Sur la signification physique des groupes de transformations

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Submitted on 1 Jan 1932

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Sur la signification physique des groupes de transformations

M. Mariani

To cite this version:

M. Mariani. Sur la signification physique des groupes de transformations. J. Phys. Radium, 1932, 3

(5), pp.219-224. �10.1051/jphysrad:0193200305021900�. �jpa-00233096�

SUR LA SIGNIFICATION PHYSIQUE ^DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS

Par M. MARIANI.

...

Ayant ^vu combien les idées de Galois se sont peu ^à peu ^mon trées fécondes dans tant de branches de l’analyse, ^{de la} géométrie ^{et i}

même de la mécanique, il est bien permis d’espérer que leur puissance

se manifestera également ^en physique mathématique. Que ^nous repré- sentent en effet les phénomènes naturels, ^{si ce n’est une} succession de ¹ transformations infinitésimales, dont les lois de l’univers sont les ⁱ

invariants? ^’

SOPHIE LIE,

~

Influence ^{de Galois}

’

,

sur le développement ^des mathématiques. ^’

(Livre du Centenaire de l’Ecole Normale Supérieure, p. 489.) ,1

i

>

1 Sommaire. 2014 Dans le présent exposé, ^{on s’efforce} de donner une interprétation

physique simple ^du principe ^de complémentarité ^de Bohr; ^cette interprétation physique

conduit à supposer que les lois de la nature sont les invariants caractéristiques ^du

groupe de transformations dont les transformations permettent de comparer les obser- vations entre elles; la notion de groupe doit donc jouer ^en physique ^{un rôle} beaucoup plus

fondamental que celui qui ^{lui est} assigné d’ordinaire, ^et comparable ^{à celui} qu’elle joue

dans la théorie des équations algébriques depuis ^Galois.

l.. Objet ^du présent exposé. - ^J’ai indiqué brièvement, ^{dans une} note récente (1) qu’il ^était possible de retrouver les résultats obtenus au moyen de la mécanique quantique

et en même temps d’écarter les difficultés de principe qui s’opposent ^à l’application ^{des t} règles ^de quanta ^{dans le domaine} relativiste par l’adoption ^d’un principe nouveau, le

« principe ^de subjectivité ^», qui peut, ^{à un certain} point ^{de vue, être} regardé ^{comme une} généralisation ^du principe einsteinien de la relativité générale. ^’

L’objet ^du présent exposé ^est de faire connaître la signification ^{exacte du} principe ^de subjectivité ^et de montrer qu’il ^n’est pas ^à priori impossible de constituer une théorie

logique ^des phénomènes physiques qui ^{soit en accord avec lui.}

2. L’interprétation ^{actuelle des} phénomènes atomiques. - ^La façon ^la plu!,

intuitive de montrer comment on est conduit à adopter ^{un tel} principe consiste à partir ^des

faits expérimentaux qui établissent l’existence à l’échelle atomique ^{du dualisme bien connua}

entre les ondes et les corpuscules et à discuter les interprétations qui ^{en ont été} proposées0.

Ces faits expérimentaux peuvent être classés en deux catégories : ^{ceux de la} première catégorie ^sont susceptibles ^d’une interprétation correcte dans le cadre de la physique classique, ^{si l’on} admet que la matière et le rayonnement ^{sont formés de} corpuscules, ^occu- pant ^{un domaine} spatial négligeable; ^au contraire, ^ceux de la seconde catégorie ^sont expli-~

cables (toujours ^{au sens de la} physique classique) si l’on admet que la matière ^et le rayont nement se composent de trains d’ondes continus et susceptibles d’une extension indéfinie dans l’espace ^{et dans le} temps ; ^{on se} trouve donc en présence ^de deux sortes de représen-

tations et de deux seulement, ^entre lesquelles, ^comme l’expérience ^l’a montré, ^{il ne} peut

(1) ^C. R., 194 (1932), ^{22 février.}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0193200305021900

220

exister aucune espèce de raccord logique, ^en sorte que l’ensemble des expériences ^ne peut

être interprété, ^{comme avait} essayé de le faire M. Louis de Broglie (1), ^en imaginant ^l’exis-

tence simultanée d’ondes et de corpuscules, convenablement associés.

