflambage de la fibre lorsque l'4proui<ette est soumise h une

compression globale (not4e par la suite eo~).

Nous avons utilisA pour cela le modAle dAi<eloppA par Grandsire-Viiiqon [14] doiit nous prA-

sentons ici les r4sultats. Il s'agit d'une adaptation de celui de Lee et Harris [21] au cas d'une fibre seule dons une matrice infinie. En effet, le rapport du diamAtre de la fibre (7 ~lm) h

l'4paisseur de l'Aprouvette (de I h1,5 mm) Atant trAs foible. la matrice peut Atre consid@rAe

comme infinie par rapport h la fibre. Cette demiAre est supposAe isotrope transverse avec uu

comportement Alastique lin4aire. Elle est assimilAe h uue poutre dout seules les d@formatioiis

longitudinales (c'est-h-dire dons le sens de la fibre) sout prises en compte. La matrice est

isotrope et est supposAe avoir Agalemeut uu comportemeiit Alastique liuAaire.

I l'Atat initial, la fibre pr4seute

uue ondulation due aux coutraiutes rAsiduelles de cuissou.

Il est cepeudaiit supposA qu'il u'y a iii dAformatioiis iii contraintes daus cet (tat.

L'oudulatiou initiale de la fibre, repr4seutAe sur la figure I, est donnAe par la relation sui- vante

yo " Ho sin ~ (l)

avec L, demi-lougueur d'oiide de l'oudulatiou de la fibre et Ho amplitude de cette deruiAre.

Il est supposA que la matrice est soumise h uu champ de contraintes planes, superposition

du champ de compression uniaxiale et du champ de coutraiiites eugeudrA par la perturbation

due h l'oudulatiou de la fibre. Le dAplacemeut Up, daus la matrice, dfi it la perturbation est recherchA sous une forme permettant le respect de l'hypothAse de p4riodicit4 des d4placemeiits

UP = »iv) CDS Ill

x + ~iv) Sin Ill

Y 12)

En contraintes planes, les d4placements (i~. v) vArifient les conditions d'Aquilibre 2~lii + Ii v)~1~~ + Ii + v)~i~ = o

j~~

2~J22 + (1 v)~Jii + (I + v)~t12

" 0

avec v coefficient de Poisson de la matrice.

De plus, les conditions aux limites pour le d4placement dans la matrice dfi it l'ondulation de la fibre sont

~t(0) = 0

. it l'interface

~J(0) = A

. it l'infini Up

= 0

oh A repr4sente l'accroissement de l'amplitude de l'ondulation due it la compression.

I partir des Aquations d'Aquilibre, des conditions aux limites et de l'expression du dAplace- ment, Grandsire-Vinqon [14] montre, que dans le cas d'un composite monofilamentaire, l'ex- pression des champs de dAformations (e~j est donnAe par la somme des dAformations (i~j dues

(5)

y

A

Y>0

I&

0

2L x

Y<0

Fig. 1. Sch6matisation de l'ondulation initiale de la fibre qui se met sous la forme go " Ho sin ~~

oh L est la demi-longueur d'onde. A repr6sente l'accroissement de l'amplitude de l'ondulation lorsq~e

le composite est soumis h

une compression globale. Par convention, Y est positif au-d~ssus de la fibre

~t n6gatif en-dessous.

[Initial undulation of the fiber given by the follo~ving equation go # Ho sin ~~, where L is half of the

L

~vavelenght. When the composite is compressed the amplitude of the undulation increases of A ym.

For convenience, Y is positive above the fiber and negative below it-j

it la solution perturbAe des Aquations donnant les conditions d'Aquilibre et de celles due it la

~ompression globale (eo~ appliquAe it I'@prouvette

Eli = -eo~ + iii (4)

e22 = vec~ + @22 (5)

E12 " ~12 (6)

oh Eli est la dAformation normale h la fibre et e22 la d4formation longitudinale (dans le sens de la fibre). La figure 2 schAmatise l'ensemble de ces d4formations en un point de la fibre. I

partir de l'4quation 4, on voit ais4ment le role de support anti-flambage que joue la matrice

:

le terme de compression globale intervient en effet de faqon nAgative dans l'expression de la

dAformation normale h la fibre.

