HAL Id: jpa-00249530
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Submitted on 1 Jan 1996
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Moteurs piézo-électriques à onde progressive : II.
Modélisation analytique bidimensionnelle du contact stator/rotor
P. Le Moal, P. Minotti, A. Ferreira, J. Duffaud
To cite this version:
P. Le Moal, P. Minotti, A. Ferreira, J. Duffaud. Moteurs piézo-électriques à onde progressive : II.
Modélisation analytique bidimensionnelle du contact stator/rotor. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1996, 6 (10), pp.1339-1361. �10.1051/jp3:1996190�. �jpa-00249530�
Moteurs p14zo-41ectriques h onde progressive :
II. Mod41isation analytique bidiltlensionnelle du contact
stator/rotor
P. Le Moal, P. Minotti, A. Ferreira et J. Duffaud
Laboratoire de M6canique Appliqu6e R. Cha16at (*), 24 rue de I'#pitaphe,
25030 Besangon, France
(Regu le 3 avril 1996, accepts le 3 juillet 1996)
PACS.43.30.Pa Friction, wear, adherence, hardness, mechanical contacts, and tribology
PACS.43.40.At Experimental and theorical studies of vibrating systems
R4sum4. Dans ce second article, consacr6 h la mod61isation th60rique des moteurs p16zo- dlectriques h onde progressive, on s'int6resse plus particulikrement au m6canisme de contact I l'interface stator/rotor. La premikre partie pr6sente une rapide description de la plateforme
d'essais, d6veIoppde par notre Iaboratoire afin de d6finir prdcis6ment la g60mdtrie de l'interface
stator/rotor- Ensuite, nous ddveloppons le modAle analytique du contact, basd sur la solution g6n6rale du problkme bidimensionnel 61astique en termes d'int6grales de Fourier. Celui-ci met en
6vidence l'influence des paramktres m6caniques et gdomdtriques de l'interface et permet notam- ment l'acquisition de la zone de contact et de la distribution de pression normale- Cette approche analytique est ensuite validde de maniAre trAs prdcise, I partir des simulations numdriques ef- fectudes h partir du code 616ments finis ANSYS- Enfin, un logiciel baptis6 C-U-B-I-C- (Contact
Unilat6ral entre Bicouches et Indenteurs Continus), bask sur le modkle de contact pr6cddent,
est rapidement pr6sent6. Il permet d'acc6der, en quelques secondes, h la visualisation de la
zone
de contact et de la distribution de pression h l'interface stator/rotor en fonction de l'elfort de prdcontrainte. Le logiciel C-U-B-I-C- calcule les paramAtres d'entr6e des modAles prdcddemment d6veloppds dans le logiciel C-A-S-I-M-M-I-R-E- (Conception Assist6e par la Slmulation des MA-
canique des MJcromoteurs REsonnants), et se substitue avantageusement au code 616ments finis ANSYS. La comp16mentarit6 des deux logiciels d6velopp6s au L-M-A-R-C- autorise actuellement le dimensionnement optimal d'un prototype au stade de l'avant-projet.
Abstract. This second paper, out of three, devoted to the theoretical modeling of travel-
ing wave type ultrasonic motors, focuses especially on the stator/rotor contact problem. The first part gives a short description of the specific test bench, which has been developed by our laboratory, in order to perform the acquisition of the stator/rotor interface geometry. Then an
analytical approach is shown, based on the general solution of the bidimensional elastic prob-
lem in terms of Fourier integrals. This approach allows to figure the influence of the interface mechanical and geometric parameters. After a long calculation, the contact area and the pres-
sure distribution are obtained. The good correlation between numerical simulations (performed
on ANSYS finite element code with calculation time of about one hour) and our analytical modeling is then pointed out. Finally, a
new software named C-U-B-I-C- (Contact Unilatdral entre Bicouches et Indenteurs Continus) and based
on the previous theoretical contact model is presented. It allows both the contact area, and the pressure distribution to be obtained
as
well as a visualization of the geometric configuration of the stator/rotor interface with respect
(*)URA 004 C-N-R-S-
© Les #ditions de Physique 1996
to the axial preload. By using the calculations performed by C-U-B-I-C- as input parameters of C-A-S-I-M-M-I-R-E- software (Conception Assistde par la Slmulation Mdcanique des Mlcro- moteurs REsonnants), previously developed by our laboratory, a rotative piezomotor can be
characterized and optinfized in a few seconds.
