Sur quelques problèmes d’homogénéisation non locale et de fluides en milieu poreux : une contribution de Abdelhamid Ziani

BLAISE PASCAL

Youcef Amirat et Kamel Hamdache

Sur quelques problèmes d’homogénéisation non locale et de fluides en milieu poreux: une contribution de Abdelhamid Ziani

Volume 14, n^o2 (2007), p. 149-186.

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cedram

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Sur quelques problèmes d’homogénéisation non locale et de fluides en milieu poreux:

une contribution de Abdelhamid Ziani

Youcef Amirat Kamel Hamdache

Résumé

Dans cet article nous présentons quelques problèmes et résultats d’homogénéi- sation non locale pour certaines équations de type dégénéré. Nous considérons des équations de transport, une équation des ondes dégénérée et une équation diffé- rentielle de Riccati, et nous décrivons dans chacun des cas les effets non locaux induits par homogénéisation. Nous donnons aussi quelques résultats sur l’analyse mathématique des équations des fluides miscibles en milieu poreux.

1. Introduction

Dans cet article nous présentons quelques problèmes et résultats d’ho- mogénéisation non locale pour des équations de type dégénéré. Nous consi- dérons des équations de transport, une équation de type hyperbolique- parabolique dégénéré, une équation différentielle de Riccati et une équa- tion de transport semi-linéaire, et nous décrivons dans chacun des cas les effets non locaux induits par homogénéisation. Nous présentons ensuite quelques résultats sur l’analyse mathématique des équations des fluides miscibles en milieu poreux.

Homogénéisation non locale. Dans une série d’articles ([55]–[57]) M.I.

Shvidler considère les équations des transferts de masse dans un milieu po- reux hétérogène ayant une distribution aléatoire des perméabilités et des porosités. Il en déduit par une analyse des fluctuations des équations effec- tives dans lesquelles apparaissent des termes non locaux inexistants dans les équations originales. A titre d’exemple, considérons l’écoulement de deux fluides miscibles et incompressibles. Les équations décrivant l’écou- lement, lorsqu’on néglige les effets de diffusion moléculaire et de dispersion,

s’écrivent

φ∂tc+V · ∇c= 0, V =−k

µ∇p, ∇ ·V = 0, (1.1) où c est la concentration du mélange, φ(x) et k(x) sont la porosité et la perméabilité, respectivement, µ est la viscosité (qui dépend de c), p est la pression et V est la vitesse de filtration obéissant à la loi de Darcy.

M.I. Shvidler [56] a montré que la moyennisation de (1.1) (dans un sens probabiliste) conduit à une équation intégro-différentielle. En dimension 1 avec φ = φ0 constant, l’équation moyennisée s’écrit, u désignant la moyenne de c,

φ₀∂_tu+W ∂_xu= 1 φ₀

Z t 0

B(t, τ)∂_z²u(τ, z)dτ

où W représente la moyenne de V,W =−(k^∗/µ)∂_xhpi, (k^∗ et hpi repré- sentant respectivement la perméabilité effective et la moyenne de p) z = x −φ⁻¹₀ W(t−τ) et B(t, τ) est une vitesse de corrélation. En prenant B(t, τ) =B₀exp(−|t−τ|/ε₀) (ε₀>0) M.I. Shvidler déduit l’équation des ondes des télégraphistes

φ0∂tu+W ∂xu+ε0

φ0∂²_tu+ 2W ∂²_xtu+(W²−B0)

φ₀ ∂_x²u= 0.

Notons toutefois que ce résultat est obtenu de façon formelle et son inter- prétation physique est encore à préciser.

Des termes non locaux apparaissent également dans les équations ef- fectives décrivant la dispersion de contaminants dans un fluide. Partant d’une équation de diffusion-convection décrivant l’évolution de la concen- tration d’un contaminant dans un écoulement longitudinal, R. Smith [58]

déduit formellement, à l’aide d’un développement asymptotique adapté à la moyennisation sur la section de l’écoulement, une équation effective de la forme

∂tc+u∂xc−k∂_x²c− Z ∞

0

∂τD ∂_x²cx− Z τ

0

˜

u(τ⁰)dτ⁰, t−τdτ =q(x, t) où c et u représentent les moyennes sur une section de l’écoulement de la concentration et de la vitesse, respectivement, u˜ est une vitesse de transport,ketDsont des coefficients de diffusion etq est le terme source.

Les équations avec des termes non locaux interviennent dans la mo- délisation de divers problèmes de la physique. Considérons le problème de

conduction (stationnaire)

− ∇ ·(A^ε(x)∇u^ε) +u^ε=f(x) (1.2) dans un ouvertΩdeRⁿ, oùεest un petit paramètre lié à la microstructure du domaineΩet la matrice de conductivité vérifie, p.p. enx∈Ω,∀ξ∈Rⁿ,

α^ε(x)|ξ|²≤A^ε(x)ξ·ξ ≤β^ε(x)|ξ|². Lorsque les fonctions α^ε etβ^ε vérifient la condition

0< α≤α^ε(x)≤β^ε(x)≤β (1.3) p.p. dansΩ, oùαetβsont deux constantes indépendantes deε, la méthode de la H-convergence de F. Murat et L. Tartar [48] permet de déterminer l’équation effective associée à (1.2), qui est une équation de diffusion du même type. Cependant, pour les problèmes de conduction à très faible conductivité (correspondant au cas α = 0) ou à très forte conductivité (correspondant au cas (β^ε) non uniformément bornée) la méthode de la H-convergence n’est pas applicable. V.A. Marčenko et E.Ja. Hruslov ([45], [42]) ont étudié des problèmes de conduction dans des matériaux très forte- ment hétérogènes, donc ne vérifiant pas (1.3), et ont établi rigoureusement les équations effectives associées, dans lesquelles apparaissent des termes non locaux. Voir aussi un travail récent de M. Briane [29].