Les expressions pour les dAformations provenant de la perturbation due it l'ondulation de la fibre sont donnAes par

~(

7ry Sill 7r~

~ ~ ~

~~

~~ ~ ~~

~ ~

+

~

~~~ ~

(7)

~~~ ~~ ~

+

~

~~~ ~

(6)

N°5 SIMULATION D'UN COMPOSITE EN COMPRESSION 547

Pour les besoins de son calcul, Grandsire-Vinqon dAfinit elques paramAtres que nous

ici. Dans les expressions Em, le odule de la atrice,

son

, 4

. Coefficient de rigidit4 en traction-compression

~~ (l + /)3 v) ~~ i'

~~~

. Coefficient de rigidit4 en cisaillement

4ji v)

~c ~

= ii + v)j3 v) ~m~ i~°~

. Charge critique : c'est la charge maximale que l'on puisse appliquer sans qu'il y ait rupture de la fibre.

~2 ~2

P~ = Eflf~ + Kc + Kf~. (ll)

L 1

y

~i

~

Ez

o

X

~z2

Fig. 2. Repr4sentation des d4formations en un point du composite en et e22 sont les d4formations

respectivement normale et longitudinale h la fibre, cl et e2 sont les d4formations principales et 6 est l'angle principal des d6formations.

[Representation of the deformations somewhere in the composite. en and e22 are the deformations

perpendicular and parallel to the fiber, respectively, ii and e2 are the principal deformations and 6 the principal angle of the deformations.]

(7)

Le premier terme de la charge critique correspond h la charge critique d'Euler de la fibre.

Les deux autres termes, qui augmentent la valeur de cette charge critique, sont lids au

support anti-flambage que reprAsente la matrice, avec des r4actions en cisaillement (terme

~2 K~) et en traction-compression (terme Kf~).

i

. Accroissement de l'amplitude de l'ondulation A =

)Ho (12)

oh k est le rapport de la charge appliquAe (P) it la charge critique (P~)

k

=

) (13)

k est donc compris entre 0 et I.

. Expression de la compression globale

avec Sf

= ir~. Notons que

eo~ est le rapport entre le dAplacement global (D) appliquA

h l'ensemble fibre-matrice sur une demi-longueur d'onde, et cette demiAre. On a par

consAquent la relation eo~

= DIL. Le dAplacement global D est la somme (au niveau de la fibre)

du dAplacement hi correspondant h la diminution de longueur due it la compression de la fibre,

du dAplacement Af provoquA par l'augmentation de la dAform4e, la longueur de la fibre Ataut alors cousidArAe comme coustante.

Le dAplacement correspondant h la contribution if induit une d4formation de compres- sion uniforme sur la fibre. Quant au d4placement correspondant h l'augmentation de

l'amplitude de l'ondulation, il induit une dAformation de flexion. On peut ainsi comparer la part de flexion et de compression appliquAes h la fibre.

Les relations de Neumann, reliant les dAformations et les franges observAes en photoAlasticitA, utilisent la diff4rence entre les dAformations principales. Ces demiAres sont notAes El et e2 et sont donnAes par

:

~~~ E22 ~

~ e(~ ~~~~

~~~~~

Eii + ~~~

+

2

Elles correspondent aux dAformations minimales et maximales, ces deux extrema correspondant respectivement au + et au devant le radical. Elles se situent dans deux plans h 90° l'un de l'autre, appelAs plans des dAformations principales. La diffArence des dAformations principales s'4crit donc

El e2 = (1 + v)~eo~2 + C2 siii~ ~~ 2(1 + v)eo~C sin ~~ + C2 cos2 ~~ (16)

L L L

(8)

N°5 SIMULATION D'UN COMPOSITE EN COMPRESSION 549

avec:

y>0,C+=2A~~~ie ~~L fl+~

~) (17)

3-VL ~L I+V

et

~~

y < 0, C-

= 2A ~ ~ ie~

L fl ~ (18)

