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ACTUAIRES
Par: Angéla Pango
Mémoire présenté le : pour l'obtention du diplôme de Statisticien Mention Actuariat et l'admission à l'Institut des Actuaires
1ïtre du mémoire :
Modélisation risque neutre de l'inflation et enjeux pour l'épargne réglementée : l'exemple du Livret A
Confidentialité : li'.r NON DOUI (Durée : D 1 an D2 ans)
Les signataires s'engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus Membres présents du jury de signature Entreprise : PwC
l'Institut des Actuaires
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�e:6\+A-C,1Signatu,e. � Directeur de mémoire en
entreprise Nom:Am
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Autorisation de publication et de mise en ligne sur un site de diff-,,sion de documents actuariels (après expiration de l'éventuel délai de confidentialité)
Signature du responsable entre rise
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Signature du candidat
Angéla Pango Angéla Pango Mémoire d’actuariat
Tuteur académique : Idris Kharroubi Tuteur professionnel : Arnaud Sandrin Société : PwC France
Institut de Statistique de l’Université de Paris
Sorbonne Universités Département Actuariat 75006 Paris
Remerciements
Je remercie mes collègues, pour leur accueil au sein du département RVMS de PwC et leur soutien du- rant cette année d’alternance. Je remercie particulièrement mon tuteur Arnaud Sandrin, pour son suivi et l’expérience du marché qu’il a su m’apporter à travers ses conseils et ses remarques.
Je pense également particulièrement à Quang Dien Duong ainsi que Mathias Gleishgevicht pour leur aide précieuse, tant technique que pratique, dans l’écriture de ce mémoire.
Je remercie évidemment mon tuteur académique, Idris Kharroubi, pour sa disponibilité et ses conseils théoriques et méthodologiques.
Enfin, j’adresse mes sincères remerciements à l’ensemble des enseignants avec lesquels j’ai eu l’occasion d’étudier durant ma scolarité à l’ISUP.
Résumé
Mots-clés :inflation, taux d’intérêts réels, Livret A, épargne réglementée, Jarrow et Yildirim, calibra- tion, pricing, couverture
L’inflation, traduisant une augmentation durable et généralisée du prix d’un panier de biens tel que calculé par l’INSEE en France, est un phénomène tant économique que financier, affectant à la fois le pouvoir d’achat des ménages mais aussi les institutions financières. En effet, l’érosion monétaire traduite par l’inflation diminue la rentabilité à long terme et accroît l’incertitude sur les placements. De plus, les produits d’épargne, largement plébiscités par les Français pour lesquels la tendance est d’avantage à l’épargne qu’à la consommation, sont eux aussi grandement impactés par l’inflation. Si les taux bruts semblent intéressants à première vue, la rémunération des placements apparaît largement impactée une fois que le taux d’inflation entre dans le calcul.
Pourtant, plus qu’en terme de rendements nets, l’inflation impacte directement la rémunération de certains livrets d’épargne dont le plus populaire, qui n’est d’autre que le Livret A : en effet, la formule de calcul du taux de rémunération fait intervenir le taux d’inflation. Toujours dans un soucis de prévision, les banques cherchent donc à estimer l’évolution de ce taux de rémunération, qu’elles ont l’obligation de reverser aux épargnants. Pourtant, dans un contexte de taux très bas, si le taux du Livret A semble infime (0.75% aujourd’hui), il est toujours largement supérieur aux taux interbancaires : assurer le versement d’un tel taux est donc un véritable challenge pour les banques.
Il apparaît alors essentiel de se prévaloir contre des fluctuations trop importantes du taux du Livret A, qui dépend à la fois des taux interbancaires et de l’inflation : dans un marché de l’inflation dont la liquidité ne cesse d’accroître, des produits dérivés sur-mesure permettent aux institutions financières de couvrir ce risque auquel elles font nécessairement face. La valorisation (ou “pricing”) de ces derniers apparaît donc être un réel enjeu.
Ainsi, à travers ce mémoire, nous allons appréhender le marché de l’inflation et ses dérivés en mettant principalement l’accent sur les produits structurés sur le taux du Livret A. Dans une démarche scienti- fique, nous nous focaliserons, dans un premier temps, sur l’étude approfondie de modèles de diffusion de l’inflation et des taux en environnement risque neutre, afin de pouvoir comprendre et appliquer la théorie sur le pricing de produits dérivés. Cette étude nous conduira à l’implémentation et la calibration d’un modèle deJarrowetYildirim2003, qui sera détaillé en conséquence. Dans un second temps, nous nous consacrerons à la mission réalisée au sein du cabinet d’audit et de conseil PwC. Cette dernière consistait en la valorisation, via un progiciel de marché, d’une sélection de produits dérivés sur le taux du Livret A pour le compte de clients. En particulier, nos travaux détailleront la mise en oeuvre de ce progiciel de salle de marché dédié à la contrevalorisation de produits dérivés. Enfin, en tant que cabinet d’audit et de conseil, nous analyserons les enjeux et défis auxquels nous devons nécessairement faire face dans l’analyse et la vérification de la valorisation de produits structurés.
Abstract
Mots-clés :inflation, real interest rates, Livret A, regulated savings, Jarrow and Yildirim, calibration, pricing, hedging
Inflation, which explains the increase over time of the price of a basket of goods and services as calcula- ted by the INSEE in France, is as much an economic issue as it is a financial one. Indeed, the depreciation of money translated by the inflation rate affects both financial investments’ long term profitability and uncertainty. Moreover, saving products, which french households put a lot of faith in, are also widely affected by inflation. If the gross rates appear interesting in the first place, the compensation of these investments drastically diminishes once the inflation rate is taken into account.
However, inflation does not only affect gross rates ; indeed, it is actually a component of one of the most popular savings accounts : the Livret A. Indeed, the inflation rate actually appears within the formula setting its compensation level. Thus, banks need to estimate and predict the evolution of such rate, which they have the obligation to pay to their savers. The problem is that in a low-rate environement, if the Livret A rate seems already quite low (0.75% nowadays), it is still way above interbanks lending rates : in insuring the compensation of their clients, banks have thus to face a true challenge.
Hence, reducing the risk of adverse movements of the Livret A rate seems essential, and means down- sizing both the inflation and interest rate risks. In a market with growing liquidity, more customised products derived on the Livret A rate see the light, in order to help financial instutions hedge for the underlying risk. The pricing of those structured products thus appears to be a major concern.
Thus, throughout this paper, we will apprehend the inflation market by putting the light on structured products based on the Livret A rate. Following a scientific approach, we will focus, on one hand, on the main theoretical aspects of inflation and interest rates diffusion models as well as pricing theory. This thorough study will help us implement and calibrate the inflation diffusion model ofJarrowetYildirim 2003. Then, another chapter will be dedicated to the mission at the origin of this thesis, realised within the audit and consulting firm PwC. The latter consisted in the pricing, through a pricer we will present, of a selection of derivatives on the Livret A rate for business purposes. In particular, our work will detail the execution of this software package used for the pricing of derivative products. Finally, as an audit and consulting firm, we will assess the issues we necessarily have to face during the analysis and verification of complex products valuation.
TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
1 Taux, Inflation et Livret A : marché et produits 8
1.1 Introduction aux taux d’intérêts . . . 8
1.1.1 Taux d’intérêts et obligations zéro-coupon . . . 8
1.1.2 Taux du marché . . . 12
1.1.3 Dérivés de taux . . . 13
1.2 Introduction à l’inflation . . . 15
1.2.1 Mesure de l’inflation . . . 15
1.2.2 Références de calcul . . . 16
1.2.3 Obligations indexées . . . 17
1.2.4 Dérivés d’inflation . . . 18
1.3 Inflation et taux . . . 20
1.3.1 Theorie économique et relation entre taux d’intérets réels et nominaux . . . 20
1.3.2 Analogie avec la monnaie étrangère et définition des Zéro Coupons réels . . . 20
1.3.3 Point mort d’inflation . . . 21
1.4 Présentation du taux du Livret A. . . 22
1.4.1 L’épargne réglementée . . . 22
1.4.2 Définition du taux du Livret A . . . 22
1.4.3 Formule de calcul et choix gouvernementaux . . . 23
2 Aspects théoriques : modèles de diffusion et valorisation de produits dérivés 26 2.1 Construction de courbes de taux . . . 26
2.1.1 Courbe de taux d’intérêt classiques . . . 26
2.1.2 Estimation de la structure par terme des taux. . . 27
2.2 Modèles de diffusion des taux d’intérêt . . . 29
2.2.1 Valorisation d’un obligation en univers risque neutre . . . 29
2.2.2 Dynamique des taux courts de Hull & White . . . 30
2.2.3 Approche de Heath-Jarrow-Morton (1992) . . . 31
2.2.4 Modèle de Vasicek étendu . . . 32
2.3 Modèles d’inflation . . . 33
2.3.1 Modèle de Jarrow & Yildirim (2003) . . . 33
2.3.2 Modèles de marché . . . 35
2.3.3 Two Process Hull & White . . . 37
2.3.4 Saisonnalité de l’inflation et pricing de produits dérivés . . . 38
2.4 Pricing des dérivés d’inflation liquides . . . 38
2.4.1 L’approche Martingale . . . 39
2.4.2 ZCIIS . . . 40
2.4.3 YYIIS . . . 41
2.4.4 Inflation Indexed Caps (IICaps) . . . 42
3 Implémentation 43 3.1 Modèle retenu. . . 43
3.2 Construction des courbes de taux . . . 44
3.2.1 Taux et prix Zéro Coupon nominaux . . . 44
3.2.2 Taux et prix Zéro Coupon réels . . . 46
3.3 Calibrage du modèle . . . 48
3.3.1 Estimation des paramètres{σI, ρnr, ρnI, ρrI} . . . 48
3.3.2 Estimation des paramètres nominaux{ˆan,σˆn} . . . 49
3.3.3 Estimation des paramètres réels{ˆar,σˆr} . . . 51
3.4 Génération de scénarios . . . 54
TABLE DES MATIÈRES
3.4.1 Schéma de discrétisation. . . 54
3.4.2 Simulations de variables aléatoires . . . 55
3.4.3 Simulations des variables d’intérêt . . . 55
3.5 Tests de martingalité . . . 56
3.5.1 Zéro Coupons nominaux . . . 56
3.5.2 Zéro Coupons réels . . . 58
4 Application au pricing de produits spécifiques : résultats et cohérence avec le marché60 4.1 Le pricer. . . 60
4.1.1 Un code orienté objet . . . 61
4.1.2 Etapes du processus de valorisation . . . 63
4.1.3 Les objets Inflation. . . 65
4.2 Modèles d’inflation implémentés au sein du logiciel . . . 68
4.2.1 Inflation Index Model . . . 68
4.2.2 Inflation Market Model . . . 69
4.2.3 Inflation et effet de saisonnalité . . . 69
4.2.4 Livret A au sein du logiciel . . . 70
4.3 Description des produits et pricing annuel au 31/12/2017 . . . 71
4.3.1 Processus à diffuser . . . 71
4.3.2 FFLA INX088 . . . 74
4.3.3 NFLA INX236 . . . 76
4.3.4 AFLA INF2217. . . 78
4.4 Audit des modèles de valorisation complexes : enjeux, défis et solutions . . . 84
4.4.1 L’intérêt de la couverture . . . 84
4.4.2 Les enjeux pour l’audit . . . 84
4.4.3 Défis . . . 85
4.4.4 Une solution apportée par l’audit : les contrevalorisations . . . 86
A Rappels de calcul stochastique 91 A.1 Résolution d’EDS. . . 91
A.2 Lemme d’Itô . . . 91
A.3 Théorème de Girsanov . . . 92
A.4 Théorème de Feynman-Kac . . . 92
B Le Pricer : détail des fonctions utilisées 93 B.1 General . . . 93
B.2 Récupération de taux et indices . . . 93
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TABLE DES MATIÈRES
Introduction
Avec l’introduction d’obligations indexées sur l’inflation dans la plupart des économies depuis la fin des années 1980, le marché des produits dérivés sur l’inflation ne cesse de croître pour devenir un marché de plus en plus liquide, bien que très récent et toujours moins développé que celui de la dette nominale. Le Royaume-Uni est en particulier le premier grand pays à émettre de la dette indexée en 1981, le Trésor français ayant lui réalisé ses premières émissions en 1998. Depuis 2010, tous les pays du G7 émettent de la dette indexée.
Si les obligations indexées sont des produits très anciens (la première indexation d’un instrument fi- nancier remonte à 1742 lorsque l’Etat du Massachussetts émet des obligations indexées sur le prix de l’argent sur le marché londonien), c’est leur intérêt qui a évolué : à l’origine, elles répondaient au besoin de financement d’un état en hyper-inflation (la situation la plus connue étant celle du Mexique, ayant émis des obligations indexées afin de fidéliser les investisseurs sur le long terme), alors que leur utilisation s’est depuis quelques années élargie aux pays capables de maîtriser leur inflation, afin de leur permettre par exemple de réduire leurs coûts de financement.
Pourtant, les obligations indexées sur l’inflation servent finalement le même objectif : garantir un ren- dementréel et non un rendementnominal, à la différence des obligations traditionnelles, permettant ainsi d’offrir une garantie contre le risque d’inflation. Ces produits semblent donc parfaitement adaptés à des investisseurs ayant des engagements longs : les premiers venant à l’esprit étant les fonds de pension ou encore les assureurs. Mais de tels produits ne permettent pas de couvrir l’intégralité des attentes des investisseurs, qui recherchent des protections de plus en plus précises afin de répondre à leurs besoins.
Ainsi, le développement de produits dérivés permet de répondre à ces derniers, en leur offrant des cou- vertures adaptées aux risques auxquels ils peuvent être exposés. A une demande croissante de protection contre le risque inflation répond le développement d’un marché de dérivés, comprenant principalement des swaps standards mais aussi des produits structurés comme nous le verrons dans la suite de ce mémoire.
Mais plus qu’aux produits structurés indexés sur l’inflation elle même, nous choisissons de nous inté- resser, ici, aux produits dérivés dont le sous-jacent est l’un des contrats d’épargne les plus populaires en France : le Livret A. Pourquoi ce choix ? Plusieurs raisons se présentent. Dans un premier temps, il est important de noter que le taux de rémunération du Livret A, bien plus qu’en terme de rendements nets, est intimement lié à l’évolution de l’inflation. Dans un second temps, remarquons que ce contrat d’épargne présente un enjeu non seulement pour les banques qui le distribuent, mais aussi pour les com- pagnies d’assurance : ce dernier est en effet le principal concurrent de l’assurance vie. En effet, le Livret A, qui fête en 2018 ses 200 ans, représente en Mai 2018 plus de 280 Milliard d’euros d’encours1. Pourtant, le calcul de son taux de rémunération ne cesse de créer polémique ; entre application d’une formule de calcul complexe et intervention ministérielle, l’évolution de ce dernier apparaît de plus en plus incertaine. Se couvrir contre les variations du taux du Livret A apparaît donc être un enjeu essentiel pour les banques, qui sont dans l’obligation de rémunérer leurs épargnants même dans un environnement de taux très bas. Il apparaît donc, sur un marché rendu de plus en plus liquide, des produits structurés “sur-mesure”
permettant aux institutions financières de se prévaloir contre une forte fluctuation de ce taux de rémuné- ration, dépendant jusqu’à présent à la fois du taux d’inflation mais aussi des taux d’intérêts interbancaires.