Il est bien connu que les modèles à mémoire courte comme c’est le cas pour les matériaux viscoélastiques (modèle de Kelvin-Voigt) conduisent par homogénéisation à des modèles à mémoire longue, voir M. Renardy, J.A. Hrusa et W.J. Nohel [52]. Le modèle suivant, étudié par J.L. Lions ([27], [44]), E. Sanchez-Palencia ([54], [53]) et H.I. Ene, M.L. Mascarenhas et J. Saint Jean Paulin [36], dans le cadre périodique,

ρ^ε(x)∂_t²u^ε− ∇ ·A^ε(x)∇u^ε+B^ε(x)∇∂_tu^ε=f,

en est un exemple. Ici, les matricesA^εetB^εsont supposées uniformément elliptiques et bornées, c’est-à-dire p.p. en x∈Ω,∀ξ ∈Rⁿ,

α|ξ|² ≤A^ε(x)ξ·ξ≤β|ξ|², γ|ξ|²≤B^ε(x)ξ·ξ ≤δ|ξ|²,

où α, β, γ, δ sont des constantes positives. On notera que les solutions harmoniques en temps u^ε(t, x) =e^ıγtv^ε(x) vérifient l’équation

−γ²ρ^ε(x)v^ε− ∇ ·((A^ε(x) +ıγB^ε(x))∇v^ε) =e^−ıγtf.

L’effet induit par homogénéisation découle donc de la caractérisation de la dépendance par rapport àγ de la matrice complexe homogénéisée(A+ ıγB)hom.

L’homogénéisation d’équations de transport avec des vitesses oscillantes, qui consiste à déterminer des équations effectives associées, sort du cadre d’application des méthodes classiques de l’homogénéisation.

L. Tartar [61] s’est intéressé à l’homogénéisation de l’équation différen- tielle

∂_tu^ε+a^ε(x)u^ε=f, u^ε(0, x) =u₀(x), (1.4) avec a^ε* a dansL^∞ faible-? et a obtenu, en utilisant une méthode dif- férente de celles habituellement utilisées en homogénéisation, l’équation effective

∂_tu+a(x)u+ Z t

0

K(t−s, x)u(s, x)ds=f, u(0, x) =u₀(x), oùK(t, x)est un noyau qui ne dépend que de la mesure de Young associée à la suite(a^ε); il est caractérisé par les limites faibles de(a^ε)ⁿpourn∈N, n≥1.

Une question naturelle qui prolonge le problème académique (1.4) est l’homogénéisation d’équations différentielles du second ordre comme par exemple

X_ε⁰⁰ =∇_xu^ε(X_ε)

oùu^εest un potentiel oscillant. En introduisant la densitéf^ε(t, x, ξ)(pour t≥0,xetξdansRⁿ) qui est constante le long des courbes caractéristiques X_ε⁰ =ξ_ε,ξ_ε⁰ =∇_xu^ε(X_ε), on obtient l’équation de transport cinétique

∂_tf^ε+ξ· ∇_xf^ε+∇_xu^ε(x)· ∇_ξf^ε= 0.

Une autre question académique qui prolonge la question étudiée par L. Tartar est l’homogénéisation d’équations différentielles non linéaires comme l’équation de Riccati

∂_tu_ε+a^ε(x)u²_ε =f, u_ε(0, x) =u₀(x).

L’homogénéisation d’équations de transport est un véritable challenge non seulement au regard d’applications potentielles en modélisation mais aussi du point de vue des méthodes mathématiques nouvelles à développer pour l’étude de ces équations. C’est à ce programme de recherche que Abdelhamid Ziani s’est attelé durant une décennie. Le premier problème que nous avons étudié avec Hamid est l’homogénéisation d’une équation de

transport en dimension 1 +1/2, c’est-à-dire en supposant que la vitesse est de la forme V^ε= (a^ε(t, y),0):

∂_tu^ε+a^ε(t, y)∂_xu^ε=f, u^ε(0, x, y) =u₀(x, y). (1.5) Cette équation intervient non seulement dans la modélisation de fluides en milieu poreux hétérogène (voir par exemple [5]) mais également en mécanique des fluides pour les écoulements dits “shear flows" (voir par exemple R.J. DiPerna et A.J. Majda [32]). Nous nous sommes ensuite intéressés à l’homogénéisation de l’équation de transport plus générale

∂tu^ε+A^ε(t, x)∇_xu^ε=f, ∇ ·A^ε= 0,

u^ε(0, x) =u⁰(x). (1.6)

Écoulements de fluides miscibles en milieu poreux. Le modèle mathé- matique de base des écoulements de fluides miscibles en milieu poreux est constitué des équations décrivant la conservation de la masse de chaque constituant, la loi de Darcy et les lois d’état des fluides. Considérons N fluides miscibles et faiblement compressibles, obéissant aux lois d’état

dρ_i

dp =z_iρ_i, i= 1, . . . , N,

oùρ_i est la densité du fluide (constituant)i,z_i son coefficient de compres- sibilité et pest la pression. La composition du mélange est décrite par les concentrations volumiques c_i (i=1, . . ., N) des constituants vérifiant

ci≥0,

N

X

i=1

ci= 1. (1.7)

En choisissant comme fonctions inconnues la pression pet les N −1pre- mières concentrations c₁, c₂,· · · , cN−1, l’écoulement est décrit, sous cer- taines hypothèses physiques (voir par exemple G. Chavent et J. Jaffré [30], D.W. Peaceman [51], J. Douglas et J.E. Roberts [34]) par le système

φ(

N

X

i=1

z_ic_i)∂p

∂t +∇ ·u=q⁺−q⁻, u=−k µ∇p, φ∂ci

∂t +∇ ·(ciu) +φzici

∂p

∂t − ∇ ·(D(u)∇c_i) +q⁻ci =c^∗_iq⁺, 1≤i≤N −1,

(1.8)

où φest la porosité du milieu,kle tenseur de perméabilité,ula vitesse de Darcy, µ=µ(c1, . . . , cN−1)la viscosité du mélange,q⁺ etq⁻ représentent

les termes d’injection et de production, respectivement, c^∗_i est la concen- tration résiduelle du constituant i(c^∗_i ≥0, ^PN_i=1c^∗_i = 1), Dle tenseur de dispersion hydrodynamique donné par D=d_mφ I+|u|(d_lE(u) +d_t(I − E(u))), I étant la matrice identité, E(u) = uiuj/|u|²,dm le coefficient de diffusion moléculaire, et d_l, d_t les coefficients de dispersion longitudi- nale et transverse, respectivement. Dans (1.8), (1.8)₁ est dite équation de la pression (parabolique) et (1.8)2 équation de la concentration ci. Si on tient compte des effets de la diffusion moléculaire, l’équation (1.8)₂ est parabolique, autrement elle est parabolique dégénérée, et hyperbolique si on néglige à la fois les effets de la diffusion moléculaire et de la dispersion.

Dans le cas incompressible, le système (1.8) s’écrit

∇ ·u=q⁺−q⁻, u=−k µ∇p, φ∂c_i

∂t +u· ∇c_i+c_iq⁺− ∇ ·(D∇c_i) =c^∗_iq⁺, 1≤i≤N−1.