Notations
El, E2, E~ modules d'Young du stator, du rotor (substrat), et de MPa la couche de friction
vi, u2, u3 coefficients de Poisson du stator, du rotor (substrat), et
de la couche de friction
hi, h2,h3 4paisseurs du stator, du rotor (substrat), et de la m couche de friction
G2,G3 transformAes de Fourier des fonctions d'Airy en
contraintes du rotor (substrat), et de la couche de friction P point matAriel situA h la surface du stator
up(~lr,~lq, ~lz) vecteur dAplacement du point P m
(er,eo, ez) base orthonormale liAe au stator
Uo, Uz amplitudes crAtes des dAplacements dans les directions m 9 et z
w, w(~),w(~) vibrations hors-plan correspondant respectivement h m l'onde progressive et aux deux ondes stationnaires
pi masse volumique du mat4riau constitutif du stator kg m~3
Hi distance plan moyen surface du stator m
k, n nombre de diamAtres et de cercles de noauds
(km fonction de Bessel
wkn Pulsation propre du stator associAe aux formes propres rod s~~
de rang (k, n)
w pulsation des signaux Alectriques. rod s~~
I longueur d'onde de la vibration mAcanique suivant la m
direction 9
A facteur d'ellipse
A amplitude de la vibration m4canique au rayon extArieur m
jr
= Ri)
A amplitude moyenne dans la direction radiale de la m
vibration mdcanique
(~2,w2), (~3,w~) dAplacements suivant 9 et z de points matAriels appartenant m
respectivement au substrat (2) et h la couche de friction (3)
w2f dAplacement hors-plan dfi aux effets de flexion de points m
matAriels appartenant au substrat
K* rigidit6 en flexion du substrat MPa m~
Ro, Ri rayons int6rieur et extArieur de l'interface de contact m
rotor/stator p(I),..
,
pi") discrAtisation de la distribution de pression p(9) MPa
Rz(9) interpolation polynomiale de la distribution de pression p(9) N m~~
ps pression statique h l'interface rotor/stator MPa
F~xt effort de prAcontrainte N
rr, r, rs couple rAsistant, couple moteur et couple statique N m
llo vitesse linAaire moyenne communiqu6e h l'arbre moteur m s~~
fiv, fi~ vitesse angulaire de l'arbre moteur respectivement I rad s~~
vide et en charge
Vgiis vitesse de glissement des particules statoriques m s~~
Pgiis Pertes mAcaniques h l'interface rotor/stator W
K, b taux de contact et borne de la zone de contact %, m
abscisse circonfArentielle de la particule statorique dont la m
vitesse s'identifie h celle communiquAe h l'arbre moteur llo
b~ lieu de en fonction du couple rAsistant m
~Js, ~Jd coefficient de frottement statique et dynamique h
l'interface rotor/stator
1. Introduction
Les diiIicult6s rencontrAes dons le cadre de l'optimisation des moteurs piAzo-Alectriques ul- trasonores sol~t principalement liAes h l'originalitA ainsi qu'h la multiplicitA des m4canismes
physiques impliquAs dons la transduction d'6nergie mAcanique h l'interface stator/rotor.
Les travaux actuels du Laboratoire de MAcanique AppliquAe R. ChalAat (L.M.A.R.C.) [I]
confirment les potentialit6s pressenties h l'origine de la mise en place des actions de recherche nationales portant sur les moteurs piAzo-Alectriques. Elles montrent notamment la faisabilitA prochaine de moteurs fort couple-basse vitesse disposant par ailleurs d'un couple de maintien h l'arrAt. Ces caractAristiques spAcifiques prAdestinent les moteurs p16zo-Alectriques h onde
progressive h toutes les applications qui justifient particuliArement la suppression des organes auxiliaires tels que r4ducteurs de vitesse, freins ou encore dispositifs d'Aquilibrage statique artificiel hors alimentation.
