ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Département de Génie Électrique Examen de mi-session d'Électronique 1 (ELE-3300) Mercredi 29 Octobre 2003 de 18H30 à 20H20

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Cours ELE3300 - Électronique 1 Solutionnaire de l’examen intra. Automne 2003

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL

Département de Génie Électrique

Examen de mi-session d'Électronique 1 (ELE-3300) Mercredi 29 Octobre 2003 de 18H30 à 20H20

• Seul un "aide -mémoire"(feuille 8.5 x 11") et une calculatrice sont autorisés

• Répondez directement sur le questionnaire en cochant la case appropriée.

• 2 points par bonne réponse. Pénalité de 0.5 point par mauvaise réponse.

• Pas de point ni de pénalité si vous répondez "je ne sais pas".

• À moins d’indication contraire, considérez les ampli-ops comme idéaux.

Nom : _________________________________________matricule : ______________

Question 1. Calculez les tensions Va et Vb dans ce circuit.

q A)

q B)

q C) Va = 0 V; Vb = + 2 V

q D) Je ne sais pas.

Solution

La rétroaction produite par le réseau (R1, R2) fait de l’entrée - de l’ampli-op une masse vir- tuelle. Donc, Va = 0;

Le courant soutiré par la source I ne peut provenir de l’entrée - de l’ampli-op (ce dernier étant considéré idéal), ni de la résistance R1 car la tension à ses bornes est maintenue nulle par la ré-

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Question 2. Parfois nous voudrions changer la bande passante boucle fermée d’un ampli in- verseur sans modifier le gain en tension. Le circuit ci-dessus donne la solution; quand la résis- tance R varie, la bande passante varie mais le gain reste constant. Si fT = 1 MHz calculez les valeurs minimale et maximale de la bande passante du circuit.

Suggestion : Effectuer une transformation Thévenin-Norton-Thevenin de la source Vin et des résistances R1 et R pour obtenir un ampli inverseur « classique » à 2 résistances.

q A)

q B) fC-3dB min = 1 kHz; fC-3dB max = 50 kHz. (à +/- 10 % de précision)

q C)

q D) Je ne sais pas

Solution

En effectuant la 1^re transformation (Thévenin-Norton), la source de tension Vin en série avec R1 devient une source de courant Iin = Vin / R1 en parallèle avec une résistance R1.

Appelons R1eq la combinaison parallèle de R1 et R.

On effectue maintenant la 2ème transformation (Norton-Thévenin) pour obtenir une source de tension Vineq = Iin x R1eq en série avec une résistance R1eq. On a ainsi la configuration « classique » d’un amplificateur inverseur à 2 résistances.

Le facteur de rétroaction est dans ce cas: β = R1eq / (R1eq + R2).

La fréquence de coupure à - 3dB de l’amplificateur inverseur est: fC -3dB = β x fT. Lorsque le curseur du potentiomètre est à sa position supérieure, on a R = 100 Ω.

R1eq = 10 kΩ // 100 Ω = 99 Ω.

β = 0.000989 fC -3dB = 989 Hz.

Lorsque le curseur du potentiomètre est à sa position inférieure, on a R = 10,100 Ω.

R1eq = 10 kΩ // 10,100 Ω = 5025 Ω.

β = 0.04784 fC -3dB = 47.84 kHz.

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Question 3. L’ampli-op dans ce circuit peut être considéré idéal, sauf pour les courants de po- larisation IB1 = IB2 = 100 pA. Calculez les valeurs de R1 et R2 pour obtenir un gain de tension boucle fermée de 20 dB et une tension de décalage de 0 V à la sortie.

q A)

q B)

q C) R1 = 1.111 MΩ; R2 = 10.00 MΩ.

q D) Je ne sais pas Solution

Un gain de tension de 20 dB correspond à un gain de 10 V/V. Le circuit étant celui d’un amplificateur non-inverseur (dont le Gain = 1 + R2/R1), il s’ensuit que R2 = 9 R1.

On remplace l’ampli-op par le modèle permettant de tenir compte des sources de courant de polarisation (i.e. des sources de courant IB1 et IB2 aux entrées - et +). En utilisant le principe de superposition, on démontre que la tension de décalage à la sortie de l’amplificateur est alors : Vout = (-RS x IB1) + ((R1 // R2) x IB2).

Pour que cette tension de décalage soit nulle quand IB1 = IB2, il faut que R1//R2 = RS. On a deux équations et 2 inconnues :

R2 = 9 R1

R1 // R2 = RS = 1 MΩ.

La solution de ce système est donc : R1 = 1.111 MΩ, R2 = 10.00 MΩ.

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Question 4. Si la tension VOUT du bloc d’alimentation DC passe de 20 V à 0 V, à quelle valeur au cours de cette descente la diode Zener cesse-t-elle de réguler ?