3~VL ~L I+V~

Les directions principales de ces d4formations sont donnAes par

~~~ ~g

=

~~12 (19)

-(1 + V)Eco + ill E22

ce qui devient

~ ~~~ jRXj

y > o~ tan 26

#

~ ~

i~ ~~°~

-(l + V)Eco + C+ Sin f)

et

~ ~~~ ~i~j

y < o, tan 29

=

~

i~ (~~~

-(i + v)e« + c- sin (/)

2. Aspects photo41astiques du microflambage

La plupart des corps traiisparents isotropes, normalement non birAfi~ingents, le dei<ieniieiit lorsqu'ils sont soumis h des contraintes ou des dAformations. C'est le ph4nomAne de bir4frin- gence accidentelle. Nous allons utiliser cette propri4tA du composite pour calculer l'image. Le

dispositif utilis4 pour la simulation est celui repr4sent4 sur la figure 3.

I la sortie du polariseur, la lumiAre de loiigueur d'onde I a une polarisation P. Si cette lumiAre se prAsente suivant une direction de polarisation quelconque par rapport aux axes du

composite, chacune des composantes vectorielles suivant ces deux directions se comporte comme une onde plane autonome et progresse it la vitesse propre it cette direction. Le retard optique b d'une des composantes de la lumiAre par rapport it l'autre est proportionnel h l'4paisseur de matiAre travers4e, e, et it la diffArence des d4formations principales. Il est donn4 par la relation de Neumann

b = Ke(ei e2 (22)

oh K est la constante de dAformation optique de la r4sine (elle prend la valeur o,08 dans le cas de la rAsine Apoxyde utilisAe).

La grandeur b est le retard d'une composante de la lumiAre sur l'autre, le long de leur trajet

commun. C'est donc une longueur. ExprimA en angle de phase ~, il vaut, pour one longueur

d'onde I de la lumiAre

~

~ ~~l ~~~~

D'aprAs la figure 3, la lumiAre de polarisation plane traverse d'abord le milieu photo41astique (composite), son plan de polarisation Atant inclin4 d'un angle fl sur l'une des directions prin- cipales, puis l'analyseur. L'intensitA lumineuse qui subsiste varie comme

I = sin~ 2fl sin~ ~ (24)

2

(9)

Analyseur Composite

Ei Polariseur

~~~~t_d'onde

Quart-d'onde

Fig. 3. Sch4matisation du dispositif h simuler : la lumiAre aprAs avoir 6t6 polaris6e traverse le composite puis l'analyseur. Deux quart-d'onde peuvent 4ventuellement Atre dispos6s de chaque c6t6 du composite afin de simuler une image sans isoclines.

[Representation of the optical arrangement to be simulated: the wave, after being polarized by the

polarizer, goes through the composite and analyser. Two quarter wave plates can be introduced from each side of the composite.]

Remarquons que l'on peut Acrire l'angle fl comme la diffArence de deux autres angles

fl = a 9 (25)

oh 9 est l'angle principal des dAformations et a l'angle que fait le polariseur et l'axe neutre de la fibre. C'est cette intensitA I, en tout point de l'image, que l'on se propose de calculer.

3. Les techniques et 4tapes de la simulation d'image

Les images simulAes ont des dimensions de 512 x 480 pixels, r4solution maximale du moniteur it

notre disposition. Ce moniteur est commandA par une carte MATROX implant4e dans le PC

486 que nous avons utilisA. L'affichage d'une image couleur sur le moniteur est le r4sultat de

la superposition sur l'4cran de trois zones mAmoires de 512 x 480 pixels, situAes dans la carte MATROX une zone m4moire correspondant h la couleur rouge, une autre h la couleur bleue et la troisiAme h la couleur verte. L'Acriture dans ces zones mAmoires permet de montrer, dans le cas qui nous intAresse, le rAsultat d'une simulation.

Il faut donc calculer pour chaque pixel de coordonn4es (~, y) et pour chacune des trois zones mAmoires, l'intensit41(~, y) de l'image. Notons que la longueur d'onde I est celle correspondant

it la zone m4moire qui est en train de se remplir. I prend donc successivement les valeurs des longueurs d'onde correspondant au rouge, puis au bleu et enfin au vert.

Les paramAtres it entrer dans le modAle sont les suivants

. paramAtres invariant pour un composite donnA Em module d'Young de la matrice

Ef module d'Young de la fibre (sauf cas particuliers oh il n'est pas connu)

r rayon de la fibre

v coefficient de Poisson de la matrice

Figure

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Références

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