Si les premiAres investigations menses dans le domaine des pidzomoteurs ont concemA les secteurs de l'automobile et de l'AlectromAnager, il est dair que les spAcifications prAcAdentes
montrent que la robotique et les microsystAmes devraient aussi constituer deux champs d'ap-
plication privilAgi6s
. le premier parce que les non linAaritAs nuisibles au contr01e des servomAcanismes sont
principalement concentrAes dans les r4ducteurs de vitesse (frottements secs, jeux de
fonctionnement, saturations de vitesses ),
. le deuxiAme parce que la r6duction du nombre de composants AlAmentaires impliquds
dans les mAcanismes est un corollaire h leur miniaturisation.
Les enjeux stratAgiques industriels sont donc suilisamment importants pour justifier l'impli-
cation de nombreux laboratoires universitaires, en France comme h l'6tranger, dans ce nouveau domaine de motricitA.
Dans ce contexte, l'activitd du L-M-A-R-C- a At4 essentiellement centr6e sur la modAlisa- tion m6canique thAorique des moteurs rotatifs annulaires en raison de leurs potentialitAs re- marquables. Nos recherches initiales nous ont conduits au dAveloppement prdliminaire d'un modAle th60rique donnant la description des mAcanismes de conversion d'6nergie h l'inter- face stator/rotor [2]. Ce modAle repose en partie sur la rAsolution num6rique des problAmes
non linAaires induits par les m4canismes de transfert d'Anergie par friction. Cette approche num6rique, prAjudiciable it une optimisation eilicace au stade de l'avant-projet (Avaluation de
nombreux jeux de paramAtres cofiteuse en temps de calcul), a des rApercussions sur le transfert des acquis de la recherche au niveau industriel.
Nos recherches ult6rieures ont par cons6quent visA le dAveloppement de modAles purement analytiques capables de dAcrire en quelques secondes tous les mdcanismes de contact ainsi que les eflets de flexion statique flu rotor impliquds dans le fonctionnement des moteurs h onde
progressive.
Ce deuxiAme article d4crit l'approche que nous avons retenue pour rAsoudre ce problAme,
et justifie la validitA des diflArentes hypothAses qui ant conduit au dAveloppement du modAle
analytique recherchA. Il prAsente ensuite succinctement le logiciel C-U-B-I-C- (Contact UnilatA-
ral entre Bicouches et Indenteurs Continus) r6cemment dAveloppA au L-M-A-R-C- pour traiter
eilicacement l'optimisation des paramAtres de dAfinition de l'interface stator/rotor. La validitA des r6sultats obtenus est par ailleurs dAmontr6e, h partir d'une simulation numArique eflec- tube il l'aide du code 616ments finis ANSYS, sur un moteur Japonais de type SHINSEI USR 60. La comparaison des rAsultats et des temps de calcul dAmontre la pertinence de l'approche
propos6e.
Auparavant, l'article donne une description rapide de la plateforme de visualisation optique des modes propres entretenus sur les stators des moteurs h ultrasons. Cette plateforme donne
notamment accAs h la mesure d'amplitudes de vibrations submicroniques typiquement entrete-
nues h des frAquences de quelques dizaines de kHz. Elle est ainsi comp16mentaire des logiciels d'analyse modale disponibles au laboratoire, et nous permet de faire l'acquisition quantitative
des paramAtres d"entrAe du modAle de contact.