Les caractéristiques de D1 sont : VZT = 12 V @ IZT = 40 mA, rZ = 10 Ω et IZK = 0.1 mA.

(Suggestion : considérez que la Zener cesse de réguler quand IZ = IZK)

q A)

q B) 14.186 V

q C)

Solution

Appelons A le nœud commun aux résistances R1, R2 et à la cathode de la Zener.

La somme des courants au nœud A = 0 donne : ((Vout - VA) / R1) - IZ - (VA / R2) = 0

Remplaçons VA par VZ = VZ0 - (rZ x IZ) dans cette équation et regroupons les termes.

Vout / R1 = IZ x [rZ x (1/R1 + 1/R2) + 1] + VZ0 x [1/R1 + 1/R2]

Où VZ0 = VZT - (rZ x IZT) = 12 V - (10 Ω x 40 mA) = 11.6 V Remplaçons par les valeurs des résistances, de VZ0 et IZ = IZK = 0.1 mA :

Vout / R1 = 10^-4 A x [10 Ω x (1/330 + 1/1500 + 1] + 11.6V x [1/330 + 1/1500]

Vout = 14.186 V

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Question 5. Le circuit ci-dessus est un voltmètre DC qui utilise un ampli-op à entrées JFET pour réaliser un voltmètre « idéal ». On suppose que la tension de décalage à la sortie de l’ampli-op a été annulée avec le circuit d’ajustage du zéro. Quelle est la valeur de la tension d’entrée (VIN) qui donne une déviation maximum de l’Amperemetre pour les positions C1 à C4 de l’interrupteur rotatif. Considérez l’Amperemetre comme idéal.

q A)

q B) Pos. C1 : 1 mV; Pos. C2 : 10 mV; Pos. C3 : 100 mV; Pos. C4 : 1 V.

q C)

Solution

L’Amperemetre étant considéré ideál, sa résistance interne est nulle. Le circuit est donc un sui- veur de tension. Le courant affiché par l’Amperemetre provient de la sortie de l’ampli-op et re- tourne à la masse par la résistance sélectionnée par l’interrupteur rotatif.

I = Vout/R = Vin/R (où R est la résistance sélectionnée) La tension Vin qui correspond à la déflexion maximale de l’Amperemetre est :

VinMAX = R x IMAX (où IMAX = 100 µA) Ce qui donne :

VinMAX = 1 mV pour R = R1 = 10 Ω.

VinMAX = 10 mV pour R = R2 = 100 Ω.

VinMAX = 100 mV pour R = R3 = 1 kΩ.

VinMAX = 1 V pour R = R4 = 10 kΩ.

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Question 6. Le signal d’entrée (Vin) est un sinus de 10 mV crête à 25 kHz. On augmente pro- gressivement son amplitude et on observe Vin et Vout à l’oscilloscope. Quelle est l’amplitude crête de Vin quand de la distorsion apparaît à la sortie de l’ampli. Les caractéristiques de l’ampli-op sont : fT = 3 MHz, SR = 13 V/µS, L⁺ = 12 V, L^- = -12 V.

q A) 0.571 V crête

q B)

q C)

Solution

Le circuit est un amplificateur non-inverseur avec un filtre passe-haut du 1^er ordre.

Le gain de tension à mi-bande de l’amplificateur est : G = 1 + R2/R1 = 21 V/V.

La fréquence de coupure à -3dB du passe-haut est : fC-3dB PH = 1 / (2π R3 C1) = 15.9 Hz.

Le facteur de rétroaction β = R1 / (R1 + R2) = 1 / 21.

L’amplificateur non-inverseur a une largeur de bande limitée à : fC-3dB PB = β x fT = 3 MHz / 21 = 142 kHz.

La fréquence du signal d’entrée (25 kHz) se situe dans la bande passante du circuit et Vin ne sera pas affecté sensiblement par la réponse fréquentielle de l’amplificateur.

Pour un signal sinusoïdal de 25 kHz, la vitesse de dérive (Slew Rate) de l’ampli-op permet une tension de sortie maximale :

VoutMAX = SR / (2π f) = 13 V/µs / ( 2π x 25 kHz) = 82.7 V crête

Cette tension étant beaucoup plus grande que la tension de saturation de l’ampli-op, le méca- nisme de distorsion est la saturation.

La tension d’entrée maximum est donc :

Vin MAX = L / G = 12 V/ 21 = 0.571 V crête.

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Question 7. Le circuit ci-dessus sert à recharger des batteries d’auto. La tension Vs au se- condaire du transformateur T1 est de 24 V crête. Si la tension aux bornes de la batterie est 12 VDC, calculez le courant maximum (ID max) qui passe dans la diode et la tension inverse crête (TIC) à laquelle est soumise la diode. Considérez la diode comme idéale.

q A)

q B)

q C) ID max = 0.12 A; TIV = 36 V

Solution

Le courant maximum survient lors des crêtes positives de la tension VS. La diode étant considé- rée idéale (i.e. Vd = 0) le courant maximum est :

ID max = (VS max - 12 V) / R1 = (24 V - 12 V) / 100Ω = 0.12 A

La tension inverse crête survient lors des crêtes négatives de la tension VS. La diode est alors exposée à une tension :

TIV = (-24 V - 12V) = - 36 V.

