Thème 14 –Primitives et calcul d’intégrale

Terminale S ANA 4

Thème 14 –Primitives et calcul d’intégrale

1. Notions de primitives

Définition 1 : Concept de primitive

Soit

f

^{une fontion dénie un intervalle}

I

^{de R. On appelle primitive de}

f

^sur

I

^toute

fontion,(souvent notée)

F

^{dérivable sur}

I

^{telle que, pourtout}

x

^de

I

^,

F ^′ (x) = f (x)

^.

Remarque :

•

Lestermesanglaisexprimentlairement leoneptde primitive.Dérivéeseditderivative

etprimitive seditantiderivative.

•

Une fontion dérivable a une unique fontion dérivée. Par ontre, si une fontion admet

une primitive,alors elle en aen faitune innité, ommeillustrédansl'exemple suivant.

Exerie résolu 1 :

Déterminerune primitive dehaunedesfontions suivantes:

1

^.

f 1 (x) = 3x ² + 3 +

^e

^x + x ¹

^.

2

^.

f 2 (x) = x ³ + 6x ² + 3x 3

^.

f 2 (x) =

^e

^3x+2

4

^.

f 3 (x) = 5 2x + 1

^.

5

^.

f 4 (x) = (2x + 3) ⁴

Solution : Onutilise leprinipe d'approhe-orretion.

1

^{. Par letureinverse desdérivées, on adiretement}

F 1 (x) = x ³ + 3x +

^e

^x + ln(x)

^.

2

^{. Par leture inverse des dérivées, on a}

F 2 (x) = x ⁴

4 + 6 x ³

3 + 3 x ²

2

^{. Après} simpliation,

F 2 (x) = 1

4 x ⁴ + 2x ³ + 3 2 x ²

3

^{. La fontion}

f 3

^{est presquede laforme}

u ^′

^e

^u

^ave

u = 3x + 2

^{. Siondérive}

F 3 (x) =

^e

^3x+2

^,

on obtient

3

^e

^3x+2

^{. Pour obtenir}

f 3

^{,il faut diviserpar 3don}

f 3 (x) = 1 3

^e

3x+2

.

Proposition 1 : Infinité de primitives

Soit

f

^{une fontion.}

Si

F

^{est une primitive de}

f

^{alors toutes}

lesprimitivesde

f

^{sontlesfontions}

G

^de

laforme

G = F +k

^où

k

^{estuneonstante}

réelle.

Ainsi

•

deux primitives de

f

^dièrent

d'uneonstante.

•

Si

f

^{admet une primitive}

F

^,

f

admet une innité de primitives.

Elles sontde la forme

F + k

^.

Démonstration : Soit

G

^{une primitive de}

f

^.

Considéronsla fontiondiérene

G − F

^{. Alors,}

(G − F ) ^′ = G ^′ − F ^′ = f − f = 0

^{.Puisque ladé-}

rivéeest nulle,

G − F

^{est dononstante,égaleà}

unréel

k

^{, e qui prouveque}

G = F + k

^{. Ainsi,}

lesprimtivesde

f

^{sontparmi lesfontionsde la}

forme

G + k

^.

Réiproquement,toutefontionsdelaforme

G = F + k

^{est bien une primitivede}

f

^puisque

G ^′ =

F ^′ − 0 = f

^.

Illustration : Quelques primitives de x 7→ 2x

1 2

− 2 − 1 1 2 3 4 5

− 5

− 4

− 3

− 2

− 1 O ~ı

~

Proposition 2 : Unicité de la primitive

Soit

f

^{une fontiondénie sur unintervalle}

I

^{, admettantuneprimitive}

F

^{sur et}intervalle.

Pourtoutréel

x 0

^de

I

^ettoutréel

y 0

^{,ilexiste uneunique primitive}

G

^de

f

^telleque

G(x 0 ) = y 0

^.

Démonstration : On sait que lesprimitivesde

f

^{sontles fontionsde la forme}

G = F + k

^où

k

^est

un réel.L'égalité

G(x 0 ) = y 0

^{équivaut à}

F(x 0 ) + k = y 0

^{, 'est àdire}

k = y 0 − F (x 0 )

^{. Ainsi, parmi les}

primitivesde

F

^{,uneseulevérielaondition}

G(x 0 ) = y 0

2.

Primitives et Intégrales

Théorème 1 : Théorème fondamental de l’analyse

Soit

f

^{une fontion ontinue et positive sur un intervalle}

[a, b]

^{de R. La fontion}

F

^dénie

sur

[a, b]

^par

F (x) = R ^x

a f (t)

^d

t

^{est dérivable sur}

[a, b]

^{et a pourdérivée la fontion}

f

^.

Démonstration : Programme:Ilest intéressantdeprésenterleprinipedeladémonstrationduthéo-

rèmedansleas oùfestpositiveet roissante.

Nousallonsdémontrere theorèmedansleasoùlafontion

f

^{estroissantesur}

[a; b]

^.

Idée:Soit

x 0

^unréeldel'intervalle

[a; b]

^et

h

^{unréelnonnul telque}

x 0 + h ∈ [a, b]

^.

