Repérage et problèmes de géométrie www.mathGM.fr
Les savoir-faire Géométrie sans repère Géométrie avec repère
Repérage et problèmes de géométrie
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Lycée Louise Michel (Gisors)
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Les savoir-faire
030. Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
031. Calculer la distance entre deux points.
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Projeté orthogonal
Définition
On appelle projeté orthogonal d’un pointMsur une droitedavec M extérieur à cette droite, le point H intersection de la droitedet de la perpendiculaire à la droitedpas- sant parM.
d
M
H
K
Remarque :
Si le pointM est sur la droited, alors il est son propre projeté orthogonal.
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Distance d’un point à une droite
Définition
On appelledistance d’un pointM à une droite dla longueurM H oùH est le projeté orthogonal deM sur la droited.
Cette distance est la plus courte distance entre le pointM et un point de la droite.
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Repère du plan
Définition
Définir un repère du plan c’est choisir trois points non alignés. Dans un repère
(O,I,J)quelconque : −2−1 2 3
−2
−1 2 3
O I J
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Repère du plan
Définition
Définir un repère du plan c’est choisir trois points non alignés. Dans un repère
(O,I,J)quelconque : −2−1 2 3
−2
−1 2 3
O I J
• Le pointO est l’origine du repère.
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Repère du plan
Définition
Définir un repère du plan c’est choisir trois points non alignés. Dans un repère
(O,I,J)quelconque : −2−1 2 3
−2
−1 2 3
O I J
• Le pointO est l’origine du repère.
• L’axe des abscisses est la droite(OI), graduée dans le sens deO versI, avec la longueurOI comme unité de longueur ;
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Repère du plan
Définition
Définir un repère du plan c’est choisir trois points non alignés. Dans un repère
(O,I,J)quelconque : −2−1 2 3
−2
−1 2 3
O I J
• Le pointO est l’origine du repère.
• L’axe des abscisses est la droite(OI), graduée dans le sens deO versI, avec la longueurOI comme unité de longueur ;
• L’axe des ordonnées est la droite(OJ), graduée dans le sens deO versJ, avec la longueurOJ comme unité de longueur.
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Les savoir-faire Géométrie sans repère Géométrie avec repère
Repères particuliers
• Si les droites sont perpendiculaires, on dit que le repère est orthogonal.
−1 2
−3
−2
−1 2 3 4
O I
J
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Repères particuliers
• Si les droites sont perpendiculaires, on dit que le repère est orthogonal.
−1 2
−3
−2
−1 2 3 4
O I
J
• Si, de plus,OI =OJ, alors on dit que le repère est orthonormé.
2 2
O I
J
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Coordonnées du milieu
Propriété
On considère un repère du plan(O;I;J)et deux points A(xA ; yA)etB(xB ; yB).
Alors les coordonnées du pointK, milieu du segment[AB]
sont :
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Coordonnées du milieu
Propriété
On considère un repère du plan(O;I;J)et deux points A(xA ; yA)etB(xB ; yB).
Alors les coordonnées du pointK, milieu du segment[AB]
sont :
xk = xA+xB
2 et yk= yA+yB
2
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Coordonnées du milieu
Propriété
On considère un repère du plan(O;I;J)et deux points A(xA ; yA)etB(xB ; yB).
Alors les coordonnées du pointK, milieu du segment[AB]
sont :
xk = xA+xB
2 et yk= yA+yB
2
−1 2 3 4 5
−1 2
3 4
5
O I
J
xA xB
yA
yB
A
B K
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Coordonnées du milieu
Propriété
On considère un repère du plan(O;I;J)et deux points A(xA ; yA)etB(xB ; yB).
Alors les coordonnées du pointK, milieu du segment[AB]
sont :
xk = xA+xB
2 et yk= yA+yB
2
−1 2 3 4 5
−1 2
3 4
5
O I
J
xA
xA+xB 2
xB
yA
yB
A
B K
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Coordonnées du milieu
Propriété
On considère un repère du plan(O;I;J)et deux points A(xA ; yA)etB(xB ; yB).
Alors les coordonnées du pointK, milieu du segment[AB]
sont :
xk = xA+xB
2 et yk= yA+yB
2
−1 2 3 4 5
−1 2
3 4
5
O I
J
xA
xA+xB 2
xB
yA
yB
A
B K
yA+yB 2
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Exemple
On donne les pointsA(5 ; −3)etB(−1 ; 2).
Calculer les coordonnées du milieuIdu segment[AB]. Vidéo
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Longueur d’un segment
La propriété suivante n’est valable que dans un repère orthonormé.
Propriété
On considère un repèreorthonormé(O,I,J)et deux points A(xA ; yA)etB(xB ; yB).
Alors la longueur du segment[AB]est :
−1 2 3 4
−1 2 3 4
O I
J
xA xB
yB
yA C
xB−xA yB−yA
A
B
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Longueur d’un segment
La propriété suivante n’est valable que dans un repère orthonormé.
Propriété
On considère un repèreorthonormé(O,I,J)et deux points A(xA ; yA)etB(xB ; yB).
Alors la longueur du segment[AB]est : AB=»
(xB−xA)2+ (yB−yA)2
−1 2 3 4
−1 2 3 4
O I
J
xA xB
yB
yA C
xB−xA yB−yA
A
B
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Exemple
On donne les pointsA(3 ; −2)etB(2 ; −2).
Calculer la longueurAB. Vidéo
