HP: tx(t)f X(f)| tx(t)f X(f)|

PT Lycée Benjamin Franklin Novembre 2021

HP: Démonstration du théorème de Shannon par les produits de convolutions (cf Chapitre Ec1)

Page 34 Chapitre II. Échantillonnage et quantification

1 Échantillonnage

Théorème 1 Théorème de Shannon

Lorsqu’un signal x(t) a un spectre à support borné [X(f ) = 0 pour

|

f

|

> f

_max

], il est possible d’échan- tillonner ce signal sans perdre d’information : il suffit pour cela de choisir une fréquence d’échantillonnage f

e

> 2 f

max

. On pourra alors reconstruire x(t) parfaitement à partir des échantillons x(nT

e

), avec T

e

= 1 /f

e

.

1.1 Première démonstration du théorème de Shannon

Cette première démonstration ne nécessite pas l’utilisation de la notion de distribution mais elle est assez lourde.

Soit un signal x(t) dont le spectre est

à

support borné, c’est-à-dire que sa transformée de Fourier X (f) est telle que X(f ) = 0 pour

|

f

|

> f

max

.

t x(t)

f

| X(f)|

f

max

-f

max

On fabrique le signal X

_R

(f )

à

partir de X(f ) en répétant X (f) avec la période F

≥

2 f

_max

.

-F -f

max

f

max

F f

|X

R

(f)|

0

X

_R

(f )

étant périodique de période

F , on peut calculer sa série de Fourier.

X

R

(f ) =

^+∞!

n=−∞

C

n

e

^−j2πnFf

, (II.1)

avec C

n

= 1 F

F

"2

−^F₂

X

R

(f )e

^j2πnFf

df

pour f

∈

#

−

F 2 , F

2

$

X

R

(f ) = X(f )

D’où C

n

= 1 F

+^F₂

"

−^F₂

X (f )e

^j2πnFf

df = 1 F

+∞

"

−∞

X(f )e

^j2πnFf

df

On reconnaît ici la transformée de Fourier inverse de X(f ), c’est-à-dire x(t), calculée au point t =

_Fⁿ

:

C

n

= 1 F x

%

n

F

&

1. Échantillonnage Page 35

et en remplaçantCnpar sa valeur dans l’expression (II.1) : XR(f) = ^+∞!

n=−∞

1 Fx

"n F

#

e^−j2πnFf

Ainsi X(f) =

$ XR(f) si f∈^%−^F₂,^F₂^&

0 ailleurs

X(f)est donc parfaitement défini par la connaissance des valeurs dex(t)aux instantst=_Fⁿ. Il en est de même dex(t). Le théorème de Shannon est ici démontré.

Explicitons la relation liantx(t)et les valeursx(_Fⁿ):

x(t) =

+∞'

−∞

X(f)e^{j2πf t}df =

+^F₂

'

−^F₂

XR(f)e^{j2πf t}df = 1 F

+^F₂

'

−^F₂

( _+∞

!

n=−∞

x

"n F

#

e^−j2πnFf )

e^{j2πf t}df

Soit : x(t) = 1 F

+∞

!

n=−∞

x

"n F

#

+^F₂

'

−^F₂

e^j2πf(t−ⁿ_F)df

x(t) = _F^{1 +∞*}

n=−∞

x⁺_F^n,sinc⁺F⁺t− _F^n,, Oùl’on note :

sinc(x) = sin(πx) πx

En résumé, siF >2fmax, la connaissance de la suitex(n/F)est suffisante pour déterminer parfaitementx(t) ouX(f)et :

x(t) = _F^{1 +*∞}

n=−∞x⁺_F^n,sinc⁺F⁺t− _F^n,, X(f) =

⎧

⎨

⎩

+∞

*

n=−∞

1

Fx⁺_F^n,e^−j2πnFf si |f|≤ fmax

0 ailleurs

1.2 Seconde démonstration du théorème de Shannon Cette démonstration utilise la notion de distribution.

t x(t)

f

| X(f)|

f

max

-f

max

Le signalx(t)échantillonné àla fréquencefe= 1/Tepeutêtre représentépar la distributionxe(t): x_e(t) =

+∞

!

n=−∞

x(nTe)δ(t−nT_e) =x(t)

+∞

!

n=−∞

δ(t−nT_e).