La première interprétation ^{de ce dualisme} qui ^{ait été} proposée consiste à admettre que la structure de la matière et du rayonnement ^{est dans tous les cas} corpusculaire, mais que le principe du déterminisme n’est pas rigoureusement applicable à l’échelle atomique, ^du

moins dans les relations où interviennent des variables canoniquement conjuguées; ^il

semblerait donc, ^{si l’on} adoptait ^ce point ^{de vue,} que les corpuscules ^seuls possèdent ^une

réalité physique, ^{les ondes} représentant seulement des ondes de probabilité, ^{dont la} signi-

fication _{reste par} conséquent, purement ^abstraite.

1

La seconde interprétation, qui est celle de Bohr (2), repose ^sur le fait que le développe-

ment de la mécanique quantique ^a montré que la représentation corpusculaire ^{et la} repré-

sentation ondulatoire ont tout autant et tout aussi peu de réalité lune que l’autre; ^en effet,

on doit remarquer, ^comme l’a fait Heisenberg (3), que l’appareil mathématique qui exprime

les lois de la mécanique quantique peut ^être interprété physiquement aussi bien d’ans le cadre de la représentation corpusculaire que dans celui de la représentation ondulatoire,

en sorte qu’au point ^{de vue} mathématique l’équivalence ^{des deux} représentations ^est parfaite; ^{on en} conclut que ^ces deux représentations traduisent chacune un aspect ^{différen t}

de la même réalité physique; cette constatation est à la base du principe ^de complémen- tarité, d’après lequel ^la signification physique ^{de la} mécanique ^des quanta consiste dans i’existence d’un défaut de notre représentations concrète des phénomènes provoqué par le fait _{que les} représentations corpusculaires ^et ondulatoires sont complémentaires ^et

s’excluent mutuellement.

Il résulte de cette complémentarité qu’il y ^{a en} général incompatibilité entre la notion d’observation dans l’espace ^{et dans le} temps ordinaires et la description causale des

systèmes observés, c’est-à-dire entre la détermination des variables de position ^x, y, z, t ^et celle des variables conjuguées Px’ 1),, pz, p~, ^comme il ressort des relations d’incertitude

d’Heisenherg ; par conséquent, ^{la notion} classique d’observation ne peut être introduite en

physique atomique que dans les limites qui ^{lui sont} assignées par les conditions d’indéter- mination.

Telles sont les conclusions auxquelles ^est parvenue la physique théorique; l’exposé précédent ^montre qu’il ^est nécessaire d’exprimer explicitement ^la signification ^{et le but} qui

sont attribués par la physique classique ^à la notion d’observation pour pouvoir dégager

d’une façon plus ^{claire le sens des} restrictions qui ^sont imposées à cette notion par la

mécanique ^des quanta.

3. La signification de la notion d’observation dans la physique classique.

2013D’après ^la physique classique, ^{le but de toute} observation est de nous faire connaître aussi précisément que les ^erreurs expérimentales accidentelles le permettent, ^les propriétés objectives ^des systèmes observés, c’est-à-dire, par définition même du ^{mot «} objectif ^{», les} propriétés ^des systèmes ^observés qui ^sont indépendantes des observations effectuées sur ces systèmes ^et plus généralement des conditions extérieures dans lesquelles ^ces systèmes ^se

trouvent placés; ^ces propriétés objectives doivent par conséquent caractériser les systèmes

observés et permettre ^{de donner un sens} physique ^à la notion abstraite de « système

isolé ~~ .

On voit donc que le but attribué par la physique classique ^à l’observation n’a de sens

que si de telles propriétés objectives existent réellement et sont décelables expérimentale- ment ; les théories classiques ^{admettent ainsi} implicitement que l’univers physique, ^défini

comme l’ensemble des systèmes observés, possède ^une structure et des propriétés objectives;