Dans cette continuité, notons enfin que les cabinets d’audit et de conseil comme PwC proposent leur expertise en terme de revalorisation de produits. Dans un tel contexte, la mission réalisée au sein du cabinet répond alors à la problématique del’évaluation de tels produits structurés. Cette valorisation est réalisée à partir d’un progiciel de marché, comprenant en particulier un jeu de modèles mathématiques pré-implémentés, ainsi que des données de marché utiles à la calibration des modèles ou encore à la va- lorisation des produits.
1. Source : Caisse des Dépôts
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TABLE DES MATIÈRES
Le travail de mise en oeuvre du progiciel (le pricer) sera complété, dans un souci de démarche scien- tifique, par une implémentation autonome et indépendante d’un modèle. Notre étude comprendra ainsi un second volet : pour appréhender les subtilités du marché de l’inflation, nous choisissons de compléter la mission réalisée chez PwC par une étude théorique des modèles de diffusion de l’inflation et des taux.
Il apparaît intéressant, dans une démarche scientifique, de comprendre en profondeur le processus de diffusion des facteurs de risque, utilisé lors de la valorisation de dérivés. C’est ainsi que, indépendamment du progiciel de marché, nous avons implémenté un modèle autonome permettant de simuler en environ- nement risque neutre l’évolution de l’inflation et des taux interbancaires. Après une étude des différents modèles mathématiques existants développés dans la littérature jusqu’à présent, nous avons retenu le modèle de Jarrowet Yildirim2003pour la partie informatique, modèle qui n’est pas implémenté tel quel au sein du pricer : l’idée étant d’enrichir notre compréhension du marché en fournissantin fine une dernière valorisation entièrement indépendante de celles réalisées via progiciel de marché.
Enfin, le dernier enjeu est celui de l’audit et du conseil : comment s’assurer de la juste valeur de ces produits complexes, classés de “niveau 3” dans les catégories comptables2? Comment conseiller les insti- tutions financières dans leur processus de couverture contre les fluctuations du taux du Livret A ?
Afin de répondre à toutes ces interrogations, nous exposerons dans une première partie les principales caractéristiques des marchés de taux et de l’inflation, ce qui nous permettra par la suite de faire une revue de l’épargne réglementée en France. Une seconde partie sera consacrée aux aspects théoriques de modélisation financière en absence d’opportunité d’arbitrage : on y développera en particulier les princi- paux modèles de taux et d’inflation, ainsi qu’une partie de la théorie sur le pricing de produits dérivés.
Ce socle théorique sera indispensable pour implémenter de façon autonome, sur Python, un modèle de Jarrow et Yildirim2003 en partie 3, dans le but de comprendre en profondeur la valorisation d’une sélection de produits dérivés sur le taux du Livret A. Enfin, la dernière partie sera entièrement consacrée à la mission réalisée au sein du cabinet PwC ; mission, on le rappelle, consistant en la valorisation, via un pricer (ou progiciel de marché), de cette même sélection de produits structurés. Ce cas pratique nous permettra de mettre en avant une stratégie de couverture mise en place par une grande banque auditée par la société PwC. Nous y développerons le détail de la valorisation de trois produits structurés dépen- dants de la formule de calcul du taux du Livret A à partir, d’une part, d’un outil de pricing permettant de valoriser une large sélection de produits structurés. En complément, dans une démarche scientifique de compréhension de la théorie concernant la valorisation de produits structurés, nous utiliserons également le modèle implémenté en partie 3 afin de donner un prix à cette sélection de produits.
2. Les actifs dits de niveau 3 sont des instruments dont la valeur n’est pas directement observable : elle se base en effet sur des variables hors marché. Les deux autres catégories comptables regroupent les titres suivants :
— Actifs de niveau 1 : ce sont les actifs qui peuvent directement être enregistrés à leur prix de marché (ditmark-to- market).
— Actifs de niveau 2 : ces actifs ne sont pas côtés sur le marché. L’évaluation se base alors sur des données observables provenant de titres similaires cotés ou de prix de transactions récents pour des titres comparables (ditmark-to-model).
Taux, Inflation et Livret A : marché et produits
Chapitre 1
Taux, Inflation et Livret A : marché et produits
Table des matières du chapitre
1.1 Introduction aux taux d’intérêts . . . 8
1.1.1 Taux d’intérêts et obligations zéro-coupon . . . 8
1.1.2 Taux du marché . . . 12
1.1.3 Dérivés de taux. . . 13
1.2 Introduction à l’inflation . . . 15
1.2.1 Mesure de l’inflation . . . 15
1.2.2 Références de calcul . . . 16
1.2.3 Obligations indexées . . . 17
1.2.4 Dérivés d’inflation . . . 18
1.3 Inflation et taux . . . 20
1.3.1 Theorie économique et relation entre taux d’intérets réels et nominaux. . . 20
1.3.2 Analogie avec la monnaie étrangère et définition des Zéro Coupons réels . . . . 20
1.3.3 Point mort d’inflation . . . 21
1.4 Présentation du taux du Livret A . . . 22
1.4.1 L’épargne réglementée . . . 22
1.4.2 Définition du taux du Livret A . . . 22
1.4.3 Formule de calcul et choix gouvernementaux . . . 23
1.1 Introduction aux taux d’intérêts
En guise d’introduction, nous rappellerons dans ce chapitre quelques notions essentielles liées dans un premier temps, à la structure des taux d’intérêts1. Nous développerons également les aspects principaux permettant de comprendre les enjeux liés à l’inflation et la modélisation de cette dernière, avant de réaliser une revue de l’épargne réglementée en France, principalement dominée par le Livret A.
1.1.1 Taux d’intérêts et obligations zéro-coupon
Dans la définition des taux d’intérêts, nous devons séparer deux principaux taux : les taux dits spot, et les taux dits forward. Ces deux taux sont à la base de toute la théorie financière, que ce soit dans le processus d’actualisation des flux futurs ou encore la modélisation de facteurs de risques stochastiques et le pricing d’options.
Vers la définition du taux d’intérêt spot
Avant de définir les différents types de taux spot, nous allons introduire trois concepts essentiels : celui du money market account, intimement lié au facteur d’actualisation stochastique, et enfin l’obligation zéro-coupon.
1. Voir l’ouvrage deBrigoetMercurio2001pour plus de détails
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1.1 Introduction aux taux d’intérêts
Définition 1.1 (Money-market account) Soit B(t) la valeur d’un compte bancaire en t ≥0 (aussi appelé le money-market account et supposonsB(0) = 1. La valeur de ce compte évolue selon la dynamique :
dB(t) =rtB(t)dt oùrt est une fonction positive du temps. Ainsi, on a
B(t) = exp Z t
0
rsds
Définition 1.2 (Facteur d’actualisation stochastique)
D(t, T) = B(t)
B(T)= exp − Z T
t
rsds
!
L’outil de base d’un modèle de taux d’intérêt est l’obligation zéro coupon :
Définition 1.3 (Obligation Zéro Coupon) Une obligation Zéro Coupon (ZC) de maturité T est un titre donnant droit à 1 euro à la date d’échéanceT. On notera P(t, T)la valeur de ce titre à l’instant t.
On a évidemment par construction P(T, T) = 1,∀T.
C’est donc à partir de ces concepts que l’on définit les différents types de taux, dont nous faisons l’exposé ci-dessous :
Définition 1.4 (Taux d’intérêt instantané continûment composé)
R(t, T) = −ln(P(t, T)) T−t
⇔P(t, T) = e−R(t,T)(T−t) Définition 1.5 (Taux d’intérêt simplement composé)
L(t, T) = 1−P(t, T) τ(t, T)P(t, T)
⇔P(t, T) = 1
1 +L(t, T)τ(t, T)
oùτ(t, T)correspond à la fraction d’années entreT ettcalculé avec la bonne convention day count (par exemple, pour les taux LIBOR, τ(t, T) est calculé avec la convention Actual/360).