Ilfautmontrerque:

lim

h7→0

F (x 0 + h) − F(x 0 )

h = f (x 0 )

•

Étape1:Calulde

F(x 0 + h) − F (x 0 )

Pardénition delafontion

F

^,

F (x 0 + h) − F(x 0 ) = Z ^{x 0 +h}

a

f (t)

^d

t − Z ^{x 0}

a

f (t)

^d

t = Z ^{x 0 +h}

a

f (t)

^d

t + Z ^a

x ₀

f (t)

^d

t = Z ^{x 0 +h}

x ₀

f (t)

^d

t.

•

Étape2:Enadrementde

R ^x 0 + h

x ₀ f (t)

^d

t

^:

Puisque

f

^{est positive,}

R ^x 0 + h

x ₀ f (t)

^d

t

^{représente l'airedu domaineompris entre lesdroites}

x = x 0

^,

x = x 0 + h

^{,l'axedesabsissesetlaourbedelafontion.}

Puisque

f

^{est roissante,onenadreetteaireparellederetangles.}

asoù

h

^{estpositif asoù}

h

^estnégatif

x 0 x 0 + h x 0 x 0 + h x 0 + h x 0 x 0 + h x 0

hf (x 0 ) 6 Z ^x 0 +h

x ₀

f (t)

^d

t 6 hf (x 0 + h) hf (x 0 + h) 6 Z ^x 0

x 0 +h

f (t)

^d

t 6 hf (x 0 )

En divisantpar

h

^{non nul,(etenhangeantl'ordrede}l'inégalitési

h

^{estnégatif):}

f (x 0 ) 6 F(x 0 + h) − F (x 0 )

h 6 f (x 0 + h) f (x 0 + h) 6 F (x 0 + h) − F (x 0 )

h 6 f (x 0 )

•

^{Étape3:Limite dutaux}d'aroissement

Puisque la fontion

f

^{est ontinue sur}

[a, b]

^,ona

lim

h→0 f (x 0 + h) = f (x 0 )

^{don,d'aprèslethéorème}

desgendarmes,quelquesoitlesignede

h

^,

h→0 lim

F (x 0 + h) − F(x 0 )

h = f (x 0 ).

Cei prouvequelafontion

F

^{estdérivableentoutpoint}

x 0

^de

[a, b]

^{etvériesuretintervalle}

F ^′ (x) = f (x)

^.

Onadmetqueerésultatestaussivraisilafontionestdéroissantesurl'intervalle

[a; b]

^(ladémonstration est la même, il sut d'adapter l'enadrement par les retangles), puis pour tout fontion ontinue et

positivesur

[a, b]

^.

Conséquence 1 : Existence d’une primtive

Toute fontionontinue sur unintervalleadmet des primitives.

Démonstration : Programme: Ilestintéressantdedémontrere théorèmedansleasd'un intervalle

ferméborné()segment

[a; b]

^{,enadmettantquelafontionaunminimum.Onadmetleasgénéral.Nous}

allonsdémontrererésultatdansleasoùl'intervalleestdelaforme

[a, b]

^{,enadmettantquelafontion}

f

^{admetunminimum}

m

^suretintervalle.Alorslafontion

g

^déniesur

[a, b]

^par

g(x) = f (x) − m

^est

ontinueet positivesur

[a; b]

^{. D'aprèslethéorèmepréédent,lafontion}

g

^{admetdonune primitive}

G

sur

[a; b]

^.Lafontion

F

^déniepar

F (x) = G(x) + mx

^{estalorsuneprimitivede}

f

^sur

[a, b]

^,equiprouve

lethéorème.

Conséquence 2 : Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive

Soient

f

^{une fontion dénie et ontinue sur intervalle}

I

^{de R, ave}

a

^et

b

^{deux réels de}

l'intervalle

I

^{. Si}

F

^{est une primitivede}

f

^sur

I

^{, alors}

Z ^b

a

f (t)

^d

t = F (b) − F(a).

La diérene

F (b) − F (a)

^{est souvent notée}

[F (t)] ^b a

^.

Démonstration : Prouvons led'abord pour uneprimitive partiulière:

Soit

c

^{unréel de}l'intervalle

I

^et

G

^{l'unique primitivede}

f

^sur

I

^{quis'annuleen}

c

^{. D'aprèslethéorème}

préédent,

G

^{estdénie par}

G(x) = R ^x

c f (t)

^d

t

^.Onaalors:

G(b) − G(a) =

Z ^b

c

f (t)

^d

t − Z ^a

c

f (t)

^d

t

= Z ^b

c

f (t)

^d

t + Z ^c

a

f (t)

^d

t

= Z ^b

a

f (t)

^d

t

Prouvons lemaintenantpour n'importe quelleprimitive:

Soit

F

^{uneautreprimitive}

f

^sur

I

^{.Onavudanslethèmepréédentque}

F

^et

G

^{dièred'uneonstante,}

'est-à-direqu'ilexisteunréel

k

^telque

F = G + k

^.Alors

F (b) − F (a) = (G(b) + k) − (G(a) + k)

= G(b) − G(a)

= Z ^b

a

f (t)

^d

t

C'est bienequ'ilfallaitdémontrer.

Exerie résolu 2 :

Calulerlavaleurde l'intégrale

R 1 0 x ²

^d

x

^.

Solution : Puisqu'une primitive de lafontion

f : x 7→ x ²

^{est lafontion}

F : x 7→ ^x

3

3

^,ona

Z 1 0

x ²

^d

x = x ³

3 ¹

0

= 1 ³ 3 − 0 ³

3

= 1

3 .