ce postulat ^sera appelé ^{le «} d’objectivité ^» si l’on admet la validité de ce principe,

~~~ L. ^{DE BROGLIE, J.} phys., ^mai (i92"i).

Nature, t. 121 (1928), p. 580, ll âturreisc., t. 16 (1928~. p. 245.

(3) HEISBNBERG, ^Die physikalischen prinzic’pien ^der Quantentheorie, Hirzel, Leipzig (i93Õ), p. 109 et suiv.

la tâche de la physique expérimentale ^{est alors de} parvenir ^{à une} connaissance de plus ^en plus exacte de cette structure et de ces propriétés, ^en employant ^des procédés ^{de mesure}

de plus ^en plus précis ^et susceptibles ^d’un perfectionnement ^indéfini.

4. Le principe ^de subjectivité.

^Mais justement, ^le postulat ^des quanta ^nous oblige à admettre qu’il ^est impossible d’arriver, ^même théoriquement, à la connaissance de telles propriétés objectives ; ^en effet, cette connaissance ne peut ^être acquise qu’au moyen de l’observation, ^{et toute} observation provoque d’après ^ce postulat ^une interaction non

négligeable ^{et dont il est} impossible d’app?.écier la grandeur (dans les limites où la constante h

ne peut être considérée comme infinitésimale) entre l’instrument de mesure et le système observé; cette interaction a pour effet (dans ^la plupart ^des cas) de modifier d’une manière

imprévisible ^les propriétés ^du système ^{observés en} sorte que ^ces dernières ne peuvent ^être

considérées comme indépendantes ^de l’observation, c’est-à-dire comme objectives, ^{en vertu}

de notre définition du mot ^« objectif » ; si les systèmes ^observés possèdent ^des propriétés objectives, ^ces dernières ne sont par conséquent pas accessibles à l’observation, ^{et ne doivent}

donc pas être considérées comme étant du domaine de la physique ; ^{le contenu} positif ^du postulat ^des quanta paraît ^donc pouvoir ^être exprimé ^au moyen de la proposition

suivante :

« Les systèlnes ^{observés ne} possèdent pas ^{de et de} structures géométriques

objectives ^{». ..}

Cette proposition ^sera appelée ^{« de} subjectivité ^{» ;} elle est évidemment en

accord avec le fait, rappelé précédemment, que la matière et le rayonnement apparaissent

tantôt sous forme d’ondes, ^{tantôt sous forme de} corpuscules ; ^{si on} la suppose universelle- ment valable, l’introduction d’une interaction quantique spéciale ^entre l’instrument de

mesure etl’objet observé devient superflue, puisque ^cette interaction n’a pas d’autre but que d’empêcher ^de parvenir à la connaissance des propriétés objectives, supposées exister,

de l’objet ^observé.

Le principe adopté ^a évidemment une portée beaucoup plus générale que ^ceux de la

mécanique quantique habituelle ; et pour ^en tirer des conséquences mathématiques ^{on est}

conduit à reviser complètement les notions fondamentales de la physique classique, ^en par- ticulier celle de loi, car, ^au point ^{de vue} habituel, ^{une loi} physique ^est supposée exprimer

des propriétés objectives ^des systèmes observés ; ^comme l’existence des lois physiques repose

sur la comparaison des résultats d’observation, il semble nécessaire d’analyser plus profon-

dément qu’on ^{ne l’a fait} jusqu’ici les processus par lesquels s’effectue une telle com-

paraison.

5. La notion de loi physique ^{et celle} de groupe de transformations. - Soit a2’ ., an ^un certain ensemble d’observations ; supposons qu’il ^{ait été} possible ^de

déduire de toutes ces observations une loi naturelle _{commune ;} ceci implique que si l’on effectuait d’autres observations, an + 1,... ^en nombre indéfini, appartenant à la même classe que les observations a,, a,, ... , ~n’ ^on trouverait la même loi; cette loi est donc un invariant de l’ensemble infini (théoriquement) d’observations xl, az,..., an,..., (où l’indice n peut

même prendre ^une suite de valeurs continues); ^{mais elle ne} peut ^{être mise en évidence} phy- siquement que s’il ^est possible de comparer ^{entre eux} respectivement, par des opérations pratiques (’), les résultats de chacune de ces observations ; d’une façon plus précise, ^si

une telle loi existe, étant donnécs deux observations quelconques a; et e, appartenant ^à l’ensemble

il existe une transformation telle _{que :}

qui permet de passer d’une manière univoque ^de l’observation (J.k ^à l’observation ai et par

(~) Opérations indépendantes des observations particulières qu’elles permettent de comparer.