La définition ci-dessus permet de définir les taux interbancaires Euribor et Eonia, taux de référence dans la zone euro, publiés quotidiennement. Rapellons que le taux Eonia (pour “Euro Overnight Index Average”) correspond à une moyenne pondérée des taux de toutes les transactions de prêt jusqu’au lendemain (en jours ouvrés) concernant un panel de banques au sein de la zone euro. Le taux Euribor (pour “Euro Interbank Offered Rate”) est publié pour un total de douze maturités, allant de un mois à un an : pour chaque maturité sont regroupées les cotations proposées sur le marché interbancaire par un même panel de banques. Le taux finalement publié correspond à une moyenne de cet échantillon final.
Définition 1.6 (Taux d’intérêt composé annuellement)
Y(t, T) = 1
P(t, T)1/τ(t,T) −1
⇔P(t, T) = 1
(1 +Y(t, T))τ(t,T) Définition 1.7 (Taux d’intérêt composé k-annuellement)
Yk(t, T) = k
(P(t, T))1/(kτ(t,T)) −k
⇔P(t, T) = 1
1 +Yk(t,Tk )kτ(t,T)
1.1 Introduction aux taux d’intérêts
Les quatre taux définis ci dessous permettent d’introduire la notion detaux spot instantané, comme la limite de chacun de ces derniers. En effet, on peut définir le taux d’intérêt instantané spotr(t)comme :
r(t) = lim
T→t+R(t, T)
= lim
T→t+L(t, T)
= lim
T→t+Y(t, T)
= lim
T→t+Yk(t, T)∀k Taux d’intérêts forwards et taux instantané
Comme évoqué, une fois le concept de taux spot introduit, nous pouvons développer la notion de taux forward, tout aussi important que celle des taux spots.
Définition 1.8 (Taux d’intérêt forward)
F(t;T;S) = 1 τ(T, S)P(t,T)
P(t,S)−1
En particulier,F(t;T;S)approche le spot rate futurL(T, S), à partir des conditions de marché à la date t.
Une dernière définition, celle du taux d’intérêt forwardinstantané, découle directement de celle du taux d’intérêt forward. En effet, on définit ce dernier comme la limite pourS→T+ du taux d’intérêt forward simple.
Définition 1.9 (Taux d’intérêt forward instantané) Le taux d’intérêt instantané forwardf(t, s)pour t≥s représente le taux d’intérêt instantané à la dates, tel que le marché le voit à la datet. On peut le caractériser par l’égalité suivante :
P(t, T) = exp − Z T
t
f(t, s)ds
!
pour tout0≤t≤T. On a en effet :
lim
S→T+F(t;T;S) = − lim
S→T+
1 P(T, S)
P(T, S)−P(t, T) S−T
= − 1
P(t, T)
∂P(t, T)
∂T
= −∂ln(P(t, T))
∂T
Enfin, notons que l’on peut relier les taux d’intérêts instantanés spot et forward par l’égalité suivante, pour toutt:
r(t) =f(t, t)
Dans la pratique, ces taux d’intérêts instantannés ne sont pas directement observables. Les produits dérivés sur taux d’intérêts font en général appel à des taux forward sur des périodes de temps finies, et non à des taux instantanés.
Définition 1.10 (LIBOR forward) Le LIBOR forward d’échéanceT ≥0peut être vu comme un taux d’intérêt sur la période [T,T+δ] oùδest le tenor (typiquement,δvaut 3 mois, 6 mois, ...). On peut relier sa valeurL(t, T) à l’instant0≤t≤T aux forward instantanés et aux prix des zéro coupons de la façon suivante :
1 +δL(t, T) = exp
Z T+δ T
f(t, s)ds
!
= P(t, T) P(t, T +δ) soit
L(t, T) = P(t, T)−P(t, T+δ) δP(t, T+δ)
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1.1 Introduction aux taux d’intérêts
Dans la suite, on s’intéressera particulièrement à la diffusion des taux instantanés forward à travers le modèle proposé par Heath, Jarrow et Morton (ci-après HJM).
Absence d’arbitrage
Le taux d’intérêtrutilisé ci dessus est supposédéterministe dans beaucoup de modèles de pricing tels que Black & Scholes ou encore les modèles FX (i.e. les modèles “multi-devise”). Dans le cas de produits de taux d’intérêts, la variable la plus importante est le taux d’intérêt lui même. Il faut donc abandonner le cadre déterministe et modéliser le taux d’intérêt comme un processus stochastique.
Plaçons nous sur l’espace de probabilité filtré(Ω,Ft,P,(Ft)0≤t≤T). En avenir incertain, il faut penser le taux d’intérêtrcomme letaux d’intérêt instantané : entre les instantstett+dtil est possible d’emprunter au tauxr(t).
La définition des obligations ZC est essentielle pour la compréhension du taux court r(t). L’une des hypothèses essentielle des marché est l’absence d’opportunité d’arbitrage :
Définition 1.11 (Absence d’opportunité d’arbitrage (AOA)) L’absence d’opportunité d’arbitrage est une hypothèse permettant de supposer que les agents intervenant sur un marché organisé sont ration- nels. En d’autre terme, cela traduit l’idée qu’il est impossible, à partir d’un investissement nul, de faire des bénéfices dans le futur sans risque de perte. Alors, deux actifs ou portefeuilles qui ont les mêmes flux doivent nécessairement avoir le même prix initial.
Cette hypothèse se traduit mathématiquement par l’existence d’une probabilitéP∗équivalente àPsous laquelle le processus des prix actualisés
P˜(t, T)
0≤t≤T définit par P˜(t, T) =e−R0Tr(s)dsP(t, T) est une martingale. On a donc par la martingalité2 :
P˜(t, T) =E∗
hP˜(T, T) Ft
i
puis, grâce à la condition terminaleP(T, T) = 1, P(t, T˜ ) =E∗
h
e−R0Tr(s)ds Fti
Cette dernière égalité permet de caractériser le taux d’intérêt instantanér(t)à partir des prix des Zéro Coupons :
Définition 1.13 (Taux d’intérêt instantané spot en absence d’arbitrage) Le taux d’intérêt ins- tantané spot (ou taux court) est le tauxr(t)tel que, pour tout0≤t≤T,
P(t, T) =E∗ h
e−RtTr(s)ds Fti
Notons que cette égalité est à la base des tests de martingalité que nous réaliserons en section3.5.
2. Rappelons qu’une martingale se définit de la façon suivante :
Définition 1.12 (Martingale, sur et sous martingale en temps continu) Soit Ω,F,{Ft}t,P
un espace probabi- lisé filtré. Une martingale par rapport à la filtration{Ft}test un processus stochastique(Xt)t≥0 tel que :
1. E(|Xt|)<∞pour toutt≥0,
2. (Xt)t≥0 est adapté à la filtration{Ft}t, 3. E
Xt
Fs
=Xspour touts≤t
Notons également qu’en remplaçant la dernière condition, nous avons les définitions suivantes :
— siE
Xt
Fs
≤Xs pour touts≤t, alors(Xt)t≥0 est une sur-martingale,
— siE
Xt
Fs
≥Xs pour touts≤t,(Xt)t≥0 est une sous-martingale.