La transformée de Fourier de cette distribution estX_e(f): Xe(f) =X(f)∗T F

( _+∞

!

n=−∞

δ(t−nTe)

Page 36 Chapitre II.) Échantillonnage et quantification

La théorie des distributions (lemme de Poisson) permet de montrer que : T F

! _+∞

"

n=−∞

δ(t−nT_e)

#

= 1 Te

+∞"

n=−∞

δ(f− n Te)

(voir démonstration au paragraphe suivant) ce que l’on formule généralement par : la transformée de Fourier d’un peigne d’impulsions de Dirac est un peigne d’impulsions de Dirac.

T

e

1/T

e

1

1/T_e

t f

Xe(f) = 1 T_e

+∞

"

n=−∞

X(f)∗δ

$ f− n

T_e

%

= 1 T_e

+∞

"

n=−∞

X

$ f− n

T_e

% .

La transformée de Fourier de la distributionX_e(t)est donc une distributionX_e(f)périodique, de période1/T_e.

1/T

e

2/T

e

f -1/T

e

|X

e

(f)|

Deux cas peuvent se présenter suivant la valeur deT_e:

•1^er cas :

1

T_e ≤ 2f_max

On a alors recouvrement de spectre, "aliasing" dans la littérature anglo-saxone, et il est généralement impossible de recontruire le signal de départ sans erreur :

1/T

_e

2/T

_e

f -1/T

_e

|X

_e

(f)|

f 1/T

e

2/T

_e

|X

_e

(f)|

Page 36 Chapitre II. Échantillonnage et quantification

La théorie des distributions (lemme de Poisson) permet de montrer que : T F

! _+∞

"

n=−∞

δ(t−nTe)

#

= 1 T_e

+∞"

n=−∞

δ(f− n T_e)

(voir démonstration au paragraphe suivant) ce que l’on formule généralement par : la transformée de Fourier d’un peigne d’impulsions de Dirac est un peigne d’impulsions de Dirac.

T

e

1/T

e

1

1/Te

t f

X_e(f) = 1 T_e

+∞"

n=−∞

X(f)∗δ

$ f− n

T_e

%

= 1 T_e

+∞"

n=−∞

X

$ f− n

T_e

% .

La transformée de Fourier de la distributionXe(t)est donc une distributionXe(f)périodique, de période1/Te.

1/T

e

2/T

e

f -1/T

e

|X

e

(f)|

Deux cas peuvent se présenter suivant la valeur deTe:

•1^ercas :

1

T_e ≤ 2fmax

On a alors recouvrement de spectre, "aliasing" dans la littérature anglo-saxone, et il est généralement impossible de recontruire le signal de départ sans erreur :

1/T

_e

2/T

_e

f -1/T

_e

|X

_e

(f)|

f 1/Te 2/Te

|X_e(f)|

1. Échantillonnage Page 37

• 2^mecas :

1

Te >2fmax

-1/T

e

0 1/T

e ^f

|

X

e

(f)|

f

max

-f

max

Il n’y a pas de recouvrement de spectre,T_eX_e(f)etX(f)coïncident entre−1/2T_eet1/2T_e.

Pour reconstruirex(t)àpartir dexe(t), il suffit alors de faire passerxe(t)dans unfiltre passe-bas idéal de fonction de transfertH(f):

H(f) =Terect

!f fe

"

f_e

1/2Te

-1/2Te

T_e H(f)

f

La sortiey(t)de cefiltre passe-bas vérifie :

Y(f) =H(f)X_e(f) =X(f), c’est-à-dire :

y(t) =x(t)

Le théorème de Shannon est ici démontré, on peut reconstruire parfaitement x(t)àpartir du signaléchan- tillonnéxe(t).

Explicitons la relation liantx(t)et leséchantillonsx(nTe): y(t) = x(t)

y(t) = x_e(t)⋆h(t)

h(t) = T F I((H(f)) =feTesinc (fet) = sinc (fet) y(t) = ^+#∞

n=−∞

x(nT_e)δ(t−nT_e)⋆sinc (f_et)

y(t) = ^+#∞

n=−∞

x(nT_e)sinc (f_e(t−nT_e))

x(t) = y(t) = ^+#∞

n=−∞

x(nT_e)sinc (f_e(t−nTe))

Exercice 1 :Soitx(t) = 2cos(2πf₀t)échantillonné àf_e = 4f₀. Calculer la transformée de Fourier du signaléchantillonnéxe(t).