222

conséquent de comparer les deux observations ; ^de même, ^{on devra} avoir, pour que la ^cor-

respondance ^soit réciproque :

par conséquent :

les deux transformations et 8ik ^seront dites les inverses l’une de l’autre et l’on _pourra poser :

I sera appelée ^la identique; ^on vérifie facilement que :

On établit ainsi l’existence d’un système ^{infini de} transformations G attaché à l’ensemble des observations ~1); ^{si l’on a} pu extraire de ^ces observations une loi, ^le système ^{G forme}

un groupe de transformations ; ^en effet, ^soit x, et as deux observations appartenant ^{à la} suite (1) ; il existera par hypothèse ^une transformation ljrs appartenant ^{à G et telle}

que :

de étant une troisième observation faisant partie ^de (t), ^{on aura :}

relation qui ^{définit une} deuxième transformation Vts appartenant ^par hypothèse ^à

l’ensemble G ; ^{mais on aura} également, Wtr ^{étant une nouvelle} transformation de G :

d’où il résulte _{que :}

par conséquent : ^-.

on trouverait également : quel que soit Trs.

Les équations précédentes définissent une famille de transformations à l’intérieur de

laquelle est valable une certaine loi de composition par laquelle ^deux transformations S, ^T

de la famille forment une troisième transformation S l’ de la même famille ; ^les équations précédentes peuvent ^alors s’exprimer ^{de la manière suivante :}

I. ^{* S} (~7F) = (S U) V (loi d’associativité)

II. Il existe une transformation 1, la transformation unité, qui satisfait à :

Quel que soit ~S’.

III. L’existence de toute transformation S entraîne celle de la transformation inverse

8-1 qui ^{satisfait à :}

Les conditions I, ^{II et} III définissent le système donné G de transformations comme

formant un groupe ; là loi trouvée par comparaison des observations de l’ensemble (1) ^sera

nécessairement un invariant de ce groupe.

Par conséquent, étant donné un ensemble d’observations ^a (s), s ^{étant un indice} qui peut prendre toutes les valeurs réelles possibles,et ^{une loi} naturelle A trouvée par la compa- raison des résultats des différentes observations appartenant ^à l’ensemble a (s), ^{il existe} toujours ^un groupe dont les transformations permettent de comparer entre ^eux les résultats de ces observations et admettent pour invariant la loi A : si l’on considère l’ensemble de toutes les observations possibles, ^{un tel ensemble définira un} groupe général ^{de transfor-}

mations par rapport auquel les lois de la nature devront rester invariantes ; ^ce groupe

général ^aura pour propriété caractéristique ^de changer ^une observation ^{en une} autre, c’est- à-dire de laisser invariante la notion d’observation ; par conséquent, plus ^{la définition}

donnée de l’observation est générale, plus le groupe qu’elle définit est général ^et plus ^la

condition d’invariance à laquelle ^doivent satisfaire les lois de la nature est générale ; ^les considérations précédentes fournissent donc une méthode pour déterminer cette condition d’invariance ; ^{cette méthode a} déjà ^été appliquée par Einstein dans des cas particuliers :

pour donner des exemples concrets de ce fait, supposons qu’une observation quelconque

consiste à repérer ^la position ^d’un point-événement ^au moyen d’un système ^{d’axes carté-}

siens rectangulaires, c’est-à-dire de trois lignes matérielles rigides qui partent ^d’un point

et qui ^sont perpendiculaires l’une à l’autre et d’une horloge invariable fixée en ce point; ^les

transformations qui feront passer d’une telle observation à ^une autre de la même espèce

devront laisser invariante cette définition de l’observation ; ^ce seront par conséquent ^les

substitutions linéaires orthogonales ^de l’espace-temps, qui admettent la forme quadratique

des différentielles des coordonnées :

En vertu des considérations précédentes, ^{on doit} exiger l’invariance des lois de la nature vis-à-vis de ce groupe de transformations ; ^c’est justement de cette manière qu’a procédé la relativité spéciale ; ^de même, ^la relativité générale ^{constitue une} application particulière ^de la méthode générale que nous avons indiquée ; ^en effet, dans cette théorie,

on utilise le groupe continu (au ^{sens de} Sophus Lie) ^des transformations ponctuelles qui