1.1 Introduction aux taux d’intérêts
1.1.2 Taux du marché
Taux souverains
Sur le marché secondaire, essentiellement dominé par les transactions de gré à gré, s’échange en parti- culier une partie de la dette d’un Etat, émise pour financer ses dépenses. Cette dernière y est émise sous forme d’obligations, sur le marché monétaire lorsqu’il s’agit de maturités courtes et obligataire pour les maturités plus longues. Parmi les obligations les plus connues, on peut par exemple citer les Obligations Assimilables du Trésor (OAT) pour la France, les Bundesanleihen ou Bund pour l’Allemagne, les Gilts au Royaume-Uni ... En prenant l’exemple de l’Etat Français, on peut distinguer les obligations suivantes fontion de leur maturité :
• Les Bons du Trésor (BTF) : qui sont des instruments monétaires car d’échéance à court terme (inférieure à 1 an). Ils permettent la gestion de la trésorerie à court terme et les fluctuations intra- annuelles.
• Les Bons du Trésor à intérêts Annuels (BTAN) : d’une durée de deux ou cinq ans à l’émission, pour l’endettement à moyen terme,
• Les Obligations Assimilables du Trésor (OAT) : d’une durée de 5 à 50 ans. Ces instruments sont des instruments de gestion de la dette à long terme.
Notons que depuis le 25 Juillet 2017, date d’échéance du dernier BTAN, tous les BTAN ont été rem- boursés et il n’y en a donc à ce jour plus en circulation. En créant ces trois intruments, l’Etat a ainsi rationalisé la structure de sa dette, bien que l’OAT reste la forme de financement privilégiée.
Taux interbancaires
Le marché interbancaire, référence sur le marché monétaire, est un marché où les professionnels du secteur bancaire s’échangent des actifs financiers à court terme, et où la banque centrale intervient pour apporter ou reprendre des liquidités. C’est un marché de gré à gré : les banques y traitent et négocient librement entre elles. La BCE joue également un rôle important sur le marché interbancaire : en effet, elle alimente les liquidités en fonction de ses objectifs, et gère donc la quantité de monnaie en circulation dans l’économie.
En particulier, les taux interbancaires définissent les taux que les banques se fixent pour se financer entre elles : c’est, en Europe, le tauxEuribor. Ce dernier est le socle de la catégorie des taux interbancaires, où les instruments de prêts sont définis à partir de ce dernier. On distingue les taux :
• Eonia (Euro Overnight Index Average) : c’est la référence du prix de l’argent au jour de jour.
Il correspond au taux d’intérêts moyen auquel une sélection de banques européennes s’accordent mutuellement des prêts en euros, d’une durée de 1 jour.
• Euribor (Euro InterBank Offered Rate) : c’est le taux moyen auquel une sélection de banques s’accordent mutuellement des prêts à court terme en euros. Les maturités vont de 1 semaine à 12 mois. Finalement, le taux Eonia n’est d’autre qu’un taux Euribor de maturité 1 jour. Notons également que le taux Euribor est le taux de référence pour beaucoup de produits : que ce soit les contrats d’épargne, ou encore les instruments dérivés. Par exemple, les taux Euribor 3 mois et 6 mois, très liquides, sont très utilisés sur le marché des dérivés de taux.
• FRA(Forward Rate Agreement) : c’est un accord de taux futurs conclus de gré à gré entre deux parties. Les FRA consistent en un échange d’intérêts sur un taux variable (souvent Euribor 3 mois) fixé dans le futur contre un taux fixe prédéterminé à la création du contrat. Il ne donnera donc lieu qu’à un seul versement : la différence entre les deux taux, versement qui se fera donc en faveur de l’une ou de l’autre des contreparties.
• Swap contre Euribor : ces swaps consistent en des échanges à fréquence déterminée entre des intérêts sur un nominal à un taux fixe prédéterminé à la création du contrat et à un taux variable (souvent Euribor 6 mois). Les maturités de ces instruments obligataires peuvent aller jusqu’à 30 ans. En particulier, la courbe des taux de swaps est utile pour stripper la courbe des taux zéro coupon, comme nous le verrons en section2.1.
En particulier, les taux EONIA et Euribor 3 mois sont utilisées dans la fixation du taux du livret A.
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1.1 Introduction aux taux d’intérêts
2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018
Dates 0
1 2 3 4 5
Taux
24/04/2006 - 31/12/2017
Taux Eonia Taux Euribor 3M
Taux interbancaires EONIA et Euribor 3M
Figure1.1 –Historique des taux interbancaires de la zone euro, EONIA et Euribor 3 mois3
1.1.3 Dérivés de taux
Nous déroulons dans cette partie les principaux produits dérivés de taux, utiles en particulier pour la calibration des modèles de taux ou encore servant de base à la construction de produits dérivés plus complexes. Les définitions suivantes proviennent essentiellement du siteFinance de marchéet l’explication des produits est inspirée de l’ouvrage principal de Brigoet Mercurio2001. Nous y développerons en particulier la définition du swap de taux, des caps/floors et enfin des swaptions.
Swap de taux
Définition 1.14 (Swap de taux d’intérêt) Un swap de taux d’intérêt est un contrat bilatéral dans lequel les parties s’accordent pour échanger des flux d’intérêts fixes contre des flux variables. Lorsqu’une l’une des deux parties s’engage dans un swap dit « payeur », elle s’engage à verser un taux d’intérêt fixe.
Elle obtient, en échange, le versement périodique de taux variables, indexés sur une référence telle que l’Euribor (typiquement Euribor 3 Mois ou 6 Mois).
Ainsi, pour un swap de taux de maturitéTM, notionnelN, délivrant le taux fixeKet le taux variable L(Ti−1, Ti)où(Ti)idésignent les instants de paiements etτila fraction d’année correspondant à l’intervalle [Ti−1, Ti], les valeurs enTi des deux jambes sont donc :
— N τiK pour la jambe fixe,
— N τiL(Ti−1, Ti)pour la jambe variable.
Par exemple, si l’on considère que le taux variable est l’Euribor 6 mois, alors τi = 1/2 et L(Ti−1, Ti) correspond au future Euribor 6 mois prévalant enTi−1 et de maturitéTi.
La valeur ent d’un swap de taux d’intérêt est donc :
M
X
i=1
D(t, Ti)N τiw[L(Ti−1, Ti)−K]
oùD(t, Ti−1)correspond au facteur d’actualisation entretetTi−1 tel que définit en1.2.wvaut 1 si le swap est payeur de taux fixe, -1 dans le cas contraire.
Options sur taux d’intérêt : les Caps et Floors
Définition 1.15 (Cap/Floor) Un Cap (resp. Floor) correspond à une option Call (resp. Put) sur taux d’intérêts : c’est un contrat de gré à gré entre deux contreparties qui permet à son acheteur de se couvrir contre une hausse (resp. baisse) des taux d’intérêt au-delà (resp. en dessous) d’un niveau prédéterminé (le taux d’exercice ou strike), moyennant le paiement immédiat d’une prime.
3. SourceReuters
1.1 Introduction aux taux d’intérêts
La valeur ent d’un cap/floor est donc :
M
X
i=1
D(t, Ti)N τiw[L(Ti−1, Ti)−K]+
où D(t, Ti−1) correspond au facteur d’actualisation entre t et Ti−1 tel que définit en 1.2. w vaut 1 dans le cas d’un cap, -1 pour un floor. Notons que ce produit peut donc se voir comme un swap de taux d’intérêt où le paiement n’a lieu que si sa valeur est positive.