(1.9)

Les équations des fluides miscibles ont été étudiées essentiellement dans le cas incompressible, voir par exemple A. Mikelic [47], P. Fabrie et M. Lan- glais [38], X. Feng [39]. Dans le cas compressible, plusieurs questions sont encore ouvertes.

La suite de l’article est organisée comme suit. Dans la section 2 nous considérons l’équation (1.6) dans le cas des oscillations de faible amplitude de la vitesseA^εet nous dérivons formellement l’equation effective associée.

La section 3 est consacrée à l’homogénéisation de l’équation (1.5). Nous y décrivons de façon précise l’effet non local induit par homogénéisation.

La section 4 traite de l’homogénéisation par décomposition en fréquences d’une équation de transport dansR^N et la section 5 de l’homogénéisation d’une equation des ondes dégénérée. Dans la section 6 nous énonçons des résultats d’homogénéisation non locale pour d’autres types d’équations aux dérivées partielles. Dans la section 7 nous considérons une équation différentielle de Riccati avec un coefficient oscillant et sans second membre et nous montrons que l’homogénéisation de cette équation induit un ef- fet non linéaire et instantané. L’équation effective change de type. Nous donnons une application de ce résultat à la propagation des oscillations de la donnée initiale dans une équation de transport semi-linéaire. En- fin, dans les sections 8 et 9 nous donnons quelques résultats sur l’analyse mathématique des équations des fluides miscibles en milieu poreux.

2. Homogénéisation formelle de l’équation de transport (1.6) On suppose queA^εest indépendant detet dépend d’un petit paramètre γ mesurant l’amplitude des oscillations de A^ε de sorte que

A^ε(x) =A(x) +γA^ε₁(x) +γ²A^ε₂(x) +O(γ²)

où O(γ²) est uniformément borné par rapport à εet converge fortement vers 0,A^ε_j *0 faiblement (pourj = 1,2) etA désigne la limite faible de (A^ε)quandε→0. Considérons un développement asymptotique deu^ε de la forme

u^ε =u^ε₀+γu^ε₁+γ²u^ε₂+O(γ²).

En reportant les développements de A^ε et u^ε dans (1.6) et en égalant les termes suivant les puissancesγ^j (pourj = 0,1,2) on obtient les équations

∂_tu^ε₀+A· ∇u^ε₀ = 0,

∂_tu^ε₁+A· ∇u^ε₁ =−A^ε₁· ∇u^ε₀,

∂tu^ε₂+A· ∇u^ε₂ =−A^ε₁· ∇u^ε₁−A^ε₂· ∇u^ε₀,

(2.1)

et les conditions initiales u^ε₀(0) =u⁰,u^ε_j(0) = 0(pourj= 1,2). On déduit de (2.1)₁ queu^ε₀ est indépendant deε(on écrira u^ε₀ =u₀) puis de (2.1)₂

A^ε₁u^ε₁ =−A^ε₁(∂t+A· ∇)⁻¹∇ ·(A^ε₁u0) et en reportant dans(2.1)₃ il vient

∂tu^ε₂+A· ∇u^ε₂ =∇ ·([A^ε₁(∂t+A· ∇)⁻¹A^ε₁]· ∇u₀))− ∇ ·(A^ε₂u0). (2.2) Notons que l’on a utilisé la condition ∇ ·A^ε_j = 0.Introduisons l’opérateur

Θ^ε_ij =A^ε_1i(∂_t+A· ∇)⁻¹A^ε_1j

où A^ε_1j désigne la jème composante de A^ε₁. En admettant que Θ^ε_ij *Θ_ij, dans un sens faible à préciser, le passage à la limite dans (2.2) fournit l’équation

∂tu2+A· ∇u₂ =∂i(Θij(∂ju0))− ∇ ·(A2u0)

où u₂ désigne la limite faible deu^ε₂. Ainsi, en notant u la limite faible de u^ε etu1 celle deu^ε₁, on a

u=u0+γu1+γ²u2+O(γ²)

et les equations (2.1) impliquent

∂tu0+A· ∇u₀= 0,

∂_tu₁+A· ∇u₁= 0,

∂tu2+A· ∇u₂=∂i(Θij(∂ju0)),

avec u(0) =u⁰,u₁(0) = u₂(0) = 0. On en déduit après quelques calculs que u vérifie

∂tu+A· ∇u=γ²∂j(Θij(∂ju)) +O(γ²).

Précisons le termeΘ_ij(∂_ju). On a

Θ^ε_ij(∂_ju) =A^ε_1i(∂_t+A· ∇)⁻¹(A^ε_1j∂_ju).

NotonsX(t;x, s)la courbe caractéristique définie, poursdonné dans[0, T] et xdans Rⁿ, par le système différentiel

dX/dt=A(X), t∈(0, T), X |_t=s=x.

Alors

Θ^ε_ij(∂_ju) = Z t

0

A^ε_1i(x)A^ε_1j(X(s, x, t))∂_ju(s, X(s, x, t))ds, d’où en passant à la limite

Θij(∂ju) = Z t

0

Kij(s, x, t)∂ju(s, X(s, x, t)ds

où Kij(s, x, t) est la limite faible du produit A^ε_1i(x)A^ε_1j(X(s, x, t)). Fi- nalement l’équation homogénéisée prend la forme

∂tu+A· ∇u=γ² Z t

0

∂j(Kij(s, t, x)∂ju(s, X(s, x, t)))ds+O(γ²).

On a A^ε−A−γ²A^ε₂+O(γ²) =γA^ε₁, d’où

γ²A^ε₁⊗A^ε₁(X) = (A^ε−A)⊗(A^ε(X)−A(X))

−γ²((A^ε−A)⊗A^ε₂(X) +A^ε₂⊗(A^ε(X)−A(X))) +O(γ²), il s’en suit que le noyau matricielK(s, x, t) = (K_ij(s, x, t))est tel que

γ²K(s, x, t) =κ(s, x, t) +γ²ρ(s, x, t) +O(γ²),

où κ(s, x, t) et ρ(s, x, t) sont, respectivement, les limites faibles des ma- trices κ^ε etρ^ε définies par

κ^ε(s, x, t) =(A^ε−A)⊗(A^ε(X)−A(X))(s, x, t),

ρ^ε(s, x, t) =(A^ε−A)⊗A^ε₂(X) +A^ε₂⊗(A^ε(X)−A(X))(s, x, t).

L’équation limite satisfaite par u prend la forme

∂_tu+A· ∇u

=∂_j Z t

0

κ_ij(s, x, t) +γ²ρ_ij(s, x, t)∂_ju(s, X(s, x, t))ds+O(γ²).