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Question 8. Calculez la tension de sortie (Vout) de ce circuit si la « boîte noire » nous assure que la sortie de l’ampli-op va tendre vers l’alimentation positive (Vcc = 12 VDC) au moment de la mise sous tension. Par après, considerez la boîte noire comme un circuit ouvert. Effectuez deux itérations pour déterminer Vout . Les caractéristiques de la Zener sont : VZT = 4.7 V @ IZT = 10 mA, rZ = 10Ω et IZK = 0.1mA.

q A) 9.293 V

q B)

q C)

Solution

La tension VZ0 de cette diode Zener est :

VZ0 = VZT - (rZ x IZT) = 4.7 V - (10Ω x 10 mA) = 4.6 V

Lorsque le circuit est mis sous tension, la « boîte noire » fait tendre Vout à +12 V. En première approximation, le courant passant dans la Zener est :

IZ = (Vout - VZ) / R3 = (12 V - 4.7V) / 1 kΩ = 7.3 mA La tension aux bornes de la Zener est alors :

VZ = VZ0 + (rZ x IZ) = 4.6 V + (10 Ω x 7.3 mA) = 4.673 V

Le circuit est un ampli non-inverseur avec un gain de tension égal à 2 V/V (N.B. la résitance R3 n’affecte pas le gain de tension si l’ampli-op est consideré idéal). La tension de sortie en pre- mière approximation est donc Vout = 2 x VZ = 9.346 V

Faisons une deuxième itération pour raffiner le résultat. Le courant dans la Zener est :

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La tension de sortie est : Vout = 2 x VZ = 9.29346 V

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Question 9. Développez une expression pour Vout en fonction de Va, Vb et Vref .

q A)

q B)

q C) Vout= 101(Vb – Va) + Vref

Solution

Procédons par superposition.

Pour Vref = 0 et Vb = 0 Vout’ = -(R4 / R3) x (1 + (R2 / R1)) x Va Pour Vref = 0 et Va = 0 Vout’’ = (1 + (R2 / R1)) x Vb

Pour Va = 0 et Vb = 0 Vout’’’= (R2 / R1) x (R4 / R3) x Vref La tension de sortie totale : Vout = Vout’ + Vout’’ + Vout’’’

En remplaçant les résistances R1 à R4 par leurs valeurs respectives on obtient : Vout = 101 x (Vb - Va) + Vref

Le circuit est un amplificateur d’instrumentation (Zin très grand aux deux entrées) avec un gain en mode différentiel de 101 V/V, un gain en mode commun nul et la possibilité d’ajouter une tension de référence au signal de sortie.

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Question 10. Calculez le gain en mode différentiel (Ad), le gain en mode commun (ACM) et le taux de rejet mode commun (CMRR) de cet amplificateur d’instrumentation.

q A)

q B)

q C) Ad = 11 V/V ; ACM = 0.0005 V/V; CMRR = 86.84 dB

Solution

Appelons X le nœud commun à R2, R4 et la sortie de l’ampli-op du haut. Appelons Y le nœud commun à R3, R5 et la sortie de l’ampli-op du bas.

L’analyse de l’étage d’entrée donne :

(VX - VY) = [(Va - Vb) / R1] x [R1 + R2 + R3] = 11 x (Va - Vb) Eq. 1 L’analyse de l’étage de sortie (étage différentiel) donne :

Vout = VY x [(R7 / (R5 + R7)) x ((R4 + R6) / R4)] - VX x [R6/R4]

Remplaçons : R4 = R5 = R6 par R et R7 par (R6 - ε) où ε = 0.01 kΩ Vout = 2 VY x (R -ε) / (2R -ε) - VX

Multiplions et divisons le 1ere terme de droite par (2R + ε) Vout = 2 VY x (2R² - Rε - ε²) / (4R² - ε²) - VX

Négligeons les termes en ε²et réarrangeons les termes : Vout = (VY - VX) - VY x (ε / 2R)

Remplaçons (VY - VX) par le résultat de l’analyse de l’étage d’entrée (Eq. 1) Vout = 11 (Vb - Va) - VY x (ε / 2R)

Si Va = Vb = VCM (tension mode commun) alors VX = VY = VCM. Donc, Vout = 11 (Vb - Va) - 0.0005 (VCM)

L’amplificateur d’instrumentation a donc un gain en mode différentiel |Ad| = 11 V/V, un gain en mode commun | ACM| = 0.0005 V/V et un taux de rejet du mode commun :

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