Notons que nous avons une relation de parité entre les calls et puts (et donc, les caps et floors) : il nous suffit donc de ne considérer que l’une des deux options. Focalisons nous par exemple sur le cap : ce dernier peut donc se décomposer additivement en termes :
D(t, Ti)N τi[L(Ti−1, Ti)−K]+
Chacun de ces termes est appelécaplet (et on définit de manière analogue lefloorlet). A partir de cette formule, on peut donc voir un cap comme une somme de ses caplets, qui ne sont d’autres qu’une option sur le tauxL(Ti−1, Ti)pour chaquei. Ainsi, en notantF(0, Ti−1, Ti)le forward ent= 0du liborL(Ti−1, Ti) et T l’ensemble des dates de paiements, le prix de marché d’un cap ent= 0se dérive directement de la formule de Black :
CapBlack(0,T, τ, N, K, σ) =N
M
X
i=1
P(0, Ti)τiBl(K, F(0, Ti−1, Ti), vi,1) (1.1.1) où, en notantΦla fonction de répartition d’une loi Gaussienne,
Bl(K, F, v, w) =F wΦ (wd1)−KwΦ (wd2) d1= ln(F /K)+vv 2/2
d2= ln(F /K)−vv 2/2 vi=σp
Ti−1
avecσla volatilité côtée sur le marché.
De manière analogue, le prix d’un floor s’écrit : FloorBlack(0,T, τ, N, K, σ) =N
M
X
i=1
P(0, Ti)τiBl(K, F(0, Ti−1, Ti), vi,−1) (1.1.2) Définition 1.16 (Cap/Floor à la monnaie) Considérons un cap/floor de strike K, dates de paiement T1, ..., TM, et fractions d’années associées φi. Le cap/floor est dit à la monnaie (ou ATM pour “at the money”) si et seulement si
K=KATM:= P(0, T1)−P(0, TM) PM
i=1φiP(0, Ti) (1.1.3)
Ajoutons que :
— SiK < KATM, le cap est ditdans la monnaie ou ITM pour “in the money”,
— SiK < KATM, le cap est dithors de la monnaie ou OTM pour “out of the money”.
Dans la suite, les caps à la monnaie nous serons particulièrement utiles pour calibrer l’un des modèles de taux comme nous le verrons en partie 3.3.
Swaptions
Définition 1.17 (Swaption) Une swaption est une option donnant le droit à son détenteur, et non l’obligation, d’entrer dans un swap. Sa forme la plus courante est celle d’une swaption permettant d’entrer dans un swap de taux d’intérêt. Une telle swaption, dite payeuse, donne ainsi la possibilité à son détenteur d’entrer dans un swap où il paierait un taux fixe, et recevrait un taux flottant. Une swaption receveuse donne, au contraire, la possibilité d’entrer dans un swap afin de recevoir un taux fixe, en l’échange d’un taux flottant.
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1.2 Introduction à l’inflation
NotonsTα la date d’entrée dans le swap, qui est également par hypothèse la maturité du swaption, et TM −Tα la longueur du swap (i.e.TM correspond à la date du dernier paiement). La valeur en t d’une swaption de strike K est donc :
N D(t, Tα)
" M X
i=α+1
P(Tα, Ti)τi[F(Tα, Ti−1, Ti)−K]
#+
où :
— F(Tα, Ti−1, Ti)désigne une nouvelle fois le taux forward tel que définit en1.8,
— D(t, Tα)le facteur d’actualisation entre tetTα,
— P(Tα, Ti)le prix du zéro coupon entreTα etTi,
— τi la fraction d’année correspondant à l’intervalle [Ti−1, Ti]
Contrairement aux caps, le payoff d’une swaption ne peut être décomposé additivement en termes plus simples à cause de la présence de la partie positive qui estsous additive(et non plus additive, comme dans le cas des caps). Mais de manière analogue aux caps, le prix de marché ent= 0d’une swaption payeuse se dérive également de la formule de Black que l’on peut ainsi calculer à partir des caractéristiques de la swaption et la valeur des volatilités côtées sur le marché.
1.2 Introduction à l’inflation
1.2.1 Mesure de l’inflation
L’inflation traduit le phénomène de hausse généralisée des prix au sein d’une économie, accompagnée d’une baisse durable de la valeur de la monnaie : elle reflète donc une baisse du pouvoir d’achat.
A la base du calcul de l’inflation se trouve l’Indice des Prix à la Consommation (IPC), ou CPI pour Consumer Price Index. L’INSEE le définit comme :
Définition 1.18 (Indice des prix à la consommation) Instrument de mesure de l’inflation. Il per- met d’estimer entre deux périodes données la variation moyenne des prix des produits consommés par les ménages. C’est une mesure synthétique de l’évolution de prix des produits, à qualité constante et il est publié chaque mois au Journal Officiel4.
En outre, l’IPC n’est pas un indice du coût de la vie mais cherche à “mesurer les effets des variations de prix sur le coût d’achat des produits consommés par les ménages”. L’indice du coût de la vie lui cherche à mesurer ces variations de prix de sorte à “maintenir le niveau de vie des ménages à un niveau spécifié” : on ne s’intéresse donc pas à cet indice lorsque l’on souhaite estimer le taux d’inflation.
L’inflation est donc calculée à partir de l’évolution du prix d’un panier de biens et services par les instituts nationaux de statistiques, soit l’INSEE pour la France, Eurostat pour l’Europe.
Définition 1.19 (Inflation) L’inflation5 est la perte du pouvoir d’achat de la monnaie qui se traduit par une augmentation générale et durable des prix.
Notons IPCtla valeur de l’IPC ent. On distingue plusieurs mesures de l’inflation :
• L’inflation glissante annuelle,
• Le taux d’inflation en capitalisation continue,
• Le taux courtqt
Définition 1.20 (Inflation glissante annuelle ou Year On Year) Cette mesure d’inflation, notée I(t), correspond au taux de capitalisation de l’IPC en composition annuelle :
I(t) = IPCt IPCt−1
−1
4. INSEE,https://www.insee.fr/fr/metadonnees/definition/c1557 5. Définition de l’INSEE
1.2 Introduction à l’inflation
Définition 1.21 (Taux d’inflation en capitalisation continue) Le taux d’inflation en capitalisation continue entre les instantst etT, notéi(t, T)est définit comme :
i(t, T) = 1 T−tln
IPCT
IPCt
Définition 1.22 (Taux court d’inflation) Le taux court qt est définit comme la limite du taux en capitalisation continue :
qt= lim
T→ti(t, T)
Notons que ces trois taux peuvent s’exprimer les uns par rapport aux autres, à l’instar des différents taux d’intérêts comme nous le verrons plus loin. En particulier,
(I(t) + 1)T−t=ei(t,T)/(T−t)=eRtTqudu
1.2.2 Références de calcul
Indices des prix
Comme évoqué, il existe plusieurs indices permettant de calculer le taux d’inflation. Cependant, celui qui nous intéressera dans le cadre de la valorisation de produits indexés sur l’inflation est l’indice des prix à la consommation hors tabac. En effet, une loi de 1992 interdit en particulier l’utilisation d’un indice des prix dépendant du tabac dans le calcul de l’inflation pour les obligations indexées sur l’inflation6. On présente ci dessous l’historique des inflations annuelles glissantes Française et Européennes, calculées respectivement à partir des indices :
— ICP pourIndex of Consumer Price; l’indice des prix à la consommation hors tabac français,
— HICP pour Harmonized Index of Consumer Price; publié par Eurostat7 et représente l’indice des prix hors tabac pour la zone Euro.
1998 2002 2006 2010 2014 2018
Dates 75
80 85 90 95 100
CPI
31/01/1997 - 31/12/2017 CPI Euro (HIPC)
CPI FR (IPC)
Indices des prix Euro et Français
1997 2001 2005 2009 2013 2017
Dates 0.01
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04
Inflation Year On Year
31/01/1997 - 31/12/2017
Inflation Euro Inflation Française
Indices d'inflation annuels glissants Euro et Français
Figure1.2 –Historique du CPI et de l’inflation annuelle glissante Européenne et Française (données mensuelles)8
Notons que l’inflation française est historiquement au dessous de l’inflation Européenne : en effet, la France fait partie des pays de la zone euro présentant une croissance et une inflation faible (au même titre que l’Allemagne par exemple) en comparaison aux pays du sud de l’Europe, comme la Grèce ou l’Italie par exemple. Les deux taux d’inflation restent cependant très proches ; en effet, le taux Européen reste un excellent benchmark pour le taux Français.