Ce résultat montre que l’équation effective associée à l’équation de trans- port (1.6) est une équation intégro-différentielle.

Notons que les calculs formels présentés ici peuvent être rigoureusement justifiés dans les cas non dégénérés.

3. Homogénéisation d’une équation de transport dans R Soit O un ouvert deR^m (m≥1)et (a^ε) une suite de L^∞(O) vérifiant a−≤a^ε(y)≤a+ p.p. dans Oet convergeant vers adansL^∞(O) faible-?.

Soitu₀ ∈L²(R×O). Considérons l’équation de transport, avec une vitesse oscillante dans la direction transverse à celle de la propagation,

∂tu^ε+a^ε(y)∂xu^ε= 0, t >0, x∈R, y∈ O,

u^ε(0, x, y) =u₀(x, y), (x, y)∈R× O. (3.1) L’étude de l’homogénéisation de cette équation fait suite aux travaux de L. Tartar ([61], [60]) et L. Mascarenhas [46] sur l’homogénéisation d’équa- tions différentielles à coefficients oscillants.

3.1. Equation effective

Avec Hamid nous avons montré que l’homogénéisation de l’équation de transport (3.1) fait apparaître à la limite un terme non local. Nous donnons ici une description de ce résultat et une idée de la démonstration.

Appliquons à l’équation (3.1) la transformation de Fourier par rapport à x, notée F, puis la transformation de Laplace par rapport àt, notée L.

Posons

v^ε(p, ξ, y) =L(F(u^ε(·,·, y))(p, ξ), v0(ξ, y) =F(u₀(·, y))(ξ),

pour <e(p)>0,ξ∈R, p.p. en y∈ O. Alorsv^ε est donnée par v^ε(p, ξ, y) =−_2ıπξ¹ (z−a^ε(y))⁻¹v0(ξ, y) siξ6= 0,

v^ε(p,0, y) = ^v0(0,y)_p si ξ= 0, (3.2) où z=−_2ıπξ^p . Posons Λ = (a−, a₊)et considérons la fonction définie pour z∈C\Λ ety∈ O par

Φ^ε(z, y) = (z−a^ε(y))⁻¹.

Il existe une suite extraite de (a^ε), encore notée(a^ε), telle que Φ^ε(z,·)* Φ(z,·) dansL^∞(O) faible-? et on a

Φ(z, y) = Z

Λ

dν_y(λ)(z−λ)⁻¹ (3.3) où dν_y(λ) est la mesure de Young associée à la suite (a^ε). Passant à la limite dans (3.2), en notant u la limite faible d’une suite extraite de (u^ε) et v la limite faible d’une suite extraite de(v^ε), on a

v(p, ξ, y) =L(F(u(·,·, y))(p, ξ) =− 1

2ıπξΦ(z, y)v₀(ξ, y) (3.4) oùz=−_2ıπξ^p etξ6= 0. Nous allons donner une autre expression deΦ(z, y).

On observe que Φ^ε admet dans C\ Λ le développement asymptotique, valable pour tout n∈N,

Φ^ε(z, y) = 1 z

hXⁿ

k=0

(a^ε)^k z^k +o

1 zⁿ

i

oùo(_z¹n)est uniformément borné dansL^∞(O)par rapport àε. En passant à la limite dansL^∞(O)faible-?dans l’égalité précédente on voit que, pour tout n∈N,

Φ(z, y) = 1 z

hXⁿ

k=0

ak

z^k +o( 1 zⁿ)ⁱ

où a₀ = 1,a₁ =a et pour chaque entier k≥2,a_k désigne la limite dans L^∞(O) faible-? d’une suite extraite de (a^ε)^k. On en déduit le dévelop- pement asymptotique

1

Φ(z, y) =z−a−

n

X

k=1

τ_k

z^k +o( 1 zⁿ)

où les τ_k sont entièrement déterminés et ne dépendent que des limites dans L^∞(O) faible-? de suites extraites de (a^ε)^l (1 ≤ l ≤ k+ 1). En

particulier on a τ1 =a2−a²,τ2=−a₃+ 2aa2−a³,etc. En utilisant (3.3) le développement asymptotique précédent s’écrit

Z

Λ

dν_y(λ)(z−λ)− 1 Z

Λ

dνy(λ)(z−λ)⁻¹

=

n

X

k=1

τ_k(y) z^k +o

1 zⁿ

. (3.5)

Considérons maintenant la fonction Ψdéfinie dans (C\Λ)× O par Ψ(z, y) =z−a(y)− 1

Φ(z, y). D’après (3.5),

Ψ(z, y) =

n

X

k=1

τk(y) z^k +o( 1

zⁿ) pour tout n≥1. De plus

=m(Ψ(z, y)) ==m(z)− =m Φ(z, y)

|Φ(z, y)|²

!

d’où, avec (3.3),

=m(Ψ(z, y)) ==m(z)

"

1− R

Λdν_y(λ)|z−λ|⁻²

|^R_Λdν_y(λ)(z−λ)|²

# . On en déduit avec l’inégalité de Jensen que

=m(Ψ(z, y))<0 si =m(z)>0.

Ainsi, Ψ(z, y) satisfaisant les deux propriétés Ψ(z, y) =

n

X

k=1

τ_k(y)

z^k +o( 1

zⁿ) pour toutn≥1,

=m(Ψ(z, y))<0 si z∈C\Λ et =m(z)>0,

est une fonction holomorphe de type Nevanlinna-Pick (pour presque touty fixé). Elle admet donc la représentation (voir N.I. Ahiezer et M. Krein [1], W.F. Donoghue [33]) :

Il existe une mesure positive dωy, à support dansΛ, telle que Ψ(z, y) =

Z

Λ

dω_y(λ)(z−λ)⁻¹,

pour tout z∈C\Λ, ou encore Z

Λ

dω_y(λ)(z−λ)⁻¹ = Z

Λ

dν_y(λ)(z−λ)− 1 Z

Λ

dνy(λ)(z−λ)⁻¹ ,

pour tout z∈C\Λ. Par conséquent, Φ(z, y) =z−a(y)−

Z

Λ

dω_y(λ)(z−λ)⁻¹⁻¹, d’où, avec (3.4) et en prenant z=−_2ıπξ^p ,

v(p, ξ, y) =p+ 2ıπξa(y)−(2ıπξ)² Z

Λ

dωy(λ)(p+ 2ıπξλ)⁻¹

−1

v0(ξ, y) pour <e(p)> 0,ξ ∈R,y ∈ O. En prenant la transformation de Laplace inverse puis la transformation de Fourier inverse on obtient que u est solution de l’équation effective

∂tu+a(y)∂xu− Z t

0

Z

Λ

∂_x²u(s, x−λ(t−s), y)dωy(λ)ds= 0, t >0, x∈R, y∈ O,

u(0, x, y) =u₀(x, y), (x, y)∈R× O.