2. Acquisition des formes propres entretenues sur le stator
2.I. POSITION Du PROBLkME. La mod41isation du contact h l'interface stator/rotor des
moteurs piAzo-Alectriques impose l'acquisition prAalable des paramAtres gAomAtriques de l'in-
denteur (stator). On verra au paragraphe 2.2. que celui-ci a une forme sinusoidale, gAomAtrique-
ment d6finie par les constantes I et A respectivement longueur d'onde et amplitude crAte de la vibration m6canique. Les logiciels standards d'analyse modale donnent accAs, qualitativement,
aux formes propres de flexion hors plan entretenues sur le stator (dAplacements normAs). La
figure I donne la visualisation numArique du mode de flexion entretenu sur le stator d'un mo- teur SHINSEI USR 60 et indique l'4valuation de la frAquence propre correspondante. k dAfinit le nombre d'onde (nombre de diamAtres de noauds) de la vibration mAcanique dans la direction
circonfArentielle du stator. Ces informations, insuffisantes pour caractAriser quantitativement la
gAomAtrie de l'indenteur dans le modAle de contact, ant justifiA la rAalisation d'une plateforme
de visualisation expArimentale des distributions d'amplitude h la surface du stator.
2.2. VISUALISATION EXPLRIMENTALE DES MODES DE VIBRATION Du STATOR. DiffArentes
mAthodes de mesure optique ant AtA mises au point pour faire l'acquisition des distributions d'amplitude et de phase associAes I chaque mode propre susceptible d'Atre entretenu sur le
stator h une frAquence ultrasonore (amplitudes de l'ordre du ~lm). Parmi les mAthodes d'in-
vestigation, on peut notamment citer les mAthodes optiques sans contact par interfArom6trie
holographique [3], par interf6romAtrie hAtArodyne [4] et par vibromAtrie laser [5].
La plus courante est l'holographie en temps rAel associAe h la stroboscopie. Cette mAthode
permet de visualiser les divers modes de rAsonance de la structure et ainsi repArer les frAquences
associAes. L'exploitation ultArieure, h ces mAmes frAquences, de l'interfArom6trie holographique
par intAgration temporelle autorise la visualisation des lignes nodales (Fig. 2). L'intArAt par rapport aux mAthodes interfAromAtriques dassiques, vient du fait que l'on peut s'aflranchir des
impAratifs concemant l'Atat de surface de l'objet observA, et permet par ailleurs de localiser les
a)acquisitionexpdfimentale ~~~~~~~"
(°* = 41957 Hz b) acquisition nmnddque
~~w
Fig. I. Comparaison de la d6form6e modale d'une vibration stationnaire a) expdrience et b) calcul dldments finis.
[Flexural mode shape: experimental data (a) and finite element code calculations (b).]
vibrations sur l'ensemble de la structure sans altArer son comportement vibratoire. Cependant, compte tenu des temps d'exposition relativement longs et des prAcautions prises au niveau des bruits de mesure, nous avons 6tA amends il considArer une nouvelle mAthode optique.
Notre choix s'est portA sur une mesure optique locale sans contact h partir d'un vibromAtre laser Polytec de type OFV-302 (RMP, France) muni de son unitA de balayage optique (sArie OFV-040) reprAsent6 sur la figure 3. Cette mesure optique permet de mesurer la vitesse et l'am-
plitude de la vibration mAcanique en chaque point du stator selon une trajectoire programmAe
par l'utilisateur. La sonde optique (met un faisceau en direction de la cible (P < ii mW et longueur d'onde optique 1 = 633 nm). Le faisceau est alors rAflAchi par le stator vibrant
dans la direction hors plan. Il possAde une fr6quence Doppler instantanAe proportionnelle h la vitesse du point d'impact. Le signal modulA en frAquence issu de la sonde est d6modulA par le
(
Fig. 2. Visualisation par interf4rom4trie holographique h int6gration temporelle du mode propre en flexion de rang (k,n) = (10,0). Cas d'un stator p16zo-6Iectrique # = 100 mm (r6aIis6 au L-M-A-R-C-
avec la collaboration du LGEF et du CETEHOR) entretenu en vibration de volume forc6e stationnaire :
lo = 20 577 Hz, avec une tension d'alimentation
u =120 VRMS. L'interfrange correspond aux points qui ne se sont pas d6plac6s (nceuds de vibration) et les diIf6rentes franges sombres correspondent h des
courbes de niveau d'amplitude.