Révision des indices et des paniers
Un indice des prix pertinent pour le calcul de l’inflation doit à la fois être publié régulièrement, mais pour autant rester pertinent. L’utilisation d’indices révisables prend donc son sens : ils peuvent être mo- difiés une fois publié si une donnée semble incorrecte. C’est le cas de la plupart des indices d’inflation, notamment l’HICP. L’indice Français dérobe pourtant à la règle : une fois qu’un indice mensuel est publié,
6. Comité de Normalisation Obligataire,http://www.cnofrance.org/fr/les-obligations-indexees-sur-linflation-, 10.cfm
7. Eurostat,http://ec.europa.eu/eurostat/web/hicp 8. SourceReuteurs
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1.2 Introduction à l’inflation
il ne peut être modifié. En cas d’erreur, l’INSEE réalise un ajustement le mois suivant.
La question de la révision se pose également pour le panier de biens utilisé pour déterminer l’indice des prix. En Europe par exemple, la composition du panier de biens est révisée au début de chaque année.
Interpolation des données mensuelles9
L’utilisation du taux d’inflation dans le cadre de l’indexation de produits financiers impose un calcul plus fin de ce dernier. En effet, l’inflation doit être adaptée à être utilisée dans le marché des obligations indexées, où des données à une maille journalière sont nécessaires. A partir des données mensuelles IPCm, la référence quotidienne de l’inflation est interpolée de la façon suivante :
IPCd=d−1
ndm (IPCm−2−IPCm−3) +IPCm−3
où :
— dest le jour calendaire dans le moism,
— ndmest le nombre de jours dans le moism
On peut par exemple retrouver ces valeurs interpolées sur le site de l’Agence France Trésor (AFT).
1.2.3 Obligations indexées
Définition 1.23 (Obligation indexée à l’inflation) L’obligation indexée à l’inflation protège un in- vestisseur du risque d’inflation grâce à un coupon et un prix de remboursement réévalués à chaque date de paiement afin de tenir compte des variations de l’indice des prix.
A l’origine, l’émission de dette indexée sur l’inflation est caractéristique des pays à forte inflation comme par exemple le Brésil, ou encore le Mexique. En effet, pour des pays en voie de développement, ces titres sont un moyen efficace de se financer et lever des fonds à long terme étant donné que les investisseurs souhaitent se protéger de l’érosion de la valeur de la monnaie locale. Pourtant, en 1981 le Royaume Uni est le premier pays développé et maîtrisant son inflation à émettre de la dette indexée, suivie notamment en 1998 par la France et ses OATi. C’est en 2001 que seront émises les premières obligations indexées sur l’inflation européenne, les OATei. Ces deux dernières sont cotées en pourcentage de la valeur courante réévaluée de la date, et non en pourcentage de la valeur nominale initiale comme peut l’être celle du Royaume Uni. La convention de marché pour ces deux dettes en particulier est donc de coter le prix hors coefficient d’indexation, soit hors inflation. Enfin depuis 2010, l’ensemble des pays du G7 émettent des obligations indexées.
On pourrait alors se demander comment ces états peuvent-ils bénéficier de l’émission de ces dettes indexées. En effet, émettre une dette publique classique bénéficie à un état qui maîtrise son taux d’inflation en cas de hausse de cette dernière, notamment puisque ces titres contribuent à la diminution du poids de la dette (c’est à dire la valeur de la dette en euros divisée par le PIB en euros). Par construction, une obligation indexée est soumise au risque de taux réel ; ainsi, une hausse des taux d’intérêts nominaux sans conséquence sur le niveau des taux d’intérêts réels ne modifiera pas la valeur de la dette indexée.
Au même titre que les obligations classiques, on peut donc évaluer la sensibilité d’une obligation indexée en fonction de l’évolution des taux réels :
— si le taux réel d’un titre émis au pair reste constant : son prix se maintiendra au pair,
— si le taux réel augmente, l’obligation subira une décôte car le coupon versé deviendra insuffisant,
— si le taux réel diminue, c’est donc exactement l’inverse qui se produira.
Valorisation
Les dettes indexées sont donc caractérisées par leurs coupons et la valeur du remboursement, tous deux multipliés par un rapport d’indice des prix.
NotonsBn(0, T)le prix en 0 d’une obligation classique, de maturitéT, nominalN et taux de coupon c. On a simplement
9. Cette partie est inspirée par le rapport rédigé par le Comité de Normalisation Obligataire sur les Obligations indexées sur l’inflation, que l’on retrouvera à l’adresse suivante : http://www.cnofrance.org/fr/
les-obligations-indexees-sur-linflation-,10.cfm
1.2 Introduction à l’inflation
Bn(0, T) =
T
X
t=1
c×Pn(0, t) +N×Pn(0, T)
où Pn(0, T) est le prix d’un zéro coupon nominal tel que nous le définirons plus loin. Alors, le prix Br(0, T)d’une obligation couponnée émise en t0 de mêmes caractéristiques mais indexée sur l’inflation s’écrit :
Br(0, T) = nPT
t=1c×IPC(0)×Pr(0, t) +N×IPC(0)×Pr(0, T)o IPC(t0)
oùPr(0, T)est le prix d’un zéro coupon réel tel que nous le définirons plus loin. Notons en particulier que comme nous l’avons évoqué plus haut, la convention de marché est de coter les prix de ces dettes hors coefficient d’indexation, soit :
Brmkt(0, T) =
T
X
t=1
c×Pr(0, t) +N×Pr(0, T)
Notons enfin que les OATi, émises par deux principales institutions (l’Agence France Trésor, AFT et la CAisse d’Amortissement de la dette sociale, CADES), bénéficient également d’une garantie de remboursement au pair dans le cas ou l’indice d’inflation à l’échéance est plus faible qu’à l’émission du titre : dans ce cas, le remboursement est égal au principal. Cette garantie de remboursement peut en particulier être vue comme une option sur inflation, de payoff en T :
max
N;N× IPC(T) IPC(t0)
= N
IPC(t0)[IPC(T)−IPC(t0)]++N soit un floor sur inflation de strikeK=IPC(t0).
1.2.4 Dérivés d’inflation
Comme nous l’avons évoqué, le marché des dérivés d’inflation ne cesse de croître depuis le début des années 1990 pour des pays comme la France ou le Royaume-Uni par exemple (et les pays de la zone Euro en général). Selon Deacon, Derry et Mirfendereski 2004, le marché des dérivés d’inflation peut globalement être divisé en quatre principales catégories (marchés de niveaux I, II, III, IV), chacune correspondant à un degré de développement du marché :
• Niveau I
Un tel marché ne possède pas de produits dérivés échangeables. Les prix de swaps seront donc déterminés sur la base de “l’offre et la demande” ; c’était par exemple le cas du marché espagnol au début des années 2000.
• Niveau II
On retrouve dans les marchés de niveau II un ou plusieurs instruments dérivés échangeables : typiquement des obligations indexées.
• Niveau III
Ce dernier regroupe des marchés où une plus grande variété d’instruments dérivés est disponible, grâce à laquelle on pourra typiquement construire une courbe de swap complète. C’est le cas du marché Français par exemple.
• Niveau IV
Ce niveau est en réalité hypothétique car tous les marchés qui existent actuellement appartiennent aux trois premières catégories. Cependant, dans une logique de croissance des marchés, il est pertinent d’ima- giner un marché ayant atteint un niveau de maturité, liquidité et stabilité analogue à celui du marché de la dette nominale classique par exemple. Notons que pour certaines maturités, le marché Français ou Européen de l’inflation atteint effectivement un niveau IV, notamment en terme de liquidité.