(3.6)

Nous renvoyons à [5] pour des détails et compléments ; on y trouve aussi une application aux équations des fluides miscibles en milieu poreux. Voir aussi L. Tartar [62].

Le cas où la vitessea^ε dépend aussi det est abordé dans [5], voir aussi R. Alexandre [2], [3].

3.2. Formulation cinétique

En introduisant la variable λ ∈ Λ représentant les oscillations de (a^ε) et la fonction auxiliaire v définie sur R+×R× O ×Λ par

v(t, x, y, λ) = Z t

0

∂_xu(s, x−λ(t−s), y)ds,

on voit que l’équation (3.6) s’écrit sous la forme d’un système de transport où λjoue le rôle de variable cinétique :

∂_tu+a(y)∂_xu− Z

Λ

∂_xv dω_y(λ) = 0, t >0, x∈R, y∈ O, λ∈Λ,

∂tv+λ ∂xv−∂xu= 0, t >0, x∈R, y∈ O, λ∈Λ, u(0, x, y) =u₀(x, y), v(0, x, y, λ) = 0, x∈R, y∈ O, λ∈Λ.

(3.7) Avec Hamid nous avons montré que le problème (3.7) est bien posé.

Le cadre général de l’étude est le suivant. Soit aune fonction de L^∞(O) vérifianta−≤a(y)≤a₊ p.p. eny ∈ Oet soitdω_y une famille paramétrée de mesures positives, à support dans Λ = [a−, a+], dont on note τ(y) le moment d’ordre zéro. On suppose que τ ∈ L^∞(O), τ(y) > 0 p.p. en y ∈ O. Définissantdσy(λ) = dωy(λ)

τ(y) , on suppose quedµ(y, λ) =dy dσy(λ) est une mesure positive sur O ×Λ. Considérons le système, posé dans R⁺×R× O ×Λ,

∂_tu+a(y)∂_xu−τ(y) Z

Λ

∂_xv dσ_y(λ) =f,

∂_tv+λ ∂_xv−∂_xu=g,

(3.8) muni de la condition initiale

u(0, x, y) =u0(x, y), v(0, x, y, λ) =v0(x, y, λ),

x∈R, y∈ O, λ∈Λ, (3.9) où u = u(t, x, y), v = v(t, x, y, λ) sont les inconnues et f = f(t, x, y), g=g(t, x, y, λ),u₀ etv₀ sont données.

Introduisons les espaces de Hilbert

H=L²(R× O), H=L²(R× O ×Λ;dx dµ(y, λ)) et notons A l’opérateur de domaine

D(A) ={U = (u, v)∈H× H; AU ∈H× H}

défini pour u∈L²(O;D(R))etv∈L²_µ(O ×Λ;D(R)), où L²_µ(O ×Λ) =L²(O ×Λ;dµ), par

A u v

!

= a(y)∂_xu−τ(y)∂_x(^R_Λv dσ_y(λ))

−τ(y)∂xu+τ(y)λ ∂xv

! .

Le système (3.8), (3.9) s’écrit sous la forme abstraite d

dtU +AU =BF sur(0, T), U(0) =U0, (3.10) où B est l’opérateur (de multiplication) borné dans H × H défini par B = (bij)1≤i,j≤2 avec b12 = b21 = 0, b11 = 1 et b22 = τ(y). On montre que l’opérateurAest maximal accrétif dansH× Hpuis, à l’aide des théo- rèmes de Lumer-Phillips et Stone, voir A. Pazy [50], que Aest générateur infinitésimal d’un groupe continu de contractions S(t). Alors, pour tout U₀ ∈ D(A) et tout F ∈ C¹([0, T];H× H) il existe une unique fonction U ∈C⁰([0, T];D(A))∩C¹([0, T];H× H) vérifiant (3.10). De plus,U est donnée par

U(t) =S(t)U₀+ Z t

0

S(t−s)BF(s)ds

et cette formule a encore un sens pourU0 ∈H×HetF ∈L¹(0, T;H×H).

Il s’en suit les résultats suivants (voir [7], [12]) :

Soit (f, g) ∈ L¹(0, T;H× H), (u0, v0) ∈ H × H. Alors, il existe une unique paire (u, v) dansC⁰([0, T];H× H) vérifiant (3.8) au sens des dis- tributions et la condition initiale (3.9). De plus, la solution (u, v) du sys- tème (3.8), (3.9) se propage à vitesse finie. Précisément, supposons que les données initiales u₀, v₀ sont telles que les supports deu₀(·, y) etv₀(·, y, λ) sont inclus dans [−r₀, r0]p.p. en (y, λ)∈ O ×Λ avec r0 >0. Alors, pour tout t ∈ R et p.p. en (y, λ) ∈ O × Λ, les supports de u(t,·, y) et de v(t,·, y, λ) sont contenus dans [−r₀−v?(y)t, r0 +v?(y)t] où v? est une fonction strictement positive donnée par

v? = 1

2min{a+a++ q

(a+−a)²+ 4τ , −a−a−+ q

(a−−a)²+ 4τ}.

3.3. Cas où a^ε est périodique à valeurs discrètes

Dans ce cas la mesure dω_y est indépendante de y et est une somme finie de masses de Dirac. Précisément, étant données (n+ 1)valeursv0 <

v₁ < . . . < v_n et une subdivision 0 = y₀ < y₁ < . . . < y_n < y_n+1 = 1 de l’intervalle [0,1], on définit la fonction ˜apar ˜a(y) =v_j si y_j ≤y < y_j+1, j = 0, . . . , n, que l’on prolonge par périodicité sur R et on note, pour ε > 0, a^ε(y) = ˜a(^y_ε) et a = ^Pn_j=1(y_j+1−y_j)v_j sa limite faible. Alors (voir [7], [12]) il existe n couples (αj, λj), j = 1, . . . , n, tel que dω(λ) =

τ^Pn_j=1 αjδ_λ=λj avec v0 < λ1 < v1 < . . . < vn−1 < λn< vn,^Pn_j=1 αj = 1 et τ =^P_0≤k<j≤n(yj+1−yj) (yk+1−yk) (vk−vj)². Par suite, le système (3.8) s’écrit sous la forme

∂tu+a ∂xu−τ

n

X

i=1

αi∂xvi = 0, t >0, (x, y)∈R²,

∂_tv_j+λ_j∂_xv_j−∂_xu= 0, t >0, (x, y)∈R², u(0, x, y) =u0(x, y), vj(0, x, y) = 0, (x, y)∈R²,

pour j = 1, . . . , n. Pour n = 1, on a τ = y1(1−y1)(v1 −v0)², a = y₁v₀+ (1−y₁)v₁, λ₁=y₁v₁+ (1−y₁)v₀, dω=τ δ_λ=λ1 et on vérifie queu est solution de l’équation hyperbolique des télégraphistes

∂_t²u+ (v₀+v₁)∂_xt²u+v₀v₁∂_x²u= 0, t >0, x∈R, y∈(0,1).