[Visualization of flexural mode shapes (k,n)
= (10,0) by time average holographic interferometry.
Stationary bending wave sustained into circular piezoelectric resonator # =100 mm, lo
= 20 577 Hz,
U = 120 VRMS. The distribution of displacement of the resonator is shown by the two-dimensional interference fringes.]
Tableau I. Garactdristiques du ~ibromdtre laser.
[Characteristics of the vibrometer.]
(chelle de
mesure Sortie pleine Achelle RAsolution Bande passante
(mm s~~v~l) (crAte-crAte) (~Jm s~~) (valeur il -3 dB)
(mm s kHz
5 100 0.8 250
25 500 2 1500
125 5000 5 1500
1000 20 000 lo 1500
contr61eur Polytec OFV-3000 (RMP, France) et fournit une tension Vo (Tab. I) proportionnelle
h la vitesse lo V crAte-crAte pleine Achelle).
La vitesse vibratoire au point de coordonnAes polaires, (Ro, 90) s'exprime : i~z(Ro,00) " V0CSlll(~knt + ~(~0>90))
" (i~z(R0>90)(~XP(()~(R0,90)) (1)
oh ~z, c et Vo reprAsentent respectivement la vitesse de la vibration mAcanique (mm s~~),
l'Achelle de mesure utilisAe (mm s~~V~~) et la tension du signal Doppler (V).
c&adques
pidzo-di&dques STATOR ~~#4de
/ bdayage%fiquo
~
qmw/2 ~i~° EX
B ,~"
Vibromdtre L4Ser
,
---,-,
Ad~S
d*W@mce Cmbilleur
ul(t~Ulsh at u2(t~U2si1( wt+§) ~'~
ofv-3000 H-F
~~
Yc
ll2~t) qB~0, t)
~
Ud4de
posAck trdmnentdusignal
-~~ -+y
~° w o~o ) iv (~ o)i
AIICR~ORDIIQATEUR
Fig. 3. Diagramme du systkme optique de mesure de la vibration ultrasonore hors-plan entretenue sun le rdsonateur.
[Diagram of the optical system.]
L'unitA de traitement permet de ddterminer le module et la phase de la vitesse vibratoire.
Le module de la vitesse vibratoire est dAtermind par la conversion du signal issu du contr01eur
en une tension continue correspondant h la valeur eilicace du signal, h partir d'un conver- tisseur RMS/DC Analog Device (AD 571). La dAtection de l'angle de phase entre la vitesse
vibratoire et la tension d'alimentation est rAalisAe par un compteur programmable qui mesure
la dissemblance entre les deux signaux [6].
Ainsi, par l'intermddiaire de l'unitA de balayage optique compos4e de deux miroirs de posi-
tionnement pilotAs par des galvanomAtres G325DT (General Scanning Inc-Watertown- USA), il est possible d'accAder h la mesure de la vitesse vibratoire en chaque point matAriel de la surface
active du stator. La commande des galvanomAtres de positionnement (e~, ey) est eflectude par
une carte de contr61e AE-1000 (General Scanning Inc-Watertown-USA) pour chaque direction
ix, y). Chaque carte permet d'asservir en position le faisceau Laser par rapport h des consignes
(~~, y~) fixAes par l'utilisateur h travers des convertisseurs NumArique/Analogique (CNA).
La rAsolution de dAplacemeiit (rd) de l'unitA de balayage optique dans le plan du stator est calculAe h partir de la relation
flmax~
rd " dtan G3 125 /lm (2)
Vpe
avec 9~~~ excursion angulaire maximale du faisceau Laser (50° optiques),
Vpe tension de commande maximale.
