Cours d’électricité Associations de dipôles Transitoires et résonances Mathieu

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Cours d’électricité

Associations de dipôles Transitoires et résonances

MathieuBardoux

mathieu.bardoux@univ-littoral.fr

IUT Saint-Omer / Dunkerque DépartementGénie Thermique et Énergie

1^reannée: 2011-2012

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Régimes transitoires

Circuit RL

Résonance Circuit LC LC série LC parallèle Sélectivité du filtre

Circuit RLC RLC série RLC parallèle

Circuit RL

Un circuit RL se compose d’une résistance et d’une bobine montées en série.

R L

U

Le circuit est caractérisé par son impédanceZ =R+ωL, et la tension est régie par une équation différentielle du premier ordre :

u(t) =Ldi

dt +Ri(t)

La tensionu(t)est imposée par un générateur de tension. Elle vaut 0 pour t<0, etU, constante, pourt >0. Nous cherchons à étudier commenti(t)varie au cours du temps.

Mathieu (IUT GTE) Cours d’électricité 1^reannée: 2011-2012 2 / 14

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Circuit RL

Si l’intensité est nulle au tempst =0 (moment de la fermeture du circuit), la solution de l’équation du circuit LC est la suivante :

i(t) = U

R(1−e^−t/τ) oùτ =_R^L est la constante de temps du circuit.

t i(t)

U R

La bobine a pour effet deretarder l’établissement du régime continu.

Il apparaît un régime transitoire, au cours duqueli(t)va tendre progressivement vers sa valeur du régime continu. La durée du régime transitoire est proportionnelle à τ. Elle croît pour les fortes valeurs de L, et décroît pour les fortes valeurs de R.

MathieuBardoux(IUT GTE) Cours d’électricité 1^reannée: 2011-2012 3 / 14

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Circuit RL

Le circuit LC

Le circuit LCest constitué d’une bobine d’impédanceLet d’un condensateur de capacitéC. En l’absence de résistance, le circuit LC n’est constitué que de composants d’impédance imaginaire pure.

Cette caractéristique rend possible le phénomène de résonance, lorsque l’inductance et la capacité s’annulent mutuellement pour une pulsationω₀donnée : l’impédance du circuit est alors nulle ou infinie.

Le circuit LC constitue alors un filtre passe-bande ou coupe-bande autour de la fréquencef =ω₀/2π. Pour cette raison, il est notamment utilisé dans les filtres radio.

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Circuit RL

Circuit LC série

Considérons un condensateur et une bobine placés en série :

C L

U

L’impédance du circuit vaut :Z =Z_L+Z_C =ωL+ 1

ωC. On peut réécrireZ =ω²LC−1

ωC

Z s’annule pour une certaine valeur de ω, notéeω₀= r 1

LC. On obtient alors un court-circuit

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Circuit RL

Circuit LC série

Évolution du module du courant traversant l’association LC série, en fonction deω :

ω I

I =U

Z ⇒I=U Lω

|1−ω²LC|

ω₀

À la fréquence de résonance, le courant transmis tend vers∞. Le circuit constitue un filtre passe-bande autour de la fréquenceω0.

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Circuit RL

Circuit LC parallèle

Considérons un condensateur et une bobine placés en parallèle :

C L

U

L’impédance du circuit vaut :Z = Z_LZ_C

Z_L+Z_C = Lω

1−ω²LC. On remarque que siω→

r 1

LC, alorsZ →+∞.

Pour une fréquenceω0= r 1

LC, l’impédance du circuit est alors infinie, on obtient un coupe-circuit.

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Circuit RL

Circuit LC parallèle

Évolution du module du courant traversant l’association LC parallèle, en fonction de ω:

ω I

I =U

Z ⇒I=U|1−ω²LC| Lω

ω₀

À la fréquence de résonance, le courant transmis à travers le montage vaut 0. Le circuit constitue un filtre coupe-bande autour deω0.

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Circuit RL

Sélectivité du filtre

En fonction des valeurs de Let deC, la résonance se déplace et le filtre obtenu est plus ou moins large. Exemple avec un filtre passe bande :

ω I

C=0,5 F C=1 F C=2 F

On modifie la fréquence de résonance en faisant varierLou deC. On peut ainsi, par exemple, sélectionner une station de radio.

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Circuit RL

Circuit RLC

En pratique, il n’existe pas de bobines pures, dont l’impédance soit uniquement imaginaire. Les bobines réelles pourront être représentées comme l’association d’une impédance pure L_s et d’une résistance pureR_s montées en série.

Une bobine réelle est caractérisée par le rapport de son inductance par sa résistance, notéQ et nommé « facteur de qualité » :Q= Ls

R_s

Par conséquent, il n’existe pas de circuit LC idéal : ce sont en réalité des circuits RLC, composés d’une résistance, d’une bobine et d’un condensateur.

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Circuit RL

RLC série

Considérons une résistance, un condensateur et une bobine placés en série :

C L

U

R

L’impédance du circuit vaut :Z =Z_R+Z_L+Z_C =R+ωL+ 1

ωC. On peut réécrireZ =R+ω²LC−1

ωC

Z est minimale pour une certaine valeur deω, notéeω0= r 1

LC. On obtient alors une résonance incomplète, avecZ =R

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Circuit RL

Circuit RLC série

Évolution du module du courant traversant l’association RLC série, en fonction de ω:

ω I

I =U

Z ⇒I = U

r

R²+(ω²LC−1)² ω²C²

ω₀ I₀

À la fréquence de résonance, le courant transmis atteint une valeur maximaleI₀. Le filtre passe-bande reste centré autour de la fréquence ω₀. Plus R est faible, plus l’association s’approche du filtre idéal.

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Circuit RL

RLC parallèle

Considérons une résistance, un condensateur et une bobine placés en parallèle :

C L R

U

L’admittance du circuit vaut : Y =Y_R+Y_L+Y_C = 1

R + 1

ωL +ωC. On remarque que si ω→

r 1

LC, alorsY → 1 R. Pour une fréquenceω₀=

r 1

LC, l’admittance du circuit atteint sa valeur minimale : 1

R.

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Circuit RL

Circuit LC parallèle

Évolution du module du courant traversant l’association RLC parallèle, en fonction deω :

ω I

I= U

Z ⇒I =U R

p(R−RLCω²)²+ω²L² ωL

ω0

I0

À la fréquence de résonance, I0vaut U

R. Le filtre est un coupe-bande imparfait. Plus R est faible, plus on s’approche d’un filtre idéal.