Signalons ici un travail de M.I. Shvidler [56] dans lequel il propose, pour une équation de transport intervenant en dynamique des milieux poreux, une approximation par une équation hyperbolique des télégraphistes.

3.4. Approximation de la mesure dω_y

En vue de la résolution effective d’un système de type (3.7), il est néces- saire de déterminer la mesure dω_y. Le point précédent donne une réponse quand a^ε est périodique à valeurs discrètes. Nous proposons ici, dans un cadre général, une approximation de la famille paramétrée dωy. Soitdνy

une famille paramétrée de mesures de Young vérifiant : – (H1) supp dνy ⊂Λ p.p. en y∈ O, où Λ =]γ−, γ+[;

– (H₂) pour toute fonction f: Λ → R continue, l’application y 7→<

dνy, f > est mesurable et bornée. De plus, il existe k > 0 tel que

|< dν_y(λ), f(λ)>| ≤kkfk_∞.

Soit dω_y la mesure associée à dν_y par la relation

< dω_y(λ), 1

z−λ >=< dν_y, z−λ >−< dν_y(λ), 1 z−λ >⁻¹

pour tout z ∈ C\Λ, p.p. en y ∈ O. On introduit une approximation de dνy par une somme finie de masses de Dirac, à laquelle on associera une mesure approchée de dω_y par une somme finie de masses de Dirac. Une approximation de dνy est proposée par E. Bonnetier et C. Conca [28] :

Pour tout entiern, il existe2nfonctions mesurablesθ_j,c_j, définies dans O, satisfaisant les propriétés :

– θj(y)∈[0,1]avec

n

X

j=1

θj(y) = 1,cj(y)∈Λ p.p. eny ∈ O, – on a :

< dν_y(λ), λ^l>=

n

X

j=1

θ_j(y) (c_j(y))^l, (3.11) pour tout entierl,0≤l≤2 n−1, p.p. en y∈ O.

On définit alors, pour nentier positif, une mesuredν_yⁿ par dν_yⁿ=

n

X

j=1

θj(y)δ_λ=cj(y).

Alors, sous les hypothèses (H₁)et(H₂), pour toute fonctionf ∈C(Λ,R), on a :

< dν_yⁿ, f >−→< dνy, f > dans L^∞(O) quandn→ ∞. (3.12) En effet, soit η > 0 arbitraire et f ∈ C(Λ,R). En vertu du théorème de Stone-Weierstrass, il existe un polynôme pN de degré N tel que kf − p_Nk_∞≤η. Soit alorsn > N. Compte tenu de (3.11) et de la définition de dν_yⁿ on a

< dν_yⁿ(λ), pN(λ)>=< dνy(λ), pN(λ)> . D’où

< dν_yⁿ, f >−< dνy, f >=< dν_yⁿ, f −pN >−< dνy, f−pN > . Grâce à l’hypothèse (H₂),

|< dν_y, f−p_N >| ≤kkf−p_Nk_∞≤kη.

De même

|< dν_yⁿ, f −p_N >| ≤

n

X

j=1

θ_j(y)|(f −p_N)(c_j(y))| ≤kη.

On conclut que ess sup_y∈Okdν_yⁿ−dν_yk_M(Λ)≤kη,oùM(Λ)désigne l’espace des mesures de Radon sur Λ. D’où (3.12).

Soit maintenantdω_yⁿ la mesure associée à dν_yⁿ par la relation

< dω_yⁿ(λ), 1

z−λ >=< dν_yⁿ, z−λ >−< dν_yⁿ(λ), 1

z−λ >⁻¹, (3.13)

pour toutz∈C\Λet p.p. eny∈ O. Ainsi, p.p. eny∈ O, la mesuredωⁿ_y est discrète. Un algorithme permet de déterminer précisément les coefficients de dω_yⁿ (voir [16]). De plus, on a le résultat de convergence suivant :

Pour toute fonction f ∈C(Λ,R), quand n→ ∞,

< dω_yⁿ(·), f(·)>−→ < dωy(·), f(·)> dansL^∞(O). (3.14) En effet, on déduit aisément de (3.12) et (3.13) que

< dωⁿ_y(λ), 1

z−λ>−→< dωy(λ), 1

z−λ > quand n→ ∞.

Ensuite, on peut supposer sans restriction que f est holomorphe. Alors le théorème de Cauchy permet d’écrire

< dω_yⁿ(·), f(·)>= 1 2ıπ

Z

Γ

f(z)< dω_yⁿ(λ), 1

z−λ > dz

oùΓest une courbe fermée régulière deCentourantΛ. Ce qui donne, avec (3.13),

< dωⁿ_y(·), f(·)>= 1 2ıπ

Z

Γ

f(z)< dν_yⁿ(λ), z−λ > dz

− Z

Γ

f(z)< dν_yⁿ(λ), 1

z−λ >⁻¹ dz

=− 1 2ıπ

Z

Γ

f(z)< dν_yⁿ(λ), 1

z−λ >⁻¹ dz.

On passe à la limite, quand n tend vers +∞, dans le second membre de cette relation et on obtient (3.14).

4. Homogénéisation par décomposition en fréquences d’une équation de transport dans R^N

Soit (A^ε) une suite de fonctions de (L^∞(O))ⁿ(n ≥ 1) dont les coeffi- cients A^ε_i sont tels que

n

X

i=1

|A^ε_i(y)| ≤M p.p. eny ∈ O, et supposons que (A^ε) converge versA dans (L^∞(O))ⁿ faible-?. Considérons l’équation du premier ordre

∂_tu^ε+A^ε(y)· ∇_xu^ε= 0, t >0, x∈Rⁿ, y∈ O,

u^ε(0, x, y) =u0(x, y), (x, y)∈Rⁿ× O, (4.1)

oùu0 ∈L²(Rⁿ×O).L’équation effective associée à (4.1) est obtenueviala transformation de Radon qui permet de considérer pour chaque fréquence fixée un problème unidimensionnel. Ce dernier est traité par la technique du paragraphe 3.1, le résultat est ensuite intégré par rapport à l’ensemble des fréquences.