laissent invariante l’expression ^{ds2 - dxf dxv et} permettent de passer d’un système ^de

coordonnées de Gauss à un autre, ^une observation étant alors définie comme le repérage

d’un point-événement à l’aide d’un système de coordonnées de Gauss.

Les considérations précédentes dégagent complètement ^{la notion} générale de groupe de transformations des cas particuliers ^{où on} l’avait seulement appliquée jusqu’ici ^en physique,

les lois de la nature étant considérées comme les invariants d’un certain groupe de trans- formations permettant ^de comparer ^les observations entre elles, ^la notion d’observation formant un corps (au ^{sens de} Dedekind) par rapport ^{à ce groupe ; on} obtiendra donc le groupe le plus général et par conséquent ^{les lois} naturelles auront à satisfaire aux

conditions d’invariance les plus générales, ^en donnant la définition la plus générale possible de la notion d’observation ; ^le problème qui ^se trouve ainsi posé ^{est donc le}

suivant :

Trouver le groupe le plus général qui puisse être formé à l’aide des transformations

permettant de passer d’une observation à une autre, c’est-à-dire de comparer entre ^eux les résulta,ts d’observation.

Les lois de la nature devant être nécessairement, ^{comme nous} l’avons montré plus haut, covariantes vis-à-vis de ce groupe, on ne sera assuré de leur avoir donné la forme la plus générale qu’elles puissent revêtir que si le problème précédent ^est résolu ; ainsi, ^on

ne peut affirmer que le groupe ponctuel de la relativité générale soit le groupe le plus général satisfaisant à la condition donnée et par conséquent, que la forme tensorielle donnée

aux lois de la nature par cette théorie soit la plus générale possible (nous ^{verrons au con-}

traire qu’il ^{n’en est} rien).

6. La signification ^du principe ^de subjectivité par rapport à la notion de groupe. - La notion de groupe de transformations attaché à l’ensemble des observations

nous conduit ainsi à formuler la proposition ^{suivante :}

224

Les lois de la nature doivent rester invariantes vis-à-vis des transformations du groupe fondamental qui permutent les observations entre elles.

Cette proposition constitue évidemment une générlaisation ^du principe ^de relativité ;

elle énonce une condition restrictive à laquelle doivent satisfaire les lois de la nature, ^mais

ne définit pas univoquement ^ces lois, ^{en sorte} qu’il n’y ^a pas ^une correspondance univoque

et réciproque entre le groupe et les lois de la nature (c’est ^ce qui ^a obligé Einstein à intro- duire des conditions supplémentaires pour déterminer la loi de la gravitation).

Mais justement, c’est l’intervention du principe ^de subjectivité qui ^{établit une telle} correspondance, ^et permet ^de dégager ^la signification physique des lois de la nature ; ^en effet, dans la théorie classique, ^ces lois étaient supposées exprimer, ^{comme nous l’avons}

vu, les propriétés objectives ^des systèmes observés ; ^ces propriétés doivent être invariantes par rapport ^au groupe de transformations défini plus haut, ^{mais elles} caractérisent les

systèmes observés et non le groupe de transformations considéré ; ^{il en résulte} qu’elles ^ne peuvent en aucune manière être identifiées avec les invariants caractéristiques ^{de ce}

-)10-

groupe ; ainsi, pour donner un exemple concret de ce fait, la loi de la dynamique T’ ⁼⁼ ni y est invariante _pour les transformations du groupe linéaire orthogonal, ^{mais elle ne} peut

servir à définir ^ce groupe; ^au contraire, l’invariant dl" ⁼ d x2 -~- d y2 + ^dZ2 caractérise ^ce groupe.

Or, ^{si on} introduit le principe ^de subjectivité, les lois de la nature, que ^nous supposons

a priori ^{exister en vertu du} principe ^du déterminisme, ^ne peuvent plus traduire les pro-

priétés objectives ^des systèmes observés ; elles doivent donc être identifiées avec les inva- riants géométriques du groupe de transformations attaché à la notion d’observation.

Par conséquent, ^le problème fondamental de la physique mathématique est la déter- mination de ce groupe et la recherche de ^ses invariants. Nous essaierons, ^{dans un} prochain article de déterminer la nature du groupe ^le plus étendu satisfaisant à la condition donnée.

bianuscrit reçu le i9 ^mars 1932.