Considérons à présents les principaux dérivés d’inflation échangés sur les marchés. Les produits les plus échangés sont les swaps indexés : les ZCIIS, swaps zéro coupon, etYYIIS, swaps year on year, dont nous allons voir la définition par la suite. Les options i.e. les caps et floors indexés sont échangés sur des montants plus faibles, bien que la liquidité soit importante pour un certain nombre de maturités.
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1.2 Introduction à l’inflation
Zero-coupon swap, ou ZCIIS
Définition 1.24 (ZCIIS) Un swap zéro coupon (Zero coupon inflation indexed swap, ZCIIS) est un contrat selon lequel l’une des parties s’engage à payer à maturité le taux d’inflation, et reçoit de l’autre un taux fixe K établit initialement.
Si l’on considère un nominalN,M la longueur du contrat, ITM la valeur de l’indice des prix considéré à la maturitéTM,I(0)sa valeur initiale, alors la valeur des deux jambes à maturité est :
— N[(1 +K)M−1]pour la jambe fixe
— NhI(T
M) I(0) −1i
pour la jambe flottante
Ainsi, le payoff enTM d’un ZCIIS payeur d’inflation n’est d’autre que la différence entre la valeur en TM de la jambe flottante et de la jambe fixe.
Il est utile de noter que, comme nous le développerons en section 2.4.2, la valorisation de ce type de produit ne dépend pas du modèle de diffusion des taux ou de l’inflation. Ceci permettra en particulier d’extraire les taux réels à partir de la valeur des strikes Kde ZCIIS de différentes maturités.
Year on Year Swap
Définition 1.25 (YYIIS) Un Year On Year Inflation Indexed Swap (YYIIS) est un contrat selon lequel l’une des parties s’engage à payer à des dates fixées T0 = 0, T1, ..., TM le taux d’inflation, et reçoit de l’autre un taux fixeK établit initialement.
En d’autre terme, pour un YYIIS de nominalN, strikeK et maturitéTM, chaque année au tempsTi
les valeurs des deux jambes sont :
— N φiK
— N φih I(T
i) I(Ti−1)−1i
oùφi est la fraction d’année correspondant à l’intervalle[Ti−1, Ti].
Cette fois ci, la valorisation de ce type de produit dépend du modèle de taux utilisé et est donc plus com- plexe que celle d’un ZCIIS, comme nous le développerons en section2.4.3. Ce produit est néanmoins plus liquide que son homologue “zéro coupon”, et permet de protéger totalement des variations de l’inflation sur une période donnée.
Caps et Floor Inflation
Définition 1.26 (Inflation-Indexed Caplet/Floorlet) Un caplet (resp. floorlet) indexé sur l’infla- tion est une option d’achat (resp. de vente) sur le taux d’inflation.
Définition 1.27 (Inflation-Indexed Cap/Floor) Un cap (resp. floor) indexé sur l’inflation est une série de caplets (resp. floorlet) indexés. Ce contrat peut donc être vu comme une série de contrats à part entière.
Ainsi, on définit un cap (floor) indexé sur l’inflation par rapport à la série de caplet (floorlet) sous- jacente. En particulier, en considérant l’intervalle de temps[Ti, Ti−1]oùφireprésente une nouvelle fois la fraction d’année correspondant à cet intervalle, un caplet/floorlet de nominalNet strikeka pour payoff :
N φi
w
I(Ti)
I(Ti−1)−1−k +
oùwvaut 1 pour un caplet, -1 pour un floorlet. On obtient le payoff du cap tout simplement en sommant ces flux actualisés. On développera la valorisation, dépendante du modèle de taux et inflation choisis, en section2.4.4.
Ces instruments permettent de se couvrir contre le risque de hausse ou baisse de l’inflation : par exemple, un floors indexé sur l’inflation permet de se prémunir contre une éventuelle hausse de l’inflation au delà d’un seuil prédéterminé. Ils nous seront particulièrement utiles dans le cadre de la calibration du modèle d’inflation choisi, comme nous le montrerons au chapitre3.3.
1.3 Inflation et taux
1.3 Inflation et taux
Comme nous l’avons évoqué, l’inflation est intimement liés aux taux réels et nominaux. Cette partie consistera en l’explication de la relation entre ces trois variables, et les enjeux que présente une modéli- sation à trois facteurs (i.e. une modélisation jointe des taux nominaux, réels et de l’inflation).
1.3.1 Theorie économique et relation entre taux d’intérets réels et nominaux
La proposition selon laquelle les taux d’intérêts réels sont égaux à la différence entre les taux d’intérêts nominaux et l’inflation estimée a été développée il y a des siècles dans l’histoire de l’économie. Notons que dès le XIIIe, précisément dans les années 1740, William Douglass10 (et de nombreux auteurs après lui) évoquait cette relation pour expliquer la dévaluation de la monnaie “papier” créée en masse dans les colonies pendant l’époque coloniale. L’analyse de la relation entre taux nominaux et réels connaît un point culminant avec la publication de l’article d’Irving Fisher11, dans lequel l’équation reliant les trois taux sera formalisée. Elle énonce donc que dans un marché liquide et sans risque de défaut, on peut écrire la relation d’équilibre suivante :
Définition 1.28 (Equation de Fisher)
(1 +rn) = (1 +rr)(1 +i)
oùireprésente le taux d’inflation anticipé etrr, rn représentent respectivement les taux réels et nomi- naux. On approxime souvent cette relation par la suivante :
rr=rn−i
Le taux d’intérêt réel peut donc être vu comme le taux nominal ajusté de l’inflation.
1.3.2 Analogie avec la monnaie étrangère et définition des Zéro Coupons réels
Ce cadre de travail a notamment été adopté par Jarrowet Yildirim2003: l’idée est de considérer les taux réels comme les taux de l’économie “étrangère”, où l’indice des prix est interprété comme le taux de change entre taux nominal (économie “domestique”) et taux réel ; analogie motivée par la définition même de l’IPC. En effet, en notantI(t)la valeur ent de l’indice des prix, cela signifie donc qu’ent= 0 le panier de biens sous jacent au calcul de l’indice des prix vaut I(0), alors qu’il vaudraI(T) ent=T. Cela signifie qu’une unité de monnaie en T vaudra I(0)/I(T) en termesréels, soit en terme de pouvoir d’achat. Ainsi, en fixantI(0) := 1telle une constante de normalisation, on peut alors convertir une valeur nominale en sa valeur réelle correspondante simplement en divisant par l’indice des prix au temps voulu : de la même manière que lorsque l’on convertit une monnaie vers une autre.
Technique de changement de numéraire
Nous allons développer ici la technique de changement de numéraire12, permettant le changement de mesure risque neutre entre un marché domestique et un marché étranger.
Définition 1.29 (Numéraire) On appelle numéraire tout processus de prix presque sûrement positif.
Considérons un marché étranger où est échangé un instrument de prixXf (f pour “foreign”, étranger).
On noteQf la mesure risque neutre associée, et Bf l’évolution du money market account associé (voir définition1.1). De manière analogue, on définit pour le marché domestique les quantitésX,Q, B, et enfin {Ft: 0≤t≤T}la filtration naturelle des processus définis ci dessous. VoyonsXf comme un instrument payant XTf enT : alors, en absence d’opportunité d’arbitrage, nous pouvons affirmer que la valeur ent deXf est
Vtf =BtfEf
"
XTf BTf
Ft
#
Soit, en termes domestiques,
10. “A Discourse Concerning the Currencies of the British Plantations in America” , 1740 11. “Appreciation and Interest”, 1896
12. VoirBrigoetMercurio2001, chapitre 2.9
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