Précisons les notations. Pour f ∈ S(Rⁿ), la transformée de Radon def est définie par

R(f)(r, ω) = Z

x·ω=r

f(x)d^∗x

où d^∗xest la mesure de Lebesgue sur l’hyperplanx·ω−r= 0. La relation entre les transformées de Radon et de Fourier est donnée par

fˆ(rω) =F_r(R(f(·, ω)))

où le symbole _b désigne la transformation de Fourier dans Rⁿ et F_r la transformation de Fourier unidimensionnelle. La transformation duale R^? de R est définie pourg∈ S(R×Sⁿ⁻¹) par

R^?(f)(x) = Z

Sⁿ⁻¹

g(x·ω)dω

où dω est la mesure de Lebesgue sur Sⁿ⁻¹. Soit K_n l’opérateur défini par K_ng(r, ω) =







∂_rⁿ⁻¹g(r, ω) sin est pair, iH(∂_rⁿ⁻¹g(·, ω)(r) sin est impair, H étant la transformation de Hilbert. On a la formule d’inversion

f(x) =c_n (R^?K_nR(f)) (x), c_n= 1 2 (2i π)ⁿ⁻¹, et la formule de Plancherel

Z

|f(x)|²dx=|c_n| Z

sⁿ⁻¹

dω Z

R

|(−∂_r²)ⁿ⁻¹⁴ Rf(r, ω)|²dr.

En utilisant la densité de S(Rⁿ) dans L²(Rⁿ), on prolonge l’application

√K_nR à L²(Rⁿ) et on montre qu’elle est une isométrie de L²(Rⁿ) sur le sous espace de L²(R×Sⁿ⁻¹;|c_n|dω dr) formé des fonctions paires. De plus, f ∈L²(Rⁿ) si et seulement si√

K_nRf ∈L²(R×Sⁿ⁻¹).

On peut consulter I.M. Gel’fand, M.I. Graev et N.Ya. Vilenkin [40] et S. Helgason [41] pour les propriétés de la transformation de Radon.

Supposons maintenant que la donnée initiale u₀ ∈L²(Rⁿ× O) et est à support contenu dans Bn(ρ) p.p. en y ∈ O, oùBn(ρ) est la boule de Rⁿ

de centre 0 et de rayon ρ > 0. Alors, la solution u^ε de (4.1) est telle que supp u^ε(t,·, y)⊆B_n(ρ+tM). SoitR(u^ε) la transformée de Radon de u^ε et u˜^ε définie par

˜

u^ε(t, r, ω, y) =^pK_nRu^ε(t, r, ω, y)).

Alors u˜^ε est solution de l’équation

∂_tu˜^ε+a^ε(y, ω)∂_ru˜^ε= 0, t >0, r∈R, (y, ω)∈ O ×Sⁿ⁻¹,

˜

u^ε|_t=0 = ˜u0, (4.2)

oùa^ε(y, ω) =ω·A^ε. La suite(˜u^ε)étant uniformément bornée dans l’espace L^∞(R+;L²(R×Sⁿ⁻¹ × O)), alors, à l’extraction près d’une sous-suite encore notée (˜u^ε),

u^ε* u dansL^∞(R+;L²(Rⁿ× O)) faible-?,

˜

u^ε*u˜ dansL^∞(R+;L²(R×Sⁿ⁻¹× O, dr dω dy))faible-? . (4.3) De plus, u˜ =^pK_nR(u). Par suite, les variables (y, ω)∈ O ×Sⁿ⁻¹ étant transverses à la direction r, en procédant comme pour l’équation scalaire (3.1), il existe une famille de mesures positivesdσy,ω(λ), associée à la suite (a^ε(y, ω)), à support dansΛ et paramétrée par(y, ω)∈ O ×Sⁿ⁻¹, tel que la limite u˜ donnée par (4.3) est solution de

∂_tu˜+a(y, ω)∂_ru˜− Z t

0

Z

Λ

∂_r²u(s, r˜ −λ(t−s), ω, y)dω_y,ω(λ)ds= 0, t >0, r∈R, (y, ω)∈ O ×Sⁿ⁻¹,

˜

u|_t=0= ˜u₀.

(4.4) La mesure dσ_y,ω(·) est reliée à la mesure de Young dν_y(·), associée à la suite (A^ε), par la relation

< dσ_y,ω(·),(z+λ)⁻¹>=< dν_y(·), z+µ·ω >−{< dν_y(·),(z+µ·ω)⁻¹ >}⁻¹ pour tout z /∈Λ, pour toutω ∈Sⁿ⁻¹ et p.p. en y ∈ O. De plus, p.p. en y ∈ O, l’application ω ∈Sⁿ⁻¹ 7−→ dσ_y,ω(·) est analytique de Sⁿ⁻¹ dans l’espace des mesures de Radon sur R.

On définit alorsdΣ(·,·)en posant, pour toute fonctionfrégulière définie sur Λ×Sⁿ⁻¹,

< dΣ_y(λ,·), f(λ,·)>≡

Z

Sⁿ⁻¹

< dσ_y,ω(λ), f(λ, ω)> dω.

La formulation cinétique et les propriétés de la transformation de Radon permettent d’établir le résultat suivant (voir [10], [14]) :

Soit u ∈ L^∞(R+;L²(Rⁿ× O)) la limite faible-∗ de la suite (u^ε) des solutions de (4.1). Alors, à l’extraction près de sous suites, il existe une famille paramétrée de mesures positives dΣy, à support dans Λ×Sⁿ⁻¹, tel que usoit solution du système

∂_tu+A(y)· ∇_xu−c_n Z

Λ×Sⁿ⁻¹

dΣ_y(λ, ω)∂_r(−∂_r²)^n−1/4w∗|_r=x·ω = 0,

∂_tw∗+λ ∂_rw∗−∂_r(−∂_r²)^n−1/4R(u) = 0, u|_t=0 =u0, w∗|_t=0 = 0.