Un signal TTL d'accusA de rAception PosAck signale par un front descendant que l'asservisse- ment de la position est eflectuA. L'acquisition du module et de la phase de la vitesse vibratoire peut alors Atre rAalisAe pour chaque point de la trajectoire programmAe par l'utilisateur. L'ac-
quisition et le traitement du nombre de points de mesure, dAfini par l'utilisateur, sent eflectuAs
avec une dynamique de prAlAvement de 4 ms par point de mesure. Les images d'amplitude
Ai,2(r,9) et de phase 4li,2(r,9) vibratoire, associAes h la frAquence de rAsonance nominale du moteur sent repr4sentAes sur les figures 4 a-d (vibrations stationnaires en quadrature de phase dans l'espace) et sur les figures 4 e-f (onde progressive).
Ces visualisations 2D (pseudo 3D) des dAformAes sent rAalisAes avec une discrAtisation an-
gulaire de 1° sur la circonfArence et une discrAtisation radiale de I mm soit 18 x 360 points de
mesure par image. En considArant les temps de positionnement du faisceau Laser, d'acquisition
de donnAes et de traitement numArique des points de l'image, on peut estimer le temps global de constitution d'une image h environ 25 secondes (4 ms par point de mesure).
2.3. DIscussIoN DES RtSULTATS. On observe une bonne corrAlation des r4sultats expA-
rimentaux et thAoriques concemant les formes propres, mAme si un lAger recalage du modAle AlAments finis est encore nAcessaire pour une prAdiction optimale des frAquences propres. Par
ailleurs, la plateforme de visualisation des modes propres s'est, h l'usage, r4vAl6e comme un outil d'analyse particuliArement performant, capable notamment, en quelques dizaines de secondes, de
. visualiser quantitativement l'amplitude et la phase en chaque point du stator,
. dAtecter les dissymAtries d'alimentation entre les deux voies d'alimentation,
. rAvAler une d6gAnArescence des modes induits par des imperfections gAom6triques,
. d6terminer les frAquences et modes propres sur des structures vibrantes de gAomAtrie quelconque, en se substituant avantageusement aux logiciels de calcul par AlAments finis.
3. Mod61isation du contact unilat6ral h l'interface stator-rotor
3.I. IiYPOTHISES DU MODkLE D#VELOPP# AU L-M-A-R-C- ET SITUATION DANS LE
CONTEXTE INTERNATIONAL. Le m4canisme de conversion d'Anergie par friction, h la base
du fonctionnement des moteurs piAzo-61ectriques, est h l'origine des difficultAs rencontrAes dans le domaine de la modAlisation. Sa comprAhension, indispensable h l'optimisation ultArieure des moteurs, justifie actuellement l'investigation de nombreuses approches. Zhari [7] a rAcemment dAveloppA un modAle mathAmatique prenant en compte le mAcanisme de contact it l'interface stator-rotor conduisant h l'obtention des performances m6caniques du moteur. Toutefois, le ml- canisme de contact ne tient pas compte de la couche de friction dAposAe sur le rotor et nAglige
Z Z
/~)r,9) I ~r,°)
0,5pm 180°
.o,spm y o
y
x x
a~ b)
P(r,9) iir~6)
~
180°
-0,5gm Y 0 y
x ~~ ~
c~ d)
z z
A (r,e) 4 (r,e)
ipm
o ~ o y
~ X
e) 0
Fig. 4. Rdsultats exp6rimentaux du mode de rang (9.0) entretenu sur le stator avec U =14 VRMS
et lo
# 39,8 kHz. Images d'amplitudes et de phase reprdsentdes dans les cas suivants a) amplitude
et b) phase dans le cas du premier mode de vibration stationnaire avec Ui
= vi sin wt. c) Amplitude
et d) phase dans le cas du second mode de vibration stationnaire avec U2 " u2 cos wt. e) Amplitude et
f) phase dans le
cas d'une onde progressive obtenue h partir de la superposition des deux vibrations stationnaires.
[Experimental results of the (9.0) mode with U = 14 VRMS et lo
" 39.8 kHz. For each case the
amplitude and the phase are given as a function of the position: a) amplitude and b) phase for the first stationary vibration with Ui
" vi sin uJt. c) Amplitude and d) phase for the second stationary i,ibration
with U2 " u2 cos wt. e) Amplitude and f) phase for the traveling wave obtained by the superposition
of two excited modes.]