5. Homogénéisation d’une équation de type hyperbolique- parabolique dégénéré

Soit Ω_x un ouvert borné de Rⁿ de frontière régulière ∂Ω_x, T > 0, et Ω = Ωx× O. Considérons l’équation dans (0, T)×Ω

ρ^ε(x)∂_t²u^ε−div_x(k^ε(x)∇_xu^ε) +θ^ε(x, y)∂_tu^ε=f^ε(t, x, y), u^ε

∂Ωx = 0 dans(0, T)× O, u^ε_t=0 =α dansΩ,

√ρ^ε∂tu^ε_t=0=β dansΩ,

(5.1)

sous les hypothèses suivantes sur les données ρ^ε, k^ε, θ^ε,f^ε, α etβ. Sup- posons ρ^ε(x) = ρ(x,^x_ε) p.p. dansΩx où ρ est une fonction donnée dans C(Ω_x;L^∞_per(Y_n))vérifiant

0≤ρ(x, ζ)≤ρ+, ∀x∈Ωx, p.p. en ζ ∈Yn, et telle que queρ(x) =˜ ^R_Ynρ(x, ζ)dζ≥ρ−>0.

On note ici Y_n (resp. Y_m) le cube unité de Rⁿ (resp. R^m). Le tenseur k^ε est symétrique et ses coefficients sont de la forme

k_i,j^ε (x) =ki,j(x,x

ε)p.p. dansΩx, i, j = 1àn, où ki,j ∈C(Ωx;L^∞_per(Yn))et vérifie

k−|ξ|² ≤k(x, ζ)ξ·ξ≤k+|ξ|², ∀ξ ∈Rⁿ, ∀x∈Ωx, p.p. en ζ∈Rⁿ,

k− and k+ étant deux réels strictement positifs. Le coefficient d’amortis- sement θ^ε est donné par

θ^ε(x, y) =θ(x ε, y,y

ε) p.p. dansΩ où θ∈C(O;L^∞_per(Y_n×Y_m)) et

0< θ− ≤θ(ζ, y, η)≤θ+, ∀y∈ O, p.p. en(ζ, η)∈Yn×Ym. NotonsΛ = (θ−, θ₊). Le terme source f^ε est de la forme

f^ε(t, x, y) =c(x ε,y

ε)f(t, x, y) p.p. dans(0, T)×Ω, avec

c∈L^∞_per(Yε×Ym), f ∈L²((0, T)×Ω), 0≤c(ζ, η)≤c+ p.p. en(ζ, η)∈Yn×Ym, et les données initiales sont telles que telles que

α∈L²(O;H₀¹(Ωx)), β∈L²(Ω).

Notons que (5.1)₄ donne une condition sur ∂_tu^ε

t=0 seulement sur l’en- semble où ρ^ε(x) 6= 0. Par suite, (5.1) est une équation de type hyper- bolique-parabolique. Dans le cas où il n’y a pas de dépendance en la va- riable y∈ O, l’homogénéisation de (5.1) a été étudiée par A. Bensoussan, J.L. Lions et G. Papanicolaou [27].

Ici, avec Hamid nous avons obtenu l’équation effective par un procédé d’homogénéisation itérée. Dans une première étape, on établit une équa- tion décrivant un comportement asymptotique par rapport aux directions de non dégénérescence. On utilise pour cela la convergence à double échelle (voir G. Nguetseng [49], G. Allaire [4]). Notons ˜k(x) le tenseur homogé- néisé associé à la suite (k(x,^x_ε))ε>0, et poury∈ O etη∈Ym,

˜ c(η) =

Z

Yε

c(ζ, η)dζ, θ(y, η) =˜ Z

Yn

θ(ζ, y, η)dζ, χ(x) =

Z

Yn

q

ρ(x, ζ)dζ.

On montre qu’il existe une unique fonctionU =U(t, x, y, η)dans l’espace L² (O, T)× O ×Ym;H₀¹(Ωx) tel que (u^ε) converge, quand ε→ 0, vers U, au sens de la convergence à double échelle. Pour presque tout (y, η)∈ O ×Ym, la fonction U(·,·, y, η) est la solution de l’équation

˜

ρ(x)∂_t²U −divx ˜k(x)gradxU+ ˜θ(y, η)∂tU = ˜c(η)f(t, x, y),

pour t∈(0, T), x∈Ωx, munie des conditions initiales U

t=0=α dansΩ_x,

˜

ρ(x)∂tU_t=0=χ(x)β dansΩx.

La seconde étape consiste en la moyennisation par rapport à la variable η qui donne un système effectif vérifié par u(t, x, y) =^R_Y

nU(t, x, y, η)dη.

Pourp∈Ctel que<e(p)>0, posonsΓ_p={z∈C;z/p∈Γ˜_p}oùΓ˜_pest une courbe fermée contenue dans le demi-plan<e(z)>0et contenantΛ. Alors, en utilisant un théorème de représentation des fonctions holomorphes de type Nevanlinna-Pick (voir [1], [33]) on montre qu’il existe deux familles paramétrées de mesures positives dσ_y¹ et dσ²_y associées, respectivement, aux suites (˜θ(y,^y_ε))_ε>0 et (c(y,^y_ε) ˜θ(y,^y_ε))_ε>0, à support inclus dans Λ et tel que, ∀z∈Γp, p.p. eny ∈ O,

Z

Ym

z−pθ(y, η)˜ ⁻¹dη=

z−p θ(y)−p² Z

Λ

(z−pλ)⁻¹dσ_y¹(λ) ⁻¹

,

Z

Ym

˜

c(η) z−pθ(y, η)˜ ⁻¹dη=c

z−p d(y)−p² Z

Λ

(z−pλ)⁻¹dσ_y²(λ) ⁻¹

. Ici,

θ(y) = Z

Ym

θ(y, η)˜ dη, c(y) = Z

Ym

˜ c(η)dη, d(y) = 1

c(y) Z

Ym

˜

c(η)˜θ(y, η)dη.

Nous montrons ensuite [15] que la limite u d’une suite extraite de(u^ε) s’écrit u = u1+u2 où u1 et u2 sont déterminées, respectivement, par le système (u₁ etw₁ étant les fonctions inconnues)

˜

ρ(x)∂_t²u1−divx(˜k(x)gradxu1) +θ(y)∂tu1− Z

Λ

∂tw1dσ_y¹(λ) = 0,

˜

ρ(x)∂_t²w₁−div_x(˜k(x)grad_xw₁) +λ ∂_tw₁−∂_tu₁= 0, u1

∂Ωx×O = 0, u1

t=0 =α, ρ ∂˜ tu1

t=0 =χ·β, w₁

t=0 = 0, ∂_tw₁

t=0 = 0,